Nội suy bởi hàm RBF và ứng dụng trong đồ họa máy tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN NGUYẾN ĐỒNG SỸ NỘI SUY BỞI HÀM RBF VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐỒ HỌA MÁY TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Thái Nguyên – 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN NGUYỄN ĐỒNG SỸ NỘI SUY BỞI HÀM RBF VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐỒ HỌA MÁY TÍNH Chuyên ngành : KHOA HỌC MÁY TÍNH Mã số : 60 48 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS ĐẶNG QUANG Á Thái Nguyên – 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương TỔNG QUAN VỀ NỘI SUY HÀM NHIỀU BIẾN 1.1 Khái niệm nội suy xấp xỉ hàm số 1.1.1 Bài toán nội suy hàm số 1.1.2 Bản chất phương pháp nội suy 1.2 Nội suy hàm biến 1.2.1 Phát biểu toán 1.2.2 Nội suy xấp xỉ đa thức 1.2.3 Nội suy hàm ghép trơn 1.3 Nội suy xấp xỉ hàm nhiều biến 11 1.3.1 Nội suy hàm hai biến 11 1.3.2 Nội suy hàm ba biến 12 Chương NỘI SUY BỞI HÀM RBF 13 2.1 Hàm sở bán kính tính chất 13 2.2 Nội suy liệu phân tán hàm RBF 13 2.2.1 Phát biểu toán 13 2.2.2 Một số hàm sở 15 2.2.3 Thành phần đa thức RBF 16 2.2.4 Phép nội suy trơn 16 2.3 Hạn chế nội suy sử dụng RBF giải pháp 17 2.3.1 Vấn đề liệu lớn 17 2.3.2 Dữ liệu có nhiễu 17 2.3.3 Một số giải pháp khắc phục 19 2.4 Các phương pháp nhanh nội suy sử dụng RBF 21 2.4.1 Giảm tâm 21 2.4.2 Làm trơn liệu nhiễu 22 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương BÀI TOÁN BIỂU DIỄN VÀ KHÔI PHỤC CÁC ĐỐI TƯỢNG 3D 24 3.1 Bài toán biểu diễn khôi phục liệu phân tán 24 3.1.1 Giới thiệu 24 3.1.2 Mô tả toán 25 3.2 Khôi phục đối tượng 3D từ tập điểm bề mặt sử dụng RBF 26 3.2.1 Trùng khớp tới liệu bề mặt 3D 26 3.2.1.1 Tạo liệu dày đặc từ pháp tuyến bề mặt 27 3.2.1.2 Đảm bảo khoảng cách thích hợp tới liệu bề mặt 28 3.2.1.3 Hợp lệ khoảng cách chiếu nhiễu 30 3.2.2 Chuẩn hóa bề mặt 31 3.2.2.1 Các điểm hạt giống bề mặt chuẩn 32 3.2.2.2 Tối ưu lưới 33 3.2.2.3 Bao biên 33 Chương XÂY DỰNG VÀ CÀI ĐẶT THỬ NGHIỆM NỘI SUY BỞI RBF 35 4.1 Phân tích xây dựng chương trình 35 4.1.1 Hàm tạo lập RBF 35 4.1.2 Hàm nội suy RBF 40 4.1.3 Một số file xây dựng chương trình 42 4.2 Kết thử nghiệm nội suy RBF 59 KẾT LUẬN 63 HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 PHỤ LỤC 66 Môi trường lập trình MATLAB 66 Các khả thực Matlab 66 Chế độ làm việc 67 Câu lệnh biến 68 Hàm tạo hàm 71 Các câu lệnh điều khiển Matlab 72 Đồ họa 3D 75 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 1.1 Đồ thị biểu diễn tín hiệu trước nội suy Hình 1.2 Đồ thị biểu diễn tín hiệu sau nội suy Hình 1.3 Nội suy hàm y = cos(x) Hình 1.4 Nội suy spline bậc hàm y = sin(x) + x2 10 Hình 1.5 Nội suy hàm hai chiều interp2 11 Hình 1.6 Nội suy hàm ba chiều interp3 12 Hình 2.1 Nội suy chiều RBF hàm y = sin(x) 15 Hình 2.2 Dữ liệu có nhiễu với cường độ 0.5 18 Hình 2.3 Bề mặt nội suy liệu có nhiễu 18 Hình 2.4 Độ xác đánh giá độ xác trùng khớp 20 Hình 2.5 Minh họa giảm tâm RBF 21 Hình 3.1 Phục hồi liệu phân tán 24 Hình 3.2 Điểm kết thúc bề mặt (off-surface) 27 Hình 3.3 Thêm vào điểm off-surface 28 Hình 3.4 Nội suy liệu chưa hợp lệ 29 Hình 3.5 Nội suy liệu hợp lệ giá trị 29 Hình 3.6 Nội suy liệu sau hợp lệ khoảng cách 30 Hình 3.7 Chuẩn hóa bề mặt Marching Cubes 31 Hình 3.8 Một số dạng chuẩn hóa bề mặt 32 Hình 3.9 Các kiểu tối ưu lưới 33 Hình 3.10 Bề mặt mở bao biên 34 Hình 3.11 Bề mặt đóng với biên dương 34 Hình 3.12 Bề mặt đóng với biên âm 34 Hình 4.1 Giao diện chương trình demo 59 Hình 4.2 Đồ thị so sánh hàm nội suy RBF hàm interp1 59 Hình 4.3 Đồ thị biểu diễn số dạng hàm 60 Hình 4.4 Giao diện chức RBF 2D 60 Hình 4.5 Kết nội suy hàm z = x*exp(-x2-y2) 61 Hình 4.6 Nội suy đối tượng 3D với 2000 điểm 61 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hình 4.7 Kết xử lý liệu cửa sổ lệnh 62 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Đồ họa máy tính ngày ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học, kĩ thuật, nghệ thuật điển toán mô chẩn đoán hình ảnh, tái tạo hình ảnh, hỗ trợ thiết kế, đào tạo huấn luyện… Các ứng dụng đồ họa đa dạng, phong phú phát triển liên tục không ngừng Trong đồ họa máy tính toán khôi phục biểu diễn đối tượng 3D toán Công cụ quan trọng để giải toán lý thuyết nội suy hàm số nhiều biến Để nội suy hàm số từ tập điểm biết thông thường người ta sử dụng hàm ghép trơn (spline) biến thể Từ khoảng hai chục năm người ta phát triển kỹ thuật nội suy có độ xác cao Đó nội suy hàm sở bán kính (radial basis functions) viết tắt RBF Phương pháp nội suy sử dụng nhiều lĩnh vực CNTT xử lý tín hiệu, xử lý ảnh lý thuyết điều khiển Một số phần mềm hàm RBF ứng dụng phát triển Vì thế, việc tìm hiểu hàm RBF nghiên cứu phát triển ứng dụng đồ họa máy tính việc làm thiết thực có ý nghĩa khoa học thực tiễn Đề tài luận văn thạc sĩ “Nội suy hàm RBF ứng dụng đồ họa máy tính” nhằm mục đích Em xin gửi lời biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo PGS TS Đặng Quang Á, người tận tình bảo tạo điều kiện tốt để em hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn Thầy cô giáo Khoa Công nghệ Thông tin Trường Đại học Thái Nguyên, Thầy cô Viện Công nghệ Thông tin trang bị kiến thức góp ý cho em trình thực đề tài Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương TỔNG QUAN VỀ NỘI SUY HÀM NHIỀU BIẾN 1.1 Khái niệm nội suy xấp xỉ hàm số 1.1.1 Bài toán nội suy hàm số Một toán giải tích số nội suy hàm số Bài toán thường gặp trường hợp sau: i) Cần phục hồi hàm số f(x) điểm x thuộc khoảng [a, b], cho trước giá trị hàm số điểm Các giá trị thường giá trị quan sát đo đạc Xét ví dụ : Cho quan hệ hàm số y = f(x), dạng hàm chưa biết biết phụ thuộc đại lượng y vào đại lượng x phép đo thực nghiệm theo bảng : x x0 x1 x2 xn y y0 y1 y2 yn Xác định giá trị y với x  xi (i = 1, ,n) trở thành toán nội suy Dựa vào bảng ta phải ước lượng đại lượng y ứng với đại lượng x x bảng phương pháp nội suy hay phương pháp xấp xỉ [1] Ví dụ minh họa sử dụng phép nội suy : Gia tăng tỉ lệ mẫu tín hiệu biến thiên theo thời gian t (Code MATLAB) t = 0:0.001:1; x = sin(2*pi*30*t) + sin(2*pi*60*t); y = interp(x,4); stem(x(1:30)); title('Tin hieu ban dau'); figure Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn stem(y(1:120)); title('Sau noi suy'); Kết sau: Tin hieu ban dau 1.5 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 10 15 20 25 30 Hình 1.1 Đồ thị biểu diễn tín hiệu trước nội suy Sau noi suy 1.5 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 20 40 60 80 100 120 Hình 1.2 Đồ thị biểu diễn tín hiệu sau nội suy Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nội suy đa thức việc xác định đa thức y = P(x) thỏa mãn điều kiện nội suy P(xk) = yk với k = 0, ,n ii) Khi hàm f(x) cho công thức phức tạp đòi hỏi khối lượng tính toán lớn ta cần tính giá trị hàm f điểm x thuộc [a, b] Khi người ta thường tính gần f(x) số điểm xây dựng công thức nội suy để tính giá trị khác làm tăng tốc độ tính toán iii) Ngoài nội suy hàm số dùng để xây dựng công thức tính đạo hàm, tính tích phân số tìm nghiệm gần phương trình 1.1.2 Bản chất phương pháp nội suy Bản chất nội suy thay hàm f(x) hàm (x) cho :  (x) đơn giản, dễ tính toán  (x) = f(x) số điểm biết Thông thường chọn (x) có dạng đơn giản đa thức bậc m  ( x)  Pm ( x)  am x m  am1 x m1   a1 x1  a0 x (1) Với (x) = Pm(x), ta có đa thức nội suy hay đa thức xấp xỉ Ví dụ xét đồ thị hàm y = cos(x) với x thuộc [0, 2pi] Tiến hành nội suy đa thức MATLAB function v = polyinterp(x,y,u) n = length(x); v = zeros(size(u)); for k = 1:n w = ones(size(u)); for j = [1:k-1 k+1:n] w = (u-x(j))./(x(k)-x(j)).*w; end v = v + w*y(k); Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN NGUYỄN ĐỒNG SỸ NỘI SUY BỞI HÀM RBF VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐỒ HỌA MÁY TÍNH Chuyên ngành : KHOA HỌC MÁY TÍNH Mã số : 60 48 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ CÔNG NGHỆ THÔNG... Chương TỔNG QUAN VỀ NỘI SUY HÀM NHIỀU BIẾN 1.1 Khái niệm nội suy xấp xỉ hàm số 1.1.1 Bài toán nội suy hàm số 1.1.2 Bản chất phương pháp nội suy 1.2 Nội suy hàm biến ... 1.2.2 Nội suy xấp xỉ đa thức 1.2.3 Nội suy hàm ghép trơn 1.3 Nội suy xấp xỉ hàm nhiều biến 11 1.3.1 Nội suy hàm hai biến 11 1.3.2 Nội suy hàm ba biến