ứng dụng nội suy rbf vào phương trình khuếch tán truyền tải

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VŨ THỊ SƠN ỨNG DỤNG NỘI SUY RBF VÀO PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN TRUYỀN TẢI LUẬN VĂN THẠC SĨ. CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Thái Nguyên - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VŨ THỊ SƠN ỨNG DỤNG NỘI SUY RBF VÀO PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN TRUYỀN TẢI Chuyên ngành: Công nghệ thông tin Mã số: 60 48 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ. CÔNG NGHỆ THÔNG TIN NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS ĐẶNG QUANG Á Thái Nguyên - 2010 S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 MC LC M U 2 CHNG 1 : NI SUY HM NHIU BIN BI HM RBF 4 1.1 XP X HM BNG NI SUY 4 1.1 .1Bi toỏn ni suy. 4 1.1.2 a thc ni suy Lagrange 5 1.1.2.1 Xõy dng a thc ni suy 5 1.1.2.2 Sai s ni suy 6 1.1.3 a thc ni suy vi mc cỏch u. 7 1.3.1 Cụng thc tng quỏt 8 1.1.3.2 Sai phõn hu hn 8 1.1.3.3 Cụng thc ni suy Newton 9 1.2. XP X BèNH PHNG TI THIU 9 1.2.1 Xp x thc nghim. 9 1.2.2 Xp x bng a thc 10 1.2.3 Xp x hm kh tớch 11 1.3 Tớnh gn ỳng o hm bng a thc ni suy 12 1.4. HM C S BN KNH V CC TNH CHT 15 1.4.1 Hm hm c s bỏn kớnh (Radial Basis Function networks) 15 1.4.2 Tớnh cht hm bỏn kớnh (radial function): Hm bỏn kớnh l hm ch ph thuc vo khong cỏch t i s x n mt im c (gi l tõm) cho trc. 15 1.4.3 hm c s bỏn kớnh (RBF): 16 1.4.4 Quỏ trỡnh hc ca hm: 21 CHNG 2: PHNG TRèNH KHUCH TN TRUYN TI 23 2.1 Gii thiu bi toỏn 23 2.2 Mụ hỡnh toỏn hc 24 2.3. M rng hm RBF Hm RBF nhiu lp cho phng trỡnh khuch tỏn truyn ti: 26 Ch-ơng 3: Giải ph-ơng trình khuếch tán - truyền tải bằng ph-ơng pháp không l-ới 29 3.1. Bài toán khuếch tán truyền tải trong phng phỏp li 29 3.2. Ph-ơng pháp không l-ới giải bài toán 30 3.2.1. Bài toán tổng quát 30 3.2.2. Bài toán khuyếch tán một chiều 33 MT S KT QU TNH TON 37 KT LUN 40 PH LC 41 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 MỞ ĐẦU Ngày nay với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin, con ngƣời đã ứng dụng những thành tựu của nó trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau. Máy tính đã trở thành một công cụ hỗ trợ đắc lực cho con ngƣời trong việc xử lý dữ liệu một cách nhanh chóng và chính xác. Từ khoảng hai chục năm nay ngƣời ta đã và đang phát triển một kỹ thuật nội suy mới có độ chính xác cao. Đó là nội suy bởi hàm cơ sở bán kính (Radial Basis Functions) viết tắt là RBF. Phƣơng pháp nội suy này đã đƣợc sử dụng trong nhiều lĩnh vực của CNTT nhƣ xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, đồ họa máy tính và lý thuyết điều khiển. Một số phần mềm về hàm RBF và các ứng dụng cũng đã đƣợc phát triển. Ngoài ra, một lĩnh vực ứng dụng khác rất hiệu quả của nội suy RBF là tính toán khoa học. Các kỹ thuật RBF đƣợc sử dụng ngày càng nhiều trong việc giải số phƣơng trình đạo hàm riêng, đặc biệt là các bài toán phi tuyến và/hoặc các bài toán trong các miền hình học phức tạp. Lĩnh vực này đƣợc phát triển dựa trên nền tảng của hình học họa hình, hình học tính toán, hình học vi phân cùng nhiều kiến thức toán học của đại số và giải tích, cũng nhƣ các thành tựu của phần cứng máy tính. Luận văn gồm có ba chƣơng: Chƣơng 1. Nội suy hàm nhiều biến bởi hàm RBF Khái niệm cơ bản về nội suy và xấp xỉ hàm số Một số phƣơng pháp nội suy hàm một biến Nội suy hàm nhiều biến Hàm cơ sở bán kính và các tính chất Nội suy bởi hàm RBF Chƣơng 2. Phƣơng trình khuyếch tán - truyền tải Giới thiệu bài toán Phƣơng pháp sai phân giải phƣơng trình khuyếch tán - truyền tải Một số thí dụ tính toán Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Chƣơng 3. Giải phƣơng trình khuếch tán - truyền tải bằng phƣơng pháp không lƣới Chƣơng trình MATLAB giải bài toán bằng phƣơng pháp sai phân và phƣơng pháp RBF Em xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo PGS.TS. Đặng Quang Á đã tận tình hƣớng dẫn em hoàn thành luận văn này. Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo, bạn bè, đồng nghiệp, Khoa Công nghệ Thông tin – Đại học Thái Nguyên đã động viên, giúp đỡ em trong quá trình học tập và nghiên cứu. Thái Nguyên, ngày 30 tháng 10 năm 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 CHƢƠNG 1 : NỘI SUY HÀM NHIỀU BIẾN BỞI HÀM RBF 1.1 XẤP XỈ HÀM BẰNG NỘI SUY 1.1 .1Bài toán nội suy. Giả sử chúng ta có hàm số y=f(x), và biết giá trị của nó tại các điểm x 0 =a < x 1 <x 2 < <x n =b; y i = f(x i ) với i=0, ,n. Hãy tìm biểu thức g(x) đủ đơn giản xácđịnh trên [a,b] sao cho: y= f(x)  g(x) và g(x i ) =y i Hàm f(x) thƣờng là hàm thực nghiệm hoặc hàm khó tính giá trị nên chỉ xác định giá trị tại một số điểm nhất định. Các điểm x i (i=0, ,n) gọi là các mốc nội suy. Về mặt hình học bài toán nội suy đƣợc diễn đạt nhƣ sau: Tìm hàm g(x) có đồ thị đi qua các điểm (x i , f(x i )) f(xi) Lƣợc đồ giải bài toán nội suy. Ngƣời ta cố gắng tìm hàm G(c 0 , , c n , x) khá đơn giản, thỏa mãn một số điều kiện nhất định và phụ thuộc n+1 tham số c i . Các tham số c i này sẽ đƣợc xác định nhờ hệ phƣơng trình sau: G(c 0 , ,c n ,x k ) = y k với k=0, ,n (1.2) Thƣờng ngƣời ta chọn hàm G có dạng: G  c 0 , c 1 , , c n , x    c k  k  x          k  0 y = g(x) (1.1) y = f(x) x n = a x i x n = b Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Trong đó các hàm { k (x)} (k=0;n) là họ hàm độc lập tuyến tính cho trƣớc và thỏa mãn điều kiện |  k (x i ) |  0 (1.4) Khi đó hệ (2.2) là luôn giải đƣợc và có duy nhất nghiệm đối với c i . Các hàm { k (x)} (k=0;n) đƣợc chọn theo kinh nghiệm hoặc bằng hàm x k để dễ tính toán Với các c i (i=0;n) tìm đƣợc, hàm g(x) = G(c 0 , , c n , x) gọi là hàm nội suy và dùng làm công thức để tính giá trị của hàm f(x) với các x trong đoạn[a,b]. 1.1.2 Đa thức nội suy Lagrange Lagrange đã xét trƣờng hợp  k (x) = x k , (k=0;n), khi đó hàm nội suy là đa thức bậc n. Còn định thức |  k (x i ) | là định thức Vandermon nên khác không. Tuy vậy giải hệ (1.2) với n lớn vẫn rất khó khăn nên Lagrange đã xây dựng đa thức nội suy đơn giản sau. 1.1.2.1 Xây dựng đa thức nội suy Ký hiệu L (n) (x) là đa thức nội suy cần tìm. Lagrange chọn đa thức này dƣới dạng L (n) = 0 ( ) ( ) n k n k y k L x   (1.5) Trong đó () k n Lx (k=0;n) là (n+1) đa thức bậc n có nghiệm x= x i (với i  k) và () k n Lx =1. Thấy () k n Lx = () () i i k k i i k xx xx     (1.6) Khi đó L n (x) là đa thức nội suy cần tìm. Ví dụ: Giả sử với hàm y = f(x) ta đo đƣợc tại các điểm x 0 , và x 1 tƣơng ứng là y 0 = f( x0 ) và y1 = f(x1) thì: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 0 1 ()Lx = 0 01 () () xx xx   1 1 ()Lx = 0 01 () () xx xx   Từ 2.5 ta đƣợc L 1 (x) = 0) 10 1 00 2 1 0 1 0 1( 0( ) () () y x x yy yxx y x x xo x x x x x           Đây chính là đƣờng thẳng đi qua 2 điểm (x 0 ,y 0 ) và (x 1 ,y 1 ). Ví dụ: hàm y = f(x) đo đƣợc tại 4 điểm nhƣ sau: x 0 1 2 3 x i 0 0.1 0.3 0.5 y i -0.5 0 0.2 1 Khi đó ta có: 32 0 3 ( 0.1)( 0.3)( 0.5) 0.9 0.23 0.015 () ( 0.1)( 0.3)( 0.5) 0.015 x x x x x x Lx             32 2 3 ( 0.1)( 0.5) 0.6 0.25 () (0.3)(0.2)( 0.2) 0.012 x x x x x x Lx         32 3 3 ( 0.1)( 0.3) 0.4 0.03 () (0.5)(0.4)( 0.2) 0.04 x x x x x x Lx         32 3 3 ( 0.1)( 0.3) 0.4 0.03 () (0.5)(0.4)(0.2) 0.04 x x x x x x Lx        Vì y1= 0 nên không cần tính 1 3 ()Lx L( 3 ) = y0 0 2 3 3 2 3 2 3 2 3 125 73 ( ) ( ) ( ) 30 0.5 3 12 L x y L x y L x x x x      là đa thức nội suy cần tìm. 1.1.2.2 Sai số nội suy Với x[a,b] ta ƣớc lựong sai số f(x) – L n (x), trong đó x cho trƣớc. Đặt  n (t) = (t-x 0 ) (t-x 1 ) (t-x n ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 Rõ ràng nếu x không bằng mốc nội suy thì  n (x) 0, nên tìm đƣợc hằng số k để: f(x) – L n (x) = k. n (x) (1.7) Xét hàm số: F(t) = f(t) - L n (t)-k. n (t) (1.8) Hàm này có n+2 nghiệm phân biệt t=x i (i=0;n) và t=x; Bằng phƣơng pháp quy nạp có thể chứng minh đƣợc rằng tồn tại điểm c [a,b] sao cho F (n+1) (c)=0. Vì L n là đa thức bậc n nên có thể tính đạo hàm cấp (n+1) biểu thức (2.2). Ta có: F (n+1) (c) = f (n+1) (c) – 0 – k (n+1)! =0 ( 1) () ( 1)! n fc k n    (2.5) Thay giá trị của k vào biểu thức (2.1) ta đƣợc ( 1) () ( ) ( ) ( ) ( 1)! n c f x Ln x f c n     (1.9) Điểm c thay đổi khi x thay đổi. Nếu đạo hàm cấp (n+1) của f bị chặn: |f (n+1) (x)| M (2.7) với x [a,b] thì ta có ƣớc lƣợng sai số nội suy là: │f(x)- Ln(x)│ ( 1)! M n   │ω n (x)│(1.10) 1.1.3 Đa thức nội suy với mốc cách đều. Ta xét trƣờng hợp đặc biệt khi các mốc nội suy cách nhau một đoạn bằng nhau: x i = x i+1 – x i = h = (b-a) /n (với i=0; n –1)(2.9) Dùng phép đổi biến (x – x 0 )/h = t , các đa thức () k n Lx sẽ là đa thức theo t chỉ phụ thuộc vào số mốc n và có nhiều cách biểu diễn đơn giản, dễ sử dụng hơn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 1.3.1 Công thức tổng quát Đặt x – x 0 = h.t (1.11) Ta có: x – x k = (t – k) h; k=1 ; n ; x j – x k = (j – k) h (1.12) Thay vào (1.6) ta đƣợc: () ( 1) ( 1)( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) !( )! i kk ik xn nk ki ik xx t t t k t k t n L x P t x x k n k                   Hay ( ) ( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( ) ! k k n k n n C P t t t t k t k t n n          không phụ thuộc vào mốc nội suy. Tùy theo từng trƣờng hợp ngƣời ta có các công thức hàm nội suy thích ứng. 1.1.3.2 Sai phân hữu hạn Trong trƣờng hợp các mốc nội suy cách đều x i+1 – x i =x i = h =const với i=0, ,n-1. Các sai phân hữu hạn đƣợc định nghĩa nhƣ sau: Sai phân cấp 1: y i = y i+1 – y i Sai phân cấp 2:  2 y i =y i+1 –y i . . . . . . . . Sai phân cấp k:  k y i = k-1 y i+1 – k-1 y i Để tính sai phân hữu hạn bằng tay ngƣời ta thƣờng dùng bảng nhƣ sau: x x y y y y  2 y  3 y  4 y  5 y x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 y 0 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 0 y 1 y 2 y 3 y 4  2 y 0  2 y 1  2 y 2  2 y 3  3 y 0  3 y 1  3 y 2  4 y 0  4 y 1  5 y 0 Ví dụ với hàm y=e x ta có bảng sai phân với 4 mốc nhƣ sau: [...]... t-ợng đó gọi là sự khuếch tán truyền tải của vật chất vào môi tr-ờng xung quanh (khói, mùi của thực phẩm ra môi tr-ờng không khí, mực trong môi tr-ờng n-ớc, dầu trên mặt n-ớc, nhiệt trong thanh sắt) Để xác định bản chất của các hiện t-ợng này ta th-ờng dẫn đến việc khảo sát ph-ơng trình đạo hàm riêng của thời gian và một biến t-ơng ứng với vị trí Một ph-ơng trình khuếch tán truyền tải th-ờng có dạng... tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 Ch-ơng 3: Giải ph-ơng trình khuếch tán - truyền tải bằng ph-ơng pháp không l-ới 3.1 Bài toán khuếch tán truyền tải trong ph-ơng pháp l-ới Trong tự nhiên luôn xuất hiện các hiện t-ợng nh- sự lan tỏa của khói nhà máy từ ống khói ra môi tr-ờng, sự hòa tan một giọt mực vào n-ớc, hay các vết loang của dầu hỏa trên mặt biển, hay đơn giản là ta có thể... cần tìm Thay vào (3.2.13) ta đ-ợc nghiệm xấp xỉ nghiệm của bài toán 3.2.2 Bài toán khuyếch tán một chiều Xét ph-ơng trình khuyếch tán truyền tải trong tr-ờng hợp một chiều đ-ợc cho bởi ph-ơng trình: u 2u 2 t x (a < x < b, t > 0 (3.2.17) với điều kiện biên: u (a, t ) f 0 (t ) u (b, t ) f1 (t ) (3.2.18) u ( c, t ) u 0 ( x ) dựa vào bài toán tổng quát ta xây dựng ch-ơng trình tính Sử dụng (3.2.7)... gian đa thức có bậc m < N Các tham số i trong ph-ơng trình (1) phải thoả mãn điều kiện: P x 0 N j 1 j i i=1 m j (3.2.3) Để xác định các hệ số j, i ta áp dụng ph-ơng trình (3.2.1) với điều kiện (3.2.3) ở mọi điểm i = 1 N trong đó ui, i=1 N đã biết ta sẽ có N+m ph-ơng trình và N+m ẩn {jj=1 N, ii=1 m} Bây giờ ta xét ph-ơng trình khuếch tán - truyền tải: u X, t 2 u X, t u X, t t XR3, t>0 (3.2.4)... bng a thc ni suy - Gi s ngi ta phi tớnh xp x o hm ca hm s f(x) trờn on (a,b) Trc ht ngi ta thay hm f(x) bng a thc ni suy p(x), sau ú ly o hm p'(x) v coi l xp x ca o hm f'(x) Ta cú th dựng cụng thc ni suy Lagrange tớnh o hm: Vỡ im c ph thuc x nờn c lng (3.3) ch ỏnh giỏ c khi x l cỏc mc ni suy x=xi; Thụng thng ngi ta xột a thc ni suy vi mc cỏch u vi h=xi+1 xi Vớ d Gi s ta xỏc nh c a thc ni suy l: p3(x)... v z z z 3 2.3 M rng hm RBF Hm RBF nhiu lp cho phng trỡnh khuch tỏn truyn ti: Hm RBF v hm Perceptron nhiu lp cú mt s u v nhc im sau: Hm RBF cú tc hi t nhanh nhng cú th b mt thụng tin do kh nng tng hp thp nu s dng thut lan truyn ngc sai s Hm perceptron nhiu lp thng cú tc hi t chm nhng chớnh xỏc cao trong nhn dng Nh vy cn m rng hm RBF theo hng thờm cỏc lp n bờn trong RBF hi t c nhng c trng tt... nhn dng mụ hỡnh nhng vn m bo hi t nhanh Ngoi ra khi hm RBF c luyn s dng thut bỡnh phng nh nht thỡ RBF hot ng nhanh hn perceptron nhiu lp Nhng nu tp mu luyn c chn kộm thỡ hm RBF li khụng cho kt qu ti u ton cc tt nh hm perceptron nhiu lp Vic khỏc nhau gia hm RBF nhiu lp so vi perceptron nhiu lp l cỏc phng trỡnh nỳt ti cỏc lp n v lp u ra Trong hm RBF nhiu lp khụng s dng thut luyn ti u theo bỡnh phng... 0,05 t 1.2 XP X BèNH PHNG TI THIU Trờn õy chỳng ta ó xột bi toỏn xp x hm vi ũi hi hm gn ỳng phi cú giỏ tr trựng vi giỏ tr ó bit ti cỏc mc ni suy Khi s mc ni suy ln thỡ s tham s cn tỡm xỏc nh hm g(x) cng nhiu Nu ni suy bng a thc thỡ bc a thc s ln khi cú nhiu mc ni suy, kt qu khụng n nh khc phc nhc im trờn ngi ta chp nhn giỏ tr gn ỳng cỏc mc o c v chn hm dng n gin cú sai s bỡnh phng nh nht ú chớnh l... cp 2 tớnh o hm cp 2 ta dựng cụng thc ni suy cp 2 tớnh y(xi) o hm hai ln liờn tip biu thc ta cú: ta cú cỏc cụng thc sau: Vy sai s cú bc O(h2) Chỳng ta ó cú cụng thc tớnh o hm cp 1 v cp 2 ti cỏc mc ni suy tớnh o hm ti cỏc im khụng l mc ta li ỏp dng phng phỏp ni suy Lagrange Sai s khi tớnh o hm ngoi sai s ca cụng thc cũn phi tớnh n sai s lm trũn, v cỏc bc ni suy h phi nh Vớ d: Hm y=f(x) c cho ti cỏc... ca RBF m cũn l ca h thng m RBF thc hin nhn dng Ngoi ra cú th cú cỏc la chn khỏc i vi hm c s nh hm spline lm vic rt hiu qu trong bi toỏn nhn dng mụ hỡnh Nhn xột: Hm hm c s bỏn kớnh cú hm kớch hot dng: W x W x A1 W x AM T Kt qu ca hm l: f x B, W x vỡ vy, õy l hm tuyn tớnh phõn lp d liu trờn khụng gian R M Hm RBF cũn cú th dựng xp x hm s nu ta trc tip dựng u ra yx Khi s dng hm RBF . THÁI NGUYÊN KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VŨ THỊ SƠN ỨNG DỤNG NỘI SUY RBF VÀO PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN TRUYỀN TẢI LUẬN VĂN THẠC SĨ. CÔNG NGHỆ THÔNG TIN . NGUYÊN KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VŨ THỊ SƠN ỨNG DỤNG NỘI SUY RBF VÀO PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN TRUYỀN TẢI Chuyên ngành: Công nghệ thông tin Mã số: 60 48 01 . kính và các tính chất Nội suy bởi hàm RBF Chƣơng 2. Phƣơng trình khuyếch tán - truyền tải Giới thiệu bài toán Phƣơng pháp sai phân giải phƣơng trình khuyếch tán - truyền tải Một số thí dụ tính