Tập lồi đa diện và ứng dụng trong quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)

Tập lồi đa diện và ứng dụng trong quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Tập lồi đa diện và ứng dụng trong quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Tập lồi đa diện và ứng dụng trong quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Tập lồi đa diện và ứng dụng trong quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Tập lồi đa diện và ứng dụng trong quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Tập lồi đa diện và ứng dụng trong quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Tập lồi đa diện và ứng dụng trong quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Tập lồi đa diện và ứng dụng trong quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ BÍCH HẠNH TẬP LỒI ĐA DIỆN VÀ ỨNG DỤNG TRONG QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐA MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ BÍCH HẠNH TẬP LỒI ĐA DIỆN VÀ ỨNG DỤNG TRONG QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐA MỤC TIÊU Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS TRẦN VŨ THIỆU Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Danh sách ký hiệu iii Danh sách hình vẽ iv Mở đầu 1 Cấu trúc tập lồi đa diện 1.1 Tập lồi tập lồi đa diện 1.2 Hướng lùi xa tập lồi đa diện 1.3 Biểu diễn tập lồi đa diện 11 Nón pháp tuyến tập lồi đa diện 18 2.1 Nón pháp tuyến tập lồi 18 2.2 Nón pháp tuyến âm tập lồi đa diện 25 Phương pháp nón pháp tuyến 28 3.1 Bài tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính 28 3.2 Thuật tốn nón pháp tuyến 32 3.2.1 Tìm đỉnh hữu hiệu ban đầu 33 3.2.2 Tìm đỉnh hữu hiệu cạnh hữu hiệu 34 3.2.3 Tìm diện hữu hiệu số chiều lớn 38 3.2.4 Tìm diện hữu hiệu (n -1) chiều 41 ii 3.2.5 3.3 Tập hữu hiệu R2 R3 41 Ví dụ minh họa 43 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Phụ lục 47 iii Danh sách ký hiệu Rn : Không gian n chiều A ⊂ B : A tập B M ⊆ Rn : M tập Rn Rec A: Nón lùi xa A B(x, ε): Hình cầu tâm x bán kính ε dim A: Số chiều A rank A: Hạng A cone{a1 , a2 , a3 }: Nón sinh hệ véctơ {a1 , a2 , a3 } Nc (X): Nón pháp tuyến C x ri(A): Phần tương đối tập A | I | : Số phần tử I a ≥ b: Quan hệ không âm a > b: Quan hệ nửa dương a >> b: Quan hệ thực dương conv(X): Bao lồi tập X iv Danh sách hình vẽ 1.1 Tập A lồi, Tập B khơng lồi 1.2 Đường thẳng véctơ phương 1.3 Tập lồi không bị chặn hướng lùi xa 1.4 Biểu diễn tập đa diện qua đỉnh cạnh vô hạn (hướng cực biên) 17 2.1 Tập X nón X + 19 2.2 Minh họa Bổ đề 2.2 Mệnh đề 2.1 21 3.1 D1 D2 : x1 , x2 - đỉnh hữu hiệu, [x1 , x2 ] - cạnh hữu hiệu 29 3.2 Sơ đồ khối Thuật tốn 1: Tìm cạnh hữu hiệu kề x0 37 3.3 Sơ đồ khối Thuật tốn 2: Tìm diện hữu hiệu chiều kề x0 40 Hình 2.2 Nón cone {a1 , a2 , a3 } ⊂ R3 Mở đầu Tập lồi đa diện có tính chất đáng ý sử dụng rộng rãi lý thuyết ứng dụng, đặc biệt giải tích lồi tối ưu hóa Tập lồi đa diện dạng tập lồi có cấu trúc đơn giản biểu diễn thơng qua tập (hữu hạn) đỉnh cạnh Nhiều tốn tối ưu tuyến tính (một hay nhiều mục tiêu) giải hiệu nhờ khai thác cấu trúc tập lồi đa diện, đặc biệt cấu trúc đỉnh cạnh, diện, nón pháp tuyến Nón pháp tuyến mở rộng khái niệm véctơ pháp tuyến mặt cong trơn biết giải tích cổ điển nghiên cứu cấu trúc mặt cong tính tốn mặt cong Nón pháp tuyến tập lồi Minkowski (1911) đưa đầu tiên, sau Fenchel (1953) để xử lý đối tượng không trơn, tập lồi Rockafellar (1970) nghiên cứu có hệ thống nón pháp tuyến tập lồi Tiếp nghiên cứu mở rộng Morduhovic (1980) Clark (1983) xây dựng nón pháp tuyến qua véctơ pháp tuyến gần kề qua vi phân hàm Lipschitz Năm 2000, Nguyễn Thị Bạch Kim Đinh Thế Lục [5] đưa khái niệm nón pháp tuyến âm xây dựng điều kiện tối ưu cho toán qui hoạch đa mục tiêu tuyến tính theo ngơn từ nón pháp tuyến Từ đề xuất phương pháp nón pháp tuyến đơn giản để tìm diện nghiệm hữu hiệu tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Có thể nói nón pháp tuyến phương tiện khơng thể thiếu để thiết lập điều kiện tối ưu cho tốn tối ưu khơng trơn Sau học Giải tích lồi kiến thức tốn học có liên quan, với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức học, kiến thức mở rộng ứng dụng kiến thức này, chọn đề tài luận văn "Tập lồi đa diện ứng dụng qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu" Luận văn có mục đích tìm hiểu, trình bày lại kết tập lồi đa diện ứng dụng kết xây dựng sở lý luận cho phương pháp nón pháp tuyến [5] giải tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Nội dung luận văn viết ba chương Chương "Cấu trúc tập lồi đa diện" trình bày kiến thức tập lồi, tập lồi đa diện khái niệm liên quan (đỉnh, cạnh diện tập lồi đa diện, nón lồi nón lồi đa diện, hướng lùi xa nón lùi xa, ) Tập lồi đa diện không bị chặn Tập lồi đa diện khác rỗng Chương "Nón pháp tuyến tập lồi đa diện" trình bày số kiến thức chuẩn bị nón pháp tuyến, nón pháp tuyến âm tập lồi đa diện điểm khái niệm liên quan tập chuẩn tắc tập chuẩn tắc âm Đồng thời giới thiệu kết nêu [5] làm sở lý luận cho phương pháp nón pháp tuyến tìm nghiệm hữu hiệu (tối ưu Paeto) tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Chương "Phương pháp nón pháp tuyến" trình bày chi tiết phương pháp nón pháp tuyến đề xuất [5] tìm đỉnh, cạnh diện nghiệm hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính tập lồi đa diện cho trước Các thuật tốn mơ tả chi tiết diễn giải qua sơ đồ khối ví dụ minh họa: - Thuật tốn 1: Tìm cạnh hữu hiệu từ đỉnh hữu hiệu x0 biết - Thuật tốn 2: Tìm diện hữu hiệu chiều kề đỉnh hữu hiệu x0 biết - Thuật tốn 3: Tìm diện hữu hiệu (n - 1) chiều - Thuật tốn 4: Tìm tập điểm hữu hiệu R2 , R3 Do thời gian kiến thức hạn chế nên chắn luận văn có thiếu sót định, kính mong q thầy bạn đóng gópý kiến để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn sau Nhân dịp tác giả luận văn xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới GS TS Trần Vũ Thiệu, người tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả trân trọng cảm ơn giảng viên Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam tạo điều kiện thuận lợi trình học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng 05 năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Bích Hạnh Chương Cấu trúc tập lồi đa diện Chương trình bày kiến thức tập lồi, tập lồi đa diện, nón lồi nón lồi đa diện Đặc biệt lưu ý khái niệm đỉnh, cạnh diện tập lồi đa diện, đặc trưng tập lồi đa diện không bị chặn, cách biểu diễn tập lồi đa diện qua đỉnh cạnh Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3] [4] 1.1 Tập lồi tập lồi đa diện Trước hết khái niệm liên quan tới tập afin Rn Định nghĩa 1.1 (Tập afin) Tập M ⊆ Rn gọi tập afin (affine set) ∀a, b ∈ M, λ ∈ R λa + (1 − λ)b ∈ M , tức M chứa hai điểm M chứa trọn đường thẳng qua hai điểm Một số tính chất tập afin: • Nếu M tập afin a + M = {a + x : x ∈ M } tập afin (a ∈ Rn ) • Giao họ tập afin tập afin • M ⊆ Rn tập afin M = {x ∈ Rn : Ax = b} với A ∈ Rm×n , b ∈ Rm ... mở rộng ứng dụng kiến thức này, chọn đề tài luận văn "Tập lồi đa diện ứng dụng qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu" Luận văn có mục đích tìm hiểu, trình bày lại kết tập lồi đa diện ứng dụng kết... quan (đỉnh, cạnh diện tập lồi đa diện, nón lồi nón lồi đa diện, hướng lùi xa nón lùi xa, ) Tập lồi đa diện không bị chặn Tập lồi đa diện khác rỗng Chương "Nón pháp tuyến tập lồi đa diện" trình bày... cạnh diện tập lồi đa diện, đặc trưng tập lồi đa diện không bị chặn, cách biểu diễn tập lồi đa diện qua đỉnh cạnh Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3] [4] 1.1 Tập lồi tập lồi đa diện