Bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình Schrodinger trong trụ với đáy là miền với biên không trơn 90

NGUYỄN BÌNH BÀI TOÁN HỖN HỢP ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER TRONG TRỤ VỚI ĐÁY LÀ MIỀN VỚI BIÊN KHÔNG TRƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2009... NGUYỄN BÌNH BÀI TOÁN HỖN HỢP ĐỐI

NGUYỄN BÌNH

BÀI TOÁN HỖN HỢP ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER

TRONG TRỤ VỚI ĐÁY LÀ MIỀN VỚI BIÊN KHÔNG TRƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2009

NGUYỄN BÌNH

BÀI TOÁN HỖN HỢP ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER

TRONG TRỤ VỚI ĐÁY LÀ MIỀN VỚI BIÊN KHÔNG TRƠN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng

HÀ NỘI, 2009

-ơn các bạn học viên trong lớp đã giúp đỡ và có những đóng góp quí báucho bản luận văn này.

Hà Nội, tháng 9 năm 2009

Tác giả

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng

Trong khi nghiên cứu Luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoahọc của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 9 năm 2009

Tác giả

Mục lục

1.1 Trung bình hóa 4

1.2 Đạo hàm suy rộng 7

1.3 Không gian Wm p (Ω),Wopm(Ω) 9

1.4 Không gian Hm,k(QT), Hm,k(QT, S1) 17

2 Bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình Schrodinger trong trụ với 2.1 Đặt bài toán 19

2.2 Tính giải được của bài toán 21

2.2.1 Tính duy nhất nghiệm suy rộng 23

2.2.2 Sự tồn tại nghiệm suy rộng 28

2.2.3 Ví dụ 34

Danh mục kí hiệu

• Rn là không gian Euclid n−chiều

• Ω là một miền trong Rn, tức là một tập mở liên thông, với biên ∂Ω

Ω = Ω∪ ∂Ω Nếu Ω0 ⊂ Ω sao cho Ω0 ⊂ Ω, thì ta viết Ω0 ⊂⊂ Ω

· · · + αn Đạo hàm (suy rộng) cấp α được kí hiệu là

• Giá của một hàm là bao đóng của tập hợp tất cả các điểm mà hàm đókhác không và kí hiệu là supp Kí hiệu Cl(Ω) là tập hợp tất cả các hàm cócác đạo hàm liên tục đến cấp l trong miền Ω, 0 ≤ l ≤ ∞, C0(Ω) = C(Ω)

và Cl(Ω) = C (Ω)∩ Cl(Ω), ở đó C(Ω) là tập hợp tất cả các hàm liên tụctrong Ω và có giá compact thuộc Ω.

• Lp(Ω), 1 ≤ p < ∞ là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x) khảtổng cấp p theo Lesbegue trong Ω với chuẩn

• Wo mp(Ω) là bao đóng của Co ∞(Ω) trong không gian Wpm(Ω)

• Hm,k(QT) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x, t) ∈ L2(QT), saocho đạo hàm suy rộng Dαu ∈ L2(QT),|α| ≤ m và ut l ∈ L2(QT), 1 ≤ l ≤ kvới chuẩn

không gian con của Hm(Ω) sao cho C∞(Ω, Γ1) trù mật trong Hm(Ω, Γ1)theo chuẩn của Hm,k(QT).

• Hm,k(QT, S1) là không gian con của Hm,k(QT) có tập hợp trù mậttrong nó là các hàm thuộc C∞(QT), triệt tiêu gần mặt S1

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết các bài toán biên tổng quát trong các miền với biên trơnđến nay đã khá hoàn thiện [4, 5, 6] Các bài toán biên ban đầu đối vớiphương trình và hệ phương trình không dừng trong các hình trụ với đáy

là miền với biên không trơn được xét không nhiều Các bài toán biênban đầu đối với hệ Schrodinger đã được xét trong công trình [2, 8, 10].Các bài toán biên loại này đối với hệ phương trình Parabolic cũng đãđược nghiên cứu [9] Trong các công trình này đã nhận được các kết quả

về sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng và các kết quả về tính trơncũng như biểu diễn tiệm cận của nghiệm

Bài toán biên ban đầu thứ nhất và thứ hai đối với hệ phương trìnhhyperbolic đã được nghiên cứu trong các công trình [7, 11], ở đó đãnhận được các kết quả về tính giải được, tính trơn và biểu diễn tiệm cậnnghiệm suy rộng trong các lân cận của điểm kỳ dị Bài toán biên hỗnhợp trong các miền trụ với đáy là miền với biên không trơn đến nay cònđược xét rất ít

Lý do trên đề tài được chọn: Bài toán hỗn hợp đối với hệ phươngtrình Schrodinger trong trụ với đáy là miền với biên không trơn

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu bài toán hỗn hợp đối với hệphương trình Schrodinger trong hình trụ với đáy là miền với biên khôngtrơn, nhận được các định lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm suy rộngtrong không gian kiểu Sobolev

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Bài toán biên hỗn hợp đối với hệ Schrodinger trong hình trụ vớiđáy là miền với biên không trơn; nghiên cứu không gian kiểu Sobolev;nghiên cứu nghiệm suy rộng

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp được sử dụng là phương pháp Galerkin, các phươngpháp của giải tích hàm để đánh giá bất đẳng thức, phương pháp tìm giớihạn

5 Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của

đề tài

Nhận được các định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộngcủa bài toán biên hỗn hợp trong lý thuyết tổng quát về các bài toán biênđối với hệ không dừng trong miền với biên không trơn Góp phần hoànthiện lý thuyết giải các bài toán biên trong miền với điểm kỳ dị của lýthuyết phương trình đạo hàm riêng

6 Nội dung

Luận văn bao gồm hai chương:

Chương 1 giới thiệu một số kiến thức bổ trợ, bao gồm các khônggian hàm

Chương 2 là nội dung chính của luận văn trình bày cách đặt bàitoán hỗn hợp đối với hệ phương trình Schrodinger trong hình trụ vớiđáy là miền với biên không trơn; trình bày nghiệm suy rộng, sự tồn tại

và duy nhất nghiệm suy rộng của bài toán hỗn hợp

θh(x) = 0, nếu |x| ≥ h,Z

R n

θh(x)dx = 1

Định nghĩa 1.1.1 θh được gọi là nhân trung bình hóa

Giả sử Ω là một miền trong Rn và u ∈ Lp(Ω) với 1 ≤ p ≤ ∞ Tathác triển u(x) bằng 0 trên Rn\Ω và xét tích chập θh∗ u := uh

Ω

[u(x + hz)− u(x)|pdx

Do tính liên tục toàn cục của hàm thuộc không gian Lp(Ω), p ≥ 1, tíchphân sau cùng dần đến không khi h → 0 Định lí được chứng minh.Định lí 1.1.2 ([1], Định lí 3.5) Nếu f, g ∈ L1(Ω) thì



f (y)dy

g(x)dx

g(x)dx

=Z

Chứng minh Với  > 0, ∀ψ ∈ Co ∞(Ω) sao cho

Do đó fh = 0 và vì kf − fhkL p (Ω) → 0, nên f = 0 hầu khắp nơi Định líđược chứng minh.

1.2 Đạo hàm suy rộng

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử u, v ∈ L1(Ω) và α là một đa chỉ số Khi đó

v được gọi là đạo hàm suy rộng cấp α của u, kí hiệu Dαu, nếu

a) Nếu u(x) đủ trơn để có đạo hàm liên tục Dαu, ta có

Từ đó, đạo hàm cổ điển Dαu cũng là đạo hàm suy rộng Tuy nhiên,

Dαu có thể tồn tại theo nghĩa suy rộng mà không tồn tại theo nghĩathông thường Để làm ví dụ ta lấy u(x) = |x|, x ∈ (−1, 1) Dễ kiểmtra được hàm u(x) có đạo hàm suy rộng trong khoảng (−1, 1) Tuynhiên, hàm này không có đạo hàm thông thường tại điểm x = 0.b) Từ công thức Green cổ điển suy ra một hàm u(x) có đạo hàm thôngthường liên tục cấp α thì nó có đạo hàm suy rộng Dαu Từ định nghĩađạo hàm suy rộng, ta rút ra hàm v(x) có không quá một đạo hàmsuy rộng Thật vậy, giả sử u ∈ L1(Ω) và v, w ∈ L1(Ω) là hai đạo hàmsuy rộng của u Khi đó, theo (1.2) có

c) Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp α trong miền Ω thì nó cũng

có đạo hàm suy rộng cấp α trong miền Ω0 ⊂ Ω Thật vậy, giả sử

Dαu = v trong Ω Cố định η ∈ Co ∞(Ω0), Ω0 ⊂ Ω Khi coi η(x) = 0với x ∈ Ω\Ω0, ta nhận được η(x) ∈ Co ∞(Ω)

Sau đây ta xét một định lí về sự liên hệ giữa đạo hàm suy rộng và trungbình hóa

Định lí 1.2.1 ([1], Định lí 4.1) Giả sử Ω là một miền trong Rn và Ω0

là một miền con của Ω, sao cho khoảng cách giữa Ω0 và ∂Ω bằng d > 0.Khi đó, đối với 0 < h < d và x ∈ Ω0, ta có

(Dαu)h(x) = Dαuh(x)

Chứng minh Do 0 < h < d và x ∈ Ω0, còn hàm θ((x − y)/h) ∈ Co ∞(Ω)đối với x ∈ Ω0, nên khi sử dụng định nghĩa đạo hàm suy rộng ta nhậnđược

Định nghĩa 1.3.1 Không gian Wm

p (Ω), 1 ≤ p < ∞ là không gian baogồm các hàm u(x) ∈ L2(Ω), sao cho đạo hàm suy rộng Dαu ∈ L2(Ω),

p (Ω) là một không gian Banach.

Chứng minh 1) Trước hết, ta kiểm tra Wm

p (Ω) là một không gian tuyếntính định chuẩn với chuẩn (1.3) Thật vậy:

Dễ thấy

+ kλukWm

p (Ω) = |λ|kukW m

p (Ω).+ kukWm

p (Ω) = 0⇔ u = 0

+ Giả sử u, v ∈ Wm

p (Ω) Khi đó với 1 ≤ p < ∞, áp dụng bất đẳngthức Minkowski

p (Ω) là không gian đầy

Giả sử {uj}∞j=1 là dãy Cauchy trong Wm

p (Ω), tức là với mỗi số tựnhiên k:

Đối với mỗi α, dãy {Dαuj}∞j=1 là dãy Cauchy trong Lp(Ω) Bởi vì Lp(Ω)

là không gian đầy, nên tồn tại một hàm uα ∈ Lp(Ω) sao cho

Định lí 1.3.2 ([1], Định lí 4.6) Giả sử Ω là một miền thuộc Rn và Ω0

là một miền con của Ω sao cho Ω0 ⊂⊂ Ω Nếu u ∈ Wm

p (Ω), thì

lim

h →0kuh− ukW m

p (Ω 0 ) = 0

Miền Ω gọi là có tính chất nón đều nếu tồn tại phủ mở hữu hạnđịa phương {Uj} của ∂Ω và dãy con {Cj} của nón hữu hạn, đồng dạngvới nón hữu hạn cố định C, sao cho:

i) Với M hữu hạn, mọi Uj có đường kính nhỏ hơn M

ii) Với δ > 0, S∞

j=1Uj ⊃ Ωδ ≡ {x ∈ Ω : dist{x, ∂Ω} < δ}

iii) Với mọi j, Sx∈Ω∩Uj(x + Cj) ≡ Qj ⊂ Ω

iv) Với hữu hạn R, giao của mọi tập hợp của R+1 tập Qj bằng rỗng

Hình 1.1: Miền có tính chất đoạn

Hình 1.2: Miền có tính chất nón

Định lí sau đây chỉ ra rằng tính chất đoạn là đủ để đảm bảo rằng

o

C∞(Rn) trù mật trong không gian Wm

p (Ω) Trong trường hợp riêng,không gian Ck(Ω) trù mật trong Wpm(Ω) với m > 1, k ≥ m

Định lí 1.3.3 ([3], Định lí 3.18) Nếu Ω có tính chất đoạn thì tập hạnchế trên Ω của các hàm trong Co ∞(Rn) trù mật trong Wm

iii) |Dαf (x)| ≤ M = const với mọi x và 0 ≤ |α| ≤ m

Đặt f(x) = f (x) với  > 0, khi đó f(x) = 1 nếu |x| ≤ 1/ và

X

β ≤α

αβ



Dβu(x)Dα−βf(x)

≤ M

X

β ≤α

αβ

K\ x∈∂ΩUx là tập compact và chứa trong Ω (Ux là các lân cận mởđược chỉ ra trong định nghĩa tính chất đoạn) và tồn tại một tập mở U0sao cho F ⊂⊂ U0 ⊂⊂ Ω.

Do K compact nên tồn tại một số hữu hạn các tập Ux, ta gọi chúng

là U1, , Uk sao cho K ⊂ U0 ∪ U1 ∪ · · · ∪ Uk Ngoài ra, ta có thể tìmđược những tập mở khác fU0, fU1, , fUk sao cho fUj ⊂⊂ Uj, 0 ≤ j ≤ knhưng K ⊂ fU0 ∪ fU1 ∪ · · · ∪ fUk

Giả sử ψ là một C∞−phần của sự hợp nhất phụ thuộc vào {fUj :

0 ≤ j ≤ k} và giả sử ψj là tổng của hữu hạn các hàm ψ ∈ Ψ có giátrị nằm trong fUj Đặt uj = ψj.u, giả sử với mỗi j ta có thể tìm được

0 < t < min{1, dist(fUj, Rn\Uj)/|y|},khi đó, theo tính chất đoạn Γt ⊂ Uj và Γt ∩ Ω = ∅.

Ω ∩ Uj ⊂⊂ Rn\Γt và theo Định lí 1.3.2 ta có thể lấy φj = θh∗ uj,t với

p (Ω)

Hệ quả 1.3.1 ([3], Hệ quả 4.15) Kết luận của Bổ đề 1.3.1 cũng đúngnếu miền Ω bị chặn trong Rn và có tính chất nón

Bổ đề 1.3.2 ([3], Định lí 4.20) Giả sử Ω ∈ Rn là miền bị chặn có tínhchất đoạn Khi đó tồn tại một hằng số K = K(p, Ω) sao cho với mọi số

 cho trước, miền Ω ⊂⊂ Ω thỏa mãn

|u|L p (Ω) ≤ K|u|W 1

p (Ω) + K|u|L p (Ω  ),với mọi u ∈ W1

p(Ω)

Hệ quả 1.3.2 ([3], Hệ quả 4.21) Kết luận của Bổ đề 1.3.2 cũng đúngnếu miền Ω bị chặn trong Rn và có tính chất nón

Bổ đề 1.3.3 ([3], Bổ đề 4.22) Giả sử Ω0 và Ω là các miền trong

Rn với Ω0 ⊂⊂ Ω Khi đó tồn tại miền Ω0 có tính chất nón sao cho

Ω0 ⊂ Ω0 ⊂⊂ Ω

Định lí 1.3.4 ([3], Định lí 4.23) Giả sử Ω là miền bị chặn trong Rn cótính chất đoạn hoặc tính chất nón và giả sử 0 < 0 < ∞, 1 ≤ p < ∞;

j, m là các số nguyên với 0 ≤ j ≤ m − 1 Khi đó tồn tại hằng số

K = K(0, m, p, Ω) và , 0 <  ≤ 0 với Ω ⊂⊂ Ω sao cho bất đẳng thức

|u|Wj

p (Ω) ≤ K|u|W m

p (Ω) + K−j/(m−1)|u|L p (Ω  ), (1.9)đúng với mọi u ∈ Wm

p (Ω)

Chứng minh áp dụng Bổ đề 1.3.1 cho đạo hàm Dβu,|β| = m − 1, tanhận được

|u|W pm−1(Ω  ) ≤ K2|u|W m

p (Ω  )+ K2−(m−1)|u|L p (Ω  ) (1.11)Kết hợp (1.10) và (1.11) ta nhận được trường hợp j = m − 1 của (1.9)

Ta sẽ chứng minh với các trường hợp còn lại của j Giả sử (1.9) đúngvới j ≥ 1 và thay  bởi m −j (cùng với kết quả thay đổi của K và Ω),

ta nhận được

|u|Wj

p (Ω) ≤ K3m−j|u|W m

p (Ω) + K3j|u|L p (Ω 0) (1.12)Cũng từ (1.12), thay j và m lần lượt bởi j − 1 và j, ta được

|u|Wj−1

p (Ω) ≤ K4|u|Wj

p (Ω) + K4−(j−1)|u|L p (Ω 00) (1.13)Kết hợp (1.12) và (1.13), ta có

|u|Wj−1

p (Ω) ≤ K5m−(j−1)|u|W m

p (Ω) + K5−(j−1)|u|L p (Ω  ),

ở đó K5 = K4(K3 + 1) và Ω = Ω0 ∪ Ω00 Thay  bởi 1/(m −j+1) ta có bấtđẳng thức (1.9) Định lí được chứng minh

1.4 Không gian Hm,k(QT), Hm,k(QT, S1)

Giả sử Ω là một miền trong Rn và T = const > 0

Kí hiệu QT = Ω × (0, T ) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (0, T )} và gọi nó là trụvới chiều cao T và đáy Ω

Định nghĩa 1.4.1 Hm,k(QT) là không gian bao gồm tất cả các hàmu(x, t) ∈ L2(QT), sao cho đạo hàm suy rộng Dαu ∈ L2(QT),|α| ≤ m và

Giả sử Ω là miền bị chặn trong Rn với biên ∂Ω = Γ1∪Γ2, Γ1∩Γ2 =

∅, hơn nữa Ω thỏa mãn tính chất đoạn

Với mỗi T, 0 < T < ∞, kí hiệu QT = Ω× (0, T ) là trụ đáy Ω vớichiều cao T , QT = Ω× [0, T ], ST = ∂Ω × (0, T ) là mặt xung quanh củatrụ; S1 = Γ1 × (0, T ), S2 = Γ2 × (0, T )

qp là

ma trận liên hợp phức chuyển vị của apq) và apq liên tục trong QT khi

|p| = |q| = m Ta giả thiết thêm rằng toán tử L(x, t, D) thỏa mãn điều

Trường hợp đặc biệt: khi m = 1 bài toán hỗn hợp đối với hệ (2.3)

là bài toán sau:

i

Xn p,q=1

với ν là pháp vectơ đơn vị ngoài với mặt S2 và phương trình thỏa mãnđiều kiện Schrodinger đều trong miền QT:

2.2 Tính giải được của bài toán

Trong mục này ta đi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất của nghiệmsuy rộng của bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình Schrodinger tronghình trụ QT

Bổ đề 2.2.1 ([2], Bổ đề 0.2.2) (bất đẳng thức Gronwall-Bellman dạngtích phân)

Giả sử u, Φ là những hàm không âm, khả tích trên đoạn [t0, T ] vàthỏa mãn

Hơn nữa, nếu Φ(t) có đạo hàm Φ0(t) và Φ0(t) khả tích trên [t0, T ] thì

Từ đây suy ra khẳng định thứ hai của bổ đề Bổ đề được chứng minh.Nhận xét:

a) Nếu Φ ≡ C = const trên [t0, T ] thì ta có

với mọi u ∈ Hm,0(QT, S1), hầu khắp t∈ [0, T ].

Định lí 2.2.1 Giả sử với hằng số dương µ,

sup{ ∂apq

∂t

: (x, t) ∈ QT, 0 ≤ |p|, |q| ≤ m} ≤ µ

Khi đó bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình (2.3) có không quá mộtnghiệm suy rộng trong Hm,0(QT, S1)

Chứng minh Giả sử bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình (2.3) cóhai nghiệm suy rộng u1, u2 trong không gian Hm,0(QT, S1)

Đặt u = u1− u2 ∈ Hm,0(QT, S1) Khi đó u là nghiệm suy rộng củabài toán trong không gian Hm,0(QT, S1) với f = 0,

u(x, s)ds

dϕ

Do | ∂t | bị chặn, sử dụng bất đẳng thức Cauchy và (2.12), ta nhận đượckη(x, 0)k2H m (Ω) ≤ Ckη(x, t)k2H m,0 (Q b ), (C = µm∗/µ0 > 0, m∗ =

m

X

|p|=1

1)(2.15)Đặt

2C] Lí luận tương tự, ta có u1 ≡ u2 trên [ 1

2C,C1] Tiếptục như vậy sau một số hữu hạn bước ta nhận được u1 ≡ u2 với hầukhắp t ∈ [0, T] Định lí được chứng minh

2.2.2 Sự tồn tại nghiệm suy rộng

Sự tồn tại nghiệm được chứng minh bằng phương pháp xấp xỉGalerkin Trước hết ta chứng minh bổ đề sau cho phép thu hẹp hàmthử

Bổ đề 2.2.3 Giả sử {ϕk(x)}∞k=1 là một cơ sở của không gian Hm(Ω),trực chuẩn trong L2(Ω) Đặt

Hm,1(QT, S1) = {η(x, t) ∈ Hm,1(QT, S1), η(x, T ) = 0}

Khi đó tập hợp M trù mật trong ˆHm,1(QT, S1)

Chứng minh Bằng phương pháp trực giao hóa Gram-Schmidt, ta có thểxây dựng một cơ sở {ψk(x)}∞k=1 trực chuẩn trong không gian Hm(QT) từ

Gh(t)dt =

Z T 0

lim

h →∞Gh(t)dt = 0 (2.17)Mặt khác, do w(x, t)∈ C∞(QT), nên

∂Gh

∂t dt =

Z T 0

kv(x, t) − Sh(x, t)kH m,1 (Q T ) < ,với h đủ lớn, Sh(x, t)∈ M∗ trù mật trong không gian ˆHm,1(QT, S1) Do

đó M cũng trù mật trong ˆHm,1(QT, S1) Bổ đề được chứng minh

Định lí 2.2.2 Giả sử

i) Với hằng số dương µ, |∂apq

∂t | ≤ µ, với mọi 0 ≤ |p|, |q| ≤ m và mọi(x, t)∈ QT;

ở đó C = const > 0, không phụ thuộc vào u, f

Chứng minh Giả sử {ϕk(x)}∞

k=1là một hệ hàm trong không gian Hm(Ω, Γ1),sao cho bao đóng của bao tuyến tính của nó chính là Hm(Ω, Γ1) và trựcchuẩn trong L2(Ω) Ta tìm nghiệm xấp xỉ uN(x, t) dưới dạng

CkN(0) = 0, k = 1, , N (2.19)

Vì các hệ số của (2.18) là các tích phân của các hàm liên tục trong miềnđóng bị chặn QT, nên các hệ số này là các hàm bị chặn Mặt khác, dohàm f(x, t) ∈ L2(QT) và ϕl ∈ Hm(Ω, ∂Ω1) nên các số hạng tự do thuộcL(0, T ) Theo định lí Caratheodory ta luôn giải được duy nhất đối vớihàm CN

l (t) Hơn nữa tồn tại các đạo hàm của ClN(t) đến cấp hai thuộcL(0, T ) Như vậy, hàm uN(t) được xác định

Ta đi chứng minh một ước lượng đối với uN không phụ thuộc vào

N Nhân cả hai vế của (2.18) với dCN

l (t)/dt, sau đó lấy tổng theo l từ 1tới N, ta được

i,(2.21)

ở đó Ci = const, không phụ thuộc vào N, i = 1, 2

...

Khi tốn hỗn hợp hệ phương trình (2.3) có khơng q mộtnghiệm suy rộng Hm,0(QT, S1)

Chứng minh Giả sử toán hỗn hợp hệ phương trình (2.3) cóhai... Tính giải toán< /h3>

Trong mục ta nghiên cứu tồn nghiệmsuy rộng tốn hỗn hợp hệ phương trình Schrodinger tronghình trụ QT

Bổ đề 2.2.1 ([2], Bổ đề 0.2.2) (bất đẳng thức Gronwall-Bellman... data-page="29">

với ν pháp vectơ đơn vị ngồi với mặt S2 phương trình thỏa mãnđiều kiện Schrodinger miền QT:

2.2 Tính giải toán< /h3>

Trong mục ta nghiên