nội suy bởi hàm rbf và ứng dụng trong đồ họa máy tính

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN NGUYẾN ĐỒNG SỸ NỘI SUY BỞI HÀM RBF VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐỒ HỌA MÁY TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Thái Nguyên – 2010. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN NGUYỄN ĐỒNG SỸ NỘI SUY BỞI HÀM RBF VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐỒ HỌA MÁY TÍNH Chuyên ngành : KHOA HỌC MÁY TÍNH Mã số : 60 48 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. ĐẶNG QUANG Á Thái Nguyên – 2010. Th¸i Nguyªn - 20 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC MỞ ĐẦU 4 Chương 1 TỔNG QUAN VỀ NỘI SUY HÀM NHIỀU BIẾN 5 1.1. Khái niệm cơ bản về nội suy và xấp xỉ hàm số 5 1.1.1. Bài toán nội suy hàm số 5 1.1.2. Bản chất của phương pháp nội suy 7 1.2. Nội suy hàm một biến 8 1.2.1. Phát biểu bài toán 8 1.2.2. Nội suy và xấp xỉ đa thức 9 1.2.3. Nội suy bởi hàm ghép trơn 9 1.3. Nội suy và xấp xỉ hàm nhiều biến 11 1.3.1. Nội suy hàm hai biến 11 1.3.2. Nội suy hàm ba biến 12 Chương 2 NỘI SUY BỞI HÀM RBF 13 2.1. Hàm cơ sở bán kính và các tính chất 13 2.2. Nội suy dữ liệu phân tán bởi hàm RBF 13 2.2.1. Phát biểu bài toán 13 2.2.2. Một số hàm cơ sở 15 2.2.3. Thành phần đa thức RBF 16 2.2.4. Phép nội suy trơn nhất 16 2.3. Hạn chế của nội suy sử dụng RBF và giải pháp 17 2.3.1. Vấn đề dữ liệu lớn 17 2.3.2. Dữ liệu có nhiễu 17 2.3.3. Một số giải pháp khắc phục 19 2.4. Các phương pháp nhanh nội suy sử dụng RBF 21 2.4.1. Giảm tâm 21 2.4.2. Làm trơn dữ liệu nhiễu 22 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 3 BÀI TOÁN BIỂU DIỄN VÀ KHÔI PHỤC CÁC ĐỐI TƯỢNG 3D 24 3.1. Bài toán biểu diễn và khôi phục dữ liệu phân tán 24 3.1.1. Giới thiệu 24 3.1.2. Mô tả bài toán 25 3.2. Khôi phục đối tượng 3D từ tập điểm trên bề mặt sử dụng RBF 26 3.2.1. Trùng khớp tới dữ liệu bề mặt 3D 26 3.2.1.1. Tạo dữ liệu dày đặc từ các pháp tuyến bề mặt 27 3.2.1.2. Đảm bảo khoảng cách thích hợp tới dữ liệu bề mặt 28 3.2.1.3. Hợp lệ khoảng cách chiếu và nhiễu 30 3.2.2. Chuẩn hóa bề mặt 31 3.2.2.1. Các điểm hạt giống của bề mặt chuẩn 32 3.2.2.2. Tối ưu lưới 33 3.2.2.3. Bao biên 33 Chương 4 XÂY DỰNG VÀ CÀI ĐẶT THỬ NGHIỆM NỘI SUY BỞI RBF 35 4.1. Phân tích và xây dựng chương trình 35 4.1.1. Hàm tạo lập RBF 35 4.1.2. Hàm nội suy RBF 40 4.1.3. Một số file xây dựng chương trình 42 4.2. Kết quả thử nghiệm nội suy bởi RBF 59 KẾT LUẬN 63 HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 PHỤ LỤC 66 1. Môi trường lập trình MATLAB 66 2. Các khả năng thực hiện của Matlab 66 3. Chế độ làm việc 67 4. Câu lệnh và biến 68 5. Hàm và tạo hàm 71 6. Các câu lệnh điều khiển của Matlab 72 7. Đồ họa 3D 75 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 1.1. Đồ thị biểu diễn tín hiệu trước nội suy. 6 Hình 1.2. Đồ thị biểu diễn tín hiệu sau khi nội suy. 6 Hình 1.3. Nội suy hàm y = cos(x). 8 Hình 1.4. Nội suy spline bậc 3 hàm y = sin(x) + x 2 . 10 Hình 1.5. Nội suy hàm hai chiều interp2. 11 Hình 1.6. Nội suy hàm ba chiều interp3. 12 Hình 2.1. Nội suy một chiều RBF hàm y = sin(x). 15 Hình 2.2. Dữ liệu có nhiễu với cường độ 0.5. 18 Hình 2.3. Bề mặt nội suy dữ liệu có nhiễu. 18 Hình 2.4. Độ chính xác đánh giá và độ chính xác trùng khớp. 20 Hình 2.5. Minh họa giảm tâm RBF. 21 Hình 3.1. Phục hồi dữ liệu phân tán 24 Hình 3.2. Điểm kết thúc bề mặt (off-surface). 27 Hình 3.3. Thêm vào các điểm off-surface. 28 Hình 3.4. Nội suy dữ liệu khi chưa được hợp lệ. 29 Hình 3.5. Nội suy dữ liệu khi đã hợp lệ giá trị 29 Hình 3.6. Nội suy dữ liệu sau khi hợp lệ khoảng cách. 30 Hình 3.7. Chuẩn hóa bề mặt bằng Marching Cubes. 31 Hình 3.8. Một số dạng chuẩn hóa bề mặt 32 Hình 3.9. Các kiểu tối ưu lưới. 33 Hình 3.10. Bề mặt mở không có bao biên. 34 Hình 3.11. Bề mặt đóng với biên dương. 34 Hình 3.12. Bề mặt đóng với biên âm. 34 Hình 4.1. Giao diện chương trình demo 59 Hình 4.2. Đồ thị so sánh hàm nội suy RBF và hàm interp1 59 Hình 4.3. Đồ thị biểu diễn một số dạng hàm cơ bản 60 Hình 4.4. Giao diện chức năng RBF 2D 60 Hình 4.5. Kết quả nội suy hàm z = x*exp(-x 2 -y 2 ) 61 Hình 4.6. Nội suy đối tượng 3D với 2000 điểm 61 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hình 4.7. Kết quả xử lý dữ liệu trong cửa sổ lệnh 62 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Đồ họa máy tính ngày nay được ứng dụng rất rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, kĩ thuật, nghệ thuật điển hình như bài toán mô phỏng và chẩn đoán hình ảnh, tái tạo hình ảnh, hỗ trợ thiết kế, đào tạo huấn luyện… Các ứng dụng đồ họa rất đa dạng, phong phú và phát triển liên tục không ngừng. Trong đồ họa máy tính bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tượng 3D là một trong các bài toán cơ bản. Công cụ quan trọng để giải quyết bài toán này là lý thuyết nội suy hàm số nhiều biến. Để nội suy hàm số từ một tập điểm đã biết thông thường người ta sử dụng các hàm ghép trơn (spline) và các biến thể của nó. Từ khoảng hai chục năm nay người ta đã và đang phát triển một kỹ thuật nội suy mới có độ chính xác cao. Đó là nội suy bởi hàm cơ sở bán kính (radial basis functions) viết tắt là RBF. Phương pháp nội suy này đã được sử dụng trong nhiều lĩnh vực của CNTT như xử lý tín hiệu, xử lý ảnh và lý thuyết điều khiển. Một số phần mềm về hàm RBF và các ứng dụng cũng đã được phát triển. Vì thế, việc tìm hiểu về hàm RBF và nghiên cứu phát triển các ứng dụng của nó trong đồ họa máy tính là một việc làm thiết thực và có ý nghĩa khoa học cũng như thực tiễn. Đề tài luận văn thạc sĩ “Nội suy bởi hàm RBF và ứng dụng trong đồ họa máy tính” chính là nhằm mục đích trên. Em xin được gửi lời biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo PGS. TS. Đặng Quang Á, người đã tận tình chỉ bảo và tạo những điều kiện tốt nhất để em hoàn thành luận văn này. Em cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy cô giáo Khoa Công nghệ Thông tin Trường Đại học Thái Nguyên, các Thầy cô trong Viện Công nghệ Thông tin đã trang bị kiến thức và góp ý cho em trong quá trình thực hiện đề tài. 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 TỔNG QUAN VỀ NỘI SUY HÀM NHIỀU BIẾN 1.1. Khái niệm cơ bản về nội suy và xấp xỉ hàm số 1.1.1. Bài toán nội suy hàm số Một trong các bài toán cơ bản của giải tích số là nội suy hàm số. Bài toán thường gặp trong các trường hợp sau: i) Cần phục hồi hàm số f(x) đối với mọi điểm x thuộc khoảng [a, b], khi cho trước giá trị của hàm tại một số điểm. Các giá trị này thường là các giá trị quan sát hoặc đo đạc được. Xét ví dụ : Cho quan hệ hàm số y = f(x), dạng hàm là chưa biết nhưng biết sự phụ thuộc của đại lượng y vào đại lượng x bằng phép đo thực nghiệm theo bảng : x x 0 x 1 x 2 x n y y 0 y 1 y 2 y n Xác định giá trị của y với x  x i (i = 1, ,n) trở thành bài toán nội suy. Dựa vào bảng trên ta phải ước lượng đại lượng y ứng với đại lượng x khi x không có trong bảng bằng phương pháp nội suy hay phương pháp xấp xỉ [1]. Ví dụ minh họa sử dụng phép nội suy : Gia tăng tỉ lệ mẫu trong tín hiệu biến thiên theo thời gian t (Code trong MATLAB). t = 0:0.001:1; x = sin(2*pi*30*t) + sin(2*pi*60*t); y = interp(x,4); stem(x(1:30)); title('Tin hieu ban dau'); figure 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn stem(y(1:120)); title('Sau khi noi suy'); Kết quả như sau: 0 5 10 15 20 25 30 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Tin hieu ban dau Hình 1.1. Đồ thị biểu diễn tín hiệu trước nội suy. 0 20 40 60 80 100 120 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Sau khi noi suy Hình 1.2. Đồ thị biểu diễn tín hiệu sau khi nội suy. 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nội suy đa thức là việc xác định đa thức y = P(x) thỏa mãn điều kiện nội suy P(x k ) = y k với k = 0, ,n ii) Khi hàm f(x) cho bởi công thức quá phức tạp đòi hỏi khối lượng tính toán lớn và ta cần tính giá trị hàm f tại các điểm x thuộc [a, b] nào đó. Khi đó người ta thường tính gần đúng f(x) tại một số điểm rồi xây dựng công thức nội suy để tính các giá trị khác và làm tăng tốc độ tính toán. iii) Ngoài ra nội suy hàm số còn được dùng để xây dựng các công thức tính đạo hàm, tính tích phân số hoặc tìm nghiệm gần đúng của phương trình. 1.1.2. Bản chất của phương pháp nội suy Bản chất của nội suy là thay hàm f(x) bằng hàm (x) sao cho :  (x) đơn giản, dễ tính toán  (x) = f(x) tại một số điểm đã biết Thông thường chọn (x) có dạng đơn giản là đa thức bậc m. )()( 0 0 1 1 1 1 xaxaxaxaxPx m m m mm     (1) Với (x) = P m (x), ta có đa thức nội suy hay đa thức xấp xỉ. Ví dụ xét đồ thị hàm y = cos(x) với x thuộc [0, 2pi] Tiến hành nội suy đa thức trong MATLAB function v = polyinterp(x,y,u) n = length(x); v = zeros(size(u)); for k = 1:n w = ones(size(u)); for j = [1:k-1 k+1:n] w = (u-x(j))./(x(k)-x(j)).*w; end v = v + w*y(k); [...]... interp3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 Chương 2 NỘI SUY BỞI HÀM RBF 2.1 Hàm cơ sở bán kính và các tính chất Hàm cơ sở bán kính RBF được ứng dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khác nhau, đặc biệt cho ứng dụng nội suy dữ liệu phân tán Hàm cơ sở bán kính (RBF) là hàm có dạng : n s ( x)  p( x)   i ( x  xi ) (3) i 1 Trong đó : S là hàm cơ sở bán kính... tuyến tính hoặc dạng bậc 2 i là các hệ số RBF  là hàm thực được gọi là hàm cơ sở xi là các tâm RBF Như vậy RBF bao gồm tổng hợp các hàm bán kính đối xứng tại các tâm xi được trọng số hóa bởi các hệ số λi và đa thức bậc thấp p 2.2 Nội suy dữ liệu phân tán bởi hàm RBF 2.2.1 Phát biểu bài toán Cho tập N điểm phân tán xi và các giá trị tương ứng fi đo được tại các điểm đó Bài toán đặt ra là tìm một hàm nội. .. 1.3 Nội suy và xấp xỉ hàm nhiều biến 1.3.1 Nội suy hàm hai biến Cho biết quan hệ z = f(x, y), nếu không biết biểu thức của hàm f(x, y) mà chỉ biết giá trị của hàm này tại một số điểm lưới : ( xi , y j )  D (i  1, m) ; ( j  (1, n) zij  f ( xi , y j ) Để ước lượng các giá trị của z tại các điểm (x, y) không nằm trên lưới phải sử dụng phép nội suy 2 chiều Ví dụ minh họa sử dụng hàm nội suy interp2 trong. .. dụ nội suy RBF 1 chiều hàm y = sin(x) trên đoạn 0:10 với mốc cách đều 1.25, ta có đồ thị biểu diễn : x = 0:1.25:10; y = sin(x); xi = 0:.1:10; rbfcheck(op); op=rbfcreate(x, y); rbfcheck(op); fi = rbfinterp(xi, op); %ham tu tao trong MATLAB subplot(2,1,2); plot(x, y,'o', xi, fi,xi, sin(xi),'r'); title('noi suy RBF' ); noi suy RBF 1 0.5 0 -0.5 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Hình 2.1 Nội suy một chiều RBF hàm. .. độ đo năng lượng của đạo hàm bậc hai của hàm s(x) Spline tam điều hòa làm cực tiểu năng lượng tương ứng trong đạo hàm cấp ba của s(x), các RBF này sẽ làm thay đổi độ trơn giữa các giá trị của các mốc nội suy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 18 2.3 Hạn chế của nội suy sử dụng RBF và giải pháp 2.3.1 Vấn đề dữ liệu lớn Hàm nội suy RBF dạng s(xi) = fi có thể... nội suy RBF có dạng s(x) thỏa mãn s(xi) = fi với i = 1,…, n Gọi quy trình tìm hàm nội suy s nói trên là sự trùng khớp (fitting), hàm RBF trùng khớp được định nghĩa bởi các hệ số λi của hàm cơ sở φ , các hệ số của đa thức p trong hàm tổng s(x) Nếu ta đặt {p1, , pM} là các đa thức cơ sở của không gian các đa thức bậc ≤ M và c=(c1,…, cM)T là các hệ số theo cơ sở trên để biểu thị p(x) thì hàm nội suy dạng... off Đồ thị minh họa : 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 Hình 1.3 Nội suy hàm y = cos(x) 1.2 Nội suy hàm một biến 1.2.1 Phát biểu bài toán Trên đoạn [a, b] cho tập các điểm nút a ≤ x0 < x1 < … < xn ≤ b và tại các điểm này cho các giá trị f(xi) (i = ) của hàm f(x) Cần xây dựng hàm g(x) dễ tính và trùng với với hàm f(x) tại các điểm nút trên tức là g(xi) = f(xi) (i= ) Số hóa bởi. .. -3 3 -5 20]) noi suy 2 chieu 20 15 10 5 0 -5 2 0 -2 -3 -2 -1 0 2 1 3 Hình 1.5 Nội suy hàm hai chiều interp2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 1.3.2 Nội suy hàm ba biến Dựa vào giá trị đã biết của hàm tại một số điểm trong không gian ba chiều để tìm ra các giá trị nội suy giữa tập các điểm ba chiều đã cho Thông thường có 3 phương pháp nội suy cơ bản đối với... giá trên bề mặt nội suy dữ liệu nhiễu có lỗi : Hình 2.3 Bề mặt nội suy dữ liệu có nhiễu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 20 2.3.3 Một số giải pháp khắc phục FarField Technology Ltd đã nghiên cứu và đề xuất các phương pháp nhanh để trùng khớp dữ liệu nhiễu và trơn hóa sử dụng RBF (Fast RBF) a Phương pháp nội suy xấp xỉ (không nội suy chính xác RBF) để làm trơn... thức nội suy bằng cách tìm các hệ số a0, a1, , am, tức là giải hệ phương trình đại số tuyến tính : m  x0  m x A.a  b; A   1   m  xn   a  A \ b; m x0 1  x0   am   y0   a  y  x1m1  x1  m1  ; a ; b   1 ;            m a0  xn 1  xn    yn   1.2.3 Nội suy bởi hàm ghép trơn Nội suy hàm số bởi đa thức là phương pháp xấp xỉ hàm số dựa vào giá trị của hàm . Nội suy và xấp xỉ hàm nhiều biến 11 1.3.1. Nội suy hàm hai biến 11 1.3.2. Nội suy hàm ba biến 12 Chương 2 NỘI SUY BỞI HÀM RBF 13 2.1. Hàm cơ sở bán kính và các tính chất 13 2.2. Nội suy. Chương 2 NỘI SUY BỞI HÀM RBF 2.1. Hàm cơ sở bán kính và các tính chất Hàm cơ sở bán kính RBF được ứng dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khác nhau, đặc biệt cho ứng dụng nội suy dữ liệu. về hàm RBF và nghiên cứu phát triển các ứng dụng của nó trong đồ họa máy tính là một việc làm thiết thực và có ý nghĩa khoa học cũng như thực tiễn. Đề tài luận văn thạc sĩ Nội suy bởi hàm RBF