Hàm rbf và một số ứng dụng trong đồ họa máy tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trần Đức Thụ HÀM RBF VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG ĐỒ HỌA MÁY TÍNH Chuyên nghành: Khoa học máy tính Mã số: 60.48.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Đặng Quang Á Thái Nguyên 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT: IMQ: Inverse Multi Quadric MQ: Multi Quadric RBF: Radian Basic Function DANH MỤC BẢNG Bảng 1.1: Sai số nội suy hàm Frank với  = 11 Bảng 2.1 : So sánh phƣơng pháp trực tiếp phƣơng pháp nhanh 26 Bảng 2.2: So sánh việc khớp hàm RBF thời gian tính tốn máy tính PIII tốc độ 550MHz Ram 512 33 Bảng 2.3: So sánh yêu cầu lƣu trữ việc nội suy RBF lƣới đƣợc suy 36 DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 2.1: Khớp hàm RBF phục hồi lƣới RBF 15 Hình 2.2: Mơ tả điểm ngồi bề mặt 18 Hình 2.3: Khơi phục bàn tay 18 Hình 2.4: Mặt cắt qua ngón tay 20 Hình 2.5: Phƣơng pháp điều chỉnh nhanh 25 Hình 2.6: Thuật toán tham lam cho việc khớp RBF 25 Hình 2.7: Rút gọn tâm 28 Hình 2.8: Xấp xỉ liệu LIDAR 31 Hình 2.9: Mức làm trơn 31 Hình 2.10: Gia cơng đẳng mặt 32 Hình 2.11: Lấp lỗ ngoại suy bề mặt 34 Hình 2.12: Biểu diễn đối tƣợng phức tạp 35 Hình 2.13: Khơi phục hành tinh Eros 35 Hình 3.1: Dữ liệu 3D tải vào 40 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hình 3.2: Lƣới thu đƣợc sau đổi trật tự mảng giá trị đối số 43 Hình 3.3: Bề mặt đƣa vào 44 Hình 3.4: Bề mặt với đƣờng pháp tuyến 45 Hình 3.5: Bề mặt với đƣờng pháp tuyến có dài < 0,5mm bị loại bỏ 46 Hình 3.6: Bề mặt sau khớp khơng có rút gọn tâm 48 Hình 3.7: Bề mặt sau khớp có rút gọn tâm 49 Hình 3.8: Tính giá trị bề mặt lƣới 3D 50 Hình 3.9: Lƣới đƣợc sinh 51 Hình 3.10: Lƣới đa giác đƣợc sinh 52 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm sở bán kính (RBF) 1.1.1 Nội suy liệu rời rạc 1.1.2 Ma trận hàm xác định dƣơng 1.1.3 Hàm sở bán kính 1.1.4 Hàm xác định dƣơng đơn điệu hoàn tồn 1.1.5 Nội suy với độ xác đa thức hàm xác định dƣơng có điều kiện 1.1.6 Ví dụ nội suy RBF 10 1.2 Bài tốn khơi phục biểu diễn đối tƣợng 3D 11 Chƣơng 2: NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG HÀM RBF VÀO CÁC BÀI TỐN KHƠI PHỤC VÀ BIỂU DIỄN CÁC ĐỐI TƢỢNG 3D 14 2.1 Các bề mặt ẩn 15 2.2 Khớp hàm ẩn vào bề mặt 16 2.3 Nội suy hàm sở bán kính 23 2.4 Các phƣơng pháp nhanh 26 2.5 Rút gọn tâm 27 2.6 Xấp xỉ liệu nhiễu RBF 29 2.7 Tính tốn bề mặt 30 2.8 Các kết 32 2.9 Kết luận 37 Chƣơng 3: KHAI THÁC PHẦN MỀM FASTRBF 38 3.1 Phần mềm FastRBF làm 38 3.2 Ai sử dụng phần mềm FastRBF 38 3.3 Những lợi ích phần mềm FastRBF 38 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3.4.Các ứng dụng 39 3.5 Các kết đạt đƣợc sử dụng phần mềm FastRBF 39 3.5.1 Khớp tính toán liệu 3D 39 3.5.1.1 Rút gọn tâm RBF 41 3.5.1.2 Tính tốn lƣới 3D 42 3.5.2 Khớp liệu bề mặt 3D 43 3.5.2.1 Khớp bề mặt vào liệu lƣới 43 3.5.2.2 Gia công đẳng mặt 51 3.6 Kết luận 53 KẾT LUẬN 54 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Ngày với phát triển mạnh mẽ công nghệ thông tin, ngƣời ứng dụng thành tựu nhiều lĩnh vực khác Máy tính trở thành cơng cụ hỗ trợ đắc lực cho ngƣời việc xử lý liệu cách nhanh chóng xác Đồ họa máy tính lĩnh vực khoa học máy tính nghiên cứu phƣơng pháp kỹ thuật biểu diễn thao tác liệu số hóa vật thể thực tế Lĩnh vực đƣợc phát triển dựa tảng hình học họa hình, hình học tính tốn, hình học vi phân nhiều kiến thức toán học đại số giải tích, nhƣ thành tựu phần cứng máy tính Thuật ngữ "đồ họa máy tính" (computer graphics) đƣợc đề xuất chuyên gia ngƣời Mỹ tên William Fetter vào năm 1960 Khi ông nghiên cứu xây dựng mô hình buồng lái máy bay cho hãng Boeing William Fetter dựa hình ảnh chiều mơ hình ngƣời phi cơng buồng lái để xây dựng nên mơ hình buồng lái tối ƣu cho máy bay Boeing Đây phƣơng pháp nghiên cứu vào thời kỳ Trong đồ họa máy tính tốn khơi phục biểu diễn đối tƣợng 3D tốn Cơng cụ quan trọng để giải toán lý thuyết nội suy hàm số nhiều biến Để nội suy hàm số từ tập điểm biết thông thƣờng ngƣời ta sử dụng hàm ghép trơn (spline) biến dạng Từ khoảng hai chục năm ngƣời ta phát triển kỹ thuật nội suy có độ xác cao Đó nội suy hàm sở bán kính (radial basis functions) viết tắt RBF Phƣơng pháp nội suy đƣợc sử dụng nhiều lĩnh vực CNTT nhƣ xử lý tín hiệu, xử lý ảnh lý thuyết điều khiển Một số phần mềm hàm RBF ứng dụng đƣợc phát triển Luận văn gồm có ba chƣơng: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng 1: Trình bày số kiến thức hàm RBF Những tính chất hàm RBF đƣợc áp dụng cho toán nội suy liệu rời rạc Đây kiến thức sở quan trọng Tìm hiểu tốn khơi phục biểu diễn đối tƣợng 3D Chƣơng 2: Nghiên cứu ứng dụng hàm RBF vào tốn khơi phục biểu diễn đối tƣợng 3D Chƣơng 3: Tiến hành khai thác phần mềm FASTRBF Em xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo PGS.TS Đặng Quang Á tận tình hƣớng dẫn em hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo, bạn bè, đồng nghiệp, Khoa Công nghệ Thông tin – Đại học Thái Nguyên Trƣờng Cao đẳng Công nghiệp Việt Đức (Thái Nguyên) động viên, giúp đỡ em trình học tập nghiên cứu Thái Nguyên, ngày 30 tháng 10 năm 2009 TÁC GIẢ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chƣơng này, trình bày kiến thức sở hàm sở bán kính (RBF), tốn khơi phục biểu diễn đối tƣợng 3D 1.1 Hàm sở bán kính (RBF): 1.1.1 Nội suy liệu rời rạc: Trong nhiều vấn đề khoa học kỹ thuật cần giải toán: Cho tập liệu (gồm kết đo đạc vị trí thu đƣợc kết đó), yêu cầu tìm quy tắc cho phép suy diễn thơng tin từ kết có Vì ta mong muốn tìm hàm “đủ tốt” phù hợp với tập liệu có Có nhiều cách để định tốt tiêu chuẩn muốn hàm xấp xỉ có giá trị xác với kết đo đạc đƣợc vị trí cho – Đáp ứng tiêu chuẩn gọi toán nội suy Và vị trí mà cho kết đo đạc khơng nằm lƣới chuẩn tiến trình gọi nội suy liệu rời rạc Chính xác ta có: Bài tốn 1.1 Cho tập liệu x j , y j  , j  1, ,n với x j  Rs, y j  R Tìm hàm (liên tục) Pf thỏa mãn: Pf x j   y j , j=1,…,n (1.1) Ý tƣởng chung để giải tốn nội suy tìm hàm Pf dƣới dạng tổ hợp tuyến tính hệ hàm sở Bk nk1 , nghĩa là: n Pf x    ck Bk x  , x  Rs (1.2) k 1 Từ đó, thay điều kiện (1.1) dẫn đến việc giải hệ phƣơng trình đại số tuyến tính để xác định hệ số ck nk1 : Ac  y (1.3) Trong Ajk  Bk x j ; j, k  1, , n ; c  c1 , , cn T ; y   y1 , , yn T Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bài toán 1.1 đƣợc đặt đúng, nghĩa tồn nghiệm, ma trận A không suy biến Trong trƣờng hợp chiều, ta xây dựng đƣợc đa thức nội suy bậc n – cho n điểm nội suy phân biệt tùy ý Tuy nhiên s ≥ 2, ta có kết phủ định sau: Định lý 1.1 (Mairhuber-Curtis) Nếu   Rs, s ≥ chứa điểm trong  không tồn không gian Haar hàm liên tục, trừ trường hợp không gian chiều Trong đó, khơng gian Haar đƣợc định nghĩa nhƣ sau: Định nghĩa 1.1 Cho khơng gian hàm tuyến tính hữu hạn chiều B  C() Gọi B1 , B2 , , Bn  sở B Khi B gọi không gian Haar  det A  với tập điểm phân biệt x1 , x2 , , xn    Ở ma trận A ma trận xây dựng Aj ,k  Bk x j  ; j, k  1, , n Sự tồn khơng gian Haar đảm bảo tính khả nghịch ma trận nội suy, nghĩa tồn nghiệm tốn nội suy 1.1 Khơng gian đa thức biến bậc n  không gian Haar n chiều với tập liệu x j , y j  , j  1, , n , x j  R, y j  R Cơ sở tắc khơng gian B1  1, B2  x, B3  x , , Bn  x n1 Định lý cho thấy, để giải toán nội suy liệu rời rạc không gian nhiều chiều xây dựng trƣớc tập hàm sở không phụ thuộc liệu Để giải vấn đề không suy biến ma trận A, ta cần phƣơng pháp khác để xây dựng hàm nội suy Thay sử dụng biểu diễn tuyến tính thơng qua hệ hàm sở không phụ thuộc liệu, ta biểu diễn tuyến tính thơng qua hàm đơn phụ thuộc liệu cho, có tính khoảng cách, đối xứng với tâm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn liệu tƣơng ứng Phƣơng pháp đƣợc đề xuất R.L Hardy năm 1971 đƣợc gọi phƣơng pháp hàm cở sở bán kính 1.1.2 Ma trận hàm xác định dƣơng: Định nghĩa 1.2 Ma trận giá trị thực, đối xứng A gọi nửa xác định dương dạng tồn phương tương ứng khơng âm: n n  c c A j 1 k 1 j k jk 0 (1.4) với c  c1 , , cn T  Rn Nếu dấu xảy c  0, , 0T ma trận A gọi xác định dương Tính chất quan trọng ma trận xác định dƣơng có tất giá trị riêng dƣơng không suy biến Nếu hệ hàm sở Bk nk1 khai triển (1.2) làm cho ma trận nội suy xác định dƣơng tốn nội suy đƣợc đặt Hàm xác định dƣơng đƣợc định nghĩa nhƣ sau: Định nghĩa 1.3 Hàm liên tục  : Rs  R xác định đương hàm chẵn thỏa mãn:  c c x n n j 1 k 1 j k j  xk   (1.5) với n điểm đôi khác x1 , , xn  Rs c  c1 , , cn T  Rn Hàm  gọi xác định dương chặt dấu (1.5) xảy c  0, , 0T Từ định nghĩa 1.3 tính chất ma trận xác định dƣơng ta thấy, sử dụng hàm xác định dƣơng chặt Bk  x  xk  làm hệ hàm sở, ta có: n Pf x    ck x  xk  (1.6) k 1 Ma trận nội suy trở thành: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 Hình 3.2: Lƣới thu đƣợc sau đổi trật tự mảng giá trị đối số 3.5.2 Khớp liệu bề mặt 3D: 3.5.2.1 Khớp bề mặt vào liệu lƣới: Dữ liệu lƣới đƣợc tạo từ nhiều loại máy quét thƣờng chứa lỗ không đều, lỗ lớn lỗ nhỏ Bƣớc ta nhập vào tệp holey_face.obj câu lệnh sau: mesh = fastrbf_import('C:\Program Files\FarField Technology\FastRBF v1.4\Matlab\tutorial\SurfaceFit\holey_face.obj') Sau thực lệnh ta thu đƣợc kết quả: Mesh = Location: [3x3328 double] Tri: [3x6283 double] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 Dùng lênh: fastrbf_view(Mesh); để hiển thị đƣợc hình ảnh bề mặt nhƣ hình 3.3 Hình 3.3 Hình ảnh bề mặt đƣa vào Sau xác định đƣờng pháp tuyến câu lệnh sau: MeshWithNormals = fastrbf_normalsfrommesh(Mesh) Sau dùng lệnh ta thu đƣợc kết quả: MeshWithNormals = Location: [3x3328 double] Tri: [3x6283 double] Gradient: [3x3328 double] Để hiển thị bề mặt với đƣờng pháp tuyến ta dùng lệnh: fastrbf_view(MeshWithNormals, 'fv'); Sau dùng lệnh ta thu đƣợc bề mặt với đƣờng pháp tuyến nhƣ đƣợc mơ tả hình 3.4 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 Hình 3.4 Bề mặt với đƣờng pháp tuyến Trong ví dụ này, độ dài đƣờng pháp tuyến tối đa 5mm đƣợc sử dụng Các đƣờng pháp tuyến ngắn 0,5mm đƣợc loại bỏ lệnh sau: Density = fastrbf_densityfromnormals(MeshWithNormals, 0.5, 5.0) Sau thực lệnh thu đƣợc kết quả: Density = Location: [3x6656 double] Value: [1x6656 double] Gradient: [3x6656 double] Để hiển thị đƣợc kết (Hình 3.5) sau loại bỏ đƣờng pháp tuyến ngắn 0,5mm ta dùng lệnh: fastrbf_view(Density); Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 Hình 3.5: Bề mặt với đƣờng pháp tuyến có độ dài nhỏ 0,5mm bị loại bỏ Trƣớc khớp liệu dùng lệnh sau: Density = fastrbf_unique(Density) Sau dùng lệnh ta thu đƣợc: Density = Location: [3x6653 double] Value: [1x6653 double] Gradient: [3x6653 double] Để so sánh lợi ích việc rút gọn tâm khớp khơng có rút gọn tâm Bằng câu lệnh sau: rbf = fastrbf_fit(Density, 0.5, ‟direct‟) Sau khớp ta có kết quả: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 Finished fitting RBF rbf = AchievedAcc: 0.1093 DefaultEvalAcc: 0.0050 Centres: [3x6653 double] Coeffs: [1x6657 double] PolyBase: [2.3315 -7.9726 52.4559] DataMin: [-74.7032 -121.5387 7.3864] DataMax: [79.3662 105.5934 97.5255] BasicFunc: BasicFuncParam: BasicFuncParam2: PolyDegree: Rho: FitType: Version: 'FastRBF V 1.4.2' Dùng lệnh: fastrbf_view(rbf); để hiển thị kết nhƣ hình 3.6: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 Hình 3.6: Bề mặt sau khớp khơng có rút gọn tâm Bây khớp bề mặt với rút gọn tâm câu lệnh sau: rbf = fastrbf_fit(Density, 0.5,‟reduce‟) Sau thực h iện lệnh ta thu đƣợc: rbf = AchievedAcc: 0.4614 DefaultEvalAcc: 0.0050 Centres: [3x1628 double] Coeffs: [1x1632 double] PolyBase: [2.3315 -7.9726 52.4559] DataMin: [-74.7032 -121.5387 7.3864] DataMax: [79.3662 105.5934 97.5255] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 BasicFunc: BasicFuncParam: BasicFuncParam2: PolyDegree: Rho: FitType: Version: 'FastRBF V 1.4.2' Indices: [1x1628 double] Dùng lệnh: fastrbf_view(rbf); để hiển thị kết nhƣ hình 3.7 Hình 3.7: Khớp sau rút gọn tâm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 Trong trƣờng hợp này, khớp liệu với việc rút gọn tâm yêu cầu 1157 tâm cịn khớp liệu khơng có việc rút gọn tâm yêu cầu 3984 tâm Tiếp theo, tính giá trị lƣới 3D lệnh sau: g = fastrbf_grideval(rbf, 0.1, ‟spacing‟, 3); slice(g.Value, 40, 27, 15); Sau tính giá trị lƣới 3D ta có kết nhƣ hình 3.8 Hình 3.8: Tính giá trị bề mặt lƣới 3D Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 Đẳng mặt lƣới 3D đƣợc hiểu điểm hàm RBF có giá trị không Một lƣới đƣợc sinh câu lệnh sau: NewMesh = fastrbf_isosurf(rbf, 2) Bằng lệnh: fastrbf_view(NewMesh); ta thu đƣợc hình 3.9 Hình 3.9: Lƣới đƣợc sinh Cuối cùng, xuất lƣới thành file newmesh.obj phép tải đƣợc vào gói 3D khác lệnh sau: fastrbf_export(NewMesh, ‟NewMesh.obj‟) 3.5.1.2 Gia công đẳng mặt: Chúng ta bắt đầu việc tải liệu quét laser từ bàn tay khớp hàm RBF vào lƣới không đầy đủ Các điểm bề mặt đƣợc sinh nhơ khoảng 0,5mm 5mm bên ngồi bề mặt bàn tay Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 Trƣớc hết ta đƣa liệu bàn tay vào câu lệnh sau: Mesh = fastrbf_import(‟Hand.obj‟); Density = fastrbf_densityfromnormals(Mesh, 0.5, 5.0); Density = fastrbf_unique(Density); rbf = fastrbf_fit(Density, 0.25,‟reduce‟); Bây muốn rút lƣới đa giác Một lƣới 1mm đƣợc sinh lệnh sau: NewMesh = fastrbf_isosurf(rbf, 1); Dùng lệnh: figure; fastrbf_view(NewMesh); để xem hình ảnh chi tiết lƣới sinh nhƣ hình 3.10 Hình 3.10: Lƣới đa giác 1mm dƣợc sinh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 3.6 Kết luận: Với việc khai thác phần mềm FastRBF giúp ta hiểu vể quy trình bƣớc để khôi phục, biểu diễn đối tƣợng 3D cách rõ ràng cụ thể Từ hiểu rõ tốn khơi phục biểu diễn đối tƣợng 3D, cụ thể vấn đề bề mặt ẩn, khớp hàm ẩn vào bề mặt… Qua số thí dụ trình bày, thấy đƣợc lợi ích phần mềm FastRBF việc khôi phục biểu diễn đối tƣợng 3D Đây phần mềm hữu ích cho đối tƣợng cần sử dụng kết vào cơng việc Qua đó, hiểu rõ vấn đề khôi phục biểu diễn đối tƣợng 3D để từ vận dụng vào trƣờng hợp cụ thể trình làm việc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 KẾT LUẬN Luận văn đề cập đến hàm sở bán kính, hàm có nhiều ứng dụng khác ứng dụng đồ họa máy tính Đây ứng dụng quan trọng nhiều lĩnh vực khoa học Kết luận văn gồm có: Trình bày tóm lƣợc kết quan trọng ứng dụng hàm RBF vào đồ họa máy tính mà xuất phát điểm giải toán nội suy liệu rời rạc Từ việc nghiên cứu tính khả nghịch ma trận nội suy dẫn đến nghiên cứu hàm RBF Các phƣơng pháp xây dựng hàm RBF đảm bảo tính đặt tốn nội suy mà tảng kiến thức hàm xác định dƣơng, hàm xác định dƣơng chặt, hàm đơn điệu hoàn toàn (GA, IMQ …) Thông qua hàm xác định dƣơng có điều kiện, xây dựng mơ hình nội suy với độ xác đa thức hàm RBF sử dụng tƣơng ứng (TPS, MQ…) Trong chƣơng 2, luận văn trình bày ứng dụng hàm RBF vào việc khôi phục biểu diễn đối tƣợng 3D Các vấn đề: Bề mặt ẩn; Khớp hàm ẩn vào bề mặt; Nội suy hàm sở bán kính; Các phƣơng pháp nhanh; Rút gọn tâm… đƣợc đƣa để giải toán ứng dụng hàm RBF vào việc khôi phục biểu diễn đối tƣợng 3D Trong chƣơng 3, luận văn giới thiệu sơ lƣợc phần mềm FastRBF đƣa kết số thí dụ cụ thể Mặc dù cố gắng xong luận văn nhiều hạn chế khơng thể tránh khỏi sai sót Em mong nhận đƣợc phê bình, đóng góp ý kiến thầy cô bạn đọc Cuối cùng, lần em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ, bảo nhiệt tình thầy giáo PGS.TS Đặng Quang Á Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO [TIẾNG VIỆT] [1] Phạm Kỳ Anh (2000), Giải tích số, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [TIẾNG ANH] [1]M D Buhmann, Radial Basis Functions: Theory and Implementations, Cambridge University Press, Cambridge, 2003 [2] FastRBF Toolbox, MATLAB Interface, Version 1.4, 4th August 2004, FarField Technology Ltd [3] R K Beatson, J B Cherrie, and C T Mouat Fast fitting of radial basis functions: Methods based on preconditioned GMRES iteration Advances in Computational Mathematics, 11:253–270, 1999 [4] R K Beatson, J B Cherrie, and D L Ragozin Fast evaluation of radial basis functions: Methods for four-dimensional polyharmonic splines SIAM J Math.Anal., 32(6):1272–1310, 2001 [5] R K Beatson and L Greengard A short course on fast multipole methods In M Ainsworth, J Levesley, W.A Light, and M Marletta, editors, Wavelets Multilevel Methods and Elliptic PDEs, pages 1–37 Oxford University Press 1997 [6] R K Beatson and W A Light Fast evaluation of radial basis functions: Method for two-dimensional polyharmonic splines IMA Journal of Numerical Analysis, 17:343–372, 1997 [7] R K Beatson, W A Light, and S Billings Fast solution of the radial basis function interpolation equations: Domain decomposition methods SIAM J Sci Comput., 22(5):1717–1740, 2000 [8] R K Beatson, A M Tan, and M J D Powell Fast evaluation of radial basis functions: Methods for 3-dimensional polyharmonic splines In preparation Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 [9] F Bernardini, C L Bajaj, J Chen, and D R Schikore Automatic reconstruction of 3D CAD models from digital scans Int J on Comp Geom and Appl., 9(4–5):327, Aug & Oct 1999 [10] J Bloomenthal, editor Introduction to Implicit Surfaces Morgan Kaufmann, San Francisco, California, 1997 [11] J C Carr, W R Fright, and R K Beatson Surface interpolation with radial basis functions for medical imaging IEEE Trans Medical Imaging, 16(1):96–107, February 1997 [12] E W Cheney and W A Light A Course in Approximation Theory Brooks Cole, Pacific Grove, 1999 [13] J Duchon Splines minimizing rotation-invariant semi-norms in Sobolev spaces In W Schempp and K Zeller, editors, Constructive Theory of Functions of Several Variables, number 571 in Lecture Notes in Mathematics, pages 85–100, Berlin, 1977 Springer-Verlag [14] N Dyn, D Levin, and S Rippa Numerical procedures for surface fitting ofscattered data by radial functions SIAM J Sci Stat Comput., 7(2):639– 659, 1986 [15] J Flusser An adaptive method for image registration Pattern Recognition, 25(1):45–54, 1992 [16] H Hoppe, T DeRose, T Duchamp, J McDonald, and W Stuetzle Surface reconstuction from unorganized points Computer Graphics (SIGGRAPH’92 proceedings), 26(2):71–78, July 1992 [17] W E Lorensen and H E Cline Marching cubes: A high resolution 3D surface construction algorithm Computer Graphics, 21(4):163–169, July 1987 [18] C A Micchelli Interpolation of scattered data: Distance matrices and conditionally positive definite functions Constr Approx., 2:11–22, 1986 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 57 [19] V V Savchenko, A A Pasko, O G Okunev, and T L Kunii Function representation of solids reconstructed from scattered surface points and contours Computer Graphics Forum, 14(4):181–188, 1995 [20] G.M Treece, R.W Prager, and A H Gee Regularised marching etrahedra: improved iso-surface extraction Computers and Graphics, 23(4):583–598, 1999 [21] G Turk and J F O‟Brien Shape transformation using variational implicit surfaces In SIGGRAPH’99, pages 335–342, Aug 1999 [22] G Turk and J F O‟Brien Variational implicit surfaces Technical Report GITGVU-99-15, Georgia Institute of Technology, May 1999 [23] G Wahba Spline Models for Observational Data Number 59 in CBMSNSF Regional Conference Series in Applied Math SIAM, 1990 [24] G Yngve and G Turk Creating smooth implicit surfaces from polygonal meshes Technical Report GIT-GVU-99-42, Georgia Institute of Technology, 1999 [25] WOLFGANG NIEM, JOCHEN WINGBERMUHLE 1997 Automatic Reconstruction of 3D Objects Using a Mobile Monoscopic Camera In Proceedings of the International Conference on Recent Advances in 3D Imaging and Modelling",Ottawa, Canada [26] ANDERS HEYDEN 1995 Geometry and Algebra of Multiple Projective Transformations Dept of Mathematics, Lund University, Sweden [27] L Greengard and V Rokhlin A fast algorithm for particle simulations J.Comput Phys, 73:325–348, 1987 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... 2.1(b) hình 2.11 minh họa ứng dụng việc khớp liệu hàm RBF với sụ phục hồi lƣới Trong hình 2.1(b) hàm RBF khớp lƣới khơng hồn tồn thu đƣợc từ máy quét laser Hình ảnh chứng minh khả hàm ghép trơn song... Các ứng dụng: Phần mềm FastRBF đƣợc ứng dụng số lĩnh vực khác khoa học nghiên cứu vấn đề từ tạo nguyên mẫu nhanh CADCAM, tạo ảnh y học, đồ họa máy tính xử lý tín hiệu… 3.5 Các kết đạt sử dụng. .. từ điểm tính tốn cho phép hàm RBF tính tốn độ xác định trƣớc phép tính trực tiếp cho đám gần tới điểm tính tốn cho phép hàm RBF tính tốn tới độ xác biết trƣớc với giảm đáng kể thời gian tính tốn