3 Phương pháp nón pháp tuyến
3.2 Thuật toán nón pháp tuyến
Mục này trình bày thuật toán tìm các diện hữu hiệu với số chiều tùy ý (bao gồm các đỉnh và cạnh hữu hiệu) của bài toán (VP), dựa trên các kết quả đã trình bày ở Mục 3.1 về quan hệ của nón pháp tuyến với các diện nghiệm hữu hiệu.
Không giảm tổng quát, trong mục này ta giả thiêt tập lồi đa diện D xác định bởi hệ bất đẳng thức (3.1) không chứa đường thẳng (tức D có dỉnh) và trong hệ (3.1) không có ràng buộc thừa (các ràng buộc có thể loại bỏ mà không thay đổi D).
Lược đồ chung tìm nghiệm hữu hiệu của bài toán (VP) gồm 3 thủ tục chính:
• Thủ tục thứ nhất xác định xem bài toán (VP) có nghiệm hữu hiệu hay không và nếu có thì tìm một đỉnh hữu hiệu ban đầu của bài toán.
• Thủ tục thứ hai tìm tất cả các cạnh hữu hiệu đi từ một đỉnh hữu hiệu đã cho, do đó tìm được tất cả các đỉnh và cạnh hữu hiệu, dựa trên tính liên thông đường gấp khúc của tập nghiệm hữu hiệu của bài toán.
• Thủ tục thứ ba tìm các diện hữu hiệu khác chứa một đỉnh hữu hiệu cho trước khi mọi cạnh hữu hiệu kề đỉnh đó đã được xác định.
Theo cách tiếp cận [5], thủ tục thứ nhất dựa trên Hệ quả 3.3 tỏ ra đơn giản hơn so với các thuật toán khác. Hai thủ tục sau gồm hai phép kiểm tra chủ chốt.
a) Thứ nhất, kiểm tra xem tập chỉ số I ⊆ {1,· · · , m}có là chuẩn tắc âm hay không. Nếu có thì tập này tạo ra một diện hữu hiệu.
b) Thứ hai, kiểm tra xem tập I này có là tập chuẩn tắc không, nếu có thì tập này tạo ra một diện với số chiều nào đó.
Khi tìm diện hữu hiệu với số chiều lớn hơn 1, thuật toán có ưu điểm là chỉ cần thông tin về tất cả các cạnh hữu hiệu kề một đỉnh đã cho. Quan trọng hơn nữa là có thể dùng phương pháp đơn hình hay các thuật toán khác để giải các bài toán tuyến tính phụ. Một số trường hợp riêng cũng được đề cập đến, chẳng hạn khi số biến n nhỏ (n = 2, 3) hay khi ta chỉ cần tìm các diện hữu hiệu (n -1) chiều.