Giả sử f : X → R là hàm Lipschitz địa phương trên không gian Banach X, X∗ là không gian đối ngẫu của X (X∗ gồm các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X).
Định nghĩa 1.5.3. Gradient suy rộng của hàm f tại x, ký hiệu¯ ∂f (¯x), tập
∂f(¯x) := ξ ∈ X∗ : f0(¯x, u) > hξ, ui,∀u∈ X . được gọi là dưới gradient suy rộng của F.H. Clarke.
Ví dụ 1.5.3. Xét X = R và cho f (x) = |x|. Khi đó f là hàm Lipschitz trên R với hằng số Lipschitz k = −1. Thật vậy, với x1, x2 ∈ R, ta có
|x1| 6 |x1 −x2|+|x2|,|x2| 6 |x2 −x1|+|x1|
suy ra
||x1| − |x2|| 6 |x1 −x2|. Bây giờ ta lấy x > 0. Khi đó
f0(x, v) = lim y→x t↓0 y +tv−y t = v suy ra ∂f (x) ={ζ ∈ R :v > ζv, v ∈ R} = {1}. Thật vậy, với v > 0, v−ζv > 0⇔ 1−ζ >0 suy ra ζ 61. Tương tự, với v 6 0 ta có ζ > 1. Do đó ζ = 1.
Trường hợp x < 0 thì ∂f(x) = {−1}.
Trường hợp x = 0 ta có f0(0, v) = v nếu v > 0 và f0(0, v) = −v nếu v < 0.
Ta có f0(0, v) = |v| suy ra ∂f(0) = {ζ ∈ R: |v| > ζv, v ∈ R}. Suy ra
Dưới đây là một số tính chất cơ bản của dưới vi phân Clarke.
Định lí 1.5.4. Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương với hằng số k tại ¯
x. Khi đó
(i) ∂f (¯x) 6= ∅, lồi, compăc, * - yếu trong X∗ và
kξk∗ 6k,(∀ξ ∈ ∂f (¯x)). (ii) Với mọi v ∈ X, ta có:
f0(¯x, v) =max{hξ, vi : ξ ∈ ∂f (¯x)}.
Mệnh đề 1.5.5. Giả sử C, D 6= ∅ (⊂ X), đóng; E, F 6= ∅ (⊂ X∗) lồi, đóng, *- yếu. Khi đó
(i) C ⊂D ⇔ σC(ζ) 6 σD(ζ),∀ζ ∈ X∗ (ii) E ⊂ F ⇔σE(x) 6σF (x),∀x ∈ X
(iii) E compăc * - yếu ⇔ σE (·) là hàm hữu hạn trên X
(iv) Hàm σ : X → R∪ {+∞} thuần nhất dương, dưới cộng tính, nửa liên tục dưới (mạnh hay yếu) và σ(·) 6= +∞⇔ tồn tại tập lồi, đóng * - yếu sao cho σ = σE(·). Tập E được xác định duy nhất.
Cho ánh xạ đa trị Γ : X → 2Y. Đồ thị của Γ là tập hợp GrΓ :=
{(x, y) : x ∈ X, y ∈ Γ (x)}.
Định nghĩa 1.5.4. Ánh xạ đa trị Γ được gọi là đóng nếu GrΓ đóng trong X ×Y.
Định nghĩa 1.5.5. Ánh xạ đa trị Γ được gọi là nửa liên tục trên tập X, nếu với ∀ε > 0,∃δ >0 sao cho
(∀x ∈ x¯+δBX),Γ (x) ⊂Γ (¯x) + εBY.
Định lí 1.5.6. Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương tại x. Ta có các¯ khẳng định sau đây
(i) ζ ∈ ∂f (¯x)⇔ f0(¯x, v) > hζ, vi,∀v ∈ X.
(ii) Giả sử các dãy {xi} ⊂ X,{ζi} ⊂ X∗ thoả mãn ζi ∈ ∂f(xi),{xi} hội tụ đến x,¯ ζ là điểm giới hạn của {ζi} theo tôpô * - yếu. Khi đó ζ ∈ ∂f (¯x) ( tức là ánh xạ đa trị ∂f(x) đóng * - yếu ).
(iii) ∂f(¯x) = ∩
δ>0 ∪
y∈x¯+δB∂f (y).
(iv) Nếu X hữu hạn chiều, thì ∂f nửa liên tục trên tại x.¯