Nội suy bởi hàm rbf và ứng dụng trong đồ họa máy tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN NGUYẾN ĐỒNG SỸ NỘI SUY BỞI HÀM RBF VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐỒ HỌA MÁY TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠNG NGHỆ THƠNG TIN Thái Ngun – 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN NGUYỄN ĐỒNG SỸ NỘI SUY BỞI HÀM RBF VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐỒ HỌA MÁY TÍNH Chuyên ngành : KHOA HỌC MÁY TÍNH Mã số : 60 48 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS ĐẶNG QUANG Á Thái Nguyên – 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương TỔNG QUAN VỀ NỘI SUY HÀM NHIỀU BIẾN 1.1 Khái niệm nội suy xấp xỉ hàm số 1.1.1 Bài toán nội suy hàm số 1.1.2 Bản chất phương pháp nội suy 1.2 Nội suy hàm biến 1.2.1 Phát biểu toán 1.2.2 Nội suy xấp xỉ đa thức 1.2.3 Nội suy hàm ghép trơn 1.3 Nội suy xấp xỉ hàm nhiều biến 11 1.3.1 Nội suy hàm hai biến 11 1.3.2 Nội suy hàm ba biến 12 Chương NỘI SUY BỞI HÀM RBF 13 2.1 Hàm sở bán kính tính chất 13 2.2 Nội suy liệu phân tán hàm RBF 13 2.2.1 Phát biểu toán 13 2.2.2 Một số hàm sở 15 2.2.3 Thành phần đa thức RBF 16 2.2.4 Phép nội suy trơn 16 2.3 Hạn chế nội suy sử dụng RBF giải pháp 17 2.3.1 Vấn đề liệu lớn 17 2.3.2 Dữ liệu có nhiễu 17 2.3.3 Một số giải pháp khắc phục 19 2.4 Các phương pháp nhanh nội suy sử dụng RBF 21 2.4.1 Giảm tâm 21 2.4.2 Làm trơn liệu nhiễu 22 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương BÀI TOÁN BIỂU DIỄN VÀ KHÔI PHỤC CÁC ĐỐI TƯỢNG 3D 24 3.1 Bài tốn biểu diễn khơi phục liệu phân tán 24 3.1.1 Giới thiệu 24 3.1.2 Mơ tả tốn 25 3.2 Khôi phục đối tượng 3D từ tập điểm bề mặt sử dụng RBF 26 3.2.1 Trùng khớp tới liệu bề mặt 3D 26 3.2.1.1 Tạo liệu dày đặc từ pháp tuyến bề mặt 27 3.2.1.2 Đảm bảo khoảng cách thích hợp tới liệu bề mặt 28 3.2.1.3 Hợp lệ khoảng cách chiếu nhiễu 30 3.2.2 Chuẩn hóa bề mặt 31 3.2.2.1 Các điểm hạt giống bề mặt chuẩn 32 3.2.2.2 Tối ưu lưới 33 3.2.2.3 Bao biên 33 Chương XÂY DỰNG VÀ CÀI ĐẶT THỬ NGHIỆM NỘI SUY BỞI RBF 35 4.1 Phân tích xây dựng chương trình 35 4.1.1 Hàm tạo lập RBF 35 4.1.2 Hàm nội suy RBF 40 4.1.3 Một số file xây dựng chương trình 42 4.2 Kết thử nghiệm nội suy RBF 59 KẾT LUẬN 63 HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 PHỤ LỤC 66 Mơi trường lập trình MATLAB 66 Các khả thực Matlab 66 Chế độ làm việc 67 Câu lệnh biến 68 Hàm tạo hàm 71 Các câu lệnh điều khiển Matlab 72 Đồ họa 3D 75 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 1.1 Đồ thị biểu diễn tín hiệu trước nội suy Hình 1.2 Đồ thị biểu diễn tín hiệu sau nội suy Hình 1.3 Nội suy hàm y = cos(x) Hình 1.4 Nội suy spline bậc hàm y = sin(x) + x2 10 Hình 1.5 Nội suy hàm hai chiều interp2 11 Hình 1.6 Nội suy hàm ba chiều interp3 12 Hình 2.1 Nội suy chiều RBF hàm y = sin(x) 15 Hình 2.2 Dữ liệu có nhiễu với cường độ 0.5 18 Hình 2.3 Bề mặt nội suy liệu có nhiễu 18 Hình 2.4 Độ xác đánh giá độ xác trùng khớp 20 Hình 2.5 Minh họa giảm tâm RBF 21 Hình 3.1 Phục hồi liệu phân tán 24 Hình 3.2 Điểm kết thúc bề mặt (off-surface) 27 Hình 3.3 Thêm vào điểm off-surface 28 Hình 3.4 Nội suy liệu chưa hợp lệ 29 Hình 3.5 Nội suy liệu hợp lệ giá trị 29 Hình 3.6 Nội suy liệu sau hợp lệ khoảng cách 30 Hình 3.7 Chuẩn hóa bề mặt Marching Cubes 31 Hình 3.8 Một số dạng chuẩn hóa bề mặt 32 Hình 3.9 Các kiểu tối ưu lưới 33 Hình 3.10 Bề mặt mở khơng có bao biên 34 Hình 3.11 Bề mặt đóng với biên dương 34 Hình 3.12 Bề mặt đóng với biên âm 34 Hình 4.1 Giao diện chương trình demo 59 Hình 4.2 Đồ thị so sánh hàm nội suy RBF hàm interp1 59 Hình 4.3 Đồ thị biểu diễn số dạng hàm 60 Hình 4.4 Giao diện chức RBF 2D 60 Hình 4.5 Kết nội suy hàm z = x*exp(-x2-y2) 61 Hình 4.6 Nội suy đối tượng 3D với 2000 điểm 61 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hình 4.7 Kết xử lý liệu cửa sổ lệnh 62 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Đồ họa máy tính ngày ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học, kĩ thuật, nghệ thuật điển tốn mơ chẩn đốn hình ảnh, tái tạo hình ảnh, hỗ trợ thiết kế, đào tạo huấn luyện… Các ứng dụng đồ họa đa dạng, phong phú phát triển liên tục không ngừng Trong đồ họa máy tính tốn khơi phục biểu diễn đối tượng 3D toán Cơng cụ quan trọng để giải tốn lý thuyết nội suy hàm số nhiều biến Để nội suy hàm số từ tập điểm biết thông thường người ta sử dụng hàm ghép trơn (spline) biến thể Từ khoảng hai chục năm người ta phát triển kỹ thuật nội suy có độ xác cao Đó nội suy hàm sở bán kính (radial basis functions) viết tắt RBF Phương pháp nội suy sử dụng nhiều lĩnh vực CNTT xử lý tín hiệu, xử lý ảnh lý thuyết điều khiển Một số phần mềm hàm RBF ứng dụng phát triển Vì thế, việc tìm hiểu hàm RBF nghiên cứu phát triển ứng dụng đồ họa máy tính việc làm thiết thực có ý nghĩa khoa học thực tiễn Đề tài luận văn thạc sĩ “Nội suy hàm RBF ứng dụng đồ họa máy tính” nhằm mục đích Em xin gửi lời biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo PGS TS Đặng Quang Á, người tận tình bảo tạo điều kiện tốt để em hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn Thầy cô giáo Khoa Công nghệ Thông tin Trường Đại học Thái Nguyên, Thầy cô Viện Công nghệ Thông tin trang bị kiến thức góp ý cho em q trình thực đề tài Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương TỔNG QUAN VỀ NỘI SUY HÀM NHIỀU BIẾN 1.1 Khái niệm nội suy xấp xỉ hàm số 1.1.1 Bài toán nội suy hàm số Một toán giải tích số nội suy hàm số Bài toán thường gặp trường hợp sau: i) Cần phục hồi hàm số f(x) điểm x thuộc khoảng [a, b], cho trước giá trị hàm số điểm Các giá trị thường giá trị quan sát đo đạc Xét ví dụ : Cho quan hệ hàm số y = f(x), dạng hàm chưa biết biết phụ thuộc đại lượng y vào đại lượng x phép đo thực nghiệm theo bảng : x x0 x1 x2 xn y y0 y1 y2 yn Xác định giá trị y với x  xi (i = 1, ,n) trở thành toán nội suy Dựa vào bảng ta phải ước lượng đại lượng y ứng với đại lượng x x khơng có bảng phương pháp nội suy hay phương pháp xấp xỉ [1] Ví dụ minh họa sử dụng phép nội suy : Gia tăng tỉ lệ mẫu tín hiệu biến thiên theo thời gian t (Code MATLAB) t = 0:0.001:1; x = sin(2*pi*30*t) + sin(2*pi*60*t); y = interp(x,4); stem(x(1:30)); title('Tin hieu ban dau'); figure Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn stem(y(1:120)); title('Sau noi suy'); Kết sau: Tin hieu ban dau 1.5 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 10 15 20 25 30 Hình 1.1 Đồ thị biểu diễn tín hiệu trước nội suy Sau noi suy 1.5 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 20 40 60 80 100 120 Hình 1.2 Đồ thị biểu diễn tín hiệu sau nội suy Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nội suy đa thức việc xác định đa thức y = P(x) thỏa mãn điều kiện nội suy P(xk) = yk với k = 0, ,n ii) Khi hàm f(x) cho cơng thức q phức tạp địi hỏi khối lượng tính tốn lớn ta cần tính giá trị hàm f điểm x thuộc [a, b] Khi người ta thường tính gần f(x) số điểm xây dựng công thức nội suy để tính giá trị khác làm tăng tốc độ tính tốn iii) Ngồi nội suy hàm số cịn dùng để xây dựng cơng thức tính đạo hàm, tính tích phân số tìm nghiệm gần phương trình 1.1.2 Bản chất phương pháp nội suy Bản chất nội suy thay hàm f(x) hàm (x) cho :  (x) đơn giản, dễ tính tốn  (x) = f(x) số điểm biết Thơng thường chọn (x) có dạng đơn giản đa thức bậc m  ( x)  Pm ( x)  am x m  am1 x m1   a1 x1  a0 x (1) Với (x) = Pm(x), ta có đa thức nội suy hay đa thức xấp xỉ Ví dụ xét đồ thị hàm y = cos(x) với x thuộc [0, 2pi] Tiến hành nội suy đa thức MATLAB function v = polyinterp(x,y,u) n = length(x); v = zeros(size(u)); for k = 1:n w = ones(size(u)); for j = [1:k-1 k+1:n] w = (u-x(j))./(x(k)-x(j)).*w; end v = v + w*y(k); Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đặng Quang Á, “Giáo trình phương pháp số”, NXB Đại học Thái Nguyên, 2009 [2] Marie-PauleCani, Ce‟dric Ge‟rot, and Franck He‟troy Creating and Processing 3D geometry, 2002 [3]M D Buhmann, Radial Basis Functions: Theory and Implementations, Cambridge University Press, Cambridge, 2003 [4] FastRBF Toolbox, MATLAB Interface, Version 1.4, 4th August 2004, FarField Technology Ltd [5] R K Beatson, J B Cherrie, and D L Ragozin Fast evaluation of radial basis functions: Methods for four-dimensional polyharmonic splines SIAM J Math.Anal., 32(6):1272–1310, 2001 [6] F Bernardini, C L Bajaj, J Chen, and D R Schikore Automatic reconstruction of 3D CAD models from digital scans Int J on Comp Geom and Appl., 9(4–5):327, Aug & Oct 1999 [7] J Bloomenthal, editor Introduction to Implicit Surfaces Morgan Kaufmann, San Francisco, California, 1997 [8] J C Carr, W R Fright, and R K Beatson Surface interpolation with radial basis functions for medical imaging IEEE Trans Medical Imaging, 16(1):96–107, February 1997 [9] H Hoppe, T DeRose, T Duchamp, J McDonald, and W Stuetzle Surface reconstuction from unorganized points Computer Graphics (SIGGRAPH’92 proceedings), 26(2):71–78, July 1992 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 66 [10] W E Lorensen and H E Cline Marching cubes: A high resolution 3D surface construction algorithm Computer Graphics, 21(4):163–169, July 1987 [11] G Turk and J F O’Brien Variational implicit surfaces Technical Report GITGVU-99-15, Georgia Institute of Technology, May 1999 [12] Alex Chirikov Interpolation and Approximation using Radial Base Functions (RBF) , March 2006 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 67 PHỤ LỤC Mơi trường lập trình MATLAB MATLAB phần mềm công ty MathWorks phát triển với khả tính tốn nhanh tính đồ họa phong phú Là ngôn ngữ lập trình bậc cao kèm theo cơng cụ chun dụng nhà kỹ thuật sử dụng rộng rãi để tính tốn, phân tích, thiết kế giải tốn phức tạp Nó sử dụng công cụ để học giải tập trường đại học giới [1] Các khả thực MATLAB a Khả tính tốn MATLAB mơi trường tính tốn kỹ thuật nhanh với chế thơng dịch Trong MATLAB tích hợp tính tốn ma trận, giải tích số xử lý tín hiệu vào mơi trường dễ sử dụng Người dùng dễ dàng thực phép tốn ma trận, tính định thức, giải hệ phương trình, thực phép tốn khai triển …bằng dòng lệnh chế độ tương tác hay lập trình Các kỹ sư nhanh chóng giải tốn tối ưu, giải phương trình vi phân, tìm nghiệm phương trình phi tuyến hay giải phương trình Laplace phương pháp sai phân … Những người làm phân tích số liệu xử lý tín hiệu thỏa mãn hàm có sẵn MATLAB chẳng hạn biến đổi Fourier, hàm lọc … Lập trình MATLAB đơn giản, có tính mở mạnh MATLAB cho phép phát triển ứng dụng phần nhỏ thời gian so với việc sử dụng ngôn ngữ FORTRAN, BASIC, PASCAL C cung cấp số lượng lớn 500 hàm cài đặt sẵn hàm dạng file m Người lập trình can thiệp, phân tích chương trình để xây dựng ứng dụng thích hợp cho Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 68 b Khả xây dựng giao diện Với MATLAB xây dựng giao diện thuận tiện sinh động bao gồm thực đơn, nút lệnh nút điều khiển khác cho ứng dụng dạng đồ họa môi trường Windows c Khả đồ họa MATLAB cung cấp hàm đồ họa chiều chiều Nhờ vẽ đồ thị hàm biến biến, vẽ kiểu mặt lưới, contour, trường vận tốc, … Ngồi MATLAB cịn thể đối tượng chiều phức tạp hình trụ, hình cầu, hình xuyến, khả tạo hoạt hình, xử lý ảnh âm Chế độ làm việc MATLAB làm việc hai chế độ : tương tác lập trình a Chế độ tương tác (hội thoại) : cho phép nhập lệnh từ bàn phím thu kết xử lý lệnh từ máy tính Giao diện làm việc Matlab Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 69 b Chế độ lập trình : Các lệnh viết file chương trình (dạng m) cho phép chạy chương trình từ file lệnh MATLAB có nhiều Version khác cho phép chạy máy tính có hệ điều hành : DOS, UNIX, APPLE, WINDOWS, LINUX… Vấn đề giải tốn MATLAB dựa bước : Bước Đặt vấn đề Phân tích toán đặt biểu diễn chúng cách rõ ràng cụ thể Bước Mô tả liệu vào Làm rõ tham số sử dụng q trình tính tốn liệu Bước Tính toán tay với tập liệu vào đơn giản Nhằm tìm kiếm giải pháp cụ thể, chưa tìm liệu hay chưa tính đầu chuyển sang bước Bước Chuyển toán sang giải pháp MATLAB Sử dụng hàm tính, lệnh để mơ tả toán MATLAB Bước Kiểm tra Là bước cuối tiến trình giải tốn Cho tập liệu vào, MATLAB thực cho kết đầu Phân tích chỉnh sửa cần thiết Câu lệnh biến Trên dịng viết nhiều lệnh Mỗi lệnh cách dấu phảy dấu chấm phảy Nếu sau lệnh dấu chấm phảy MATLAB hiển thị kết lệnh cửa sổ lệnh Câu lệnh dài viết nhiều dòng dòng phải nối với dấu ba chấm Tên biến (từ version 5.1) dài tới 31 kí tự bao gồm AZ hay a-z chữ số dấu gạch Tên bắt đầu chữ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 70 khơng trùng với từ khóa Tên hàm đặt dùng làm tên biến nhiên hàm tác dụng biến xóa a Một số hàm tác động lên biến : Clear all Xóa tất biến vùng nhớ Clear name1, name2, … Xóa biến có tên định Pack Sắp xếp lại vùng nhớ cho biến Who Hiển thị tên biến Whos Hiển thị tên kiểu biến Who global Hiển thị biến cục b Kích thước biến Các biến không cần phải mô tả kiểu liệu kích thước Tùy theo giá trị gán cho biến mà kiểu kích thước xác định cho phù hợp Độ lớn hay chiều dài biến vector ma trận xác định qua hàm có sẵn MATLAB Size(A) Trả vector phần tử số hàng số cột ma trận [m,n]=size(A) Trả giá trị độ lớn ma trận Size(A,p) Trả số hàng p=1 số cột p>=2 c Một số biến định nghĩa trước Ans Lưu kết phép tính cuối Eps Trả độ xác tương đối tính tốn máy Pi Trả giá trị 3.1415926535897 Realmax Cho biết giá trị lớn máy tính Realmeal Cho biết giá trị nhỏ máy tính Inf Biểu diễn số vô NaN Biểu diễn kết qủa 0/0; ∞-∞ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 71 d Các lệnh đồ họa đơn giản Plot(x1,y1,s1,x2,y2,s2,…) Vẽ đồ thị mặt phẳng tọa độ đề Plot3(x1,y1,z1,s1,…) Vẽ đồ thị không gian tọa độ đề Title(‘tiêu đề’) Đưa tiêu đề đồ thị Xlabel, ylabel, zlabel Đưa vào nhãn cho trục Legend Đưa vào thích đường vẽ Grid Vẽ đường lưới đồ thị Ví dụ minh họa vẽ đồ thị hàm y=sin(x); y=x*cos(x); y=ln(x2+1) khoảng -2[u,v]=meshgrid(x,y) Trong : giá trị tọa độ điểm lưới trả vào ma trận u,v có kích thước n x m u : ma trận chứa n hàng giá trị vector x v : ma trận chứa m cột giá trị vector y Ví dụ >> x=1:3; y=1:5; >>[u,v]=meshgrid(x,y) u= 3 3 1 2 3 4 5 v= Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 77 * Các hàm tạo lưới : [u,v]=meshgrid(x,y) Tạo lưới chiều từ vector x,y [u,v]=meshgrid(x) Tạo lưới chiều vuông [u,v]=meshgrid(x,y,z) Tạo lưới chiều [x,y,z]=cylinder(r,n) Tạo lưới sinh mặt trụ mặt nón chiều cao r [x,y,z]=sphere(n) Tạo lưới sinh mặt cầu đơn vị Ví dụ Tạo lưới miền hình trịn bán kính r=3 r=linspace(0,3); fi=linspace(0,2*pi); [r,fi]=meshgrid(r,fi); x=r.*sin(fi);y=r.*cos(fi); mesh(x,y,zeros(size(x))); 0.5 -0.5 -1 4 0 -2 -2 -4 -4 Minh họa hàm tạo lưới 3D * Hàm vẽ đồ họa 3D thông thường Plot3(X,Y,Z,str) Vẽ đồ họa qua điểm xác định x,y,z; màu sắc nét vẽ xác định biến str b Mặt lưới đồ họa Matlab cung cấp hàm cho phép tạo mặt lưới cửa sổ đồ họa hàm z = f(x,y) Các bước thao tác sau : - Tạo lưới u,v theo biến x,y hàm meshgrid - Tính giá trị z = f(u,y) với u,v ma trận điểm tọa độ giá trị tương ứng trục x y - Vẽ mặt lưới hàm đồ họa tạo lưới Matlab Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 78 * Một số hàm tạo mặt lưới mesh(X,Y,Z,C) Vẽ mặt lưới tơ màu Điểm nhìn xác định từ hàm view Tỉ lệ trục xác định từ miền giá trị X,Y,Z thiết lập axis Thang màu xác định theo miền C thiết lập caxis mesh(x,y,Z,C) Khi hai đối số đầu vector; x,y phải thỏa mãn length(x)=n length(y)=m với [m,n]=size(Z) mmesh(Z,C) Lấy x=1:n y=1:m; độ cao Z lưới chữ nhật hiden on/off Vẽ/không vẽ đường khuất sau mặt lưới c Các hàm đồ họa bề mặt surf(Z,C) Tạo mặt 3D surfc(…) Vẽ mặt 3D vẽ đường mức mặt phẳng xOy surfl(…) Tương tự surf có thêm nguồn sáng fill3(X,Y,Z,C) Tô màu mặt đa giác, X,Y,Z vector, C màu tô Shading Điều khiển độ bóng màu đối tượng bề mặt(surface) màu(patch) shading flat Đặt độ bóng với màu cho patch(ơ màu) bề mặt xác định từ đỉnh shading interp Đặt độ bóng với màu patch bề mặt nội suy shading faceted Vẽ lưới bề mặt Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 79 d Các hàm nội suy liệu Hàm y=inter1(xi,yi,x,’method’) Nội suy đoạn biến xi,yi Trong : Tham số hàm nội suy inter1 (xi,yi) x method Tập số liệu rời rạc Điểm phải „nearest‟: nội suy theo điểm gần quan hệ y=f(x), ước lượng „linear‟ : nội suy tuyến tính yi ma trận nội suy theo cột „spline‟ : nội suy bậc ghép trơn „cubic‟ : nội suy bậc Hàm z=interp2(xi,yi,x,y,’method’) Nội suy đoạn biến xi,yi Bảng (xi,yi) xác định lưới chữ nhật): Hàm z=griddata(xi,yi,x,y,’method’) Sử dụng trường hợp bảng (xi,yi) không nằm lưới chữ nhật Tham số hàm nội suy inter2 griddata (xi,yi) x,y Ma trận (lưới) số Ma trận điểm liệu rời rạc phải ước lượng quan hệ z=f(x,y) Hoặc x vector hàng, y vector cột Hoặc vô hướng method „nearest‟: nội suy theo điểm gần „linear‟ : nội suy tuyến tính „spline‟ : nội suy bậc ghép trơn „cubic‟ : nội suy bậc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN NGUYỄN ĐỒNG SỸ NỘI SUY BỞI HÀM RBF VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐỒ HỌA MÁY TÍNH Chuyên ngành : KHOA HỌC MÁY TÍNH Mã số : 60 48 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ CÔNG NGHỆ THÔNG... hàm tạo lập RBF rbfinterp.m : chứa hàm sử dụng nội suy RBF rbfcheck.m : kiểm tra liệu RBF rbftest.m : thử nghiệm nội suy liệu chiều rbf2 d_export.m : thử nghiệm nội suy liệu chiều rbftest3d.m... 1.2.2 Nội suy xấp xỉ đa thức 1.2.3 Nội suy hàm ghép trơn 1.3 Nội suy xấp xỉ hàm nhiều biến 11 1.3.1 Nội suy hàm hai biến 11 1.3.2 Nội suy hàm ba biến