Quy hoạch toàn phương trên tập lồi đa diện

Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Trang LỜI CẢM ƠN Bước đầu làm quen với việc tiến hành nghiên cứu khoa học nên em không khỏi bỡ ngỡ gặp nhiều khó khăn Để hoàn thiện khóa luận em nhận giúp đỡ thầy cô khoa Toán thầy cô trường ĐHSP Hà Nội đặc biệt tận tình bảo, đóng góp ý kiến quý báu thầy Hoàng Ngọc Tuấn thời gian qua Do điều kiện thời gian vốn kiến thức hạn chế chắn không tránh khỏi sai sót Em mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn để tìm ý tưởng tốt bổ sung cho khóa luận hoàn thiện tài liệu tham khảo thật bổ ích cho tất độc giả có niềm đam mê môn Toán Qua em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô tổ Giải tích, thầy cô khoa Toán đặc biệt thầy Hoàng Ngọc Tuấn hướng dẫn em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Đinh Thị Trang Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Trang LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận hoàn thành cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân, với giúp đỡ tận tình thầy Hoàng Ngọc Tuấn Bản khóa luận không trùng với kết tác giả khác Nếu trùng xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Rất mong đóng góp ý kiến bạn đọc để khóa luận hoàn thiện Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Đinh Thị Trang Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Trang MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Bài toán tối ưu 1.2 Bài toán quy hoạch lồi 1.3 Bài toán quy hoạch toàn phương tập lồi đa diện Chương Các định lý tồn nghiệm 13 2.1 Định lý Frank – Wolfe 13 2.2 Định lý Eaves 19 Chương Điều kiện cần đủ tối ưu 27 3.1 Điều kiện tối ưu bậc 27 3.2 Điều kiên để tối ưu bậc hai 31 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Trang Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Trang MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Quy hoạch toàn phương tập lồi đa diện, hay quy hoạch toàn phương với ràng buộc tuyến tính, dạng đặc biệt toán quy hoạch toán học Chúng nảy sinh nhiều lĩnh vực khác ứng dụng, từ tối ưu tổ hợp toán liệu Các điều kiện cần đủ cho tồn nghiệm toán tối ưu nghiên cứu kĩ lưỡng nhiều nhà toán học nhiều sách chuyên môn báo tạp chí Nhưng Quy hoạch toàn phương tập lồi đa diện trường hợp riêng toán tối ưu với cấu trúc đặc biệt, nên điều kiện tổng quát có, có đặc trưng riêng đơn giản tiện lợi, đáng để tìm hiểu, nghiên cứu Vì lý nên em chọn đề tài: Quy hoạch toàn phương tập lồi đa diện với hi vọng hiểu sâu nội dung toán tầm quan trọng Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu cấu trúc Quy hoạch toàn phương tập lồi đa diện Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu điều kiện cần đủ cho tồn nghiệm Quy hoạch toàn phương tập lồi đa diện Đối tượng phạm vi nghiên cứu Quy hoạch toàn phương tập lồi đa diện Phương pháp nghiên cứu Sử dụng lý luận, công cụ toán học phương pháp nghiên cứu lý thuyết tối ưu Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Trang Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận em gồm ba chương: Chương Kiến thức chẩn bị Chương Các định lý tồn nghiệm Chương Điều kiện cần đủ tối ưu Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Trang CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Bài toán tối ưu Nhiều toán lý thuyết thực tế thường mô tả dạng (P) f( ) với x  , f : n  n hàm xác định,   n     + tập số thực mở rộng, Ở đó, = [ , +] = kí hiệu không gian Euclidean n – chiều với chuẩn = với x = ( n ) tích vô hướng = n với x = (x1,…, xn), y = (y1,…, yn)  n trận Hình cầu mở Hình cầu đơn vị n T kí hiệu chuyển vị ma có tâm x bán kính  > kí hiệu B(x, ) Hình cầu đóng kí hiệu B(x, ) = y  , mũ : (x, ) Ta có < , (0, 1) kí hiệu (x, ) = y  Với tập  n :   , kí hiệu int, bd, tương ứng, sử dụng tôpô phần trong, tôpô đóng biên  Do tập đóng nhỏ int = x   :  > : B(x, )  , bd = Ta nói tập U  n lân cận x   U Ta viết lại toán (P) sau: n n có chứa , (int) tồn  > cho B(x, ) Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Trang minf(x) : x    Định nghĩa 1.1 (P) gọi toán quy hoạch toán học Ta gọi f hàm mục tiêu  tập ràng buộc (hay miền ràng buộc thỏa mãn (P)) Các phần tử  vectơ chấp nhận (P) Nếu  = n (P) toán tập ràng buộc Khi (P) gọi toán giới hạn Định nghĩa 1.2 Một vectơ chấp nhận +   gọi nghiệm (P) với x   Vectơ nghiệm địa phương (P)   gọi + tồn lân cận U cho (1.1) Tập tất nghiệm (tương ứng, tập nghiệm địa phương) (P) kí hiệu Sol(P) (tương ứng, loc(P) ) Định nghĩa 1.3 Giá trị tối ưu v(P) (P) xác định biểu thức Nếu  = (1.2) thì, quy ước v(P) = + Nhận xét 1.1 Có thể xảy trường hợp Sol(P)  loc(P) Hiển nhiên Nhận xét 1.2 Có thể xảy trường hợp loc(P) \ Sol(P) Nhận xét 1.3 Thay tìm giá trị cực tiểu, toán đưa tìm giá trị cực đại ( ) Một điểm max f(x) với x     thỏa mãn nghiệm toán ( ), với x   Điểm toán ( ) f( )    gọi nghiệm địa phương  tồn lân cận U cho f(x) Khóa luận tốt nghiệp f( ) với x   Đinh Thị Trang U Rõ ràng nghiệm toán ( ) nghiệm toán cực tiểu - f(x) với x   Do giá trị cực đại toán ( ) đưa giá trị cực tiểu toán (P) Nhận xét 1.4 Trong trường hợp v(P) số thực hữu hạn, xảy Sol(P) = 1.2 Bài toán quy hoạch lồi Định nghĩa 1.4 Ta nói   tập lồi n Tập lồi nhỏ chứa tập   (1.3) gọi bao lồi tập  kí hiệu Co Định nghĩa 1.5 Một hàm f : epif n  (x, ) : x  hàm lồi đồ thị n , n tập lồi không gian tích , (1.4)  Một hàm lồi cho lồi thường f(x) < + có x Một hàm f :  hàm lõm hàm n f(x) >  với x f định nghĩa hệ thức hàm lồi Ta có quy ước thường dùng sau với ( ∞) , với , , với , , với , = Khóa luận tốt nghiệp , inf = Tổ hợp Đinh Thị Trang , sup = = Chú ý hàm f : n  ý nghĩa bỏ qua  {+ } lồi x, y  n , t  (0, 1) (1.5) Thật vậy, theo định nghĩa, f hàm lồi tập epif định nghĩa (1.4) Có nghĩa n với t  (0, 1) x, y Tổng quát hơn, hàm f : n , ,    thỏa mãn  ,  {+ } lồi ) (Bất đẳng thức Jensen) n i (i = ), Định nghĩa 1.6 (P) gọi toán lồi (bài toán tập lồi)  tập lồi f hàm lồi Mệnh đề 1.1 Nếu (P) toán lồi Sol(P) = loc(P) (1.6) Định nghĩa 1.7 Nếu  không tập lồi (không lồi) f không hàm lồi ta nói (P) không toán lồi (dạng toán tính lồi) Định nghĩa 1.8 Cho hàm f : domf {x  n  n : , tập  < f(x) < +} gọi miền xác định hữu hạn f Cho điểm vectơ v  n (1.7)  domf , giới hạn ( ; v) (1.8) Khóa luận tốt nghiệp Bổ đề 3.1 Cho Đinh Thị Trang m , s thỏa mãn hệ (3.11) Lấy (3.12) Thế , , kí hiệu nón tiếp tuyến với Chứng minh Ta có, (3.13) Vì ta cần chứng minh đẳng thức khẳng bổ đề Giả sử Định nghĩa Từ (3.11) ta có Av + = Do Điều dẫn đến Để nhận bao hàm thức ngược lại, giả sử Ta cần chứng tỏ Từ (3.11) ta suy 35 , Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Trang Av = Do , ta có điều phải chứng minh □ Định lý 3.5 Điều kiện cần đủ để điểm nghiệm toán (2.27) hai điều kiện sau thỏa mãn: (i) , ; (ii) , = m Sự kiện tương đương với tồn cặp  s thỏa mãn hệ (3.11) thiết lập cách sử dụng Bổ đề Farkas số lập luận chứng minh Bổ đề 3.1 Sự tương đương tính chất (ii) Định lý 3.5 tính chất (ii) Định lý 3.4, dựa vào Bổ đề 3.1 Do Định lý 3.5 tương đương với Định lý 3.4 Chứng minh định lý 3.4 Điều kiện cần: Giả sử tồn nghiệm địa phương (2.27) Thế cho m Theo Hệ 3.2, tồn nghĩa tìm  n (3.14) thỏa mãn điều kiện (i) Định (3.12) Giả sử tính chất (ii) sai Thế ta n cho , , 36 , Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Trang Theo Bổ đề 3.1, Do đó, với đủ nhỏ ta có Vì , với (0, 1) đủ nhỏ, kiện mâu thuẫn với (3.14) Do (ii) Điều kiện đủ: Giả sử n m cho tồn kiện (i) (ii) thỏa mãn Ta phải chứng minh  n để điều nghiệm địa phương toán (2.27) Mục đích chứng minh phân tích nón tiếp tuyến thành tổng không gian nón lồi đa diện nhọn Đặt , có Định nghĩa , Lấy = , n biểu diễn phép chiếu trực giao lên Vì = , dẫn đến (3.15) Ta có (3.16) Thật vậy, với Khi , Do , 37 Khóa luận tốt nghiệp Vì Đinh Thị Trang Dẫn đến Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, cần lưu ý với , có biểu diễn M Ta K nón lồi đa diện nhọn Ta biết nón nón nhọn n Từ (3.16) dẫn đến K nón lồi đa diện Khi ta cần K nhọn Giả sử ngược lại, K không nhọn, với cho Mặt khác, từ (3.13) (3.16) dẫn đến Điều dẫn đến theo (3.16) ta có Khi Mặt khác, Do , điều mâu thuẫn Định nghĩa nhọn, ta có , Vì K nón lồi đa diện nón lồi đa diện nhọn Từ (i) dẫn đến Thật vậy, lấy (3.17) Từ (i) (3.13), Vì , dẫn đến (3.18) Từ (3.17) định nghĩa ta có 38 (3.19) Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Trang Vì K nón lồi đa diện, theo Định lý 19.1 Rockafellar (1970), K nón sinh hữu hạn Nghĩa tồn hệ gồm hữu hạn vectơ khác không , hệ gọi hệ sinh K, cho (3.20) Nếu số vectơ phải thuộc điều này, giả sử ngược lại rằng, tất phần tử thuộc hệ sinh Lấy vectơ khác không Để chứng minh , với j, Do có giá trị , từ (3.19) ta suy > Điều mâu thuẫn với giả thiết quát giả sử Nếu ) với Do , không giảm tổng , phần tử với khác , Bây ta chứng minh khẳng định sau Khẳng định Nếu cho nghiệm địa phương toán (2.27) không nghiệm (2.27), ta dãy  , Với , từ (3.15), ta có M + K Kết hợp điều với (3.20) ta suy tồn cho 39 Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Trang + Kí hiệu (3.21) dẫn tới Ta biết (tương ứng, (tương ứng, (3.22) ) vắng mặt biểu thức ) Xét hai trường hợp sau  Trường hợp 1: Tồn dãy (Nếu , cho tập rỗng với  Trường hợp 2: Tồn số cho với ) với Nếu xảy trường hợp 1, không giảm tổng quát ta giả sử Vì , từ (3.18) ta có = = Do Như Vì , , ta có (3.23) Do đó, từ Bổ đề 3.1 điều kiện (ii) ta suy , mâu thuẫn với (3.23) Nếu trường hợp xảy ra, không giảm tổng quát giả sử Với k, với ) không âm không đồng thời không, tồn số cho 40 Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Trang Rõ ràng phải tồn số với dãy cho Không giảm tổng quát giả sử Từ (3.21) (3.22), ta có = = + Trong trình biến đổi, ta sử dụng bất đẳng thức hệ Bổ đề 3.1 điều kiện (ii) Từ chứng minh trên, dẫn đến 0> + Chia (3.24) cho , lưu ý với (3.24) , cho sử dụng kiện sau Sự kiện Nếu , , điều mâu thuẫn 41 , ta có (3.25) Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Trang Những điều lại kiện Để chứng minh điều đó, trước hết ta thấy = Vì , dẫn tới Ta có Chỉ cần chứng minh rằng, với lại, giả sử tồn cho dãy Thế tồn Vì không hội tụ tới dãy với Ngược cho với , ta viết Thay dãy khác cần, ta giả sử, với (3.26) , Rõ ràng Ta phải có tồn số Thật vậy, cho , Do Có nghĩa , , Khi nón K không nhọn, điều mâu thuẫn Ta không Nếu dãy hội tụ tới giới hạn vectơ khác bị chặn, không giảm tổng quát giả sử dãy Cho , từ (3.26) suy = 42 , điều Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Trang mâu thuẫn Nếu dãy không bị chặn, không giảm tổng quát giả sử dãy hội tụ tới Từ (3.26) dẫn đến Cho ta có = , điều vô lý Định nghĩa 3.2 Một điểm toán gọi nghiệm địa phương chặt , tồn □ n  n hàm thực cho Tất nhiên, nghiệm địa phương chặt toán cực tiểu nghiệm địa phương toán Điều ngược lại nói chung không Các định lý sau mô tả điều kiện cần đủ (bậc hai) để điểm nghiệm địa phương chặt toán quy hoạch toàn phương Định lý 3.6 Điều kiện cần đủ để điểm n nghiệm địa phương chặt toán (2.27) tồn cặp vectơ m  s cho (i) hệ (3.11) thỏa mãn, (ii) cho , , , Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử tồn nghiệm địa phương chặt (2.27) Thế cho 43 (3.27) Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Trang m Theo Hệ 3.2, tồn  n cho điều kiện (i) thỏa mãn Giả sử tính chất (ii) không sai Khi ta cho Từ Bổ đề 3.1, Do đó, với ta có Vì với đủ nhỏ, mâu thuẫn với (3.27) Do (ii) n Điều kiện đủ: Giả sử có mãn (i) (ii) Ta cần  n thỏa nghiệm địa phương chặt toán (2.27) Đặt I = {1, 2, …, m}, m cho tồn Lấy M, , K, , lập luận chứng minh Định lý 3.4 Thế tính chất từ (3.15) – (3.20) thỏa mãn Nếu không nghiệm địa phương chặt toán (2.27), ta tìm dãy cho , Với k , từ (3.15), ta có Kết hợp với (3.20) ta kết luận tồn (3.21) Đặt trên, ) và thỏa mãn ta có (3.22) Tương tự (tương ứng, K \ ) có nghĩa (tương ứng, ) vắng mặt (3.22) Ta xét hai trường hợp sau:  Trường hợp 1: Tồn dãy (Nếu K \ , = cho với k hợp bao gồm trường hợp này.) 44 với Khi trường Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Trang  Trường hợp 2: Tồn số cho với Nếu trường hợp xảy ra, không giảm tổng quát ta giả sử Lập luận tương tự chứng minh trường hợp 1, ta có (3.28) Vì , ta có Do từ Hệ 3.1 từ giả thiết (ii) dẫn đến , trái với (3.28) Nếu trường hợp xảy không giảm tổng quát giả sử Xây dựng dãy (k  ) chứng minh Định lý 3.4 Khi tồn số cho , với với dãy Không giảm tổng quát ta giả sử Phân tích chứng minh Định lý 3.4 ta thấy + + Chia (3.29) cho , ý (3.29) với j = , cho sử dụng kiện chứng minh trước, ta có (3.25) Điều mâu thuẫn với (3.19) K\ Do ta kết luận nghiệm địa phương chặt toán (2.27) □ Định lý 3.7 Điều kiện cần đủ để điểm n nghiệm địa phương chặt toán (2.27) hai tính chất sau thỏa mãn: 45 Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Trang (i) với , , (ii) = ; với vectơ khác không, Như ý cách xây dựng Định lý 3.5, tính chất m tương đương với tồn cặp  s thỏa mãn hệ (3.11) Sự tương đương tính chất (ii) Định lý 3.7 tính chất (ii) Định lý 3.6, xây dựng thông qua tập nhân tử Lagrange , dựa vào Bổ đề 3.1 Do Định lý 3.6 tương đương với Định lý 3.7 n Định lý 3.8 Nếu tồn nghiệm địa phương chặt toán (2.27) cho với , (3.30) tập ràng buộc toán (2.27) Chứng minh n Cho nghiệm địa phương chặt toán (2.27) Theo Định lý 3.6, tồn cặp vectơ m  s cho hệ (3.11) thỏa mãn, cho , Cv = , , 46 Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Trang Như lập luận chứng minh Định lý 3.4, từ dẫn đến (3.17) thỏa mãn Để điều mâu thuẫn, giả sử không tồn cặp số dương mãn (3.30) Thế thì, với , tồn thỏa cho (3.31) Bất đẳng thức cho thấy hội tụ tới Không giảm tổng quát ta giả sử dãy với Dựa vào (3.31), ta có = Chia biểu thức cho cho với ta có , ta phải có Do với k (3.32) Vì Dựa vào (3.17), Do , từ (3.17) ta có Kết hợp với (3.32) dẫn tới > Chia bất đẳng thức cho cho , từ Bổ đề 3.1 mây thuẫn Vậy, có điều phải chứng minh 47 dẫn đến ta có Vì Điều □ Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Trang KẾT LUẬN Khóa luận trình bày cách có hệ thống khái niệm toán quy hoạch toàn phương hình tập lồi đa diện, điều kiện cho tồn nghiệm điều kiện tối ưu Qua nghiên cứu ta thấy rằng, toán có nhiều ý nghĩa lĩnh vực lý thuyết ứng dụng thực tế Do đó, nhận mối quan tâm nhiều nhà toán học người học toán tương lai 48 Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Trang TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tài liệu tiếng Việt [1] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXBĐHQGHN [2] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật B Tài liệu tiếng Anh [3] Lee, G.M., Tam, N.N., Yen, N.D.: Quadratic Programming and Affine Variational Inequalitities: A Qualitative Study, Series: Nonconvex Optimization and its Application, vol.78, Springer Verlag, New York (2005) [4] R.T.Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey [5] R.T.Rockafellar (1988), Frist – and second – order epi – differen – tiability in nonlinear programming, Transactions of the American Mathematical Society, 307, 75 – 108 [6] D.G.Luenberger [1984], Linear and Nonlinear Programming, 2nd ed., Addison – Wesley, Reading, MA 49 [...]... một hàm toàn phương là một ma trận đối xứng Định nghĩa 1.14 Bài toán (P) là một bài toán quy hoạch toàn phương (bài toán toàn phương) nếu f là hàm toàn phương và  là tập lồi đa diện Trong (1.16), nếu D là ma trận không thì f là một hàm afin Do đó lớp các bài toán tuyến tính là lớp con của lớp các bài toán quy hoạch toàn phương Trường hợp tổng quát, các bài toán toàn phương là các bài toán không lồi Rõ... sử f là hàm toàn phương và  là tập lồi đa diện Từ định nghĩa 1.12 cho thấy tập lồi đa diện , một ma trận A mn n m và một vectơ bất kì có tồn tại số m  bất kì sao cho = { } Điều này có nghĩa là Định lý Frank – Wolfe có thể phát biểu lại như sau: “ Nếu một hàm toàn phương bị chặn dưới trên tập lồi đa diện khác rỗng, thì bài toán cực tiểu cho bởi hàm trên có nghiệm” Nếu f là một hàm toàn phương nhưng... trong các dạng điển hình của bài toán tuyến tính) Chú ý biểu diễn của tập ràng buộc của bài toán quy hoạch toàn phương chính tắc khác với trong bài toán tuyến tính chính tắc Định nghĩa bài toán 11 Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Trang quy hoạch toàn phương ở trên được thông qua bởi mối liên kết chặt chẽ của bài toán quy hoạch toàn phương với bài toán tuyến tính bù Định nghĩa 1.15 Một ma trận D  nn... = khi Dẫn đến Điều đó cho thấy hai bài toán min và min{ } không có nghiệm Cho một hàm toàn phương và một tập lồi đa diện, kiểm tra xem hàm có bị chặn dưới trên tập đó hay không là một vấn đề khó khăn Trong phần tiếp theo ta sẽ thảo luận về định lý tồn tại của bài toán toàn phương khi đó ta sẽ có phương pháp giải quy t khó khăn này 2.2 Định lý Eaves Định lý 2.2 (Định lý Eaves) Bài toán (2.1) có nghiệm... nghiệm” Nếu f là một hàm toàn phương nhưng  không là tập lồi đa diện thì kết luận của Định lý 2.1 không đúng Ví dụ 2.1 Lấy với 2 mọi Ta 19 Cho có Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Trang , nhưng bài toán min không có nghiệm Nếu là tập lồi đa diện nhưng f không là hàm toàn phương, thì kết luận của Định lý 2.1 là không đúng Trong ví dụ sau, f là hàm đa thức bậc bốn của các biến và 2 Ví dụ 2.2 Cho Quan... phần tiếp theo Định lý 3.1 Cho là một vectơ chấp nhận được của bài toán quy hoạch toàn phương , trong đó D (i) Nếu nn s , và (3.1) là tập lồi đa diện là nghiệm địa phương của bài toán, thì (3.2) (ii) Nếu thì , (3.3) là một nghiệm địa phương của (3.1) và, hơn nữa, tồn tại và sao cho (3.4) Chứng minh (i) Cho là một nghiệm địa phương của (3.1) Chọn 29 sao cho Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Trang Lấy...  0, (b) ( ) = 0 (j = ( ) = 0 (i = ), ), (c) 0  f( ) + + 1.3 Bài toán quy hoạch toàn phương Định nghĩa 1.12 Tập   n được gọi là tập lồi đa diện nếu  có thể biểu n diễn bởi giao hữu hạn các nửa không gian con đóng của các vectơ khác không ,…,  n và các số thực = ,…, ; nghĩa là, tồn tại sao cho (1.15) Nói cách khác,  là tập nghiệm của một hệ gồm hữu hạn các đẳng thức tuyến tính (Ta thừa nhận... là tập Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Trang Do đó =0 Từ đó ta khẳng định khác không n , 0 là phương lùi xa của tập lồi đa diện (2.5) Vectơ được gọi là phương lùi xa của tập lồi  khác rỗng, nếu x + tv   t  0, x   Nhắc lại rằng tập bao gồm phần tử 0  n n và tất cả các vectơ thỏa mãn các điều kiện trên đây, được gọi là nón lùi xa của  Trong trường hợp này, từ (2.5) ta kết luận được rằng (2.6)... trận nửa xác định dương thì f là một hàm lồi Nếu D là hàm nửa xác định âm, thì hàm f cho bởi (1.16) là hàm lõm, với mọi x ,y và Trong trường hợp đó cho rằng D không là nửa xác định dương và cũng không là nửa xác định âm, ta nói , , là hàm toàn phương không xác định Bài toán toàn phương với hàm mục tiêu là hàm toàn phương không xác định gọi là bài toán toàn phương không xác định Chú ý Rõ ràng nếu f... lại như sau Áp dụng Định lý 2.2 vào bài toán quy hoạch toàn phương này ta có điều phải chứng minh Hệ quả 2.6 Lấy D  □ nn s , A mn ,C  toán quy hoạch toàn phương 27 sn ,c  n ,b  m và d  s Bài Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Trang 1 min  xT Dx  cT x : x  2 n  ,Ax  b,Cx  d   (2.27) có nghiệm khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn: (i) Tập ràng buộc khác rỗng; (ii) Nếu và (iii) Nếu ... phương tập lồi đa diện Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu điều kiện cần đủ cho tồn nghiệm Quy hoạch toàn phương tập lồi đa diện Đối tượng phạm vi nghiên cứu Quy hoạch toàn phương tập lồi đa diện Phương. .. nghiệp Đinh Thị Trang MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Quy hoạch toàn phương tập lồi đa diện, hay quy hoạch toàn phương với ràng buộc tuyến tính, dạng đặc biệt toán quy hoạch toán học Chúng nảy sinh nhiều lĩnh... ma trận vuông biểu diễn hàm toàn phương ma trận đối xứng Định nghĩa 1.14 Bài toán (P) toán quy hoạch toàn phương (bài toán toàn phương) f hàm toàn phương  tập lồi đa diện Trong (1.16), D ma trận