Tính trơn của nghiệm suy rộng của bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình Schrodinger trong hình trụ với đáy là miền với biên không trơn

1 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường ĐHSP Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng - Trường ĐHSP Hà Nội, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quí báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn cũng như trong cuộc sống. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP Hà Nội 2, khoa Toán, Phòng Sau đại học, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Hà Nội, tháng 09 năm 2010 Tác giả 2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. TSKH Nguyễn Mạnh Hùng. Luận văn không hề trùng lặp với những đề tài khác. Hà Nội, tháng 09 năm 2010 Tác giả 3 MỤC LỤC Trang DANH MỤC KÍ HIỆU 04 MỞ ĐẦU 06 NỘI DUNG Chương 1. Những kiến thức chuẩn bị 09 1.1 Trung bình hoá 09 1.2 Đạo hàm suy rộng 10 1.3 Không gian   m H  13 1.4 Không gian   o m H  16 1.5 Không gian   ,m k T H Q 16 1.6 Bất đẳng thức Gronwall - Bellman 18 1.7 Bất đẳng thức Caratheodory 20 Chương 2. Tính trơn của nghiệm suy rộng của bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình schrödinger trong hình trụ với đáy là miền với biên không trơn 22 2.1 Đặt bài toán 22 2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng 26 2.3 Tính trơn của nghiệm suy rộng theo biến thời gian 37 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 4 DANH MỤC KÝ HIỆU * n  là không gian Euclide n - chiều. *  là một miền trong n  , tức là một tập mở liên thông, với biên  .      . Nếu     sao cho     thì ta viết     . Giả sử 0 T    . Kí hiệu         0, , : , 0, T Q T x t x t T      là trụ trong 1 n   . Mặt xung quanh của nó là         0, , : , 0, T S T x t x t T      . *   1 2 , , , , n x x x x     0, t T  ,           1 2 , , , , , , , s u x t u x t u x t u x t  là hàm vectơ phức. *   1 , , , n     trong đó i N   gọi là một đa chỉ số bậc 1 n       . Giả sử   1 , , n n       . Khi đó 1 1 n n        . Đạo hàm suy rộng cấp  được kí hiệu là 1 1 1 1 / . n n x n n D D x x x x                Trường hợp   , T x t Q  , để chỉ đạo hàm suy rộng cấp k theo biến t ta viết 1 / , , k k k k k k s k k k t u u t u t t t                  . * Giá của một hàm là bao đóng của tập hợp tất cả các điểm mà hàm đó khác không và kí hiệu là supp . * Kí hiệu   k C  là tập hợp tất cả các hàm có các đạo hàm liên tục đến cấp k trong miền  ,     0 0 , k C C       và       o o k k C C C      , ở đó   o C  là tập hợp tất cả các hàm liên tục trong  và có giá compact thuộc  . 5 *   , 1 , p L p     là không gian bao gồm tất cả các hàm   u x khả tổng cấp p theo Lebesgue trong  với chuẩn   1 p p p L u u dx           . *   2,1 T L Q là không gian với chuẩn     2,1 2 0 T T L Q L u u dt          . *   m H  là không gian bao gồm tất cả các hàm     2 u x L   , sao cho     2 D u x L    với mọi m   và có chuẩn được xác định bởi công thức   1 2 2 0 m m H u D u dx                 . *   o m H  là bao đóng của   o C   trong chuẩn của   m H  . 6 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Lý thuyết các bài toán biên elliptic trong các miền với biên trơn và không trơn đã được nghiên cứu khá hoàn thiện. Các bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình không dừng (prabolic, hyperbolic, schrödinger) trong các miền với biên trơn cũng đã được nghiên cứu khá hoàn thiện. Tuy nhiên lý thuyết các bài toán biên tổng quát đối với hệ không dừng trong các hình trụ với đáy không trơn vẫn được nghiên cứu chưa hoàn thiện [5], [8], [10]. Các bài toán biên ban đầu đối với phương trình, hệ phương trình schrödinger trong hình trụ với đáy là miền chứa điểm góc đã được nghiên cứu trong các công trình [4], [6]. Trong các công trình này đã nhận được các nghiệm suy rộng trong không gian kiểu Sobolev, hơn nữa còn nhận được các kết quả về đặc tính nghiệm. Bài toán biên ban đầu thứ nhất và thứ hai đối với hệ phương trình hyperbolic đã được nghiên cứu trong các công trình [7], [9], ở đó đã nhận được các kết quả về tính giải được, tính trơn và biểu diễn tiệm cận nghiệm suy rộng trong các lân cận điểm kì dị. Chính vì lý do trên đề tài được chọn là: “Tính trơn của nghiệm suy rộng của bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình schrödinger trong hình trụ với đáy là miền với biên không trơn”. 7 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn là nghiên cứu tính trơn của nghiệm suy rộng của bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình schrödinger trong trụ với đáy là miền với biên không trơn, nhận được các định lí về tính trơn của nghiệm suy rộng theo biến thời gian. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là: Nghiên cứu cách đặt bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình schrödinger trong hình trụ với đáy là miền với biên không trơn. Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng của bài toán trong không gian Sobolev. Nghiên cứu tính trơn của nghiệm suy rộng theo biến thời gian. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận văn là Bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình schrödinger trong hình trụ với đáy là miền với biên không trơn; nghiên cứu không gian Sobolev; nghiên cứu nghiệm suy rộng. 8 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp được sử dụng trong luận văn là phương pháp xấp xỉ Galerkin và phương pháp chọn hàm thử của Ladyzhenskaya để chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán, các kết quả về bất đẳng thức nội suy để đánh giá bất đẳng thức, phương pháp tìm giới hạn. 6. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài Nhận được các định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm; các định lí về tính trơn của nghiệm suy rộng theo biến thời gian. Góp phần hoàn thiện lý thuyết giải các bài toán biên trong miền với điểm kì dị của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng. 7. Nội dung Luận văn bao gồm hai chương Chương 1: Giới thiệu kiến thức bổ trợ, bao gồm các không gian hàm. Chương 2: Là nội dung chính của luận văn trình bày cách đặt bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình schrödinger trong trụ với đáy là miền với biên không trơn; trình bày nghiệm suy rộng, sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng; tính trơn của nghiệm suy rộng theo biến thời gian của bài toán hỗn hợp. 9 NỘI DUNG Chương 1 Những kiến thức chuẩn bị 1.1 Trung bình hoá Định nghĩa 1.1. Giả sử   x  là một hàm không âm thuộc   o n C   sao cho         , 0, 0 x x x x         nếu 1 x  và   1 n x     . ( 1.1 ) Hàm   x  được gọi là nhân trung bình hoá. Để chỉ ra ví dụ, ta có thể lấy hàm sau:     2 1 exp , 1, 1 0, 1 C x x x x x                        với hằng số C được chọn để điều kiện ( 1.1 ) được thoả mãn. Với 0 h  , ta đặt   , n n h x x h x h             . Khi đó       o , 0, 0 n h h h C x x         nếu   , 1. n h x h x dx      Định nghĩa 1.2. Nếu hàm   , 1 p u L p    thì hàm     n h x y u x h u y dy h             10 được xác định trong n  và trơn vô hạn. Nó được gọi là trung bình hoá hay hàm trung bình của hàm u . Định lí 1.1. Giả sử hàm   p u L   với 1 p  . Khi đó   0 lim 0 p h L h u u     . Định lí 1.2. i) Nếu   1 ,f g L   thì         h h f x g x dx f x g x dx      . ii) Nếu   1 f L   và     0 f x x dx     với mọi   o C     thì 0 f  hầu khắp nơi. 1.2 Đạo hàm suy rộng Định nghĩa 1.3. Giả sử  là một miền trong không gian n  . Một hàm     1 v x L   được gọi là đạo hàm suy rộng cấp  của hàm     1 u x L   nếu           1 u x D x dx v x x dx           ( 1.2 ) với mọi   o C     , ở đó   1 1 , , , n n           . Đạo hàm suy rộng cấp  được kí hiệu là: 1 2 1 2 1 2 1 2 / n n x n n D D x x x x x x                    . Trường hợp   , , T x t Q  để chỉ đạo hàm suy rộng cấp k theo biến t ta viết 1 / , , k k k k k k s k k k t u u t u t t t                  . [...]...   của x   có đạo hàm suy rộng trên U và x   là một nghiệm của ( 1.4 ) trên U theo nghĩa của đạo hàm suy rộng Các kết quả này vẫn đúng nếu J là lân cận một phía của t0 , tức là J  t   : 0  t  t0  r0  Khi đó U  t   : 0  t  t0  r1 Nếu các giả thiết i ) , ii) được thoả mãn với K   n thì U  J 22 Chương 2 Tính trơn của nghiệm suy rộng của bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình. .. trình schrödinger trong hình trụ với đáy là miền với biên không trơn 2.1 Đặt bài toán Giả sử  là miền bị chặn trong  n với biên  :   1  2 , 1  2   , hơn nữa  thoả mãn tính chất đoạn Với mỗi T , 0  T   , kí hiệu QT     0, T  là trụ đáy  với chiều cao T , QT     0, T  , ST     0, T  là mặt xung quanh, S1  1   0,T  , S2   2   0,T  Xét toán tử vi phân... điều kiện ( 2.7 ), ( 2.8 ) và điều kiện   x, t   H 1,1  QT , S1  ,   x, T   0 nên dễ dàng suy ra ( 2.9 ) 2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng Trong mục này ta đi nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm suy rộng của bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình schrödinger trong hình trụ QT Kí hiệu m B  u , v  t   p   1  a p , q 0 pq D q uD p v dx  Bổ đề 2.1 Tồn tại hai... m  1, ( 2.4 ) j  0, , m  1 Hệ ( 2.3 ) với các điều kiện ( 2.4 ) được gọi là bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình Schrödinger tổng quát trong trụ hữu hạn QT ; ở đó L  x, t , D  là 24 toán tử trong ( 2.1 ); f : QT   s là các hàm vectơ cho trước trong i  1 ; v  ju  j N ju QT ; là pháp vectơ đơn vị ngoài mặt S1 Trong ( 2.4 ),  0, j  0, , m  1 được gọi là điều kiện Dirichlet và S1 S2... 0, j  0, , m  1 được gọi là điều kiện Neumann của bài toán ( 2.3 ) – ( 2.4 ) Hàm u  x, t  được gọi là nghiệm suy rộng trong không gian H m,1  QT , S1  của bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình ( 2.3 ) - ( 2.4 ) khi và chỉ khi u  x, t   H m,1  QT , S1  và thoả mãn i  1 m 1 m p   1  a p , q 0 pq D q uD pdxdt  QT  u dxdt   f  dxdt t QT ( 2.5 ) QT với mọi hàm thử   x, t ... tồn tại nghiệm của bài toán bằng phương  pháp xấp xỉ Garlerkin Giả sử k  x k 1 là một hệ hàm trong không gian H m  , 1  sao cho bao đóng của bao tuyến tính của nó chính là H m  , 1  và trực chuẩn trong L2    Ta tìm nghiệm xấp xỉ u N  x, t  dưới dạng 34 N u N  x, t    CkN  t k  x , k 1 ở đó CkN  t  i  1 N k 1 m 1 là nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp... Vậy không mất tính tổng quát ta luôn có thể giả thiết rằng  1 m B  u , u  t   0 u 2 H m  ( 2.12 ) với mọi u  H m,1  QT , S1  , hầu khắp t   0, T  Định lí 2.1 Giả sử với hằng số dương  ,  a  sup  pq :  x, t   QT ,0  p , q  m     t  Khi đó bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình ( 2.3 ) có không quá một nghiệm suy rộng trong H m,1  QT , S1  Chứng minh Giả sử bài toán. .. của đạo hàm suy rộng thấy ngay được đạo hàm suy rộng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm Nói chung, đạo hàm suy rộng bảo toàn được nhiều tính chất của đạo hàm theo nghĩa thông thường Tuy nhiên không phải là tất cả, chẳng hạn từ sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp  không suy ra được sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp nhỏ hơn  Sau đây ta xét một định lí về sự liên hệ giữa đạo hàm suy rộng và trung bình... ra rằng tính chất đoạn là đủ để đảm bảo rằng o  C   n trù mật trong không gian H m    Trong trường hợp riêng, không gian C k    trù mật trong H m    với m  1, k  m Định lí 1.10 Nếu  có tính chất đoạn thì tập hạn chế trên  của các hàm o  trong C    trù mật trong H n m    với m  1 Định lí 1.11 Giả sử  là miền bị chặn trong  n có tính chất đoạn Khi đó với   0 tồn tại hằng... T   0 Trường hợp đặc biệt: Khi m  1 bài toán hỗn hợp đối với hệ ( 2.3 ) là bài toán sau:  n   u i  a pq  a00u   ut  f ,  x, t   QT  p ,q 1 x p  xq   u  x,0   0, x  , u S  0, Nu S  0, 1 ( 2.6 ) ( 2.7 ) ( 2.8 ) 2 ở đó n Nu  N  x, t ,  x  u  a p , q 1 pq u cos  , x p  xq với  là vectơ đơn vị ngoài với mặt S 2 , f là hàm số cho trước và phương trình thoả mãn điều . Caratheodory 20 Chương 2. Tính trơn của nghiệm suy rộng của bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình schrödinger trong hình trụ với đáy là miền với biên không trơn 22 2.1 Đặt bài toán 22 2.2 Sự. đích của luận văn là nghiên cứu tính trơn của nghiệm suy rộng của bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình schrödinger trong trụ với đáy là miền với biên không trơn, nhận được các định lí về tính. do trên đề tài được chọn là: Tính trơn của nghiệm suy rộng của bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình schrödinger trong hình trụ với đáy là miền với biên không trơn . 7 2. Mục