3 Phương pháp nón pháp tuyến
3.2.4 Tìm các diện hữu hiệu (n 1) chiều
Nếu vì một lý do nào đó mà ta chỉ cần tìm các diện nghiệm hữu hiệu (n - 1) chiều thì ta có thể áp dụng thuật toán đơn giản (dựa trên Hệ quả 3.5) sau đây.
THUẬT TOÁN 3.Giải m hệ (3.2), mỗi hệ tương ứng với I ={i}, i= 1,· · · , m. a) Nếu với i ∈ {i = 1,· · · , m}(3.2) có nghiệm thì diện xác định bởi hệ
ai, x = bi,aj, x ≥ bj,∀j ∈ {i = 1,· · · , m} \i là một diện hữu hiệu (n - 1) chiều.
b) Trái lại, bài toán (VP) không có diện nghiệm hữu hiệu (n - 1) chiều.
3.2.5 Tập hữu hiệu trongR2 và R3
Đôi khi ta cần tìm tập hữu hiệu của tập lồi đa diện D bị chặn (tức đa diện lồi) trongR2 vàR3. Tập này tương ứng với tập nghiệm hữu hiệu của bài toán (VP) với C là ma trận đơn vị. Khi đó, ta có thể áp dụng trực tiếp thuật toán hiệu quả sau.
• Trường hợp D ⊆R2
Biểu diễna1,· · · , am trong tọa độ cực
ai = (|ai|, θi), i= 1,· · · , m. Bằng cách đánh số lại nếu cần, ta có thể giả thiết
0 < θ1 < θ2 < · · · < θk < 21π ≤ θk+1 ≤ · · · ≤ θm ≤ 2π.
Rõ ràng a1,· · · , ak là các véctơ dương và theo Hệ quả 3.5 mỗi véctơ đó xác định nên một cạnh hữu hiệu. Hơn nữa, mỗi cặp{m,1},{1,2}, ...,{k, k+ 1}
là một tập chuẩn tắc âm. Vì thế theo Hệ quả 3.1, chúng xác định tất cả các diện hữu hiệu 0 - chiều (đỉnh) của D. Ký hiệu Mi là giao điểm của hai đường thẳng
ai, x = bi,ai+1, x = bi+1, i = 0,1, · · ·, k, trong đóa0 = am, b0 = bm. Khi đó, tập hữu hiệu của D là
k S
i=0
[di, di+1]
• Trường hợp D ⊆R3
Nếu dim D = 3 thì D có thể có các diện hữu hiệu với số chiều 0, 1 hoặc 2. Ta biết rằng x0 ∈ D là một điểm hữu hiệu lý tưởng (ideal efficient point) nếu x0 ≤ x với mọi x∈ D. Có thể thấy rằng D không có điểm hữu hiệu lý tưởng khi và chỉ khi D có diện hữu hiệu với số chiều 1 hoặc 2.
THUẬT TOÁN 4. Xác định tập tất cả các điểm hữu hiệu của D ⊆R3
Bước 1. (Kiểm tra D có điểm hữu hiệu lý tưởng). Giải 3 qui hoạch tuyến tính min
ei, x : x∈ D với i = 1, 2, 3, trong đóe1 = (1,0,0)T ,e2 = (0,1,0)T, e3 = (0,0,1)T giả sửx∗1, x∗2, x∗3 là các giá trị cực tiểu thu được.
1a) Nếu x∗(x∗1, x∗2, x∗3)T ∈ D thì x∗ là một điểm hữu hiệu lý tưởng của D và là điểm hữu hiệu duy nhất của D.
1b)Trái lại, chuyển sang Bước 2.
Bước 2. Phân hoạch tập chỉ số {1, ..., m}thành I1, I2, I3 với I1 = {i : ai
0}, I3 = {i : ai 0}, I2 = {1, ..., m} \(I1 ∪I3)
2a)Nếu I1 = ∅thì không có diện hữu hiệu 2 - chiều. Chuyển sang Bước 3 để tìm các diện hữu hiệu ít chiều hơn.
2b)Trái lại, mỗi ai, i∈ I1 xác định diện hữu hiệu 2 chiều từ hệ phương trình
ai, x= bi,aj, x ≥ bj,∀j ∈ {1, ..., m} \ {i}.
Chuyển sang Bước 3 để tìm các diện hữu hiệu ít chiều hơn, không kể các diện hữu hiệu 2 chiều vừa tìm ở trên.
Bước 3. Chọn i, j∈ I2
3a)(Kiểm tra {i, j} chuẩn tắc âm). Giải hệ
tai + (1−t)aj 0,0 ≤t ≤ 1.
Nếu hệ có nghiệm thì {i, j} là chuẩn tắc âm. Chuyển sang thực hiện 3b). Trái lại, {i, j} không chuẩn tắc âm. Chọn cặp khác i, j∈ I2 và quay lại thực hiện 3a).
3b)Kiểm tra {i, j} chuẩn tắc.
Xây dựng tập ∆ij = {x ∈ D :ai, x = bi,aj, x ≥ bj}.
• Nếu ∆ij = ∅ hoặc ∆ij là một điểm thì {i, j} không chuẩn tắc. Chọn cặp i, j ∈ I2 khác và quay lại thực hiện 3a).
• Trái lại,∆ij là một đoạn thẳng và đó là một cạnh hữu hiệu. Lưu giữ cạnh này. Chọn cặp i, j khác∈ I2 và quay lại thực hiện 3a).
Nhận xét. Theo Hệ quả 3.6, Bước 2 và 3 tạo ra toàn bộ tập hữu hiệu của D, vì các diện hữu hiệu khác của D đều nằm trong các diện đã được tìm ở hai bước này.
3.3 Ví dụ minh họa
Sau đây là một số ví dụ minh hoạ thuật toán nón pháp tuyến.
Ví dụ 3.1([5], tr. 122). Giải bài toán M in −x1 −x2 −0,25x3 x1 +x2 + 1,5x3
với điều kiện x ∈ D.
D = {x ∈ R3|2x1 +x2 + 2x3 ≥2, x1 + 2x2 +x3 ≥ 2, −x1 −x2 −x3 ≥ −6, x1, x2, x3 ≥ 0}.
Kết quả thu được một diện hữu hiệu 2 - chiều, xác định bởi tập I(F) = 6. Diện hữu hiệu này chứa
x1 = (0.67,0.67,0) ;x2 = (2,0,0) ;x3 = (0,2,0) ;x4 = (6,0,0) ;x5 = (0,6,0).
•5 cạnh hữu hiệu
x1, x2,x1, x3 x2, x4, x3, x5, x4, x5.
Ví dụ 3.2([5], tr. 123). Giải bài toán
Min −x1 + 100x2 + 0x3 −x1 −100x2 + 0x3 0x1 + 0x2 −1x3
với điệu kiệnx ∈ D
D = {x ∈ R3 : x1 + 2x2 + 2x3 ≤10,2x1 +x2 + 2x3 ≤ 10, 5x1 + 5x2 + 6x3 ≤ 30, x1, x2, x3 ≥ 0}.
Kết quả thu được 3 diện hữu hiệu 2 - chiềuF1, F2, F3 lần lượt được xác định bởi các tập chỉ sốI(F1) = {1}, I(F2) = {2}, I(F3) = {3}. • Diện F1 có 3 đỉnh x2 = (2,4,0)T, x4 = (0,0,5)T, x5 = (0,5,0)T và 3 cạnh x2, x4, x2, x5 x4, x5. • Diện F2 có 3 đỉnh x1 = (4,2,0)T, x3 = (5,0,0)T, x4 = (0,0,5)T và 3 cạnh x1, x3, x1, x4 x3, x4. • Diện F3 có 3 đỉnh x1 = (4,2,0)T, x2 = (2,4,0)T, x4 = (0,0,5)T và 3 cạnh x1, x2, x1, x4 x2, x4.
Tóm lại, chương này đã trình bày chi tiết phương pháp nón pháp tuyến tìm tập các đỉnh, cạnh và diện hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính. Cụ thể:
Thuật toán 1: Tìm các cạnh hữu hiệu đi từ đỉnh hữu hiệu x0
Thuật toán 2: Tìm các diện hữu hiệu `chiều kề đỉnh hữu hiệux0
Thuật toán 3: Tìm các diện hữu hiệu (n - 1) chiều
Kết luận
Luận văn đã trình bày khái quát các kết quả chủ yếu về lý thuyết các tập lồi đa diện và giới thiệu ứng dụng các kết quả này trong xây dựng cơ sở lý luận cho phương pháp nón pháp tuyến [5] tìm các đỉnh, cạnh và các diện hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính.
Luận văn đã đề cập tới một số nội dung cụ thể sau.
1. Kiến thức cơ bản về tập lồi, tập lồi đa diện và các khái niệm có liên quan. Tập lồi đa diện không bị chặn đặc trưng bởi các hướng cực biên lùi xa, tương ứng với các cạnh vô hạn. Tập lồi đa diện khác rỗng được hoàn toàn xác định khi biết các đỉnh và cạnh vô hạn (hướng cực biên) của nó.
2. Kiến thức chuẩn bị về nón pháp tuyến, nón pháp tuyến âm của tập lồi đa diện tại một điểm và các khái niệm và kết quả có liên quan về tập chuẩn tắc, tập chuẩn tắc âm làm cơ sở lý luận cho phương pháp nón pháp tuyến tìm nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính.
3. Nội dung chi tiết phương pháp nón pháp tuyến [5] tìm các đỉnh, cạnh và diện hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính, trên tập lồi đa diện.
Có thể xem đây như là bước tìm hiểu ban đầu về phương pháp nón pháp tuyến giải bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính. Tác giả luận văn hy vọng sẽ có dịp được tìm hiểu sâu hơn về các phương pháp khác tìm nghiệm hữu hiệu của các bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính và phi tuyến.
Tài liệu tham khảo Tiếng Việt
[1] Nguyễn Thị Bạch Kim (2014),Giáo trình các phương pháp tối ưu: Lý thuyết và thuật toán, NXB Bách Khoa Hà Nội.
[2] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
Tiếng Anh
[3] Bazara M.S. et al. (2006),Nonlinear Programming: Theory and Algorithms. 3rd Edition, A John Willey and Sons, Inc, Publication.
[4] Griffin C. (2012),Linear Programming: Penn State Math 484, Lecture Notes (Version 1.8.2.1).
[5] Kim N.T.B. and Luc D.T. (2000), "Normal Cone to a Polyhedral Convex Set and Generating Efficient Faces in Linear Multi - Objective Programming", Acta Mathe-matica Vietnamica, Vol. 25,N0 1, pp. 101 - 124.
[6] Tuy H. (1998),Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Academic Publishers, Boston/ London/ Dordrecht (Chapters 1 and 2, pp. 3 - 81).
Phụ lục
MỘT SỐ THUẬT NGỮ ĐÃ SỬ DỤNG
Bao afin (Định nghĩa 1.2) Bao lồi (Định nghĩa 1.5)
Cạnh của tập lồi đa diện (Định nghĩa 1.18) Cạnh hữu hiệu (Định nghĩa 3.1)
Diện của một tập lồi (Định nghĩa 1.14) Diện (nghiệm) hữu hiệu (Định nghĩa 3.1) Điểm biên của một tập (Định nghĩa 1.16) Điểm cực biên của tập lồi (Định nghĩa 1.15) Đỉnh của tập lồi đa diện (Định nghĩa 1.15) Đỉnh hữu hiệu (Định nghĩa 3.1)
Đỉnh kề (Định nghĩa 1.18)
Đỉnh không suy biến, đỉnh suy biến (Định nghĩa 1.17) Đường thẳng (Định nghĩa 1.9)
Hình cầu (Định nghĩa 1.16)
Hướng cực biên (Định nghĩa 1.19) Hướng lùi xa (Định nghĩa 1.12) Nghiệm hữu hiệu (Định nghĩa 3.1)
Nghiệm hữu hiệu lý tưởng (Định nghĩa 3.2) Nghiệm hữu hiệu yếu (Định nghĩa 3.2)
Nón đối cực dương (Định nghĩa 2.1) Nón lồi (Định nghĩa 1.11)
Nón lồi đa diện (Định nghĩa 1.11) Nón lùi xa (Định nghĩa 1.13) Nón pháp tuyến (Định nghĩa 2.3) Nón pháp tuyến âm (Định nghĩa 2.6) Nón sinh bởi hệ véctơ (Định nghĩa 2.2) Nửa không gian đóng (Định nghĩa 1.7) Siêu phẳng (Định nghĩa 1.5)
Tập afin (Định nghĩa 1.1) Tập chuẩn tắc (Định nghĩa 2.4) Tập chuẩn tắc âm (Định nghĩa 2.6) Tập lồi (Định nghĩa 1.4)
Tập đa diện hay tập lồi đa diện Định nghĩa 1.8) Tia (Định nghĩa 1.10)
Thứ nguyên (số chiều) của tập afin (Định nghĩa 1.3) Thứ nguyên (số chiều) của tập lồi (Định nghĩa 1.4) Tổ hợp lồi (Định nghĩa 1.5)
Tổ hợp lồi chặt (Định nghĩa 1.5) Véctơ C - âm (Định nghĩa 2.5) Véctơ C - dương (Định nghĩa 2.5)