3 Phương pháp nón pháp tuyến
3.2.3 Tìm các diện hữu hiệu số chiều lớn hơn 1
Giả sử x0 là một đỉnh hữu hiệu của bài toán (VP) và [x0, x0 + tjvj], j = 1,· · · , k, là các cạnh hữu hiệu kềx0vớitj > 0. Ở đây để cho tiện, ta đặttj = +∞
nếu {x0 + tvj : t ≥ 0} là tia hữu hiệu và viết tia này là [x0, x0 + tjvj]. Ký hiệu Ij ⊂I(x0)là tập (chỉ số) chuẩn tắc âm xác định cạnh hữu hiệu j, j = 1, ... , k.
Trước hết ta thấy số chiều lớn nhất của một diện kềx0 có thể là min{k, n−1}. Với 1 <` ≤ min{k, n−1}ta có thuật toán sau đây.
THUẬT TOÁN 2: Tìm các diện hữu hiệu`chiều kềx0
Bước 0(Khởi sự). Giống Bước 0 trong Thuật toán 1. TínhI(x0). NếuI(x0)= n, chuyển sang Bước 1. Trái lại (|I(x0|> n), chuyển sang Bước 2.
Bước 1. (Đỉnh x0 không suy biến). Chọn tậpJ ⊆ K ≡ {1,· · · , k},|J| = ` và xét tậpI = T
j∈J Ij. Do|Ij| = n−1nên |I| = n -`.
1a)(Kiểm tra I chuẩn tắc âm). Giải hệ (3.2) với tập I này. Nếu (3.2) vô nghiệm, chọn tập J khác (J⊆K, |J| =`và quay lại thực hiện 1a). Trái lại, I là tập chuẩn tắc âm và chuyển sang thực hiện 1b).
1b) (Lúc này chắc chắn I là tập chuẩn tắc). Diện ` chiều (xác định bởi tập I) chứaconv {x0, x0 + tivi : i ∈ J}là hữu hiệu. Ghi lại kết quả. Chọn tập J khác (J
⊆K, |J| =`) và quay lại thực hiện 1a).
Bước 2. (Đỉnh x0 suy biến). Chọn J ⊆K≡ {1,· · · , k}với |J| =`.
2a)Xét điểm xj = x 0 `+ 1 + X j∈J x0 +λjvj `+ 1 , (3.3)
trong đóλj = tj nếu tj hữu hạn và λj = 1nếutj = +∞. Xác định tập chỉ số tích cựcI(xJ) tạixJ. Nếu rank{ai : i ∈ I(xJ)} < `thì chọn tập J khác (J⊆ K, |J| =`) và quay lại thực hiện 2a). Trái lại, chuyển sang thực hiện 2b).
2b) Kiểm tra I(xJ) chuẩn tắc âm). Giải (3.2) với I = I(xJ). Nếu (3.2) vô nghiệm, chọn tập J khác (J⊆ K, |J| = `) và quay lại thực hiện 2a). Trái lại,I(xJ) là chuẩn tắc âm và chuyển sang thực hiện 2c).
2c) (Tìm diện hữu hiệu ` chiều chứa các cạnh [x0, x0 + tjvj], j ∈ J). Xác định J0 = {j ∈ K : Ij ⊇ I(xJ)} (Rõ ràng J ⊆ J0). Bao lồi của các cạnh [x0, x0 + tjvj], j ∈ J0 chứa trong diện hữu hiệu ` chiều mà ta đang tìm (Mệnh đề 2.4). Chọn tập J khác, không chứa J0(J ⊆ K,|J| = `), và quay lại thực hiện 2a). Thuật toán sẽ dừng khi mọi tập con J⊆K, |J| = `, đã được xét. Các bước của Thuật toán 2 được thể hiện trên sơ đồ khối vẽ ở Hình 3.3.
Nhận xét 3.2. Áp dụng Thuật toán 2 ta có thể tìm được các diện hữu hiệu tối đại kề một đỉnh hữu hiệu cho trước, theo nghĩa đó là diện hữu hiệu không nằm trong một diện hữu hiệu có số chiều lớn hơn.