Quy hoạch toàn phương trên tập lồi đa diện

Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Trang LỜI CẢM ƠN Bước đầu làm quen với việc tiến hành nghiên cứu khoa học nên em không khỏi bỡ ngỡ gặp nhiều khó khăn Để hồn thiện khóa luận em nhận giúp đỡ thầy cô khoa Tốn thầy trường ĐHSP Hà Nội đặc biệt tận tình bảo, đóng góp ý kiến quý báu thầy Hoàng Ngọc Tuấn thời gian qua Do điều kiện thời gian vốn kiến thức hạn chế chắn khơng tránh khỏi sai sót Em mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn để tìm ý tưởng tốt bổ sung cho khóa luận hồn thiện tài liệu tham khảo thật bổ ích cho tất độc giả có niềm đam mê mơn Tốn Qua em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô tổ Giải tích, thầy khoa Tốn đặc biệt thầy Hoàng Ngọc Tuấn hướng dẫn em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Đinh Thị Trang LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận hồn thành cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân, với giúp đỡ tận tình thầy Hồng Ngọc Tuấn Bản khóa luận khơng trùng với kết tác giả khác Nếu trùng tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Rất mong đóng góp ý kiến bạn đọc để khóa luận hoàn thiện Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Đinh Thị Trang MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU NỘI DUNG .3 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Bài toán tối ưu 1.2 Bài toán quy hoạch lồi 1.3 Bài tốn quy hoạch tồn phương tập lồi đa diện Chương Các định lý tồn nghiệm 13 2.1 Định lý Frank – Wolfe 13 2.2 Định lý Eaves 19 Chương Điều kiện cần đủ tối ưu 27 3.1 Điều kiện tối ưu bậc 27 3.2 Điều kiên để tối ưu bậc hai 31 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Quy hoạch toàn phương tập lồi đa diện, hay quy hoạch toàn phương với ràng buộc tuyến tính, dạng đặc biệt toán quy hoạch toán học Chúng nảy sinh nhiều lĩnh vực khác ứng dụng, từ tối ưu tổ hợp toán liệu Các điều kiện cần đủ cho tồn nghiệm toán tối ưu nghiên cứu kĩ lưỡng nhiều nhà toán học nhiều sách chuyên môn báo tạp chí Nhưng Quy hoạch tồn phương tập lồi đa diện trường hợp riêng toán tối ưu với cấu trúc đặc biệt, nên ngồi điều kiện tổng qt có, có đặc trưng riêng đơn giản tiện lợi, đáng để tìm hiểu, nghiên cứu Vì lý nên em chọn đề tài: Quy hoạch toàn phương tập lồi đa diện với hi vọng hiểu sâu nội dung toán tầm quan trọng Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu cấu trúc Quy hoạch tồn phương tập lồi đa diện Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu điều kiện cần đủ cho tồn nghiệm Quy hoạch toàn phương tập lồi đa diện Đối tượng phạm vi nghiên cứu Quy hoạch toàn phương tập lồi đa diện Phương pháp nghiên cứu Sử dụng lý luận, cơng cụ tốn học phương pháp nghiên cứu lý thuyết tối ưu Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận em gồm ba chương: Chương Kiến thức chẩn bị Chương Các định lý tồn nghiệm Chương Điều kiện cần đủ tối ưu CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Bài toán tối ưu Nhiều toán lý thuyết thực tế thường mô tả dạng (P) f( ) với x , n f : □  □ hàm xác định, □ Ở đó, □ = [ , +] = □ + n □ kí hiệu không gian tập số thực mở rộng, Euclidean n – chiều với chuẩn = với x = ( n ) □ tích vơ hướng = với x = (x1,…, xn), y = (y1,…, yn)  n □ , mũ T kí hiệu chuyển vị ma n trận Hình cầu mở □ có tâm x bán kính > kí hiệu B(x, ) Hình cầu đóng kí hiệu B(x, ) = y  n □ : y  (x, ) Ta có < , (x, ) = Hình cầu đơn vị (0, 1) kí hiệu int, n □:   Với tập  , kí hiệu bd, tương ứng, sử dụng tôpô phần trong, tơpơ đóng biên  Do □ n tập đóng nhỏ có chứa , int= x : > : B(x, ) , bd = (int) n Ta nói tập U □ lân cận x □ tồn > cho B(x, ) U Ta viết lại toán (P) sau: minf(x) : x  Định nghĩa 1.1 (P) gọi toán quy hoạch toán học Ta gọi f hàm mục tiêu là tập ràng buộc (hay miền ràng buộc thỏa mãn n (P)) Các phần tử là vectơ chấp nhận (P) Nếu = □ (P) tốn khơng có tập ràng buộc Khi (P) gọi tốn khơng có giới hạn Định nghĩa 1.2 Một vectơ chấp nhận được gọi nghiệm (P) + với x  Vectơ  gọi nghiệm địa phương (P) tồn lân cận U +và cho (1.1) Tập tất nghiệm (tương ứng, tập nghiệm địa phương) (P) kí hiệu Sol(P) (tương ứng, loc(P) ) Định nghĩa 1.3 Giá trị tối ưu v(P) (P) xác định biểu thức Nếu = (1.2) thì, quy ước v(P) = + Nhận xét 1.1 Có thể xảy trường hợp Sol(P) loc(P) Hiển nhiên Nhận xét 1.2 Có thể xảy trường hợp loc(P) \ Sol(P) Nhận xét 1.3 Thay tìm giá trị cực tiểu, tốn đưa tìm giá trị cực đại ( ) max f(x) với x  Một điểm thỏa mãn nghiệm toán ( ), và với x  Điểm được gọi nghiệm địa phương toán ( ) f( ) f(x) và tồn lân cận U cho  ... phương tập lồi đa diện Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu điều kiện cần đủ cho tồn nghiệm Quy hoạch toàn phương tập lồi đa diện Đối tượng phạm vi nghiên cứu Quy hoạch toàn phương tập lồi đa diện Phương. .. KHẢO 45 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Quy hoạch toàn phương tập lồi đa diện, hay quy hoạch toàn phương với ràng buộc tuyến tính, dạng đặc biệt toán quy hoạch toán học Chúng nảy sinh nhiều lĩnh... tài: Quy hoạch toàn phương tập lồi đa diện với hi vọng hiểu sâu nội dung toán tầm quan trọng Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu cấu trúc Quy hoạch toàn phương