Luận văn: Dưới vi phân của hàm lồi và một số ứng dụng trong tối ưu doc

[...]... hàm lồi, khảo sát tính đơn điệu của dưới vi phân, khảo sát tính liên tục của ánh xạ dưới vi phân và một số phép tính với dưới vi phân Mục cuối của chương sẽ giới thiệu về dưới vi phân xấp xỉ và một số tính chất của nó 2.1 Đạo hàm theo phương Cho một hàm n-biến f : Rn R {+} Khi cố định một phương và xét hàm nhiều biến trên phương đó , thì ta có một hàm một biến Giả sử một phương cho trước xuất phát... phân của hàm lồi Phép tính vi phân là một trong những đề tài cơ bản nhất của giải tích cổ điển Trong giải tích lồi, lý thuyết này lại càng trở nên phong phú nhờ những tính chất đặc biệt của tập lồi và hàm lồi Mục đầu tiên của chương này sẽ xét đến đạo hàm theo phương của một hàm lồi Tiếp đến ở mục 2, sẽ đưa ra định nghĩa về dưới vi phân và các tính chất của nó như: Xét tính khả vi của hàm lồi, khảo sát... họ tuỳ ý các hàm số trên Rn và E Rn Hàm cận trên của họ hàm này trên coE , ký hiệu là VI f là hàm số được định nghĩa như sau: (VI f )(x) := SupI f (x) với mỗi x coE 16 Mệnh đề 1.3 Giả sử {f }I là một họ hàm lồi trên đó hàm cận trên của họ hàm này là một hàm lồi trên 1.2.4 và E Rn Khi coE Bất đẳng thức lồi Cho Định nghĩa 1.23 trên Rn D Rn là một tập lồi và f1 , , fm là các hàm lồi Rn Hệ bất... nghĩa hàm liên hợp thì f (x) := (f ) (x) = Sup{ x, s f (s) | s Rn } Hàm liên hợp thứ hai tất nhiên luôn là một hàm lồi đóng Mệnh đề 1.6 Giả sử f + và tồn tại một hàm non a-phin của f Khi đó epi f = co(epi f ) Hệ quả 1.3 f f Định nghĩa 1.25 khi và chỉ khi Hàm f là hàm lồi, đóng l là hàm non a-phin của một hàm f trên Rn nếu l là hàm a-phin trên Rn và l(x) f (x) x Rn Chương 2 Dưới vi phân của hàm. .. Vậy SC là hàm lồi trên C Định nghĩa 1.16 Cho f : Rn R {+} (không nhất thiết lồi) , C Rn là một tập lồi khác rỗng và là một số thực Ta nói là hệ số lồi của f trên C , nếu với mọi (0, 1), với mọi x, y C , ta có: f [(1 )x + y] 1 (1 )f (x) + f (y) (1 )||x y||2 2 14 Nếu = 0 thì f lồi trên C Nếu f có hệ số lồi trên C là > 0, thì f lồi mạnh trên C với hệ số Định nghĩa 1.17 nếu Một hàm f :... Rn lồi và f : C R {, +} Ta f là hàm lồi trên C nếu epi f là một tập lồi trong Rn+1 Sau đây ta sẽ chủ yếu làm vi c với hàm f : Rn R {+} .Trong trường hợp này, định nghĩa trên tương đương với: 12 Hàm f : Rn R {+} là hàm lồi trên C nếu f [x + (1 )y] Hàm f (x) + (1 )f (y) , x, y C , (0, 1) f : Rn R {+} là hàm lồi chặt trên C nếu f [x + (1 )y] < f (x) + (1 )f (y) , x, y C , (0, 1) Hàm. .. với mọi y F Ta cần chứng tỏ 22 Thật vậy, nếu trái lại sẽ tồn tại tụ đến 0 và y F và một dãy {k } các số dương hội x + k y dom f với mọi k đủ lớn Trong trường hợp này f (x + k y) f (x) = + với mọi k đủ lớn Do đó 2.2 2.2.1 f (x, y) = + Mâu thuẫn với giả thiết Vậy x ri(dom f ) Dưới vi phân và các tính chất Dưới vi phân Định nghĩa 2.2 hàm của Cho f : Rn R {+} Ta nói x Rn là dưới đạo f tại x nếu... các dưới đạo hàm của là một tập (có thể bằng dưới vi phân tại z f (z) f tại x là f (x) Vậy f (x) ) trong Rn Khi f (x) = , thì ta nói hàm f khả x Theo định nghĩa, một điểm x f (x) khi và chỉ khi nó thoả mãn một hệ vô hạn các bất đẳng thức tuyến tính Như vậy không gian đóng Vậy Kí hiệu Ví dụ 2.2 f (x) là giao của các nửa f (x) luôn là một tập lồi đóng (có thể rỗng) dom(f ) := {x|f (x) = } 1) Hàm chuẩn... 1.11 Hàm chuẩn f (x) = x là hàm dưới tuyến tính Thật vậy, x Rn , > 0, ta có: f (x) = x = || x = x = f (x) x, y Rn , ta có: f (x + y) = x + y Mệnh đề 1.2 trên Cho f : Rn R {+} x + y = f (x) + f (y) là một hàm thuần nhất dương Rn Khi đó: f lồi khi và chỉ khi f là dưới cộng tính 15 1.2.2 Tính liên tục của hàm lồi Định nghĩa 1.20 Hàm Cho hàm f : E R {, +} f được gọi là nửa liên tục dưới tại một. .. Vậy f (x0 ) = C (x0 ) = {x | x , x x0 0, x C} = NC (x0 ) Vậy dưới vi phân của hàm chỉ của một tập lồi C khác tại một điểm x0 C chính là nón pháp tuyến ngoài của C tại x0 Mệnh đề 2.2 ii) Nếu có f i) x f (x) khi và chỉ khi f (x, y) là hàm lồi chính thường trên Rn , x , y , y thì với mọi x dom(f ), ta f (x) = f (x) và f (x) = f (x) Chứng minh i) Theo định nghĩa x f (x) x , z x + f (x) Với bất