Tập lồi đa diện và ứng dụng trong quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu

Nhiều bài toán tối ưu tuyến tính một hay nhiều mụctiêu được giải hiệu quả nhờ khai thác cấu trúc của tập lồi đa diện, đặc biệt là cấutrúc đỉnh cạnh, diện, nón pháp tuyến .... Nón pháp tu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS.TS TRẦN VŨ THIỆU

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

1.1 Tập lồi và tập lồi đa diện 4

1.2 Hướng lùi xa của tập lồi đa diện 8

1.3 Biểu diễn tập lồi đa diện 11

2 Nón pháp tuyến của tập lồi đa diện 18 2.1 Nón pháp tuyến của tập lồi 18

2.2 Nón pháp tuyến âm của tập lồi đa diện 25

3 Phương pháp nón pháp tuyến 28 3.1 Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính 28

3.2 Thuật toán nón pháp tuyến 32

3.2.1 Tìm đỉnh hữu hiệu ban đầu 33

3.2.2 Tìm các đỉnh hữu hiệu và cạnh hữu hiệu 34

3.2.3 Tìm các diện hữu hiệu số chiều lớn hơn 1 38

3.2.4 Tìm các diện hữu hiệu (n -1) chiều 41

3.2.5 Tập hữu hiệu trong R2 và R3 413.3 Ví dụ minh họa 43

cone{a1, a2, a3}: Nón sinh bởi hệ véctơ {a1, a2, a3}

Nc(X): Nón pháp tuyến của C tại x

ri(A): Phần trong tương đối của tập A

| I | : Số phần tử của I

a ≥ b: Quan hệ không âm

a > b: Quan hệ nửa dương

a >>b: Quan hệ thực sự dương

conv(X): Bao lồi của tập X

Danh sách hình vẽ

1.1 Tập A lồi, Tập B không lồi 61.2 Đường thẳng và véctơ chỉ phương 81.3 Tập lồi không bị chặn và hướng lùi xa 91.4 Biểu diễn tập đa diện qua đỉnh và cạnh vô hạn (hướng cực biên) 17

2.1 Tập X và nón X+ Hình 2.2 Nón cone{a1, a2, a3} ⊂ R3 192.2 Minh họa Bổ đề 2.2 và Mệnh đề 2.1 21

3.1 D1 vàD2:x1, x2 - đỉnh hữu hiệu,[x1, x2]- cạnh hữu hiệu 293.2 Sơ đồ khối Thuật toán 1: Tìm các cạnh hữu hiệu kềx0 373.3 Sơ đồ khối Thuật toán 2: Tìm các diện hữu hiệu`chiều kềx0 40

Mở đầu

Tập lồi đa diện có các tính chất rất đáng chú ý và được sử dụng rộng rãi trong

lý thuyết và ứng dụng, đặc biệt trong giải tích lồi và tối ưu hóa Tập lồi đa diện làmột dạng tập lồi có cấu trúc đơn giản và có thể được biểu diễn thông qua tập (hữuhạn) các đỉnh và cạnh của nó Nhiều bài toán tối ưu tuyến tính (một hay nhiều mụctiêu) được giải hiệu quả nhờ khai thác cấu trúc của tập lồi đa diện, đặc biệt là cấutrúc đỉnh cạnh, diện, nón pháp tuyến

Nón pháp tuyến là sự mở rộng khái niệm véctơ pháp tuyến của mặt cong trơn

đã biết trong giải tích cổ điển khi nghiên cứu cấu trúc các mặt cong và các tínhtoán trên mặt cong Nón pháp tuyến của tập lồi do Minkowski (1911) đưa ra đầutiên, sau đó là Fenchel (1953) để xử lý các đối tượng không trơn, như tập lồi.Rockafellar (1970) đã nghiên cứu có hệ thống về nón pháp tuyến của các tập lồi.Tiếp đó là nghiên cứu mở rộng của Morduhovic (1980) và Clark (1983) về xâydựng nón pháp tuyến qua các véctơ pháp tuyến gần kề và qua dưới vi phân của cáchàm Lipschitz

Năm 2000, Nguyễn Thị Bạch Kim và Đinh Thế Lục [5] đã đưa ra khái niệmnón pháp tuyến âm và xây dựng điều kiện tối ưu cho bài toán qui hoạch đa mụctiêu tuyến tính theo ngôn từ nón pháp tuyến Từ đó đề xuất phương pháp nón pháptuyến khá đơn giản để tìm các diện nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mụctiêu tuyến tính Có thể nói hiện nay nón pháp tuyến là một phương tiện không thểthiếu để thiết lập các điều kiện tối ưu cho các bài toán tối ưu không trơn Sau khi

được học về Giải tích lồi và các kiến thức toán học có liên quan, với mong muốntìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, các kiến thức mở rộng và ứng dụngcủa những kiến thức này, chúng tôi chọn đề tài luận văn

"Tập lồi đa diện và ứng dụng trong qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu"

Luận văn này có mục đích tìm hiểu, trình bày lại các kết quả chính về tập lồi đadiện và ứng dụng các kết quả này trong xây dựng cơ sở lý luận cho phương phápnón pháp tuyến [5] giải bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính

Nội dung luận văn được viết trong ba chương

Chương 1 "Cấu trúc tập lồi đa diện" trình bày những kiến thức cơ bản về tậplồi, tập lồi đa diện và các khái niệm liên quan (đỉnh, cạnh và diện của tập lồi đadiện, nón lồi và nón lồi đa diện, hướng lùi xa và nón lùi xa, ) Tập lồi đa diệnkhông bị chặn Tập lồi đa diện khác rỗng

Chương 2 "Nón pháp tuyến của tập lồi đa diện" trình bày một số kiến thứcchuẩn bị về nón pháp tuyến, nón pháp tuyến âm của tập lồi đa diện tại một điểm

và các khái niệm liên quan về tập chuẩn tắc và tập chuẩn tắc âm Đồng thời giớithiệu các kết quả nêu ra ở [5] làm cơ sở lý luận cho phương pháp nón pháp tuyếntìm nghiệm hữu hiệu (tối ưu Paeto) của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính.Chương 3 "Phương pháp nón pháp tuyến" trình bày chi tiết phương phápnón pháp tuyến đề xuất trong [5] tìm các đỉnh, cạnh và diện nghiệm hữu hiệu củabài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính trên tập lồi đa diện cho trước Các thuật toánđược mô tả chi tiết và diễn giải qua các sơ đồ khối và ví dụ minh họa:

-Thuật toán 1: Tìm các cạnh hữu hiệu đi từ đỉnh hữu hiệu x0 đã biết

-Thuật toán 2: Tìm các diện hữu hiệu `chiều kề đỉnh hữu hiệux0 đã biết

-Thuật toán 3: Tìm các diện hữu hiệu (n - 1) chiều.

-Thuật toán 4: Tìm tập điểm hữu hiệu trong R2,R3

Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn còn có nhữngthiếu sót nhất định, kính mong quý thầy cô và các bạn đóng gópý kiến để tác giảtiếp tục hoàn thiện luận văn sau này.

Nhân dịp này tác giả luận văn xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới GS TS Trần

Vũ Thiệu, người đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn Tác giả trântrọng cảm ơn các giảng viên Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên,Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam tạo mọi điềukiện thuận lợi trong quá trình học tập và nghiên cứu

Thái Nguyên, tháng 05 năm 2015 Tác giả

Nguyễn Thị Bích Hạnh

Chương 1

Cấu trúc tập lồi đa diện

Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về tập lồi, tập lồi đa diện, nón lồi

và nón lồi đa diện Đặc biệt lưu ý các khái niệm đỉnh, cạnh và diện của tập lồi đadiện, đặc trưng của các tập lồi đa diện không bị chặn, cách biểu diễn một tập lồi

đa diện qua các đỉnh và cạnh của nó Nội dung của chương được tham khảo từ cáctài liệu [1], [2], [3] và [4]

1.1 Tập lồi và tập lồi đa diện

Trước hết là những khái niệm liên quan tới tập afin trong Rn

Định nghĩa 1.1 (Tập afin) Tập M ⊆ Rn được gọi là tập afin (affine set) nếu

∀a, b ∈ M, λ ∈ R thì λa + (1 − λ)b ∈ M, tức là hễ M chứa hai điểm nào đó thì

M chứa trọn đường thẳng đi qua hai điểm ấy.

Một số tính chất cơ bản của các tập afin:

• Nếu M là tập afin thì a + M = {a + x : x ∈ M } cũng là một tập afin(a ∈Rn)

• Giao của một họ bất kỳ các tập afin cũng là một tập afin

• M ⊆ Rn là một tập afin khi và chỉ khi M = {x ∈ Rn : Ax = b} với

A ∈ Rm×n, b ∈Rm

• M 6= Ø là một tập afin khi và chỉ khi M = x0 + L với x0 ∈ M và L là

một không gian con L được xác định duy nhất và được gọi là không gian con

song song (parallel subspace) với M (M nhận được bằng cách tịnh tiến L tớiđiểmx0 ∈ M)

Định nghĩa 1.2 Bao afin (affine hull) của một tập E là giao của tất cả các tập

afin chứa E, ký hiệu aff(E) Đó là tập afin nhỏ nhất chứa E.

Định nghĩa 1.3 Thứ nguyên (hay số chiều - dimension) của một tập afin M được

định nghĩa bằng số chiều của không gian con song song với M.

Định nghĩa 1.4 (Tập lồi) TậpC ⊆ Rn được gọi là một tập lồi (convex set) nếu với mọix1, x2 ∈ C và mọi λ ∈ [0, 1]ta cóλx1+ (1 − λ)x2 ∈ C Thứ nguyên của tập lồi C, ký hiệu dim C, được định nghĩa bằng thứ nguyên của aff C (bao afin của C).

Theo Định nghĩa 1.4 thì tậpØ, tập gồm duy nhất một phần tử, tập afin và toàn

bộ không gian Rn đều là các tập lồi

Để hiểu rõ khái niệm tập lồi, ta nhớ rằng nếuλ ∈ [0, 1]thìλx1+ (1 − λ)x2 làđiểm thuộc đoạn thẳng nốix1vàx2trong Rn Chẳng hạn, khiλ = 1

là điểm nằm giữa x1 và x2 Ngược lại, với mỗi điểm x trên đoạn thẳng nối x1 và

x2 ta tìm được giá trịλ ∈ [0, 1] sao cho x = λx1 + (1 − λ)x2 Như vậy tập C lồi

có nghĩa là nếux1, x2 ∈ C thì mọi điểm trên đoạn thẳng nối x1 và x2 cũng thuộcC

Định nghĩa 1.5 (Tổ hợp lồi) Cho x1, · · · , xk ∈ Rn Nếu λ1, · · · , λk ∈ [0, 1] và

λ1+ · · · + λk = 1thìx = λ1x1+ · · · + λkxk gọi là một tổ hợp lồi (convex nation) củax1, · · · , xk và gọi là một tổ hợp lồi chặt (strictly convex combination) nếu0 < λi < 1với mọii = 1, · · · , k

combi-Hình 1.1: Tập A lồi, Tập B không lồi

Bổ đề 1.1 Giao của một số hữu hạn tập lồi trong Rn là một tập lồi.

Trong số các tập lồi thì tập đa diện có vai trò đặc biệt quan trọng và được dùngnhiều trong lý thuyết tối ưu Trước khi nêu định nghĩa tập đa diện, ta cần hiểu rõkhái niệm siêu phẳng và nửa không gian đóng

Định nghĩa 1.6 (Siêu phẳng) Cho véctơ a ∈ Rn, a 6= 0 và số b ∈ R Tập

H = {x ∈Rn|aTx = a1x1+· · ·+anxn = b}gọi là một siêu phẳng (hyperplane) trong Rn Đó là tập nghiệm của một phương trình tuyến tính trong Rn.

Ví dụ 1.1 Trong không gian 3 chiều R3, phương trìnhx1−2x2+3x3 = 4xác định một siêu phẳng trong R3 Đó là mặt phẳng gồm tất cả các điểm(x1, x2, x3) ∈ R3

Ví dụ 1.2 Trong mặt phẳng R2, xét siêu phẳng (trường hợp này là đường thẳng)

x1 + x2 = 2 Siêu phẳng này tạo ra hai nửa không gian

H1 = {x ∈ R2|x1 + x2 ≤ 2}và H2 = {x ∈ R2|x1 + x2 ≥ 2}.

Bổ đề 1.2 Mọi siêu phẳng và nửa không gian là các tập lồi.

Từ các định nghĩa 1.4 và 1.7, ta đi đến định nghĩa tập đa diện, đó là đối tượngnghiên cứu của hầu hết phần còn lại của chương này

Định nghĩa 1.8 (Tập đa diện) NếuP ⊆ Rn là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng thì P được gọi là một tập đa diện (polyhedral set).

Một cách hình thức, cho a1, · · · , am ∈ Rn, là tập hữu hạn các véctơ cột và

Mỗi bất phương trình hai, xi ≥ bi gọi là một ràng buộc (constraint) của P Ta

nói điểm x0 ∈ P thỏa mãn chặt ràng buộc i∗ nếu hai∗, x0i ≥ bi∗ Như vậy, tập

đa diện chính là tập nghiệm của một hệ bất phương trình tuyến tính Ax ≥ b với

A = [a1, · · · , am]T là ma trận cấpm × nvàb = (b1, · · · , bm)T ∈ Rmlà véctơ cộtvới các thành phần b1, · · · , bm Do mỗi phương trình tuyến tính có thể biểu diễntương đương bằng hai bất phương trình tuyến tính nên một tập đa diện cũng là tậpnghiệm của một hệ phương trình và bất phương trình tuyến tính

ai1x1 + ai2x2 + · · · + ainxn = bi, i = 1, · · · , p,

ai1x1 + ai2x2 + · · · + ainxn ≥ bi, i = p + 1, · · · , m

Bổ đề 1.3 Tập đa diện là một tập lồi (Vì là giao của m tập lồi).

Do tính chất này nên ta thường quen gọi tập đa diện là tập lồi đa diện

(poly-hedral convex set)

Một tập lồi đa diện có thể không bị chặn Một tập lồi đa diện bị chặn còn được

gọi là một đa diện lồi (polytope) Các đa giác lồi theo nghĩa thông thường trong

mặt phẳng (tam giác, hình chữ nhật, hình thang, ) là những ví dụ cụ thể về đadiện lồi

1.2 Hướng lùi xa của tập lồi đa diện

Mục này nêu một số đặc trưng của các tập lồi (đa diện) không bị chặn

Định nghĩa 1.9 (Đường thẳng) Cho hai véctơx0, d ∈ Rn(d 6= 0) Đường thẳng (line) đi quax0 theo hướng d là tập các điểmx(λ) = x0 + λdvớiλ ∈ R Véctơ d

gọi là véctơ chỉ phương (direction) của đường thẳng.

Ví dụ 1.3 Hình 1.2 vẽ đường thẳng đi qua x0 = (0, 1) theo hướng d = (2, 1) Đường thẳng này là tập điểm` = {(x1, x2) ∈ R2|x1 = 0 + 2λ, x2 = 1 + λ, λ ∈

R}.

Hình 1.2: Đường thẳng và véctơ chỉ phương

Định nghĩa 1.10 (Tia) Cho điểm x0 ∈ R và véctơ chỉ phương d ∈ Rn(d 6= 0) Tia (ray) đi từx0 theo hướng d là tập điểmΓ = {x|x = x0 + λd, λ ≥ 0}.

Ví dụ 1.4 Vớix0 = (0, 1)và d = (2, 1) như ở ví dụ trước, tia đi từ x0 theo hướng

d là tập điểmΓ = {(x1, x2) ∈ R2|x1 = 0 + 2λ, x2 = 1 + λ, λ ≥ 0} Đó là nửa đường thẳng l nằm trong góc phần tư thứ nhất vẽ ở Hình 1.2.

Tia đặc trưng cho tập lồi không bị chặn Cụ thể, một tập lồi là không bị chặnnếu ta chỉ ra nó chứa một tia Lớp tập lồi không bị chặn đáng chú ý là các nón lồi

Định nghĩa 1.11 (Nón lồi) Cho tập lồi K⊆Rn

Khi đó, K là một nón lồi (convex cone) nếu với mọi x ∈ K và mọi λ ≥ 0, ta có λx ∈ K Một tập lồi đa diện mà đồng thời là một nón lồi gọi là một nón lồi đa diện (polyhedral convex cone).

Theo định nghĩa trên, mọi nón lồi chứa gốc Hơn nữa, với mọi x ∈ K, λ ≥ 0thìλx ∈ K, cho nên nón lồi chứa tia 0 + λx ⊆ K, λ ≥ 0 Như vậy, mỗi nón lồichính là được tạo nên từ các tia đi từ gốc Một khái niệm quan trọng khác giúphiểu rõ các tập lồi không bị chặn là khái niệm hướng lùi xa và nón lùi xa Có thểhiểu hướng lùi xa như một hướng di chuyển mà từ một điểm bất kỳ thuộc tập lồikhông bị chặn ta có thể đi mãi mãi theo hướng đó và không bao giờ rời khỏi tậplồi đó

Định nghĩa 1.12 (Hướng lùi xa) Cho một tập lồiC ⊆ Rn Véctơd ∈ Rn, d 6= 0

gọi là một hướng lùi xa (recession direction) của C nếu với mọi x0 ∈ C tia đi từ

x0 theo hướng d nằm hoàn toàn trong C Một cách hình thức, ta phải có

{x|x = x0 + λd, λ ≥ 0} ⊆ C với mọix0 ∈ C.

Ví dụ 1.5 Xét tập lồi không bị chặn vẽ ở Hình 1.3 Tập này có hướng lùi xa d =

(1, 0)T Từ một điểm bất kỳ x0 ∈ C ta có thể vẽ một mũi tên hướng về bên phải (theo hướng d) với độ dài tùy ý mà mũi tên vẫn nằm trọn trong tập lồi C.

Hình 1.3: Tập lồi không bị chặn và hướng lùi xa

Tập lồi đa diện được sử dụng trong tối ưu hóa thường có thêm giả thiết P nằmtrong orthant dương của Rn (nghĩa là x≥ 0 là ràng buộc của P) Khi đó, có mốiquan hệ đáng chú ý sau giữa ma trận A xác định P và hướng lùi xa của P.

Định lý 1.1 Giả sửP ⊆ Rn là một tập đa diện xác định bởi

"Phần chỉ khi": Giả sử d là một hướng lùi xa của P Theo định nghĩa hướng lùi

xa, d6= 0 Hơn nữa, d là một hướng lùi xa của P khi và chỉ khi

A(x + λd) ≥ b, x + λd ≥ 0với mọiλ ≥ 0và mọi x ∈ P,

tứcx ∈ Rn thỏa mãn Ax ≥ b, x ≥ 0 Nhưng A(x + λd) = Ax + λAd ≥ b vớimọiλ ≥ 0 chỉ đúng nếu Ad ≥0 Cũng vậy, x + λd ≥ 0với mọi λ ≥ 0 chỉ đúngnếu d≥0

Hệ quả 1.1 NếuP0 = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0} Khi đó, d là một hướng lùi xa của P khi và chỉ khi Ad = 0, d≥0, d6= 0.

Định nghĩa 1.13 (Nón lùi xa) Nón lồi tạo nên bởi tập tất cả các hướng lùi xa của

một tập lồi C và véctơ 0 gọi là nón lùi xa (recession cone) của C, ký hiệu rec C

Ví dụ 1.6 Với các tập đa diện P vàP0 vừa xét ở trên thì

recP = {d ∈Rn : Ad ≥ 0, d ≥ 0} vàrecP0 = {d ∈ Rn : Ad = 0, d ≥ 0}

1.3 Biểu diễn tập lồi đa diện

Trước hết, ta đề cập tới khái niệm diện (nói riêng là đỉnh và cạnh) của một tậplồi và tập lồi đa diện

Định nghĩa 1.14 (Diện của tập lồi) Một tập con lồi F của một tập lồi C gọi là

một diện (face) của C nếu x, y∈ C mà λx + (1 − λ)y ∈ F, 0 < λ < 1 thì [x, y]

⊆F, nghĩa là một đoạn thẳng bất kỳ thuộc C mà có một điểm bên trong nó thuộc

F thì cả đoạn thẳng ấy phải nằm trọn trong F.

Tất nhiên, tập ∅ và bản thân C cũng là một diện của C Một diện của C, khác

∅ và khác C, gọi là một diện thực sự (proper face) của C Ví dụ, các diện thực sựcủa khối lập phương trong R3 là 8 đỉnh, 12 cạnh và 6 mặt của nó

Định nghĩa 1.15 (Điểm cực biên) Một diện có thứ nguyên (số chiều) 0 gọi là

một điểm cực biên (extreme point) của C Nói cách khác, x0 ∈ C là một điểm cực biên của C nếu không tồn tại x1, x2 ∈ C, x1 6= x0 hoặc x2 6= x0 sao cho

x0 = λx1 + (1 − λ)x2 với λ ∈ (0, 1) Điểm cực biên của tập đa diện P gọi là một đỉnh (vertex) của P.

Điểm cực biên của tập lồi C đơn giản chỉ là điểm thuộc C không thể biểu diễnđược dưới dạng một tổ hợp lồi chặt (Định nghĩa 1.5) của hai điểm khác nhau của

C Ta sẽ thấy rằng các điểm cực biên phải nằm ở những vị trí đặc biệt của tập lồi

Định nghĩa 1.16 (Điểm biên) Cho tập (có thể không lồi)C ∈ Rn Điểmx0 ∈ Rn

là điểm biên (boundary point) của C nếu với mọiε > 0ta có

Bổ đề 1.4 Cho C là một tập lồi Nếu x là một điểm cực biên của C thì x phải ở

trên biên của C.

Định lý sau nêu quan hệ giữa đỉnh của tập đa diện với giao của các siêu phẳng

Định lý 1.2 Giả sửP ⊆ Rn là tập lồi đa diện xác định bởi

P = {x ∈ Rn : Ax ≥ b}

trong đóA ∈ Rm×nvà b ∈ Rm Điểmx0 ∈ P là một đỉnh của P khi và chỉ khi x0

là giao của n siêu phẳng độc lập tuyến tính lập nên từ các ràng buộc của P.

Chứng minh.(⇐)Giả sửx0 ∈ P (tứcAx0 ≥ b) là giao của n siêu phẳng độclập tuyến tính, nghĩa là từ A có thể lấy ra ma trận không suy biến G ∈ Rn×n và

từ b lấy ra véctơ tương ứngg ∈ Rn sao choGx0 = g Nếu x0 không phải là mộtđỉnh của P thì tìm đượcx1, x2 ∈ P, x1 6= x0 hoặc x2 6= x0 và λ ∈ (0, 1)sao cho

x0 = λx1 + (1 − λ)x2

DoGx0 = g nên Gx0 = λGx1 + (1 − λ)Gx2 = b Mặt khác, dox1, x2 ∈ PnênGx1 ≥ g, Gx2 ≥ g Kết hợp với λGx1 + (1 − λ)Gx2 = b và0 < λ < 1 suy

ra Gx1 = Gx2 = b Do G không suy biến nênx0 = x1 = x2, ta gặp mâu thuẫn.Vậyx0 là một đỉnh của P

(⇒) Giả sử x0 là một đỉnh của P Theo Bổ đề 1.4, x0 là một điểm biên của

P và do đó có ít nhất một ràng buộc i nào đó của P thỏa mãn chặt tại x0, tức

ai, x0 = bi (vì nếu trái lại, x0 sẽ không thuộc biên của P) Giả thiết phản chứngrằngx0 là giao của r < n siêu phẳng độc lập tuyến tính (nghĩa là chỉ có r < n ràngbuộc xác định P thỏa mãn chặt tạix0) Khi đó, từ ma trận A có thể lấy ra ma trậncon G ∈ Rr×n và từ b lấy ra véctơ tương ứng g ∈ Rr sao cho Gx0 = g Cácsiêu phẳng độc lập tuyến tính kéo theo các hàng của G độc lập tuyến tính và do đóphương trình Gd = 0 có nghiệm khác 0 Tiếp đó, ta tìm được sốε> 0 sao choa)x1 = x0 + εdthỏa mãnGx1 = g ai, x1 > bi với mọi ràng buộc còn lại.b)x2 = x0 + εdthỏa mãnGx2 = g ai, x2 > bi với mọi ràng buộc còn lại

Từ a) và b) suy ra x1, x2 ∈ P vàx0 = (x1+ x2)/2, trái vớix0 là một đỉnh của

P Vậyx0 là giao của n siêu phẳng độc lập tuyến tính

Bổ đề 1.5 Số đỉnh của tập đa diệnP = {x ∈ Rn : Ax ≥ b, x ≥ 0} là dương và hữu hạn.

Định nghĩa 1.17 (Đỉnh suy biến) Cho tập đa diệnP = {x ∈ Rn : Ax ≥ b} Giả

sửx0 là một đỉnh của P Nếu x0 thỏa mãn chặt (với dấu bằng) đúng n ràng buộc xác định P thìx0 gọi là một đỉnh không suy biến (non-degenerate vertex), trái lại (x0 thỏa mãn chặt hơn n ràng buộc) thì x0 gọi là một đỉnh suy biến (degenerate vertex).

Cho tập đa diệnP 6= ∅ xác định bởi hệ bất phương trình tuyến tính

ai, x ≥ bi, i = 1, 2, · · · , m.Vớix ∈ P, ký hiệuI(x) = {i : ai, x = bi}là tập chỉ số những ràng buộc mà xthỏa mãn chặt ĐặtI0 = {i : ai, x = bi, ∀x ∈ P } Tính chất đặc trưng của cácdiện (nói riêng, các đỉnh và cạnh) của P được cho trong định lý sau (xem [6], tr.31)

Định lý 1.3 (Diện) Một tập con lồi khác rỗng F⊂ P là một diện thực sự của P khi và chỉ khi

F = {x : ai, x = bi, i ∈ I, ai, x ≥ bi, i /∈ I}

với I là tập chỉ số sao choI0 ⊂ I ⊂ {1, · · · , m}(I gọi là tập chỉ số xác định diện F) Hơn nữa, ta có dim F = n - rank{ai : i ∈ I}và dim P = n - rank{ai : i ∈ I0}.

Định nghĩa 1.18 (Cạnh và đỉnh kề) Một diện của tập đa diện P có thứ nguyên

1 gọi là một cạnh (edge): cạnh là hữu hạn nếu diện đó là một đoạn thẳng, cạnh

là vô hạn nếu diện đó là một nửa đường thẳng (tức tia) hay cả đường thẳng Hai đỉnh của P gọi là kề nhau (adjacent) nếu chúng được nối với nhau bằng một cạnh hữu hạn.

Từ Định lý 1.3 trực tiếp suy ra hệ quả sau

ai, x ≥ bi, i = 1, · · · , m thì: a) Điểm x0 ∈ P là một đỉnh của P khi và chỉ khi rank {ai : i ∈ I(x0)} = n, nghĩa làx0 thỏa mãn chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính của P;

b) Nếu một đoạn thẳng (nửa đường thẳng hay cả đường thẳng)Γ ⊂ P là một cạnh của P thìΓđược xác định bởi một tập chỉ số I sao cho rank{ai : i ∈ I} = n − 1.

Các cạnh vô hạn của tập lồi đặc trưng bởi các hướng cực biên theo nghĩa sau

Định nghĩa 1.19 (Hướng cực biên) Cho tập lồi C ⊆ Rn Hướng lùi xa d của

C gọi là một hướng cực biên (extreme direction) nếu không tồn tại hai hướng lùi xa d1, d2 khác của C (tức d1 6= d, d2 6= d) và hai số λ1, λ2 > 0 sao cho

d = λ1d1 + λ2d2.

Ví dụ 1.7 Góc không âm R2

+ = {x ∈ R2 : x1 ≥ 0, x2 ≥ 0} có hai hướng cực biên, đó là d1 = (1, 0)T và d2 = (0, 1)T, trong khi đó d = (1, 1)T cũng là một hướng lùi xa, nhưng không là một hướng cực biên, bởi vìd = d1 + d2.

Theo Định lý 1.1, nếu tập lồi đa diệnP = {x ∈ Rn : Ax ≥ b, x ≥ 0} thì tậpcác hướng lùi xa d của P được đặc trưng bởi hệAd ≥ 0, d ≥ 0, d 6= 0 Rõ ràng,nếu d1 là một hướng lùi xa thì d2 = λd1 với bất kỳ λ > 0 cũng là một hướng lùi

xa, vì cảd1 vàd2 đều thỏa mãn hệ vừa nêu và chúng biểu thị cùng một hướng Đểtách biệt các hướng lùi xa khác nhau, ta xét tập các hướng lùi xa chuẩn hóa

D = {d ∈ Rn : Ad ≥ 0, d ≥ 0, eTd = 1}

trong đóe ∈ Rn là véctơ với mọi thành phần 1 Ràng buộc chuẩn hóaeTd = 1đểtách ra những véctơ d có tổng các thành phần bằng 1

Định lý sau nêu mối liên hệ giữa hướng cực biên của P với các đỉnh của D

Định lý 1.4 Với các tập P và D như trên, véctơ d∈ D là một hướng cực biên của

P khi và chỉ khi d là một đỉnh của D.

Chứng minh.(⇒)Giả sử d là một đỉnh của D Nếu d không là một hướng cựcbiên của P thì tồn tại hai hướng lùi xa d1, d2 của P (d1 6= d, d2 6= d) và hai số

λ1, λ2 > 0 sao cho d = λ1d1 + λ2d2 Không giảm tổng quát ta có thể giả thiết

eTdi = 1 (i = 1, 2), bởi vì nếu cần ta có thể thay di bởi di/eTdi và điều chỉnh λithànhλieTdi

Khi đó, dod1, d2 là hướng lùi xa của P vàeTd1 = eTd2 = 1nên d1, d2 ∈ D

Từ biểu thứcd = λ1d1 + λ2d2 suy ra 1 = eTd = λ1eTd1 + λ2eTd2 = λ1 + λ2.Điều này chứng tỏ d là một tổ hợp lồi chặt (Định nghĩa 1.5), trái với giả thiêt d làmột đỉnh của D Vậy d là một hướng cực biên của P

(⇐)Ngược lại, giả sử d là một hướng cực biên của P với tổng các thành phầncủa d bằng 1 (ta có thể thay đổi tỉ lệ của d nếu cần để eTd = 1) Theo địnhnghĩa của hướng cực biên, d không thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp dươngcủa hai hướng lùi xa khác của P Nếu d không là một đỉnh của D thì phải có

d = λ1d1 + λ2d2 với d1, d2 ∈ D (tức d1, d2 là hướng lùi xa của P), λ1 + λ2 = 1

vàλ1, λ2 ∈ (0, 1) Điều này trái với giả thiêt d là một hướng cực biên của P Vậy d

là một đỉnh của D

Định lý 1.5 Giả sử P là một tập lồi đa diện khác rỗng Khi đó, P bị chặn khi và

chỉ khi P không có hướng lùi xa nào (tức là rec P = {0}).

Chứng minh Giả sử P bị chặn, nghĩa là P chứa được trong hình cầu B(x0, r)(tâmx0 ∈ Rn, bán kính r nào đó) Do đó

Bổ đề 1.6 Giả sử P là tập đa diện khác rỗng và không bị chặn Khi đó, số các

hướng cực biên của P là dương và hữu hạn.

Chứng minh Suy trực tiếp từ định lý 1.3 và bổ đề 1.5

Định lý sau đây cho một cách biểu diễn một tập đa diện qua các đỉnh và hướngcực biên của tập đó (tương ứng với các cạnh vô hạn của nó)

Định lý 1.6 (Biểu diễn tập đa diện) Cho P là một tập đa diện khác rỗng và không

bị chặn, xác định bởi P = {x ∈ Rn : Ax ≥ b, x ≥ 0} Giả sử P có các đỉnh

x1, · · · , xp và các hướng cực biên d1, · · · , dq Nếu x ∈ P thì tồn tại các hằng số

λ1, · · · , λpvàµ1, · · · , µq thỏa mãn

(Nếu tập đa diện bị chặn thì trong biểu diễn trên chỉ còn lại tổng thứ nhất).

Chứng minh xem trong [4], tr 65 - 67

Hình 1.4 minh họa Định lý 1.6 cho tập lồi đa diện bị chặn và không bị chặn Từhình vẽ cho thấy cách biểu diễn một điểm thuộc tập lồi đa diện qua các đỉnh vàcạnh vô hạn (mà đại diện là hướng cực biên) của tập đó

Hình 1.4: Biểu diễn tập đa diện qua đỉnh và cạnh vô hạn (hướng cực biên)

Tóm lại, chương này đã trình bày những kiến thức cơ bản về tập lồi, tập lồi đadiện và các khái niệm liên quan (đỉnh, cạnh và diện của tập lồi đa diện, nón lồi vànón lồi đa diện, hướng lùi xa và nón lùi xa, · · ·) Tập lồi đa diện không bị chặnđặc trưng bởi các hướng cực biên, đó là các hướng lùi xa tương ứng với các cạnh

vô hạn Tập lồi đa diện khác rỗng được hoàn toàn xác định khi biết các đỉnh vàcạnh vô hạn (hướng cực biên) của nó Số đỉnh và cạnh này là hữu hạn

Chương 2

Nón pháp tuyến của tập lồi đa diện

Chương này trình bày khái niệm về nón pháp tuyến của tập lồi đa diện tại mộtđiểm và nón pháp tuyến âm, cùng với một số khái niệm liên quan về tập chuẩn tắc,chuẩn tắc âm Đồng thời đề cập tới các kết quả trình bày ở [5] làm cơ sở lý thuyếtcho thuật toán tìm nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Nộidung của chương được tham khảo từ các tài liệu [2], [4] và [5],

2.1 Nón pháp tuyến của tập lồi

Mục này đề cập tới nón pháp tuyến của tập lồi và của tập lồi đa diện tại mộtđiểm Ký hiệu P là tập lồi đa diện xác định bởi hệ bất phương trình tuyến tính

ai, x ≥ bi, i = 1, · · · , m, (2.1)trong đó ai ∈ Rn, bi ∈ R(i = 1, · · · , m) Theo Định nghĩa 1.13 và Định lý 1.1,

nón lùi xa rec P là tập nghiệm của hệ bất phương trình tuyến tính thuần nhất

Hình 2.1: Tập X và nón X+ Hình 2.2 Nón cone {a1, a2, a3} ⊂ R3

Biến thể sau đây của bổ đề Farkas cho một dạng hiển của nón đối cực dương

của nón lùi xa rec P.

Bổ đề 2.1 Giả sử tập X được cho bởi hệ (2.2) Khi đó,X+ = cone{a1, · · · , am}.

Định nghĩa 2.3 (Nón pháp tuyến) Cho tập lồiC ⊆ Rn và điểmx0 ∈ C Tập

NC(x0) = {d ∈Rn : d, x − x0 ≤ 0, ∀x ∈ C}

được gọi là nón pháp tuyến ngoài (outward normal cone) của C tạix0(- NC(x0)

gọi là nón pháp tuyến trong của C tạix0).

Nón pháp tuyến của tập lồi và ứng dụng đã được R T Rockafellar nghiên cứuchi tiết Ở đây chủ yếu xét trường hợp C là tập lồi đa diện P cho bởi hệ (2.1) Côngthức tính nón pháp tuyến của P tạix0 ∈ P và các kết quả liên quan sẽ được trìnhbày với đầy đủ chứng minh, nhằm giúp thuận tiện sử dụng ở chương sau

Bổ đề 2.2 Giả sửx0 ∈ P thỏa mãn các phương trình và bất phương trình sau

ai, x = bi, i ∈ I(x0),

ai, x ≥ bi, i ∈ {1, · · · , m} \ I(x0), trong đóI(x0) ⊆ {1, · · · , m}là một tập chỉ số khác rỗng Khi đó

NP(x0) = cone{−ai : i ∈ I(x0)}.

Chứng minh Giả sửv ∈ cone{−ai : i ∈ I(x0)}, nghĩa là

v = − P

i∈I(x 0 )

λiai, λi ≥ 0, i ∈ I(x0),Khi đó, với mọi x∈ P ta có

v, x − x0 = − P

i∈I(x 0 )

λi( ai, x− ai, xi) ≤ 0

bởi vì với mọi i ∈ I(x0) ai, x0 = bi ai, x ≥ bi với mọi x ∈ P Do đó

v ∈ NP(x0) Ngược lại, giả sử v ∈ NP(x0) v, x − x0 ≤ 0với mọi x∈ P Ký hiệu cone (P − x0) là nón gồm các véctơ t(x-x0) với x∈ P và

t≥0, ta thấy

hv, yi ≤ 0, ∀y ∈ cone(P − x0) (2.3)

Ta sẽ chứng tỏ rằng cone (P -x0 ) trùng với tập

X = {y ∈Rn : ai, y ≥ 0}với mọii ∈ I(x0)

là nón đối cực dương của tập{ai : i ∈ I(x0)} Thật vậy, giả sửy ∈ cone(P − x0),chẳng hạny = t(x − x0) với x ∈ P và t ≥ 0nào đó Khi đó với mọi i ∈ I(x0)

ta có

ai, y = t ai, x − x0 ≥ 0Điều này chứng tỏ cone(P − x0) ⊆ X Ngược lại, giả sửy ∈ X Chọnt > 0 đủnhỏ sao cho

aj, ty ≥ −min ai, x0− bi : i ∈ {1, · · · , m} \ I x0
, ∀j ∈

{1, · · · , m}.Tồn tại giá trị t như thế bởi vì y∈ ai, x0> bi với mọii /∈ I x0

Ta có

ai, x0 + ty ai, x0+ t ai, y ≥ bi vớii ∈ I x0
và

ai, x0 + ty aj, x0+ t aj, y ≥ bj với j ∈ {1, · · · , m} \I x0

chứng tỏ x0 + ty ∈ P hayy ∈ cone P − x0
Do đó cone P − x0
= X.Điều này và(2.3)kéo theov ∈ −X+ Theo bổ đề (2.1),v ∈ cone−ai : i ∈ I x0
.

Ký hiệu NP là hợp của tất cả các nón pháp tuyến N(x)P tại x ∈ P ,tức là

NP= S

x∈P

NP(x)

Tính chất sau đây cho thấy mối liên hệ giữa NP và nón lùi xa của P

Mệnh đề 2.1 Giả sử P khác rỗng Khi đó ta có hệ thứcNP=− (recP )+

Chứng minh Giả sử v ∈ NP tức tồn tại x0 ∈ P để v ∈ Np x0
Suy ra

v, x − x0 ≤ 0 với mọi x ∈ P , nghĩa là hàm vTx đạt cực đại trên P tại x0

Từ lý thuyết quy hoạch tuyến tính suy ra vTu ≤ 0 với mọi u ∈ recP , tức là

v ∈ − (recP )+ Ngược lại, giả sử v ∈ − (recP )+ , nghĩa là vTu ≤ 0 với mọi

u ∈ recP Do đó bài toán max vTu : x ∈ P có nghiệm tối ưu, chẳng hạn x0,tức làvT x − x0
≤ 0với mọix ∈ P Chứng tỏv ∈ Np x0
⊆ Np

Hình 2.2: Minh họa Bổ đề 2.2 và Mệnh đề 2.1

Hệ quả 2.1 Giả sử P khác rỗng Khi đó NP là một nón lồi đa diện Hơn nữa, P

bị chặn khi và chỉ khiNP = Rn.

Chứng minh Do rec P xác định bởi hệ thuần nhất (2.2) là một nón lồi đa diện

nên nón cực dương của nó cũng là nón lồi đa diện Theo Mệnh đề 2.1,NP là một