Tính trơn của nghiệm suy rộng của bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình parabolic mạnh trong trụ với đáy là miền với biên không trơn

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI -***** - VŨ THU HÀ TÍNH TRƠN CỦA NGHIỆM SUY RỘNG CỦA BÀI TOÁN HỖN HỢP ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC MẠNH TRONG TRỤ VỚI ĐÁY LÀ MIỀN VỚI BIÊN KHƠNG TRƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI, 2010 DANH MỤC KÝ HIỆU ● R không gian Euclide n - chiều ( n  ) n ● Kí hiệu  miền , tức tập mở liên thông, với biên       Nếu    cho    ta viết    Giả sử  T   Kí hiệu n+1 R QT     0,T     x,t  : x ,t  0,T   Mặt xung quanh ST     0,T     x,t  : x , t  0,T   ,   1, , n  x   x1, x2 , , xn  , t   0,T  , u  x,t    u1  x,t  ,u2  x,t  , ,us  x,t    trụ vectơ hàm phức, dx  dx1 dxn đa số  i số nguyên không âm,       n Đạo hàm suy rộng cấp  kí hiệu    D D  x    x x n     / x x n , n  D u  s  D u i i1 n Trường hợp  x,t   QT , để đạo hàm suy rộng cấp k theo biến t ta viết kk k j s k k   / t  u  ui u u  u  s  , , , j k  tk k  t tk  t t t i1   Giả sử    , ,n  R Khi  1 n j  n 1 n ● Giá hàm bao đóng tập hợp tất điểm mà hàm khác khơng kí hiệu supp Kí hiệu C   k tập hợp tất hàm có đạo hàm liên tục đến cấp k miền ,  k  ,C k C     C    C    , k  có giá compact thuộc  C      C    tập hợp tất hàm liên tục  - không gian vectơ hàm phức s chiều u(x) khả vi vơ hạn có C    giá compact  ● Lp    ,  p  , không gian Banach bao gồm tất hàm u(x) uL khả tổng cấp p theo Lebesgue  với chuẩn   p    p u dx   p ● L2,1 QT  không gian với chuẩn u  rộng H m   T        u 2dx  dt   0    L2 ,1QT       - Không gian vectơ hàm phức u  x có đạo hàm suy  D ui  x   L2    với,   m, 1 j  s với chuẩn: u Hm     2  D u dx   m     0   ● H    - bao đóng C  không gian H    m,k   - không gian vectơ hàm phức u x, t có đạo hàm suy H  m QT rộng theo m   D ui  x   L2    , u j t  L2 0,T   ,   m, 1 i s, 1 j  k thỏa mãn  1/ m 2 k u H m ,k (QT )       0  T D u dxdt Q m u H (QT )    0 Q T u j1 Q Nói riêng m ,0   D u dxdt T t j   dxdt   ● m,k H  Q T - bao đóng khơng gian H QT  tập hàm m,k vectơ hàm phức u  x,t  thuộc  C QT  triệt tiêu gần mặt xung quanh ST MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết toán biên miền không trơn lĩnh vực quan trọng lý thuyết phương trình đạo hàm riêng đại, nghiên cứu phát triển cách hệ thống từ năm 60 kỉ XX Lý thuyết toán biên tổng quát miền với biên trơn đến hoàn thiện [3, 4, 5] Các toán biên ban đầu phương trình hệ phương trình khơng dừng hình trụ với đáy miền với biên khơng trơn xét khơng nhiều Các tốn biên ban đầu hệ parabolic nghiên cứu [2, 8] Các toán biên ban đầu hệ schodinger xét cơng trình [ 7, 9] Trong cơng trình nhận kết tồn nghiệm suy rộng kết tính trơn biểu diễn tiệm cận nghiệm Bài toán biên ban đầu thứ thứ hai hệ phương trình hyperbolic nghiên cứu cơng trình [10, 11], nhận kết tồn nghiệm suy rộng, tính trơn nghiệm suy rộng khai triển tiệm cận nghiệm suy rộng lân cận điểm kì dị Bài tốn biên hỗn hợp miền trụ với đáy miền với biên không trơn đến xét Do đề tài chọn: “Tính trơn nghiệm suy rộng tốn hỗn hợp hệ phương trình parabolic mạnh trụ với đáy miền với biên khơng trơn” Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu toán hỗn hợp hệ phương trình parabolic mạnh hình trụ với đáy miền với biên không trơn, nhận định lí tồn nghiệm suy rộng tính trơn nghiệm suy rộng theo biến thời gian không gian kiểu Sobolev Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu cách đặt toán hỗn hợp hệ parabolic mạnh hình trụ với đáy miền với biên không trơn Nghiên cứu tồn nghiệm suy rộng tốn khơng gian Sobolev Nghiên cứu tính trơn nghiệm suy rộng theo biến thời gian Minh họa toán biên hỗn hợp hệ parabolic mạnh trụ với đáy miền với biên không trơn trường hợp cụ thể với m=1 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn Bài toán biên hỗn hợp hệ parabolic mạnh hình trụ với đáy miền với biên không trơn; nghiên cứu không gian kiểu Sobolev; nghiên cứu nghiệm suy rộng Phương pháp nghiên cứu Phương pháp sử dụng luận văn phương pháp chọn hàm thử Ladyzhenskaya để chứng minh tính nghiệm; phương pháp xấp xỉ Galerkin để chứng minh tồn nghiệm; kết bất đẳng thức nội suy để đánh giá bất đẳng thức; kiến thức giải tích hàm; kết tốn elliptic miền khơng trơn Những đóng góp khoa học, thực tiễn đề tài Các kết luận văn góp phần hồn thiện lí thuyết cách hệ thống tốn biên hệ khơng dừng miền với biên không trơn Đề tài phát triển tiếp lý thuyết tốn biên hệ phương trình Parabolic hình trụ với đáy miền với biên trơn M.I.Vishic M.S.Agranovich nghiên cứu trọn vẹn không đề cập vấn đề đáy miền với biên không trơn Đề tài phát triển phương pháp O.A Ladyzhenskaya xét tồn nghiệm phương trình parabolic trụ hữu hạn với đáy miền với biên không trơn kết nhận tồn nghiệm tính trơn theo biến thời gian với phương trình cấp hai Nội dung Luận văn bao gồm chương: Chương 1: Giới thiệu số kiến thức bổ trợ Chương 2: Trình bày cách đặt toán hỗn hợp hệ phương trình parabolic mạnh hình trụ với đáy miền với biên khơng trơn, trình bày nghiệm suy rộng, tồn nghiệm suy rộng tốn Chương 3: Trình bày kết nghiên cứu tính trơn nghiệm suy rộng theo biến thời gian toán hỗn hợp xét chương NỘI DUNG CHƯƠNG NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đạo hàm suy rộng Định nghĩa 1.1.1 Giả sử  miền không gian n R Một hàm v(x)  L1    gọi đạo hàm suy rộng cấp  hàm u(x)  L1      u  x D   x dx  1  v x  x dx   với  C     ,    , , n ,   1   n Đạo hàm suy rộng cấp  kí hiệu là:  D     Dx 1 2 x1 x2 xn  n  hay  1 2 n / x1 x2 xn Trường hợp (x, t)  QT để đạo hàm suy rộng cấp k theo biến t ta viết: ,  k k t k  u / t  k  k  t u1   k  t , , k t us  k   k Từ sau, khơng nói đặc biệt, ta hiểu hàm hàm vectơ phức u x,t   u1  x,t , ,us  x,t , x  x1, x2 , xn   , t  0,T  Chú ý: Từ công thức Green cổ điển suy hàm u(x) có đạo hàm thơng thường liên tục cấp  có đạo hàm suy rộng cấp  Từ định nghĩa đạo hàm suy rộng rút hàm u x có khơng đạo hàm suy rộng Một hàm có đạo hàm suy rộng khơng có đạo hàm theo nghĩa cổ có đạo ux x , x   1,1  , điển Ví dụ ta lấy hàm u  x    hàm suy rộng khoảng 1,1 Tuy nhiên, hàm khơng có đạo hàm thông thường điểm x  Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp  miền  có đạo hàm suy rộng cấp  miền  '    Thật vậy, giả sử D u  v  Cố định   C x  \     , ' ' , ta nhận   C '    Khi coi   x  với    Ta có hệ thức:    u(x)D (x)dx   u(x)D  (x)dx  '   (1)   v(x) (x)dx   (1)   v(x) (x)dx '  Từ ta có D u  '  v Đạo hàm suy rộng miền  ' gọi thu hẹp đạo hàm suy ' rộng  vào   b2  Ta dễ kiểm tra     , aD   D D D   bD   a, b số tuỳ ý  D a  10 Định lý 1.1.1 Giả sử  miền không gian  , cho khoảng cách  ' n R , ' miền  d > Khi đó, < h < d x  , ta có D u   x   D u   h h  x Ta xét trường hợp n = mối liên hệ đạo hàm suy rộng, đạo hàm thông thường tính liên tục tuyệt đối hàm khoảng hữu hạn (a,b) Ta nhắc lại định nghĩa liên tục tuyệt đối: Hàm u: a,b R gọi liên tục tuyệt đối, với   , tồn   cho với tập hữu hạn khoảng rời x , x , x ' 1 , , x ,x m với  ' x j x j , xm   a,b   u x  u x   ' m   , ta có ' m ' j j 1 j 1 Một hàm liên tục tuyệt đối khoảng hữu hạn (a, b) tồn hàm khả tổng g(x) đoạn cho f c số tùy ý x x   a, b   x    g  t  dt  c, a Định lí 1.1.2 Giả sử f(x) liên tục tuyệt đối khoảng hữu hạn (a, b) Khi tồn đạo hàm thơng thường f x hàm khả tổng (a ,b) f  x  hầu khắp (a ,b) Hơn nữa, f  x x f a    f t dt a   t q N p pq t j t a –  N a Du D u j Dqu t Nj D put N pq t q N a D u pq tj 1 Và a pq q p,q  1 m  t QT mp p,q 1 m  Re  1  q a pq D  Re m t  dxdt D pu N  t  p N D u j dxdt au pq D q NjuD p  p,q j t t Q 1 m  p j 1 Nj T mp p , q 1 N t u  1 dxdt q N p N a pq D u t j D u tj u a pq D q   t QT Q m t j 1  mp p,q 1  Re  N nên ta suy  1 – Re p t j m p m pq tj  1 p  q * a Re N p D u a D u D u N Nj 1 dxdt t T ua pq D q Nuj D p  t Nj 1 dxdt t QT 1 m  Re   1 mq p,q 1  Re m 1 m  p p , q 1 m  Re ua pq D q NjuD p  t Nj 1 dxdt t T   1 mq p  Q 1 m  p p , q 1 m t T Q p,q 1  Re m T p N q N j D u j 1 dxdt t a D u pq Q N q aqp D u t j D u j 1 ua pq D q Nuj D p t Q Nj 1 t T mp dxdt t T  N q N p N dxdt  Re   1 p,q 1 a Q T pq D utj D u t j 1 dxdt 40  Re  m q N m p a D u 1  p , q 1 pq p N Du tj dxdt t j 1 QT Thay vào (3.7) ta có biểu diễn số hạng đầu (3.6) dạng m  q j Re   1 m p t p , q 1 QT a pq u Q  1 p,q 1 T Re a D  t   1  a   t m p uN pq  m  Du D q  Re pq t  QT m    Re m p q  1 m Re s1 N t m p j  sQ N   j  m p   1 p , q 1 s1 j m 2 Re   1 m p , q 1 s1 j dxdt  N t  a Npq q  m u D pu dxdt N tsj D ts t j 1    0 N B u t,u j N t j t t s a  j     s t  j  Q j Re p t T  QT   1 Re p , q 1 s1 m t j p , q 1  j s j m uN  apq    t D q u N D puN dxdt    1 N j 1 j    t   1 j N t D u D u dxdt j  p , q 1   1 m B u N,u t j p D j p , q 1 p  m p m j N m p T   sQ T  j p   sQ  s1  a t  pq s pq N q D q D u s tj u t j s  D pu dxdt N t  j 1  D pu N dxdt tj t s1  sa D pu N s pq q tN t D u dxdt j js t T 41 (3.8)    0  Nhờ (ii) định lí điều kiện (3.3), ta kiểm tra B u N,u jt j từ (3.8) suy N t m  j q N p N m p Re a  1  u j p , q 1 QT   1 m B u ,u j j   Du D t  t   Re pq j 1 t m  a   1  dxdt Du D u  m p j j pq N t  Re   1 p , q 1 s1 j m p  Re p , q 1s11   m j Q a m p q N N t t  p pq q D   s s t   s1  j   apq N N u t j s D pu tN   s Q t s1 t t dx j D qu t j s D pu N dxdt tj T  j  m p  1   sQ  sa Npq T u D t s p , q 1 s1 q D pu N dxdt t j  s 1 tj (3.9) Kết hợp (3.6), (3.9) ta có utNj 1 L2 QT  N B u ,u 1m m p   1 p , q 1 s1  a m  Re   1 m p N tj j m   Re  t     t t j j   m  j  QT  m p pq  s  s    t q uN D tj dx D p u tNj t t s  pq q p t N t  j   N D u j D u dxdt j p , q 1 s a s1a  T pq N q u t  T p1, q s  j  m Re  t j m  p N D u dxdt sQ  1 Re p , q 1 s1 j m  Re  1m p  j –    s  QT js  a p , q 1 s1 m j j N T Re  1  s   s1  Q t j s D tjs tj t s1 s a p N s pq D uj q tN t D u j1 s dxdt t N u s u dxdt  t t j 1 f u dxdt N Re  Q t j t j 1 (3.10)  Do Bổ đề 2.2.1 ta suy 1m B u ,u N N   t   C u  x,t  N nhờ bất tj tj tj H m   đẳng thức Cauchy nên từ (3.11) suy u N t j 1 x,t    u L2    t   C  u j N x,   j H m   j1 t  x,t  t N u sN x,t  d   m  fj t s0    H   m  t L  QT  H 0  (3.11) C = const không phụ thuộc vào N Đặt t N J (t)   ut  x, j  H m    u  j1 u N x,t  c(t)  C   s t  s0 t j 1  x,   f H N m   j t L2    d t  u  L2 QT   x,  t d  jN  L2     Từ (3.11) ta có dJ (t) dt (3.12)  C  J (t)  c(t) Theo bất đẳng thức Gronwall – Bellman dạng vi phân suy t tC J (t)  e  c(t)dt Từ ta tìm thấy u j  x,t  j1 m ,1  fj  C  u s  x,t    m ,1  T  T  T N t N H Q   s0 t H t Q L Q  Khi j = h ta có bất đẳng thức u h  x,t  h1  C  u s  x,t   fh   (3.13) tN H QT  m ,1  s0 t N H QT  m ,1 t L2 QT   Nhờ giả thiết quy nạp, từ (3.13) ta có N uth H h m ,1  C Q T  fk t L2 QT  k 0 C = const không phụ thuộc vào N   QT  , Từ bất đẳng thức suy dãy u thN bị chặn khơng gian H dãy hội tụ yếu đến hàm u  h  m,1 T  x,t thuộc khơng gian H m,1 Q  Hơn từ tính chất hội tụ yếu ta có u (h) h H m ,1 Q  T Ta chứng minh hàm u Thật C k 0 ft k L Q (3.14) T h u  đạo hàm suy rộng cấp h theo biến t vậy, với v  x,t   C u QT N vdxdt  1 t h  h  QT  ta có N u v dxdt h t QT   Chuyển qua giới hạn theo dãy hội tụ yếu dãy u hN ta t   u  x,t  v  x,t dt  1h  h QT Vậy u(x,t) u  x,t  v h QT t  x,t dxdt có đạo hàm suy rộng cấp h theo t u h  u (h) t   Nhờ Định lí 2.2.2 ta kết luận có dãy dãy u h N t hội tụ yếu H m,1  Q T , S T với đạo hàm theo t đến cấp h tới nghiệm suy rộng cần tìm tốn hỗn hợp có tính chất Định lí 3.1.1 Từ (3.14) suy bất đẳng thức (3.1) Định lí chứng minh Nhận xét Từ Định lí 3.1.1 suy tính trơn nghiệm suy rộng theo biến thời gian phụ thuộc vào tính trơn theo t vế phải hệ số mà khơng phụ thuộc vào cấu trúc miền  3.2 Ví dụ minh hoạ Giả sử  miền bị chặn S     0,T  , S     0,T  T T n R ,   1  2 ,1  2  Ø, Ta xét toán: n   i, j1 u u   aij  x,t    xi  t 0   ut f  x,t   (3.15) x j 0 (3.16) u 10 (3.17) ST n u u NST2   aij  x,t  xj cos  , xi  S2T i, j1  vectơ pháp tuyến với mặt S , (3.18) a  x,t   a T ij  x,t  phương trình ji thoả mãn điều kiện parabolic miền QT : n  a  x,t    ij j   2, i   const  i, j1 (3.19) Khi hàm u x,t   nghiệm suy rộng tốn (3.15) - (3.18) khơng gian H  Q T , S T u  x,t   H 1,1 1,1 Q ,S T  T thoả mãn đồng thức tích phân   u   n   u t –  aij dxdt   T f  dxdt , T x j x i  i, j1 Q với   H 1,1 Q Q , S , T T   x,T   (3.20) Nghiệm u  x,t  thỏa mãn hệ (3.15), điều kiện ban đầu (3.16), điều kiện biên (3.17), (3.18) nghĩa đồng thức tích phân (3.20) điều 1,1 u  H  Q , S1  Thật u  x,t  nghiệm hệ thì: T T Từ (3.16) ta có   x n  aij  QT i, j1 i    dxdt  u dxdt    t x  QT j f dxdt  QT Áp dụng cơng thức tích phân phần thành phần thứ vế trái ta n – aij  u  u n dxdt    aij QT i, j1  cos  , x j ds   x j xi x j S i, j1 n u   u n dxdt    aij cos  , x j   aij  T x j xi Q i, j1 T     u  T S1 i, j1 T x j T  u dtdx   f dxdt t 0 QT u ds    ds ST2 N T  –  ut dt  dx    f dxdt QT Từ ta thấy điều kiện (3.16), (3.17), (3.18) điều kiện   H 1,1  Q , S1  ,   x,T   nên ta dễ dàng suy đồng thức tích T T phân (3.20) Áp dụng kết nghiên cứu ta có kết luận sau: Giả sử hệ số phương trình thoả mãn điều kiện ( 3.19) aij   t f  L2,1 QT  1, i, j  1, , n;  x,t   QT , 1  const  Khi tốn (3.15) – (3.18) có nghiệm suy rộng không gia 1,1 , S n H  Q T T  Hơn u H 1,1  QT  C f L2,1QT  , C số khơng phụ thuộc vào u, f Giả sử hệ số phương trình thoả mãn điều kiện ( 3.19) i  ii  ft k  L2 QT  , f iii   k 1a ij tk  x, 0  0, k  h  1,  2 , tk 1  i, j  n, k  h, 2  const , k  h,  x,t   QT , f  L2,1 QT  Khi nghiệm suy rộng u(x, t) tốn hỗn hợp (3.15) – (3.18) có đạo hàm theo t đến tận cấp h thuộc ut h H 1,1  Q T , S T có bất đẳng thức H 1,1 QT  h  C fk k 0 t   L2 ,1 QT C = const không phụ thuộc vào u, f KẾT LUẬN Nội dung luận văn trình bày kết tồn nghiệm suy rộng, tính trơn nghiệm suy rộng theo biến thời gian toán hỗn hợp hệ parabolic mạnh hình trụ với đáy miền với biên khơng trơn Tính giải tính trơn tiệm cận nghiệm suy rộng toán biên ban đầu thứ toán biên ban đầu thứ hai giải Trong luận văn này, tác giả đặt toán biên hỗn hợp: Điều kiện Dirichlet biên ST điều kiện Neumann biên ST ST  1 ,   1  2 , 1  2  Ø,  0,T , ST  2  0,T  Việc định nghĩa không gian H m,k  QT , ST  kết hợp với phương pháp chọn hàm thử Ladyzhenskaya, phương pháp xấp xỉ Galerkin để chứng minh tồn nghiệm, sở nghiên cứu tính trơn nghiệm suy rộng theo biến thời gian Tác giả mong muốn tiếp tục nghiên cứu tính trơn nghiệm theo biến không gian biểu diễn tiệm cận nghiệm lân cận điểm conic tốn hỗn hợp, sau phát triển tiếp tốn trụ vơ hạn, nhiên thời gian hạn chế, tác giả dừng lại kết ban đầu Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp giúp luận văn hồn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Mạnh Hùng (2008), Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, NXB Đại học sư phạm, Hà Nội [2] Nguyễn Mạnh Hùng, Phạm Triều Dương (2006), Bài toán biên thứ hệ parabolic hình trụ với biên khơng trơn, NXB Đại học sư phạm, Hà Nội [3] Nguyễn Mạnh Hùng (2010), Hệ phương trình Hyperbolic trụ khơng trơn, NXB Đại học sư phạm, Hà Nội Tiếng Anh [4] R A Adams (1975), Sobolev space, Academic Press, New York- San Francisco- London [5] M S Agranovich and M I Vishik (1964), Elliptic problems with a parameter and parabolic problems of general type, Usp Mat Nauk,19, No3, 53-161 [6] G Fichera (1972), Existense theorems in elasticity, Springer, New York-Berlin [7] N M Hung and C T Anh (2005), Asymptotic expansions of solutions of the first initial boundary value problem for schroringer systems in domains with conical points I, Math VietNam 30:3, 141-160 [8] N M Hung and P T Duong (2004), On the smoothness of the generalized solutions of a parabolic system in domains with conic points on the boundary, Ukrainian Math J, vol 56, No 6, 857- 864 [9] N M Hung and N T K Son (2008), Existence and smoothness ò solution to second initial boundary value problems for Schrodinger systems in cylinders with non- smooth bases, EJDE, Vol 2008, No 35, pp 1-11 [10] N M Hung (1999), Asymptotic behaviour of solutions of the first buondary-value problem for strongly hyperbolic systems near a conical point at the boundary of the domain, Math Sbornik, 19, 103-126 [11] A Kokatov and B A Plamenevssky (2005), On the asymptotic on solutions to the Neumann problem for hyperbolic systems in domain with conical point, English transl, St.Peterburg Math J, 16, No 3, 477506 ... họa toán biên hỗn hợp hệ parabolic mạnh trụ với đáy miền với biên không trơn trường hợp cụ thể với m=1 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn Bài toán biên hỗn hợp hệ parabolic. .. Tính trơn nghiệm suy rộng tốn hỗn hợp hệ phương trình parabolic mạnh trụ với đáy miền với biên không trơn 2 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu tốn hỗn hợp hệ phương trình parabolic. .. tồn nghiệm suy rộng, tính trơn nghiệm suy rộng khai triển tiệm cận nghiệm suy rộng lân cận điểm kì dị Bài toán biên hỗn hợp miền trụ với đáy miền với biên khơng trơn đến xét Do đề tài chọn: “Tính