Hàm rbf và một số ứng dụng trong đồ họa máy tính

Hàm rbf và một số ứng dụng trong đồ họa máy tính

Trần Đức Thụ

HÀM RBF VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG ĐỒ HỌA MÁY TÍNH

Chuyên nghành: Khoa học máy tính Mã số: 60.48.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Đặng Quang Á

MQ: Multi Quadric

RBF: Radian Basic Function

DANH MỤC BẢNG

Bảng 2.1 : So sánh phương pháp trực tiếp và phương pháp nhanh 26 Bảng 2.2: So sánh việc khớp hàm RBF và thời gian tính toán trên máy

tính PIII tốc độ 550MHz Ram 512 33 Bảng 2.3: So sánh yêu cầu lưu trữ của việc nội suy bằng RBF và các

Hình 2.6: Thuật toán tham lam cho việc khớp RBF 25

Hình 3.4: Bề mặt với các đường pháp tuyến 45

Hình 3.5: Bề mặt với các đường pháp tuyến có đô dài < 0,5mm bị loại

Hình 3.6: Bề mặt sau khi khớp không có sự rút gọn tâm 48

Hình 3.7: Bề mặt sau khi khớp có sự rút gọn tâm 49

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1.5 Nội suy với độ chính xác đa thức và hàm xác định dương có điều kiện

7

1.2 Bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tượng 3D 11

Chương 2: NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG HÀM RBF VÀO CÁC BÀI TOÁN KHÔI PHỤC VÀ BIỂU DIỄN CÁC ĐỐI TƯỢNG 3D

MỞ ĐẦU

Ngày nay với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin, con người đã ứng dụng những thành tựu của nó trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau Máy tính đã trở thành một công cụ hỗ trợ đắc lực cho con người trong việc xử lý dữ liệu một cách nhanh chóng và chính xác

Đồ họa máy tính là một lĩnh vực của khoa học máy tính nghiên cứu các phương pháp và kỹ thuật biểu diễn và thao tác các dữ liệu số hóa của các vật thể trong thực tế Lĩnh vực này được phát triển dựa trên nền tảng của hình học họa hình, hình học tính toán, hình học vi phân cùng nhiều kiến thức toán học của đại số và giải tích, cũng như các thành tựu của phần cứng máy tính

Thuật ngữ "đồ họa máy tính" (computer graphics) được đề xuất bởi một chuyên gia người Mỹ tên là William Fetter vào năm 1960 Khi đó ông đang nghiên cứu xây dựng mô hình buồng lái máy bay cho hãng Boeing William Fetter đã dựa trên các hình ảnh 3 chiều của mô hình người phi công trong buồng lái để xây dựng nên mô hình buồng lái tối ưu cho máy bay Boeing Đây là phương pháp nghiên cứu rất mới vào thời kỳ đó

Trong đồ họa máy tính bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tượng 3D là một trong các bài toán cơ bản Công cụ quan trọng để giải quyết bài toán này là lý thuyết nội suy hàm số nhiều biến Để nội suy hàm số từ một tập điểm đã biết thông thường người ta sử dụng các hàm ghép trơn (spline) và các biến dạng của nó Từ khoảng hai chục năm nay người ta đã và đang phát triển một kỹ thuật nội suy mới có độ chính xác cao Đó là nội suy bởi hàm cơ sở bán kính (radial basis functions) viết tắt là RBF Phương pháp nội suy này đã được sử dụng trong nhiều lĩnh vực của CNTT như xử lý tín hiệu, xử lý ảnh và lý thuyết điều khiển Một số phần mềm về hàm RBF và các ứng dụng cũng đã được phát triển

Luận văn gồm có ba chương:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm RBF Những tính chất của hàm RBF được áp dụng cho bài toán nội suy dữ liệu rời rạc Đây là những kiến thức cơ sở rất quan trọng Tìm hiểu về bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tượng 3D

Chương 2: Nghiên cứu ứng dụng hàm RBF vào bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tượng 3D

Chương 3: Tiến hành khai thác phần mềm FASTRBF

Em xin được bày tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo PGS.TS Đặng Quang

Á đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành luận văn này Em cũng xin chân

thành cảm ơn các thầy cô giáo, bạn bè, đồng nghiệp, Khoa Công nghệ Thông tin – Đại học Thái Nguyên và Trường Cao đẳng Công nghiệp Việt Đức (Thái Nguyên) đã động viên, giúp đỡ em trong quá trình học tập và nghiên cứu

Thái Nguyên, ngày 30 tháng 10 năm 2009

TÁC GIẢ

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở về hàm cơ sở bán kính (RBF), bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tượng 3D

1.1 Hàm cơ sở bán kính (RBF):

1.1.1 Nội suy dữ liệu rời rạc:

Trong nhiều vấn đề khoa học kỹ thuật cần giải bài toán: Cho tập dữ liệu (gồm các kết quả đo đạc và vị trí thu được những kết quả đó), yêu cầu tìm một quy tắc cho phép suy diễn thông tin từ những kết quả đã có Vì vậy ta mong muốn tìm một hàm “đủ tốt” phù hợp với tập dữ liệu đã có Có nhiều cách để quyết định thế nào là tốt và một trong các tiêu chuẩn là muốn hàm xấp xỉ có giá trị chính xác với những kết quả đo đạc được tại những vị trí đã cho – Đáp ứng tiêu chuẩn này gọi là bài toán nội suy Và nếu những vị trí mà đã cho kết quả đo đạc không nằm trên một lưới chuẩn thì tiến trình trên gọi là nội suy dữ liệu rời rạc Chính xác hơn ta có:

Bài toán 1.1 Cho tập dữ liệu x ,jyj,j1, ,n với xj  Rs

Ý tưởng chung để giải quyết bài toán nội suy là tìm hàm Pf dưới dạng

tổ hợp tuyến tính của hệ hàm cơ sở  nkk

c 1:

Trong đó Ajk Bk xj;j,k1, ,n; Tn

c 1, , ; Tn

yyy 1, ,

Bài toán 1.1 sẽ được đặt đúng, nghĩa là tồn tại và duy nhất nghiệm, khi

và chỉ khi ma trận A không suy biến

Trong trường hợp một chiều, ta luôn xây dựng được đa thức nội suy

bậc n – 1 cho n điểm nội suy phân biệt tùy ý Tuy nhiên khi s ≥ 2, ta có kết

quả phủ định sau:

thì trong  không tồn tại không gian Haar các hàm liên tục, trừ trường hợp không gian một chiều

Trong đó, không gian Haar được định nghĩa như sau:

Gọi B1,B2, ,Bn là một cơ sở của B Khi đó B được gọi là không gian Haar trên  nếu det A 0với mọi tập các điểm phân biệt x1,x2, ,xn Ở đây ma trận A là ma trận được xây dựng bởi Aj,k Bk xj;j,k1, ,n

Sự tồn tại của không gian Haar đảm bảo tính khả nghịch của ma trận nội suy, nghĩa là tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán nội suy 1.1 Không gian các đa thức một biến bậc n1 chính là không gian Haar n chiều với

tập dữ liệu x ,jyj, j1, ,n, xj  R, yj  R Cơ sở chính tắc của không

11,,, , n

Định lý trên cho thấy, để giải quyết bài toán nội suy dữ liệu rời rạc trong không gian nhiều chiều chúng ta không thể xây dựng trước tập các hàm cơ sở không phụ thuộc dữ liệu Để giải quyết vấn đề không suy biến

của ma trận A, ta cần một phương pháp khác để xây dựng hàm nội suy

Thay vì sử dụng biểu diễn tuyến tính thông qua một hệ hàm cơ sở không phụ thuộc dữ liệu, ta biểu diễn tuyến tính thông qua một hàm đơn phụ thuộc dữ liệu đã cho, có tính khoảng cách, đối xứng với tâm nào đó của dữ

liệu tương ứng Phương pháp này được đề xuất bởi R.L Hardy năm 1971

và được gọi là phương pháp hàm cở sở bán kính

1.1.2 Ma trận và hàm xác định dương:

Định nghĩa 1.2 Ma trận giá trị thực, đối xứng A được gọi là nửa xác định

dương nếu dạng toàn phương tương ứng là không âm:

c 1, ,  Rn Nếu dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi T

thì ma trận A được gọi là xác định dương

Tính chất quan trọng của ma trận xác định dương là nó có tất cả các giá trị riêng đều dương và không suy biến

Nếu hệ hàm cơ sở  nkk

B 1 trong khai triển (1.2) làm cho ma trận nội suy

xác định dương thì bài toán nội suy được đặt đúng Hàm xác định dương được định nghĩa như sau:

 n

(1.6) Ma trận nội suy trở thành:

1.1.4 Hàm xác định dương và đơn điệu hoàn toàn:

Trong phần này trình bày kết quả quan trọng xây dựng một số hàm bán kính thỏa mãn tính khả nghịch của ma trận nội suy tương ứng, dựa trên tính chất của hàm đơn điệu hoàn toàn

Định nghĩa 1.5 Hàm C  R0 được gọi là đơn điệu hoàn toàn khi và

với mọi l0,1, , với mọi t

Việc xây dựng hàm bán kính xác định dương thông qua hàm đơn điệu hoàn toàn dựa vào kết quả sau, được đưa ra bởi Schoenberg năm 1938

với mọi tập điểm hữu hạn phân biệt từng đôi một x1,x2, ,xn  Rs

, hàm bán kính   2

rx 

 , r x là hàm xác định dương

Ví dụ 1.1

Xét hàm (t) = e–t với  ≥ 0 Ta có: (– 1)l(l)

(t) = ()l e–t > 0 Suy ra

hàm này là đơn điệu hoàn toàn Do đó hàm Gaussian (GA) (r)=e–r có thể sử dụng làm hàm cơ sở bán kính đảm bảo tính xác định dương của ma trận nội suy

Tương tự, hàm (t) = (t + 2

), , > 0 cũng là hàm đơn điệu hoàn

toàn Hàm cơ sở bán kính (r) = (r2 + 2

), , > 0 được gọi là hàm

Inverse Multiquadric (IMQ)

Theo định nghĩa hàm đơn điệu hoàn toàn, ta có (t) ≥ 0, (t)  0, … Tuy nhiên nếu có  đơn điệu hoàn toàn ((t) ≥ 0, (t)  0, …) ta vẫn có thể sử dụng được hàm  đảm bảo ma trận không suy biến

Định lý 1.3 Cho   C[0,+) là hàm thỏa mãn  đơn điệu hoàn

toàn, khác hằng số Giả sử thêm rằng (0) ≥ 0 Khi đó ma trận nội suy

không suy biến với (x) = (||x||) = (r2)

Trong trường hợp tổng quát, nếu với giả thiết yếu hơn về tính đơn điệu hoàn toàn của , nghĩa là (k)

, k ≥ 1 là hàm đơn điệu hoàn toàn thì cần các

điều kiện nào để sử dụng được  (theo định nghĩa ma trận nội suy tương

ứng không suy biến)? Vấn đề này đã được Micchelli (1986) nghiên cứu và đưa ra những kết quả quan trọng về hàm xác định dương có điều kiện 1.1.5 Nội suy với độ chính xác đa thức và hàm xác định dương có điều

s (đa thức thuộc không gian các đa thức s biến có bậc

 m – 1) Nếu đẳng thức chỉ xảy ra với c = 0 thì  gọi là xác định dương chặt có điều kiện

Điều quan trọng là có thể sử dụng hàm xác định dương có điều kiện bậc

m để nội suy nếu ta cộng vào biểu thức (1.6) một đa thức đa biến bậc

m1 triệt tiêu trên tập dữ liệu đã cho Cụ thể, hàm nội suy với độ chính xác đa thức được cho dưới dạng:

,0 

với các ký hiệu đa chỉ số:   N8

0, || = 

i, và x = x 1

.x 2

,,

Để xác định các hệ số a1,a2,a3 sử dụng (1.11), được thêm ba điều kiện sau:

Vậy ta được hệ n + 3 phương trình n + 3 ẩn Từ đó có thể tìm được Pf(x,y)

Trong trường hợp tổng quát, bài toán (1.10) sẽ dẫn tới hệ đại số tuyến tính sau:



= 0

Trong đó:

A = njkj

x, j = 1, 2, …, n; d là ma trận các hệ số của p(x) Việc xây dựng cấu trúc cụ thể của các hàm bán kính xác định dương có điều kiện (x) = (r) dựa trên định lý:

Định lý 1.4 Cho  là hàm liên tục và thỏa mãn  kk  k

drrd 

r           

           

toàn Hơn nữa, với mọi m, m ≥   , (– 1)m(m)

(r) cũng là hàm đơn điệu

hoàn toàn Vì vậy, hàm bán kính Multiquadric (MQ) tổng quát

rk  

  

 vì vậy (–1)/2/2(r) là

hàm đơn điệu hoàn toàn Hơn nữa, với mọi m, m ≥ /2 hàm

 1mm r cũng là hàm đơn điệu hoàn toàn Vì vậy, hàm Năng lượng

   

,1 /2 

 r  r  > 0,   2N là hàm xác định dương chặt có điều kiện

bậc m, m ≥ /2

3 Hàm Thin plates spline (TPS) (r) = (– 1)k+1r2k lnr, kN

Là các hàm xác định dương chặt có điều kiện bậc m ≥ k+1 Thật

vậy: Xét hàm (r) = (– 1)k+1(r)k lnr Khi đó, đào hàm cấp l, l  k của

(r) là: (l)

(r) = (–1)k+1k(k – 1)…(k – l +1)rk-l lnr + pl(r), trong đó pl(r) là đa thức bậc k – l Vì vậy, đạo hàm cấp k sẽ là: (k)

   

1 ffff

f  ;

Cho trước tập giá trị zij  fxi,yj; i, j = 1,…,n, trong đó (xi,yj)  [0,1]2 là tập điểm nội suy Để đơn giản, chúng tôi chọn tập điểm nội suy là lưới đều trên miền [0,1]2

và tập tâm trùng với tập điểm nội suy

Xây dựng hàm nội suy Pj = 

- Sai số tương đối:     2

11 2

- Sai số lớn nhất:      Pfj  fj  Pf  f

Bảng 1.1 Sai số nội suy hàm Frank với  = 3

1.2 Bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tượng 3D:

Ngày nay, nhờ sự phát triển như vũ bão của khoa học kỹ thuật – công nghệ mà loài người đã có những bước tiến lớn trong nhiều lĩnh vực khác nhau Và một trong số đó là vấn đề khôi phục và biểu diễn các đối tượng 3D

Khôi phục đối tượng 3D đã trở thành một nhu cầu cần thiết trong các lĩnh vực khác nhau như: Tạo ảnh trong y học, các ứng dụng mỹ thuật, thiết kế sản phẩm, tạo nguyên mẫu nhanh và trong các phạm vi khác Việc tạo mô hình 3D bằng phương pháp thủ công tốn nhiều thời gian và do vậy chi phí sẽ đắt đỏ Vì lý do đó, các kỹ thuật đã và đang tiếp tục được nghiên cứu, các kỹ thuật này cho phép khôi phục tự động các đối tượng 3D Các kỹ thuật này có thể chia thành 2 phương pháp: phương pháp chủ động và phương pháp bị động [25] Nhược điểm của các phương pháp chủ động là quá trình khôi phục có thể trở thành một công trình ngân sách cao Vì lý do đó, cách tiếp cận được giới thiệu thuộc về các phương pháp bị động, nó yêu cầu ít thiết bị hơn và có thể áp dụng một cách tổng quát hơn

Các phương pháp khôi phục các đối tượng 3D truyền thống không thực hiện tốt ở hai hướng:

- Thứ nhất: Chúng không thể xử lý các trường hợp có độ phức tạp cao được tìm thấy trong tự nhiên (Ví dụ: các bộ phận của con người hay các ảnh cực nhỏ của mô)

- Thứ hai: Chúng không đưa dữ liệu bề mặt vào một định dạng làm cho gọn và thích hợp để mô phỏng, hiển thị hoặc định vị

Có 5 trường hợp khôi phục các đối tượng 3D [26] Trường hợp đầu tiên là với các ảnh được chụp bằng máy ảnh không định cỡ, làm việc với loại ảnh này có thể khôi phục lại đối tượng so sánh với các phép biến đổi ảnh xạ Hai là, khôi phục từ các máy ảnh định cỡ làm việc với loại ảnh này có thể khôi phục lại đối tượng so sánh với các phép biến đổi đồng dạng Ba là, các thuộc tính đại số của các hàm đa tuyến tính và các lý tưởng phát sinh bởi chúng được nghiên cứu Trường hợp thứ tư sử dụng kỹ thuật khôi phục Ơ-clít khi một số thông tin của các máy ảnh được đưa ra Trường hợp

cuối cùng là khôi phục một ảnh của một đối tƣợng hoặc bản vẽ nét đƣợc biết tới là mảnh 2 chiều

Nhƣ vậy có thể thấy rằng bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tƣợng 3D là một bài toán có ý nghĩa rất lớn và quan trọng

Chương 2: NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG HÀM RBF VÀO BÀI TOÁN KHÔI PHỤC VÀ BIỂU DIỄN CÁC ĐỐI TƯỢNG 3D

Chúng ta sử dụng hàm cơ sở bán kính đa điều hòa (RBFs) để khôi phục lại các bề mặt nhẵn, đa tạp từ tập các điểm dữ liệu tập trung và phục hồi các lưới điểm không đầy đủ Một bề mặt của đối tượng được định nghĩa hoàn toàn giống như một tập hợp số 0 của một hàm cơ sở bán kính phù hợp với dữ liệu bề mặt đã cho Các phương pháp nhanh cho việc khớp dữ liệu và tính giá trị hàm RBF cho phép chúng ta mô hình các tập hợp dữ liệu lớn, bao gồm hàng triệu các điểm bề mặt, bằng một hàm RBF đơn trước một bài toán khó giải Một thuật toán tham lam trong quá trình khớp dữ liệu làm rút gọn số lượng các tâm RBF yêu cầu để biểu diễn một bề mặt và các kết quả ở dạng nén đáng kể và hơn nữa là thuận lợi cho tính toán Đặc trưng cực tiểu hóa năng lượng của các hàm ghép trơn đa điều hòa dẫn đến nội suy trơn nhất Đặc trưng tỷ lệ điều hòa này là đủ thích hợp để khôi phục các bề mặt từ dữ liệu mẫu không đều Các lỗ là sự khớp dữ liệu nhẵn và sự ngoại suy nhẵn các bề mặt Chúng ta sử dụng một phép xấp xỉ không nội suy khi dữ liệu là nhiễu Sự biểu diễn hàm thực ra mà nói là một mô hình đặc, có nghĩa là độ chênh lệch và chuẩn bề mặt có thể được phân tích rõ ràng Sự hỗ trợ này sinh ra các lưới đều và chúng ta thấy rằng sự biểu diễn RBF có các lợi ích cho việc rút gọn lưới và sự áp dụng lại lưới

Hình 2.1: (a) Khớp một hàm RBF vào một tập hợp các điểm dữ liệu tập trung 438.000 điểm (b) Sự phục hồi lưới tự động sử dụng hàm RBF song điều hòa

2.1 Các bề mặt ẩn:

Bài toán khôi phục hoặc biểu diễn bề mặt có thể phát biểu như sau:

Bài toán 2.1 Cho n điểm phân biệt niii

x ,, 1 trên một bề mặt M trong không gian R3, tìm một bề mặt M’ là gần đúng hợp lý với M

Phương pháp của chúng ta là mô hình bề mặt ẩn bằng một hàm f(x,y,z) Nếu một bề mặt M gồm có tất cả các điểm (x,y,z) thỏa mãn phương trình:

thì chúng ta nói rằng hàm f xác định không tường minh bề mặt M Mô tả

các bề mặt ẩn với rất nhiều loại hàm là một kỹ thuật nổi tiếng [10]

Trong hình học kiến thiết vật thể (CSG) một mô hình ẩn được tạo thành từ các hàm sơ cấp đơn giản nhờ sự kết hợp của các phép toán Boolean (phép hợp, phép giao vv ) và các hàm trộn Các kỹ thuật CSG thích hợp cho việc thiết kế các đối tượng trong CAD hơn là phục hồi các đối tượng từ dữ liệu mẫu Các mặt đại số bậc thấp từng mẩu, đôi khi được xem như là các miếng vá ẩn hoặc các tập nửa đại số, cũng có thể được sử dụng để định nghĩa các bề mặt ẩn

Chúng ta mong muốn mô hình được toàn bộ đối tượng với một hàm đơn liên tục và khả vi Sự mô tả hàm đơn có một số ưu điểm thông qua các

bề mặt giới hạn từng mẩu và các miếng vá ẩn Nó có thể tính toán ở mọi nơi để sinh ra một lưới đặc biệt, nghĩa là sự biểu diễn một bề mặt đa tạp có thể được tính toán với cách giải mong muốn khi được yêu cầu Hiếm khi, các bề mặt mẫu không đều có thể mô tả một cách đơn giản và bài toán tham số hóa bề mặt kết hợp với việc khớp từng mẩu các miếng vá hàm ghép trơn bậc ba là nên tránh

Carr et al [11] sử dụng hàm cơ sở bán kính để khôi phục các bề mặt hộp xương sọ bằng việc nội soi 3D CT Dữ liệu xung quanh các lỗ lớn không đều trong hộp sọ được nội suy sử dụng hàm xác định dương chặt RBF Tấm titan được đúc trong khuôn của bề mặt thích hợp để tạo thành một hộp sọ giả Tài liệu đó khai thác các đặc điểm nội suy và ngoại suy của hàm RBF hợp lý như các đặc tính vật lý cơ bản của hàm xác định dương chặt Tuy nhiên, phương pháp chỉ giới hạn mô hình các bề mặt mà có thể biểu diễn rõ ràng như một hàm 2 biến Trong luận văn này chúng tôi chứng minh được rằng bằng cách sử dụng các phương pháp nhanh, hàm RBF có thể khớp các tập dữ liệu 3D gồm có hàng triệu điểm không có các giới hạn trên cấu trúc liên kết bề mặt – loại tập dữ liệu cơ bản của các ứng dụng công nghiệp

2.2 Khớp một hàm ẩn vào một bề mặt

Ta muốn tìm một hàm f mà xác định không tường minh một bề mặt M’

và thỏa mãn phương trình

fiii  

với niiizyx ,, 1

(  là các điểm nằm trên bề mặt Để tránh trường hợp nghiệm

tầm thường mà f là 0 ở mọi nơi, các điểm ngoài bề mặt được bổ sung vào

dữ liệu vào và chúng đưa ra các giá trị khác 0 Việc này mang đến một vấn

Điều này vẫn mang đến một bài toán tạo ra các điểm ngoài bề mặt

(  và giá trị di tương ứng

Một sự lựa chọn hiển nhiên cho hàm f là một hàm khoảng cách điểm, với giá trị di được chọn là khoảng cách tới điểm gần nhất trên bề mặt Các điểm bên ngoài đối tượng được gán các giá trị dương, trong khi các điểm bên trong được gán giá trị âm Theo Turk &O‟Brien những điểm ngoài bề mặt được sinh ra bởi phần nhô ra dọc theo các đường pháp tuyến bề mặt Các điểm ngoài bề mặt có thể được gán với mỗi mặt của bề mặt như được minh họa trong hình 2.2

Đẳng mặt

f(x) = 0

f(x) > 0

f(x) < 0

Hình 2.2: Một hàm khoảng cách điểm được xây dựng từ dữ liệu bề mặt bằng việc định rõ các điểm ngoài bề mặt dọc theo các đường pháp tuyến bề mặt Những điểm này có thể được định rõ ở mỗi phía của bề mặt hoặc không ở phía nào cả.

Hình 2.3 Sự khôi phục của một bàn tay từ đám điểm có và không thông qua các độ dài pháp tuyến

Kinh nghiệm cho thấy rằng tốt hơn hết là bổ sung tại một điểm dữ liệu hai điểm ngoài bề mặt, mỗi điểm nằm trên một phía của bề mặt Trong hình 2.3 các điểm bề mặt nhận được từ việc quét laser của một bàn tay được biểu thị bằng màu xanh Các điểm ngoài bề mặt được mã hóa màu theo khoảng cách của chúng xuất phát từ điểm được liên kết trên bề mặt của chúng Màu nóng (màu đỏ) mô tả các điểm dương nằm ở bên ngoài bề mặt trong khi màu lạnh (xanh) nằm ở bên trong Có hai bài toán cần giải

Các điểm pháp tuyển ngoài bề mặt

Các điểm trên bề mặt

quyết: xác định các đường pháp tuyến bề mặt và định rõ khoảng cách hình chiếu thích hợp

Nếu ta có một lưới không hoàn toàn, thì rất đơn giản để định nghĩa các điểm ngoài bề mặt từ đó các đường tiếp tuyến được bao hàm bởi sự liên kết lưới tại mỗi đỉnh Trong trường hợp điểm dữ liệu tập trung không có trật tự, các đường tiếp tuyến có thể được tính toán từ một vùng lân cận của các điểm Việc này cầu xác định cả phương pháp tuyến và định rõ hướng của pháp tuyến Chúng ta xấp xỉ cục bộ điểm dữ liệu tập trung với một mặt phẳng để tính toán phương pháp tuyến và sử dụng tính tương thích và/hoặc thông tin bổ sung như vị trí máy quét để quyết định hướng của pháp tuyến Thông thường, rất khó để dự đoán chắc chắn các pháp tuyến ở khắp nơi Tuy nhiên, không giống như các phương pháp khác mà cũng dựa trên việc tạo thành một hàm khoảng cách điểm, nó không quyết định để dự đoán các đường pháp tuyến ở mọi nơi Nếu phương pháp tuyến hoặc hướng là không xác định tại một điểm đặc biệt thì chúng ta không đặt một pháp tuyến tại điểm đó Thay vào đó, chúng ta cho phép thực tế điểm dữ liệu là một điểm 0 (nằm trên bề mặt) ràng buộc vào hàm trong vùng đó

Đưa ra một tập hợp các pháp tuyến bề mặt, phải thận trọng khi đưa ra các điểm ngoài bề mặt dọc theo các pháp tuyến để đảm bảo rằng chúng không cắt các phần khác của bề mặt Điểm chiếu là được vẽ ra do đó điểm bề mặt gần nhất là điểm bề mặt sinh ra nó Miễn là điều kiện ràng buộc này thỏa mãn, bề mặt được xây dựng lại là tương đối không nhạy với khoảng cách hình chiếu Hình 2.3(c) minh họa cho tác động của các điểm ngoài bề mặt nhô ra các khoảng không thích hợp dọc theo các đường pháp tuyến Các điểm ngoài bề mặt đã lựa chọn nằm cách một khoảng cố định

tính từ bề mặt Bề mặt kết quả, với f bằng 0 bị biến dạng trong vùng lân

cận của các ngón tay ở chỗ mà các véc tơ pháp tuyến đối lập đã cắt nhau

và đã sinh ra các điểm ngoài bề mặt với giá trị khoảng cách tới bề mặt không đúng, cả về điểm và độ lớn Trong hình 2.3(a) và (b) giá trị của các khoảng cách ngoài bề mặt và hình chiếu động đã đảm bảo rằng các điểm ngoài bề mặt sinh ra một miền khoảng cách nhất quán với dữ liệu bề mặt Hình 2.4 là một mặt cắt qua các ngón tay của bàn tay Hình ảnh minh họa cách hàm RBF xấp xỉ một hàm khoảng cách gần giống bề mặt của đối tượng Các đẳng đường tại +1, 0 và -1 ở phần trên của hình và hình dáng hàm tương ứng bên dưới, minh họa việc làm thế nào các điểm ngoài bề mặt sinh ra một hàm với một đại lượng chênh lệch gần bằng 1 gần bề mặt

Hình 2.4: Mặt cắt qua các ngón tay của một bàn tay được khôi phục từ tập điểm tập trung trong hình 2.3 Đẳng đường tương ứng với +1, 0 và -1 được hiển thị (trên đỉnh) cùng với một mặt cắt nghiêng của hàm cơ cở bán kính (bên dưới) dọc theo đường thẳng xuất hiện

2.3 Nội suy hàm cơ sở bán kính

Cho một tập các điểm bề mặt có giá trị bằng 0 và các điểm ngoài bề mặt khác 0 bây giờ chúng ta có một bài toán nội suy dữ liệu tán xạ: chúng

ta muốn xấp xỉ hàm khoảng cách điểm f(x) bằng một hàm nội suy s(x) Bài

toán có thể được phát biểu như sau:

Bài toán 2.2 Cho một tập hợp các nút riêng biệt  N 

X 1 R3 và một tập hợp các giá trị hàm  N 

f 1 R, tìm một hàm nội suy: R3 → R như sau:

với bình phương đạo hàm cấp hai khả tích Không gian này là đủ lớn để có nhiều lời giải cho bài toán 2.2 và vì vậy chúng ta có thể định nghĩa không gian affin của các phép nội suy:

S = {s  BL(2) (R3) : s(xi) = fi, i = 1,…,N} (2.3) Không gian BL(2) (R3) được trang bị bởi nửa chuẩn bất biến xoay định nghĩa bởi

 

Nửa chuẩn này là một độ đo của năng lượng hoặc “độ nhẵn” của các hàm: các hàm với nửa chuẩn nhỏ là nhẵn hơn so với các hàm có nửa chuẩn lớn Duchon [13] chứng tỏ rằng nội suy trơn nhất, nghĩa là:

có dạng đơn giản

với p là một đa thức bậc thấp và hàm cơ sở  là một hàm giá trị thực trong khoảng [0,), thường không bị chặn và chứng minh không chặt Trong

tình huống này các điểm xi được xem như là các tâm của RBF

Các lựa chọn phổ biến cho hàm cơ sở  bao gồm hàm xác định dương chặt (r)r2log(r)(cho việc khớp các hàm trơn hai biến), hàm Gauss

(r  cr2

 (chủ yếu cho các mạng thần kinh), và hàm đa bậc hai 2

(r  r c

 (cho nhiều ứng dụng, trong việc khớp đặc biệt với dữ liệu định vị) Với các hàm khớp dữ liệu 3 biến, lựa chọn tốt bao gồm hàm ghép trơn song điều hòa ((r)r,tức là, phương trình (2.5)) và tam điều hòa

)(r r

Một lựa chọn tùy ý các hệ số itrong phương trình (2.5) sẽ sinh ra một

hàm s* không thuộc BL(2) (R3) Điều kiện *

s BL(2) (R3) kéo theo tính trực giao hay các điều kiện bổ sung

Thông thường hơn, nếu đa thức trong phương trình (2.6) là bậc m thì

điều kiện bổ sung đặt lên các hệ số là:

N iqxi, cho tất cả các đa thức q bậc cao nhất của m (2.7)

Các điều kiện bổ sung này cùng với các điều kiện nội suy của phương trình (2.2) dẫn đến một hệ tuyến tính để tìm ra các hệ số định rõ hàm RBF

Cho {p1,…,pl} là một cơ sở các đa thực bậc cao nhất là m và cho

c 1, , là các hệ số tạo lên p trong cơ sở này Thì phương trình (2.2)

và (2.7) có thể viết dưới dạng ma trận như sau: 

với

Trong trường hợp cụ thể của hàm ghép trơn song điều hòa trong không gian 3D, nếu giả thiết rằng phần đa thức của hàm RBF trong phương trình (2.5) có dạng p(x)c1 c2xc3yc4z, thì

x ,,),(, ,),

(c1 c2 c3 c4 Tc

Giải hệ tuyến tính (2.8) xác định được  và c, và từ đó xác định s(x)

Tuy nhiên, ma trận B trong phương trình (2.8) có các điều kiện không

đáng kể như số lượng các điểm dữ liệu N nhận được lớn hơn Những điều

này có nghĩa là những lỗi chính yếu nhất sẽ dễ dàng đưa vào lời giải chuẩn nào

Thoạt nhìn, bản chất địa phương cơ bản của hàm Gauss, hàm đa bình phương ngược (()()2)

 rcr

 và các hàm cơ sở tựa chặt dường như dẫn đến các đặc tính mong muốn trong hàm RBF Ví dụ ma trận B có cấu trúc đặc biệt (rải rác) có thể khai thác bởi các phương pháp nổi tiếng và sự tính toán của phương trình (2.6) chỉ yêu cầu phép tổng qua các tâm xung quanh

thay cho tất cả các tâm N Tuy nhiên, các hàm cơ sở tựa không chặt là phù

hợp hơn với phép ngoại suy và phép nội suy không đều, dữ liệu lấy mẫu không cùng kiểu Thật vậy, các thử nghiệm số sử dụng hàm Gauss và các đa thức từng mẩu tựa chặt cho việc khớp các bề mặt vào các điểm tập trung đã cho thấy rằng những hàm cơ sở này sinh ra các bề mặt với nhiều thành phần lạ không mong muốn tại phần thêm vào chỗ thiếu của phép ngoại suy ngang qua các lỗ

Các thuộc tính tối giản năng lượng của hàm ghép trơn song điều hòa giúp chúng rất phù hợp để biểu diễn các đối tượng 3D Từ đó hàm cơ sở tương ứng (r)r không tựa chặt và trở lên lớn tùy ý khi r dần tới vô cực, ma trận tương ứng B của phương trình (2.8) không bị thưa và trừ cấu trúc

cân đối, không có cấu trúc rõ ràng nào có thể khai thác trong việc giải hệ

Lưu trữ tam giác dưới của ma trận B đòi hỏi khoảng trống cho

2)1(3 N

số thực Cách giải quyết thông qua một giải pháp đối xứng sẽ đòi hỏi

 chỗ lưu trữ Đối với một bài toán với 20.000 điểm dữ liệu đây là một yêu cầu với xấp xỉ 9

1 bytes (1.5GB) bộ nhớ lõi là không thực tế

Hơn nữa, điều kiện không đúng của ma trận B có thể tạo ra bất kỳ kết quả

nào một trong số đó lấy từ một phép tính trực tiếp không đáng tin cậy lắm Như vậy, rõ ràng các phương pháp trực tiếp không thích hợp cho các bài toán với N2,000 Hơn nữa, một phép tính đơn trực tiếp của phương trình

(2.6) cần đến các phép tính O(N) Các hệ số này đã dẫn đến nhiều tác giả

kết luận rằng, cho dù hàm cơ sở bán kính thường là phép nội suy được lựa chọn, chúng chỉ phù hợp cho những bài toán với nhiều nhất vài ngàn điểm [14,15]

Độ chính xác điều chỉnh

+ các nút nội suy - - - - độ chính xác tính toán

. các điểm tính toán đƣa ra khớp bằng RBF

trong hình ảnh cuối cùng

Bảng 2.1 : So sánh phương pháp trực tiếp và phương pháp nhanh

Đòi hỏi bộ nhớ

2)1(N 

Sự mô tả đầy đủ về phương pháp FMM là vượt qua phạm vi của luận văn này Tuy nhiên, chúng ta đưa ra những nét chính ngắn gọn của phương pháp này

Phương pháp FMM dùng thực tế đơn giản là khi quá trình tính toán được thực hiện, độ chính xác vô hạn không là yêu cầu mà cũng không là sự kỳ vọng Đôi khi điều này là đúng, việc dùng phép xấp xỉ là được phép Với sự tính toán một hàm RBF, phép xấp xỉ một lựa chọn là sự mở rộng phạm vi xa và gần Với các tâm gộp lại trong một phương pháp phân cấp, sự mở rộng phạm vi xa và gần được sử dụng để sinh ra một phép xấp xỉ tới