Bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình Schrodinger trong trụ với đáy là miền với biên không trơn 90

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 —————————— NGUYỄN BÌNH BÀI TOÁN HỖN HỢP ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER TRONG TRỤ VỚI ĐÁY LÀ MIỀN VỚI BIÊN KHÔNG TRƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 —————————— NGUYỄN BÌNH BÀI TOÁN HỖN HỢP ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER TRONG TRỤ VỚI ĐÁY LÀ MIỀN VỚI BIÊN KHÔNG TRƠN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng HÀ NỘI, 2009 i LỜI CẢM ƠN Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trườ ng Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, cá c thầy, cô giáo giảng dạy đã giúp đỡ trong quá trình học tập, thực hiện đề tài, hoàn thành luận văn tốt nghiệp và kết thúc tốt đẹp chương trình cao học. Đặc biệt, tác giả xin cảm ơn PGS. TSKH Nguyễn Mạnh Hùng - Trường Đại học sư phạm Hà Nội - đã trực tiếp hướng dẫn tận tình trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn chỉnh đề tài. Tác giả cũng xin cảm ơn các bạn học viên trong lớp đã giúp đỡ và có những đóng góp quí báu cho bản luận văn này. Hà Nội, tháng 9 năm 2009 Tác giả ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận vă n là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS. TSKH Nguyễn Mạnh Hùng. Trong khi nghiên cứu Luận văn, tôi đã kế thừa thành quả kho a học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 9 năm 2009 Tác giả iii Mục lục Danh mục kí hiệu iv Mở đầu 1 1 Không gian Sobolev 4 1.1 Trung bình hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Đạo hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Không gian W m p (Ω), o W m p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Không gian H m,k (Q T ), H m,k (Q T , S 1 ) . . . . . . . . . . . . 17 2 Bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình Schrodinger trong trụ với 2.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Tính giải được của bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.1 Tính duy nhất nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . 23 2.2.2 Sự tồn tại nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . 28 2.2.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 iv Danh mục kí hiệu • R n là không gian Euclid n−chiều. • Ω là một miền trong R n , tức là một tập mở liên thô ng, với biên ∂Ω. Ω = Ω ∪ ∂Ω. Nếu Ω  ⊂ Ω sao cho Ω  ⊂ Ω, thì ta viết Ω  ⊂⊂ Ω. Giả sử 0 < T < ∞, kí hiệu Q T = Ω × (0, T ) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (0, T )} là trụ trong R n+1 . Mặt xung quanh của nó là S T = ∂Ω×(0, T ) = {(x, t) : x ∈ ∂Ω, t ∈ (0, T )}. • x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ Ω, u(x, t) = (u 1 (x, t), . . . , u s (x, t)) là vectơ hàm phức; α = (α 1 , . . . , α n ) (α i ∈ N, i = 1, . . . , n) là đa chỉ số; |α| = α 1 + ···+ α n . Đạo hàm (suy rộng) cấp α được kí hiệu là D α = D α x = ∂ |α| ∂x α 1 1 . . . ∂x α n n ≡ ∂ |α| /∂x α 1 1 . . . ∂x α n n . Đặc biệt |D α u| 2 = s  i=1 |D α u i | 2 Trường hợp (x, t) ∈ Q T , để chỉ đạ o hàm (suy rộ ng) cấp l theo biến t ta viết u t l ≡ ∂ l u ∂t l ≡  ∂ l u 1 ∂t l , . . . , ∂t l u s ∂t l  . • Giá của một hàm là bao đóng của tập hợp tất cả các điểm mà hà m đó khác không và kí hiệu là supp. Kí hiệu C l (Ω) là tập hợp tất cả các hàm có các đạo hàm liên tục đến cấp l trong miền Ω, 0 ≤ l ≤ ∞, C 0 (Ω) = C(Ω) v và o C l (Ω) = o C (Ω) ∩C l (Ω), ở đó o C (Ω) là tập hợ p tất cả các hàm liên tục trong Ω và có giá compact t huộc Ω. • L p (Ω), 1 ≤ p < ∞ là không gia n bao gồm tất cả các hàm u(x) k hả tổng cấp p theo Lesbegue trong Ω với chuẩn u L p (Ω) =   Ω |u| p dx  1/p . • W m p (Ω), 1 ≤ p < ∞ là không gian bao gồm các hàm u(x) ∈ L p (Ω), sao cho đạo hàm suy rộng D α u ∈ L p (Ω), |α| ≤ m, với chuẩn u W m p (Ω) =   |α|≤m  Ω |D α u| p dx  1/p . Nói r iêng, khi p = 2 ta dùng kí hiệu H m (Ω) thay cho W m 2 (Ω) u H m (Ω) =   |α|≤m  Ω |D α u| 2 dx  1/2 . • o W m p (Ω) là bao đóng của o C ∞ (Ω) trong không gian W m p (Ω). • H m,k (Q T ) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x, t) ∈ L 2 (Q T ), sao cho đạo hàm suy rộng D α u ∈ L 2 (Q T ), |α| ≤ m và u t l ∈ L 2 (Q T ), 1 ≤ l ≤ k với chuẩn u H m,k (Q T ) =   |α|≤m  Q T |D α u| 2 dxdt + k  l=1  Q T |u l t | 2 dxdt  1/2 . Nói r iêng u H m,0 (Q T ) =   |α|≤m  Q T |D α u| 2 dxdt  1/2 . • Giả sử ∂Ω = Γ 1 ∪Γ 2 ; Γ 1 ∩Γ 2 = ∅, S 1 = Γ 1 ×(0, T ). Kí hiệu C ∞ (Ω, Γ 1 ) là tập hợp các hàm liên t ục trên Ω, triệt tiêu gần mặt Γ 1 . H m (Ω, Γ 1 ) là vi không gian con của H m (Ω) sao cho C ∞ (Ω, Γ 1 ) trù mật trong H m (Ω, Γ 1 ) theo chuẩn của H m,k (Q T ). • H m,k (Q T , S 1 ) là không gian con của H m,k (Q T ) có tập hợp trù mật trong nó là các hàm t huộc C ∞ (Q T ), triệt tiêu gần mặt S 1 . 1 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết các bài toán biên tổng quát trong các miền với biên trơn đến nay đã khá hoàn thiện [4, 5, 6]. Các bài toán biên ban đầu đối với phương trình và hệ phương trình k hông dừng trong các hình trụ với đáy là miền với biên không trơn được xét không nhiều. Các bài toán biên ban đầu đối với hệ Schrodinger đã được x ét trong công trình [2, 8, 10]. Các bài toán biên loạ i này đối với hệ phương trình Parabolic cũng đã được nghiên cứu [9]. Trong các công trình này đã nhậ n được các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng và các kết q uả về tính trơn cũng như biểu diễn tiệm cận của ng hiệm. Bài toán biên ban đầu thứ nhất và thứ hai đối với hệ phương trình hyperbo lic đã được nghiên cứu tro ng các công trình [7, 11], ở đó đã nhận được các kết quả về tính giải được, tính trơn và biểu diễn tiệm cận nghiệm suy rộng trong các l ân cận của điểm kỳ dị. Bài toán biên hỗn hợp trong các miền trụ với đáy là miền với biên không trơn đến nay còn được xét rất ít. Lý do trên đề tài được chọn: Bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình Schrodinger trong t rụ với đáy là miền với biên không trơn. 2 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn là nghiên cứu bài to án hỗn hợp đối với hệ phương trình Schrodinger trong hình trụ với đáy là miền với biên không trơn, nhận được các định lý về sự tồn tạ i duy nhất nghiệm suy rộng trong không gian kiểu Sobolev. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Bài toán biên hỗn hợp đối với hệ Schrodinger trong hình trụ với đáy là miền với biên không trơn; nghiên cứu không gian kiểu Sobolev; nghiên cứu nghiệm suy rộng. 4. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp được sử dụng là phương pháp Galerkin, các phương pháp của giải tích hàm để đánh giá bất đẳng thức, phương pháp t ìm giới hạn. 5. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài Nhận được các định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng của bài toán biên hỗn hợp trong lý thuyết tổng quát về các bài toán biên đối với hệ không dừng trong miền với biên không trơn. G óp phần ho àn thiện l ý thuyết giải các bài toán biên trong miền với điểm kỳ dị của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng. [...]... hiệu H m,k (QT , S1) là không gian con của không gian H m,k (QT ) có tập hợp trù mật trong nó là các hàm u(x, t) thuộc C ∞(QT ), triệt tiêu gần mặt S1 19 Chương 2 Bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình Schrodinger trong trụ với đáy là miền với biên không trơn 2.1 Đặt bài toán Giả sử Ω là miền bị chặn trong Rn với biên ∂Ω = Γ1 ∪ Γ2 , Γ1 ∩ Γ2 = ∅, hơn nữa Ω thỏa mãn tính chất đoạn Với mỗi T, 0 < T 0,... vectơ trong QT ; √ i = −1 Hàm u(x, t) được gọi là nghiệm suy rộng trong không gian H m,0(QT , S1) của bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình (2.3) và điều kiện ban đầu (2.4) khi và chỉ khi u(x, t) ∈ H m,0 (QT , S1) và thỏa mãn m (−1) m−1 (−1)|p| i |p|,|q|=0 apq Dq uDp ηdxdt + uηtdxdt = QT QT f ηdxdt, QT (2.5) với mọi hàm thử η(x, t) ∈ H m,1 (QT , S1), η(x, T ) = 0 Trường hợp đặc biệt: khi m = 1 bài toán. .. gọi là nghiệm suy rộng trong không gian H 1,0 (QT , S1) của bài toán (2.6)-(2.8) khi và chỉ khi u(x, t) ∈ H 1,0 (QT , S1) và thỏa mãn n i − QT apq p,q=1 ∂u ∂η + a00 uη ∂xq ∂xp u dxdt + ∂η dxdt = ∂t QT f ηdxdt, QT với mọi hàm thử η(x, t) ∈ H 1,1(QT , S1), η(x, T ) = 0 2.2 Tính giải được của bài toán Trong mục này ta đi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng của bài toán hỗn hợp đối với hệ. .. Trường hợp k = 0, số hạng thứ hai trong vế phải của (1.14) coi như không có Không khó khăn có thể kiểm tra được H m,k (QT ) là một không gian Banach Hơn nữa, nó là không gian Hilbert với tích vô hướng được sinh ra từ chuẩn (1.14) o Định nghĩa 1.4.2 H m,k (QT ) là bao đóng trong không gian H m,k (QT ) của tập hợp tất cả các hàm u(x, t) thuộc C ∞ (QT ) triệt tiêu gần biên ST o H m,k (QT ) cũng là một không. .. QT = Ω × (0, T ) là trụ đáy Ω với chiều cao T , QT = Ω × [0, T ], ST = ∂Ω × (0, T ) là mặt xung quanh của trụ; S1 = Γ1 × (0, T ), S2 = Γ2 × (0, T ) Xét toán tử vi phân ma trận cấp 2m m Dp (apq Dq ), L(x, t, D) = (2.1) |p|,|q|=0 trong đó apq = apq (x, t) là ma trận cấp s × s với các phần tử là các hàm giá trị phức đo được bị chặn trong QT , apq = (−1)|p|+|q|a∗ (a∗ là qp qp ma trận liên hợp phức chuyển... 2) Tiếp theo, ta chứng minh Wp (Ω) là không gian đầy m Giả sử {uj }∞ là dãy Cauchy trong Wp (Ω), tức là với mỗi số tự j=1 nhiên k: |α|≤m Ω |Dα (uj − uj+k )|p dx → 0, j → ∞ 11 Đối với mỗi α, dãy {Dα uj }∞ là dãy Cauchy trong Lp(Ω) Bởi vì Lp (Ω) j=1 là không gian đầy, nên tồn tại một hàm uα ∈ Lp(Ω) sao cho (1.4) |Dα uj − uα |p dx → 0, j → ∞ Ω Đặc biệt u0 ∈ Lp (Ω), tức là (1.5) |uj − u0 |p dx → 0, j →... 1.3.2 Không gian Wp (Ω), 1 ≤ p < ∞ là bao đóng của o m C ∞ (Ω) trong chuẩn của không gian Wp (Ω) Chú ý: 10 0 a) Wp (Ω) = Lp (Ω) m b) Ta kí hiệu H m (Ω) thay cho W2 (Ω) Không gian H m (Ω) là một không gian Hilbert cùng với tích vô hướng (u, v)H m(Ω) = Ω |α|≤m Dα u · Dα vdx, u, v ∈ H m (Ω) Định lí 1.3.1 ([1], Định lí 4.5) Giả sử Ω là một miền trong Rn và m m ≥ 0, 1 ≤ p < ∞ Khi đó Wp (Ω) là một không . dị. Bài toán biên hỗn hợp trong các miền trụ với đáy là miền với biên không trơn đến nay còn được xét rất ít. Lý do trên đề tài được chọn: Bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình Schrodinger trong. rụ với đáy là miền với biên không trơn. 2 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn là nghiên cứu bài to án hỗn hợp đối với hệ phương trình Schrodinger trong hình trụ với đáy là miền với biên. các miền với biên trơn đến nay đã khá hoàn thiện [4, 5, 6]. Các bài toán biên ban đầu đối với phương trình và hệ phương trình k hông dừng trong các hình trụ với đáy là miền với biên không trơn