3.1.1. Giới thiệu
Các đối tượng 3D trong thực tế như các mẫu vật cổ, các bộ phận trong y tế … vì lý do nào đó có thể bị hư hại và chỉ còn một vài đặc điểm nhận dạng nào đó. Khi đó nảy sinh nhu cầu khôi phục lại các phần bị hỏng và thể hiện lại hình ảnh các đối tượng. Vấn đề này được chuyển thành bài toán nội suy một tập dữ liệu phân tán trong đó các điểm dữ liệu được nội suy là đã biết và tương ứng với các vị trí không bị hư hại trên đối tượng 3D. Từ đó có thể suy ra các giá trị xấp xỉ cần phục hồi tại các vị trí bị hỏng.
Hình 3.1. Phục hồi dữ liệu phân tán[2].
Bài toán nội suy một tập dữ liệu phân tán được quy về một hệ phương trình tuyến tính mà tính giải được duy nhất nhờ ràng buộc ma trận nội suy xác định dương. Tuy nhiên việc giải hệ này gặp nhiều khó khăn khi dữ liệu là lớn và khi dữ liệu có nhiễu.Thông thường người ta phải dùng các phương pháp xấp xỉ nhanh để khắc phục các hạn chế đó.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3.1.2. Mô tả bài toán
Dữ liệu vào ra của bài toán :
Input Output
(Tập các điểm dữ liệu) Có tổ chức hoặc không. Có định hướng hoặc không .
Phân bố không đều hoặc nằm rải rác. Dữ liệu có nhiễu
Một bề mặt hoặc lưới biểu diễn được tối thiểu hóa, có tính liên kết và định hướng.
Để thực hiện khôi phục đối tượng từ tập các điểm dữ liệu đầu vào như đã mô tả, có rất nhiều phương pháp được sử dụng, điển hình là các phương pháp dựa trên sự thể hiện lưới tam giác (triangulation) hay lược đồ Voronoi. Tuy nhiên các phương pháp này chỉ cho kết quả ở dạng lưới và chất lượng rất tốt nếu dữ liệu vào là rõ ràng. Nếu dữ liệu có nhiễu hoặc rải rác không đều thì kết quả cho sẽ rất hạn chế. Gần đây có nhiều phương pháp khôi phục dựa trên việc xây dựng và chuẩn hóa bề mặt ẩn của đối tượng. Các phương pháp này tỏ ra có hiệu quả ngay cả khi dữ liệu có nhiễu hoặc phân bố không đồng đều. Kỹ thuật chủ đạo là sử dụng hàm nội suy làm xấp xỉ bề mặt ẩn trơn nhất ẩn chứa sau bề mặt thực của đối tượng. Ý tưởng chính của phương pháp này gồm hai bước cơ bản :
Xây dựng bề mặt ẩn gần với bề mặt thực của đối tượng Tạo ra các điểm trên bề mặt ẩn.
Để xác định được một bề mặt ẩn chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp, điển hình là sử dụng các hàm khoảng cách, phương trình Poisson hay hàm cơ sở bán kính RBF…
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3.2. Khôi phục đối tượng 3D từ tập điểm trên bề mặt sử dụng RBF 3.2.1. Trùng khớp tới dữ liệu bề mặt 3D 3.2.1. Trùng khớp tới dữ liệu bề mặt 3D
Bề mặt đi qua tập N điểm {xi} với i = 1,…,N được nội suy bởi một RBFs thỏa mãn f(xi) = 0 gọi là bề mặt chuẩn (isosurface) của hàm s. Thông thường còn được gọi là bề mặt ẩn (implicit surface) bởi tính ẩn tự nhiên trong sự xác định chúng. Quy trình của sự tạo ra một sự thể hiện rõ ràng một bề mặt như một tập các điểm hay một lưới các đa giác gọi là chuẩn hóa bề mặt (isosurfacing). Tập trung vào việc xây dựng hàm s, ta chọn s để xấp xỉ một hàm có dấu đo khoảng cách tới bề mặt (signed distance –to–surface) của điểm x, trong đó s(x) là khoảng cách (có dấu) từ x tới bề mặt. Các điểm nằm trên cùng một phía của bề mặt được gán các khoảng cách dương, còn các điểm ở phía bên kia bề mặt được gán khoảng cách âm. Bề mặt do đó tương ứng với một tập các điểm mà khoảng cách tới chính bề mặt chứa chúng là bằng 0, nghĩa là {x ϵ R3 : s(x) = 0 }. Tất cả các điểm dữ liệu đã cho đều nằm trên bề mặt. Từ đó tìm kiếm hàm s thỏa mãn :
s(xi) = 0, i = 1,…,N
Việc giải hệ phương trình này sẽ sinh ra một lời giải nghiệm tầm thường s(x) = 0 ở mọi nơi. Thêm vào ràng buộc tương ứng với các điểm mà tại đó s khác zero để được nghiệm không tầm thường. Ta định nghĩa các điểm ứng với khoảng cách khác zero tới bề mặt là các điểm kết thúc bề mặt (off-surface points). Do đó chọn một tập M điểm off-surface {yi} với i = 1,…,M có giá trị khác zero :
s(yi) = fi ≠ 0; i = 1,…,M
trong đó fi là khoảng cách có dấu từ điểm yi tới điểm gần nhất nằm trên bề mặt. Các kết quả này tạo thành một hệ N + M phương trình của N + M điểm.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Để sinh ra các điểm off-surface thì phải có các pháp tuyến bề mặt (surface normals) hoặc ước lượng từ đó. Giả định rằng các pháp tuyến bề mặt tồn tại với nhiều nhất các điểm trên đó.
Hình 3.2. Điểm kết thúc bề mặt(off-surface).
3.2.1.1. Tạo dữ liệu dày đặc từ các pháp tuyến bề mặt
Khi một pháp tuyến bề mặt n xác định tại một điểm bề mặt p, các điểm off-surface p0 (phía ngoài) và p1 (phía trong) được sinh bởi phương trình:
p0 =p + αn và p1 =p – βn
trong đó : α, β là các khoảng cách chiếu của các điểm off-surface.
Khi thực hiện thêm vào các điểm off-surface kết quả sẽ làm tăng tập dữ liệu. Có thể tạo ra các điểm off-surface từ một phía hoặc hai phía từ pháp tuyến bề mặt, trong trường hợp tạo một phía thì đôi khi là nguyên nhân gây ra sự gợn sóng trong bề mặt chuẩn s(x) = 0 tương ứng với bề mặt được nội suy. Khi các pháp tuyến trên cả hai phía được sử dụng thì tất cả các pháp tuyến đã dùng sinh ra hai tập điểm off-surface. Điều này có thể tăng kích thước của dữ liệu dày đặc lên gấp ba lần so với số lượng điểm dữ liệu gốc.
Các điểm off-surface
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Các điểm bề mặt với các off-surface được các off-surface được các pháp tuyến thêm vào 2 phía thêm vào 1 phía
Hình 3.3. Thêm vào các điểm off-surface.
Bởi vì ta hiếm khi mong muốn nội suy bộ ba các điểm này nên cần phải thiết lập một con số lớn nhất các điểm được tăng lên, giá trị mặc định là 1.0 nghĩa là với N điểm đã cho trên bề mặt thì không được có quá N điểm off-surface được thêm vào.
3.2.1.2. Đảm bảo khoảng cách thích hợp tới dữ liệu bề mặt
Việc sử dụng các pháp tuyến với một khoảng cách cố định có thể có vấn đề khi có các vùng mảnh hoặc các góc cạnh sẽ tạo ra khoảng cách tới bề mặt không thích hợp. Do đó cần phải cố gắng đảm bảo sự phù hợp của dữ liệu bằng cách hợp lệ khoảng cách chiếu theo các pháp tuyến hoặc là bằng cách hợp lệ giá trị mật độ tại điểm chiếu [4]. Sự ảnh hưởng của khoảng cách chiếu và các giá trị mật độ cho kết quả không mong đợi nếu không thực hiện hợp lệ các điểm off-surface.
Chiến lược hợp lệ các giá trị mật độ là tìm điểm gần nhất. Tìm điểm q trên bề mặt gần điểm off-surface nhất và thiết lập một giá trị mật độ để gán cho khoảng cách từ q tới điểm đó. Dấu được quyết định bởi pháp tuyến bề mặt tại q.
Phương pháp hợp lệ khoảng cách chiếu : Khi sinh ra một điểm poff off- surface từ một điểm p trên bề mặt, chúng ta tìm điểm q trên bề mặt gần nó nhất. Nếu q không phải là p thì khoảng cách chiếu được giảm cho đến khi p gần với điểm poff nhất.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Xét ví dụ trong việc hợp lệ dữ liệu [4] cho hình ảnh bàn tay (hình a), trong đó một độ dài pháp tuyến cố định 15mm được dùng mà không có sự hợp lệ nào. Các điểm được tô màu biểu thị khoảng cách của chúng tới bề mặt, các điểm bề mặt gốc có màu green, các điểm nằm ngoài có màu red, các điểm phía trong có màu blue. Điều này thể hiện dữ liệu khoảng cách tới bề mặt không tốt như kết quả thấy được sau khi nội suy RBF.
(a) Không hợp lệ Kết quả
Hình 3.4. Nội suy dữ liệu khi chưa được hợp lệ.
Sau khi làm hợp lệ các giá trị mật độ (hình b), do không thuận lợi trong việc lựa chọn khoảng cách chiếu, nhiều điểm trùng với các điểm bề mặt gốc nên kết quả biểu diễn chưa được như mong muốn.
(b) Hợp lệ giá trị Kết quả
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Sử dụng sự hợp lệ khoảng cách chiếu của các pháp tuyến (hình c), các pháp tuyến xung quanh các ngón tay ngắn lại và các điểm blue bên trong giữ lại trong từng ngón tay, tương tự cho các pháp tuyến phía ngoài do đó cho ra một kết quả thể hiện sự hợp lý dữ liệu khoảng cách tới bề mặt.
(c) Hợp lệ khoảng cách Kkết quả
Hình 3.6. Nội suy dữ liệu sau khi hợp lệ khoảng cách.
3.2.1.3. Hợp lệ khoảng cách chiếu và nhiễu
Khi làm thích hợp khoảng cách chiếu dữ liệu có nhiễu, có thể xuất hiện một số nhỏ các pháp tuyến không mong đợi. Điều này có thể gây ra sự gợn sóng trong bề mặt và làm giảm hiệu quả của việc làm trơn dữ liệu khi độ chính xác trùng khớp nhỏ hơn mức nhiễu. Nếu có một biên chính xác trên nhiễu và khi trùng khớp nó với tùy chọn errorbar bằng độ chính xác trùng khớp tại mức nhiễu thì việc thay đổi khoảng cách chiếu nhỏ nhất sẽ không có ảnh hưởng. Tuy nhiên nếu độ chính xác trùng khớp là quá chặt thì việc có một khoảng cách chiếu cực tiểu xung quanh gấp hai lần ngưỡng nhiễu mong đợi, có thể cải thiện tính trơn của bề mặt. Các điểm sinh ra tại một khoảng cách nhỏ hơn khoảng cách cực tiểu thì sẽ được loại bỏ.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3.2.2. Chuẩn hóa bề mặt
Việc hiển thị các bề mặt có giá trị chuẩn là một cách hữu ích để trực quan một hàm 3D. Cho một hàm mật độ s, một bề mặt chuẩn (isosurface) tại giá trị a được định nghĩa là tập các điểm x thỏa mãn s(x) = a. Trong nội dung xây dựng lại bề mặt thì s thể hiện là hàm khoảng cách và có dấu. Bề mặt được xây dựng tương ứng với chuẩn bề mặt tại giá trị zero tức là s(x) = 0. Quy trình trích rút ra một bề mặt chuẩn của một hàm như là một tập các điểm hoặc như một lưới đa giác được gọi là việc chuẩn hóa bề mặt (isosurfacing). Hai dạng hàm thông thường được dùng để chuẩn hóa bề mặt là : một sự thể hiện Marching Cubes quy ước và một sự thể hiện surface-following được tối ưu. Cả hai mẫu hàm s tại các “khoảng đều “ xây dựng một lưới đa diện các đa giác thể hiện bề mặt chuẩn mong đợi tại một lời giải được chỉ rõ. Các đỉnh trên cạnh được sắp xếp sao cho tích chéo của các cạnh liền kề (tức là pháp tuyến bề mặt) là phù hợp với gradient của hàm mật độ s.
Hình 3.7. Chuẩn hóa bề mặt bằng Marching Cubes.
Kỹ thuật surface-following sẽ tối ưu số lượng các ước lượng của s bởi nó chỉ ước lượng các mẫu s ở gần bề mặt. Điều này rất có ý nghĩa trong việc tiết kiệm khả năng tính toán và lưu trữ khi xử lý chuẩn hóa bề mặt.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Marching Cubes Surface-following
Hình 3.8. Một số dạng chuẩn hóa bề mặt.
3.2.2.1. Các điểm hạt giống của bề mặt chuẩn
Các điểm hạt giống (seed points) gần bề mặt chuẩn được đòi hỏi để khởi tạo bề mặt theo một quy trình vì chúng ta không đánh giá s trên khắp cả khối. Một gradient tìm kiếm một trong các điểm seed để tìm một điểm gần nó nhất do đó các điểm seed không nằm chính xác trên bề mặt chuẩn. Một “sóng phía trước” lưới trải ra từ mỗi điểm seed đến tận chỗ giao của chính nó hoặc đến chỗ bắt gặp một sóng phía trước liên kết với một điểm seed khác. Có ít nhất một điểm seed được đòi hỏi để rút ra từng bề mặt ngăn cách nhau trong khối. Tuy nhiên sự chỉ ra một số lượng lớn các seed có thể gây ra nhiều hơn sự đánh giá hàm tại lúc thiết lập và làm tăng dung lượng bộ nhớ một cách đáng kể.
Trong nội dung mô hình hóa bề mặt đã được mô tả, dữ liệu thô bao gồm tập các điểm nằm gần với bề mặt chuẩn. Vị trí của các tâm RBF tương ứng với các điểm dữ liệu thô này xuất phát từ chúng. Các điểm hạt giống đối với bề mặt chuẩn do đó được lựa chọn từ các tâm RBF. Đối với dữ liệu dày đặc nói chung, bề mặt chuẩn có thể nằm xa so với các tâm RBF và thậm chí
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
xa các điểm dữ liệu gốc. Vì vậy không có sự đảm bảo rằng việc dùng tất cả các tâm hoặc tất cả các điểm dữ liệu sẽ sinh ra kết quả mong muốn khi xây dựng tất cả các thành phần bề mặt chuẩn. Đối với lý do này cũng như sự vượt quá khi sử dụng tất cả các điểm hạt giống, việc ước lượng lưới đầy đủ theo thuật toán Marching Cubes có thể thích hợp hơn.
3.2.2.2. Tối ưu lưới
Bề mặt chuẩn RBF kết hợp việc tối ưu lưới diễn ra trong quá trình bề mặt hóa. Việc tối ưu lưới cải thiện tỉ lệ các cạnh tam giác và cực tiểu số lượng các cạnh được sinh ra. Việc tối ưu hóa là rạch ròi từ bước đề ra thuật toán đã biết như việc giảm lưới hoặc làm đơn giản hóa nó bởi vì mọi điểm mẫu vẫn xây dựng tại ít nhất một mặt lưới. Kiến trúc bề mặt như đã định nghĩa bởi các giá trị hàm tại các điểm mắt cáo luôn đảm bảo khi việc tối ưu lưới được thực hiện. Minh họa cho tối ưu lưới trong 3D, hình a và b so sánh giữa việc không tối ưu và tối ưu đầy đủ, hình c thể hiện tối ưu ràng buộc trong đó các đỉnh của cạnh bị ràng buộc là nằm trên mặt phẳng song song.
(a)Không tối ưu (b) Tối ưu đầy đủ (c) Tối ưu ràng buộc các mặt Hình 3.9. Các kiểu tối ưu lưới.
3.2.2.3. Bao biên
Bề mặt áp dụng theo kỹ thuật bề mặt chuẩn không đòi hỏi một mảng 3D các điểm mẫu phải được lưu trữ. Điều này có nghĩa là một bề mặt là vô hạn không tương ứng với việc giải quyết lấy mẫu. Khi thể hiện chúng ta thường không muốn một bề mặt vô hạn vì thế việc chỉ rõ một hộp biên được tính đến. Hơn nữa trong môi trường Matlab luôn đòi hỏi phải lưu trữ lưới để
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
kết xuất dữ liệu. Một bề mặt được cắt ra bởi hộp biên có thể để mở hoặc được bao biên.
Hình 3.10. Bề mặt mở không có bao biên.
Khi một bề mặt được bao, giá trị của RBF bên ngoài hộp biên có thể được xem như dương hoặc âm tương ứng với ngưỡng của bề mặt chuẩn, nghĩa là hoặc ở trên ngưỡng hoặc ở dưới ngưỡng. Minh họa dưới đây thể hiện việc bao trong đó các điểm nằm ngoài hộp biên được xem như các giá trị đậm đặc ở trên ngưỡng dương do đó không phải là một phần của đối tượng.
Hình 3.11. Bề mặt đóng với biên dương.
Hình ảnh thể hiện việc bao biên trong đó giá trị mật độ bên ngoài hộp được coi như âm nghĩa là có giá trị thấp hơn ngưỡng và điểm này nằm bên trong đối tượng.