Ước lượng gradient cho phương trình khuếch tán phi tuyến trên đa tạp riemann

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NÔI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ THỊ HẠNH ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN TRÊN ĐA TẠP RIEMANN Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS NGUYỄN THẠC DŨNG Hà Nội - 2014 Lời cám ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Nguyễn Thạc Dũng, người tận tình giúp đỡ bảo suốt trình hoàn thành luận văn thạc sỹ Qua xin chân thành cám ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo môn Toán giải tích, trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội, người giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu trường Tác giả xin gửi lời cám ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo sau đại học, Ban Chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội tạo điều kiện cho trình học tập Cuối xin gửi lời cám ơn đến gia đình, bạn bè, người bên tôi, động viên khuyến khích trình thực luận văn Do làm quen với công tác nghiên cứu khoa học hạn chế thời gian thực nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Hà Nội, năm 2014 Mục lục Mở đầu TOÁN TỬ LAPLACE TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 1.1 Đa tạp Riemann 1.1.1 Toán tử Laplace đa tạp Riemann 1.1.2 Liên thông Levi - Civita đa tạp Riemann 14 1.1.3 Tensor độ cong, độ cong Ricci 17 ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 21 2.1 Ước lượng Gradient cho phương trình Schr¨odinger với hàm vị h(x, t) 21 2.2 Một vài ứng dụng 36 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 40 Mở đầu Trong hình học vi phân, việc nghiên cứu hàm điều hòa đóng vai trò quan trọng không gian hàm điều hòa có liên hệ chặt chẽ tới hình học, topo đa tạp Các hàm điều hòa nghiệm phương trình elliptic ∆u = Nhờ việc nghiên cứu không gian hàm điều hòa, người ta thấy vai trò giải tích đa tạp toán quan trọng liên quan đến topo, hình học Chính vậy, không gian hàm điều hòa quan tâm nghiên cứu nhiều nhà Toán học lớn Chẳng hạn, năm 1975, Cheng Yau thu ước lượng gradient cho hàm điều hòa (Xem tài liệu [8]) Nhờ ước lượng gradient người ta chứng minh tính chất Liouville, bất đẳng thức Harnack cho hàm điều hòa Bên cạnh việc nghiên cứu phương trình elliptic, người ta phát triển nghiên cứu phương trình parabolic đa tạp Phương pháp parabolic tỏ đặc biệt hữu dụng việc chứng minh tính chất hàm điều hòa Trong tài liệu [4], phương trình nhiệt parabolic ut = ∆u, (Ở số t bên ký hiệu phép lấy vi phân riêng theo t, ∆ toán tử Laplace đa tạp M ), Li Yau thu ước lượng gradient sau Định lý 0.1 (Li - Yau) Cho M đa tạp đầy n chiều với độ cong Ricci bị chặn −K , K Giả sử u nghiệm dương phương trình ut = ∆u B(x0 , 2R) × [t0 − 2T, t0 ], với ∀α > 1, ta có ut |∇u|2 − α u2 u C nα2 nα2 √ + + K, R2 2T 2(α − 1) (1) B(x0 , 2R) × [t0 − 2T, t0 ] Ở ∇ toán tử gradient M số dương C phụ thuộc vào số chiều n Mặt khác, kể từ sau nghiên cứu Perelman gradient Ricci soliton để chứng minh giả thuyết Poincare, người ta đặc biệt quan tâm đến không gian đo metric trơn Không gian đo metric trơn đa tạp Riemann (M, g) với hàm trọng trơn φ cho metric eφ dv metric đầy Ở dv dạng thể tích sinh metric g ban đầu Các gradient Ricci soliton trường hợp đặc biệt không gian độ đo metric trơn Toán tử Laplace mở rộng cách tự nhiên lên không gian thành toán tử ∆u + ∇φ, ∇u độ cong Ricci thay độ cong Bakry-Émery m chiều sau Ric := Ric − ∇2 φ − ∇φ ⊗ ∇φ, m ≥ n, m−n m = n φ = Năm 2005, Li Xiangdong [9] nghiên cứu phương trình nhiệt tổng quát không gian đo metric trơn mở rộng kết Li-Yau lên không gian Li xét phương trình nhiệt ut = ∆u + ∇φ, ∇u Giả thiết độ cong Bakry-Émery m chiều bị chặn −K, Ric X D Li thu ước lượng gradient sau |∇u|2 ut −α u u C mα2 mα2 √ + + K R2 2T 2(α − 1) (2) Bằng cách sử dụng (2), người ta nhận bất đẳng thức Harnack u(x1 , t1 ) u(x2 , t2 ) t2 t1 ( nα ) exp nαK αρ2 (x1 , x2 ) +√ (t2 − t1 ) , 4(t2 − t1 ) 2(α − 1) với ∀x1 , x2 ∈ M , ρ(x1 , x2 ) khoảng cách trắc địa x1 x2 , < t1 < t2 < +∞ Lưu ý từ dạng bất đẳng thức Harnack, người ta so sánh nghiệm thời điểm khác Tuy nhiên, tài liệu [7], Hamilton thu ước lượng gradient dạng elliptic đa tạp compac Với ước lượng đó, ta so sánh nghiệm hai điểm khác lúc Ước lượng gradient Hamilton phát biểu sau Định lý 0.2 (Hamilton) Cho M đa tạp compact biên với điều kiện độ cong Ricci bị chặn - K, K trình ut = ∆u với u Giả sử u nghiệm dương phương C ∀(x, t) ∈ M × (0, +∞) |∇u|2 u2 C + 2K ln t u (3) Sau đó, Souplet Zhang tổng quát hóa ước lượng gradient đa tạp không compact (Xem tài liệu [5]) sau Định lý 0.3 (Souplet - Zhang) Cho M đa tạp đầy n chiều với độ cong Ricci bị chặn - K, K Giả sử u nghiệm dương phương trình ut = ∆u Q2R,2T ≡ B(x0 , 2R) × [t0 − 2T, t0 ] u |∇u| u C1 C Q2R,2T Khi √ C 1 + ln + + K , R T2 u (4) Q2R,2T Hằng số C1 phụ thuộc vào số chiều n, n → ∞ C1 → ∞ Lưu ý ước lượng (4) ước lượng gradient địa phương Cho R → ∞, ta thu ước lượng gradient toàn cục sau |∇u| u C1 T + √ K + ln C u (5) Trong ước lượng (5), số C1 phụ thuộc vào số chiều n, C1 dần tới vô n dần tới vô cùng, ước lượng gradient không áp dụng cho đa tạp vô hạn chiều Tuy nhiên, ước lượng gradient (3) Halminton không phụ thuộc vào số chiều n Trong luận văn mình, nghiên cứu ước lượng gradient cho phương trình tổng quát Đó phương trình Schr¨odinger với hàm vị h(x, t) ut = ∆u + ∇φ, ∇u + hu Chúng chứng minh ước lượng gradient cho nghiệm phương trình cho hai trường hợp h hàm không dương h hàm không âm Với ước lượng gradient thu chứng minh bất đẳng thức Harnark chứng minh tính chất Liouville cho hàm φ-điều hòa Các kết xem mở rộng kết cổ điển Li-Yau Luận văn bao gồm có hai chương Trong chương một, nhắc lại khái niệm hình học vi phân Các khái niệm bao gồm khái niệm đa tạp Riemann, định nghĩa toán tử Laplace đa tạp Riemann khái niệm liên thông, độ cong Riemann, độ cong Ricci độ cong Bakry-Émery m chiều Trong chương hai chứng minh ước lượng kiểu Hamilton cho phương trình nhiệt Schr¨odinger đề cập Bên cạnh việc viết lại đưa tính toán chi tiết ý chứng minh trường hợp hàm vị h không dương báo [6], đưa định lý trường hợp h hàm không âm Điều góp phần làm đầy đủ tranh đánh giá gradient nghiệm phương trình Schr¨odinger Nội dung luận văn trường hợp h không dương viết dựa báo Ruan Qihua năm 2007 (xem [6]) Chương TOÁN TỬ LAPLACE TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 1.1 Đa tạp Riemann 1.1.1 Toán tử Laplace đa tạp Riemann A ĐA TẠP TRƠN Định nghĩa 1.1 Giả sử M không gian tôpô Hausdorff có sở đếm M gọi đa tạp tôpô n - chiều với p ∈ M, tồn ba {ϕ, U, V }, U lân cận mở p M, V tập mở Rn , ϕ : U → V đồng phôi Mỗi ba gọi đồ p Hai đồ {ϕ1 , U1 , V1 } {ϕ2 , U2 , V2 } gọi tương thích phép chuyển ϕ12 = ϕ2 ◦ ϕ−1 : ϕ1 (U1 ∩ U2 ) → ϕ2 (U1 ∩ U2 ) , đồng phôi Lưu ý ϕ1 (U1 ∩ U2 ) ϕ2 (U1 ∩ U2 ) mở Rn Định nghĩa 1.2 Một atlas A đa tạp M tập đồ {ϕα , Uα , Vα } tương thích với nhau, thỏa mãn α Uα = M Hai atlas M gọi tương đương hợp chúng atlas M Định nghĩa 1.3 Một đa tạp trơn n - chiều đa tạp tôpô M n - chiều trang bị lớp tương đương atlas cho hàm chuyển hàm trơn Lớp tương đương gọi cấu trúc trơn atlas Ví dụ 1.1 Rn (hoặc không gian véctơ hữu hạn chiều) đa tạp trơn Ví dụ 1.2 Xét siêu cầu n chiều Rn+1 S n = (x1 , , xn+1 ) ∈ Rn+1 | x21 + + x2n+1 = Gọi N = (0, 0, , 0, 1) ∈ Rn+1 S = (0, 0, , 0, −1) ∈ Rn+1 điểm cực bắc điểm cực nam S n Xét U1 = S n − N U2 = S n − S tập mở S n Xét phép chiếu ϕi : Ui → Rn định nghĩa ϕ1 (x) = (x1 , , xn ) , − xn+1 ϕ2 (x) = (x1 , , xn ) + xn+1 Khi {ϕ1 , U1 , Rn } {ϕ2 , U2 , Rn } tạo thành atlas S n Siêu cầu S n đa tạp trơn B ÁNH XẠ TRƠN Định nghĩa 1.4 Giả sử ta có ánh xạ f : M → N hai đa tạp trơn Ta nói ánh xạ trơn với đồ {ϕα , Uα , Vα } M ϕβ , Uβ , Vβ N , ánh xạ −1 ψβ ◦ f ◦ ϕ−1 Xβ α : ϕα Uα ∩ f → ψβ f (Uα ) ∩ Xβ , trơn Ánh xạ f : M → N gọi vi phôi song ánh f, f −1 ánh xạ trơn Chú ý (1) Khi N = R, ta gọi f hàm trơn có giá trị thực Tập hàm trơn có giá trị thực M ký hiệu C ∞ (M ) (2) Mỗi ánh xạ trơn f : M → N tạo ánh xạ "kéo - lùi" f ∗ : C ∞ (N ) → C ∞ (M ) , g → g ◦ f C VÉCTƠ TIẾP XÚC Cho M đa tạp trơn n chiều; C ∞ (M ) tập hàm khả vi vô hạn M Định nghĩa 1.5 Một véctơ tiếp xúc điểm p ∈ M ánh xạ tuyến tính Xp : C ∞ (U ) → R thỏa mãn quy tắc Leibnitz Xp (f g) = f (p) Xp (g) + Xp (f ) g (p) Ở U lân cận p nói định nghĩa 1.1 Tập hợp tất véctơ tiếp xúc M p lập thành không gian véctơ gọi không gian tiếp xúc M p, ký hiệu Tp M Không gian đối ngẫu gọi không gian đối tiếp xúc M p ký hiệu Tp∗ M Cả Tp M Tp∗ M không gian véctơ n-chiều Giả sử {ϕ, U, V } đồ p với ϕ (p) = Khi đó, ánh xạ ∂i : C ∞ (U ) → R, f→ ∂f ◦ ϕ−1 (0) , ∂xi i = 1, 2, , n véctơ tiếp xúc p Các véctơ độc lập tuyến tính tạo thành sở Tp M Định nghĩa 1.6 Cho ánh xạ trơn f : M → N , với p ∈ M , vi phân f ánh xạ tuyến tính dfp : Tp M → Tf (p) N định nghĩa dfp (Xp ) (g) = Xp (g ◦ f ) Với Xp ∈ Tp M g ∈ C ∞ (N ) Trong trường hợp đặc biệt f : M → R hàm trơn, ta đồng Tf (p) R với R Ta Xp (f ) = dfp (Xp ) Ở dfp ∈ Tp∗ M gọi véctơ đối tiếp xúc p Cho {ϕ, U, V } đồ địa phương quanh p Ta kí hiệu ϕ = x1 , , xn với xk hàm tọa độ thứ k U , ký hiệu đồ U ; x1 , , xn Vậy sở đối ngẫu {∂1 , , ∂n } Tp∗ M dx1p , , dxnp , dfp = (∂1 f )dx1p + + (∂n f )dxnp D PHÂN THỚ TIẾP XÚC Định nghĩa 1.7 Cho E M hai đa tạp trơn, π : E → M toàn ánh trơn Ta nói (π, E, M ) phân thớ véctơ hạng k với p ∈ M , Ep = π −1 (p) không gian véctơ k chiều Tồn lân cận mở U p vi phôi ΦU : π −1 (U ) → U × Rk cho ΦU (π −1 (p)) = {p} × Rk Nếu U, V hai tập mở với p ∈ U ∩ V , ΦU , ΦV vi phôi ánh xạ k k gU V (p) = ΦU ◦ Φ−1 V : {p} × R → {p} × R tuyến tính, phụ thuộc trơn vào p ∈ U ∩ V Ta gọi E không gian tổng, M sở, ΦU ánh xạ tầm thường địa phương Một phân thớ véctơ hạng thường gọi đường thẳng phân thớ Ví dụ 1.3 Đặt T M = ∪p Tp M hợp rời không gian tiếp xúc M Khi đó, với ánh xạ chiếu π : T M → M, (p, Xp ) → p T M phân thớ véctơ hạng n M Ta gọi T M phân thớ tiếp xúc M Một ánh xạ tầm thường địa phương T M cho T ϕ = (π, dϕ) : π −1 (U ) → U × Rn , với {ϕ, U, V } đồ địa phương M E CẤU TRÚC RIEMANN Cho M đa tạp m chiều ta có định nghĩa cấu trúc metric Riemann định nghĩa đa tạp Riemann sau Định nghĩa 1.8 Một cấu trúc metric Riemann M việc đặt tương ứng với p ∈ M tích vô hướng gp (·, ·) = ·, · p Tp M cho với hai trường véctơ X, Y tập mở U ∈ M , hàm số p → Xp , Yp hàm khả vi Đa tạp M với cấu trúc metric Riemann g xác định M gọi đa tạp Riemann ký hiệu (M, g) Ta ý thân g metric M Tuy nhiên, g cảm sinh cấu trúc metric tự nhiên M Ta mô tả cấu trúc metric g sử dụng tọa độ địa phương sau Cho U, x1 , , xm hệ tọa độ địa phương, {∂1 , , ∂m } trường véctơ tọa độ tương ứng Ta ký hiệu gij (p) = ∂i , ∂j p Với véctơ trơn X = X i ∂i Y = Y j ∂j U ta có Xp , Yp p = X i (p)Y j (p) ∂i , ∂j p = gij (p)X i (p)Y j (p) Ta viết g = gij dxi ⊗ dxj , gọn g = gij dxi dxj Dễ thấy, gij có tính chất sau • gij (p) trơn với p ∈ M , với i, j • gij = gji , ma trận (gij (p)) đối xứng với p 10 Chứng minh Ta có Γ(ln(1 − f )) w= = 2Γ2 (ln(1 − f )) + 2Γ ( ln(1 − f ), ln(1 − f )) = 2Γ2 (ln(1 − f )) + 2Γ h − f w, ln(1 − f ) 1−f = 2Γ2 (ln(1 − f )) + 2Γ h , ln(1 − f ) 1−f h 1−f = 2Γ2 (ln(1 − f )) + ∇ − 2Γ (f w, ln(1 − f )) , ∇ln(1 − f ) − ∇(f w), ∇ln(1 − f ) , ta sử dụng công thức (2.3) dấu thứ hai, sử dụng công thức (2.2) dấu thứ ba Ta có tính toán sau ∇ Vì ∇ 1−f ∇ h 1−f = , ∇ln(1 − f ) = ∇h + h∇ 1−f 1−f , ∇ln(1 − f ) ∇f nên (1 − f )2 h 1−f , ∇ln(1 − f ) ∇f ∇h +h , ∇ln(1 − f ) 1−f (1 − f )2 ∇f, ∇ln(1 − f ) ∇h, ∇ln(1 − f ) +h = 1−f (1 − f )2 = − |∇f |.|∇ln(1 − f )| |∇h|.|∇ln(1 − f )| −h 1−f (1 − f )2 Ta lại có |∇h|.|∇ln(1 − f )| |∇h| = w2, 1−f 1−f |∇f |.|∇ln(1 − f )| (1 − f )2 = |∇f | |∇ln(1 − f )|2 w |∇ln(1 − f )| = = 1−f 1−f 1−f 1−f Do ∇ h 1−f , ∇ln(1 − f ) −2 |∇h| w w2 − 1−f 1−f Tương tự, ta có ∇(f w), ∇ln(1 − f ) = w∇f + f ∇w, ∇ln(1 − f ) = w ∇f, ∇ln(1 − f ) + f ∇w, ∇ln(1 − f ) w|∇f |.|∇ln(1 − f )| + f |∇w|.|∇ln(1 − f )| 27 (2.6) Mặt khác, w|∇f |.|∇ln(1 − f )| + f |∇w|.|∇ln(1 − f ) = w(1 − f ) |∇f | |∇ln(1 − f )| + f |∇w|w 1−f = (1 − f )w2 + f |∇w|w Vậy nên (1 − f )w2 + f |∇w|w ∇(f w), ∇ln(1 − f ) Do đó, ta có 2(1 − f )w2 + 2f |∇w|w −2 ∇(f w), ∇ln(1 − f ) (2.7) Từ (2.4), (2.6) (2.7) ta có h ), ∇ln(1 − f ) − ∇(f w), ∇ln(1 − f ) 1−f 2h 2|∇h| −2Kw − w− w + 2(1 − f )w2 + 2f |∇w|w 1−f 1−f w = Γ2 (ln(1 − f )) + ∇( Đó điều phải chứng minh Sau đây, ta chứng minh định lý 2.1 Chứng minh Do h < 0, nên ta có √ 1 |∇h|2 −2hw − 2|∇h|w + 2|∇ −h|2 = −2hw − 2|∇h|w − h |∇h| = −2h w + w + |∇h|2 h 4h = −2h w + |∇h| 2 Do −2hw − 2|∇h|w √ −2|∇ −h|2 Khi h ≡ 0, ta có bất đẳng thức luôn Áp dụng vào ước lượng (2.5) bổ đề 2.3, ta w √ |∇ −h|2 −2Kw − + 2(1 − f )w2 + 2f |∇w|w 1−f √ −2Kw − 2|∇ −h|2 + 2(1 − f )w2 + 2f |∇w|w Lưu ý bất đẳng thức ta sử dụng tính chất < < Vì vậy, ta thu 1−f w √ −2Kw − 2|∇ −h|2 + 2(1 − f )w2 + 2f |∇w|w 28 (2.8) Tiếp theo, ta chọn hàm cut - off η hàm C [0, ∞) thỏa mãn η(t) = với t ∈ [0, 1]; η(t) = với t ∈ [2, ∞), −C η (t) η(t) Ngoài ra, η thỏa mãn η η (t) −C với ∀t 0, C số dương Ký hiệu ρ(p, x) khoảng cách trắc địa x điểm p M Đặt ρ(p, x) R ψ(x) = η Dễ thấy ∇ψ = η |η | |η |2 η η ∇ρ; |∇ψ| = |∇ρ|; |∇ψ|2 = |∇ρ|2 ∆ψ = |∇ρ|2 + ∆ρ R R R R R Khi ta có |∇ψ|2 ψ C2 B(p, 2R) R2 Thật |η |2 |∇ρ|2 |η |2 |∇ψ|2 = = ψ R2 η R2 η Vì có −C η η nên η η C |η |2 η C2 Vậy |∇ψ|2 |η |2 |∇ρ|2 |η |2 = = ψ R2 η R2 η Lψ(x) − C2 Bp (2R) R2 (2.9) mC mCK − ,x ∈ / cut(p) R2 R Thật vậy, Lψ = ∆ψ + ∇φ, ∇ψ η η η |∇ρ|2 + ∆ρ + ∇φ, ∇ρ R R R η η = |∇ρ|2 + (∆ρ + ∇φ, ∇ρ ) R R η η = |∇ρ|2 + Lρ R R η η = + Lρ R R −C η + Lρ R2 R = −C Theo định lý so sánh Laplace tổng m−1 + (m − 1)K điều kiện độ cong Ric −K (Định lý ρ Trong đánh giá trên, ta sử dụng η quát : Lρ chứng minh tài liệu [10]) 29 Từ cách chọn hàm η , ta có −Cη(t) η Lρ R 0, η (t) −C R η m−1 + (m − 1)K R ρ m−1 + (m − 1)K ρ Nên ta có Lψ −C η + Lρ R2 R −C C m − + (m − 1)K − R2 R ρ −C C m − mC mCK CK + (m − 1)K = − + − − R2 R R R2 R R mC mCK − − ,x ∈ / cut(p) R R Vậy Lψ(x) − mC mCK − ,x ∈ / cut(p) R2 R (2.10) Đặt ϕ = tψ , ta có ∇ϕ = t∇ψ ; |∇ϕ| = t|∇ψ| ; ∆ϕ = t∆ψ Do đó, ta tính ϕ = ∆ϕ + ∇φ, ∇ϕ − ∂ϕ ∂t = t∆ψ + ∇φ, t∇ψ − ψ = t(∆ψ + ∇φ, ∇ψ ) − ψ = tLψ − ψ Giả sử ϕw đạt giá trị cực đại điểm (x0 , t0 ) ∈ B(p, 2R) × [0, T ] Theo lý luận tiếng Calabi (Xem tài liệu [2]), ta giả sử x0 không vị trí cut p Khi đó, (x0 , t0 ) ta có ∇(ϕw) = 0, ∆(ϕw) 0, ∂ (ϕw) ∂t (2.11) Từ đó, ta có (ϕw) = ∆(ϕw) + ∇φ, ∇(ϕw) − ∂ (ϕw) ∂t (2.12) Vì ∇(ϕw) = w∇ϕ + ϕ∇w = 0, nên ∇w = − 30 ∇ϕ w ϕ (2.13) Từ đó, ta có w2 w |∇ϕ|2 = |∇ϕ| ϕ ϕ |∇w| = Tại (x0 , t0 ), theo (2.11) ta có ϕ w + w ϕ + 2Γ(ϕ, w) = ϕ w + w ϕ + ∇ϕ, ∇w = ϕ(∆w + ∇φ, ∇w ) + w(∆φ + ∇φ, ∇ϕ ) + ∇ϕ, ∇w = [ϕ∆w + w∆ϕ + ∇ϕ, ∇w ] + ϕ ∇φ, ∇w + w ∇φ, ∇ϕ = ∆(ϕw) + ∇φ, ϕ∇w + w∇ϕ = ∆(ϕw) + ∇φ, ∇(ϕw) = ∆(ϕw) Vậy, ta ϕ w + w ϕ + 2Γ(ϕ, w) (2.14) Áp dụng (2.8) vào ước lượng (2.14) trên, (x0 , t0 ) ta có √ ϕ −2Kw − |∇ −h|2 + 2(1 − f )w2 + 2f |∇w|w + w ϕ + 2Γ(ϕ, w) (2.15) Từ (2.13), ta có Γ(ϕ, w) = ∇ϕ, ∇w = ∇ϕ, − ∇ϕ w ϕ =− w |∇ϕ|2 ∇ϕ, ∇ϕ = − w ϕ ϕ |∇ϕ|2 |∇ϕ| Thay Γ(ϕ, w) = − w |∇w| = w vào ước lượng (2.15) ta ϕ ϕ √ |∇ϕ| w2 ϕ −2Kw − |∇ −h|2 + 2(1 − f )w2 + 2f ϕ +w ϕ−2 |∇ϕ|2 w ϕ Hay √ |∇ϕ|2 −2Kϕw − |∇ −h|2 ϕ + 2(1 − f )ϕw2 + 2f |∇ϕ|w + w ϕ − w ϕ Ta viết lại bất đẳng thức sau √ (−f )|∇ϕ|w 2 −2Kϕw − |∇ −h| ϕ + 2(1 − f )ϕw − (1 − f )ϕ w (1 − f )ϕ +w ϕ−2 |∇ϕ|2 w ϕ (2.16) a2 + b2 , ta Vì f < 0, nên áp dụng bất đẳng thức 2ab (−f )|∇ϕ|w 2 w (1 − f )ϕ f |∇ϕ|2 w + w2 (1 − f )2 ϕ2 31 Do √ −2Kϕw −|∇ −h|2 ϕ+2(1−f )ϕw2 −(1−f )ϕ f |∇ϕ|2 |∇ϕ|2 w w + w +w ϕ−2 (1 − f )2 ϕ2 ϕ √ |∇ϕ|2 f |∇ϕ|2 −2Kϕw − |∇ −h|2 ϕ + 2(1 − f )ϕw2 − w − (1 − f )ϕw2 + w ϕ − w (1 − f )ϕ ϕ Vậy, ta Hay √ f |∇ϕ|2 |∇ϕ|2 −2Kϕw − |∇ −h|2 ϕ + (1 − f )ϕw2 − w+w ϕ−2 w (1 − f )ϕ ϕ Nhân hai vế (2.17) với ϕ , (chú ý 1−f 1, ψ f2 (1 − f )2 (2.17) 1−f 1) ta ϕ 1−f −2Kϕw √ − |∇ −h|2 ϕ2 1−f + (ϕw)2 − f |∇ϕ|2 w + (1 − f )2 wϕ 1−f ϕ−2 |∇ϕ|2 w 1−f (2.18) Ta có số đánh giá sau T , ϕ Vì ψ ϕ 1−f Vì 1−f T ϕ Vì T mà ϕ = tψ tψ T ϕ T , ϕ2 1−f T nên t ϕ 1−f nên T T , ϕ2 T2 1−f nên ϕ2 1−f T2 Áp dụng đánh giá vào ước lượng (2.18), ta √ wϕ f |∇ϕ|2 w |∇ϕ|2 w −2KϕwT − |∇ −h|2 T + (ϕw)2 − + ( ) ϕ − (1 − f )2 1−f 1−f Do (ϕw)2 − Mà f2 1−f 2KT + 1; 1−f (ϕw)2 − f |∇ϕ|2 ϕ 2|∇ϕ|2 − + (1 − f )2 ϕ − f (1 − f )ϕ √ (ϕw) − |∇ −h|2 T nên ta có 2KT + |∇ϕ|2 − ϕ ϕ+ 2|∇ϕ|2 ϕ 32 √ (ϕw) − |∇ −h|2 T (2.19) Hay (ϕw)2 − 2KT + √ ϕ (ϕw) − |∇ −h|2 T 3|∇ϕ|2 − ϕ (2.20) Để tiếp tục đánh giá, ta ý áp dụng (2.9) (2.10), ta có kết sau 3|∇ϕ|2 3t2 |∇ψ|2 3t|∇ψ|2 = = ϕ ψt ψ − ϕ = −tLψ + ψ mCt mCKt +1 + R2 R 3tC R2 3T C R2 (2.21) mCT T mCKT + + R R T (2.22) Do (ϕw)2 − 2KT + (ϕw)2 − T 2K + √ (ϕw) − |∇ −h|2 T 3T C mCT T mCKT + + + 2 R R R T Hay Đặt X = ϕw; A = T 3C mC mCK + + + R R R T 2K + √ (ϕw) − |∇ −h|2 T 3C mC mCK + + + R R R T √ B = |∇ −h|2 T , ta Vế trái (2.23) = f (X) = X − XA − B Xét tam thức f (X) = X − XA − B , có ∆ = A2 + 4B Để f (X) A− √ A2 + 4B X √ A + A2 + 4B √ 2A + B Vậy từ ước lượng (2.23), ta có ϕw 3C mC mCK + 2K + + + R R R T T + √ ∇ −h|2 T Hay ϕw T 2K + 3C mC mCK + + + R2 R2 R T √ + |∇ −h|T Vì ψ = B(p, R) nên ta có ϕw = (tψ)w = tw T 2K + 3C mC mCK + + + R R R T √ + |∇ −h|T Do w(x, T ) 2K + √ 3C mC mCK + + + + |∇ −h|, R2 R2 R T với ∀x ∈ B(p, R) Mặt khác, w = |∇u|2 nên u2 (1 − f )2 |∇u|2 u2 (1 − f )2 2K + √ 3C mC mCK + + + + |∇ −h| R R R T 33 (2.23) Do √ 3C mC mCK + + |∇ −h| (1 − f )2 2K + + + R R R T |∇u|2 u2 Vì T tùy ý, cho R → +∞, thay f = lnu, ta có |∇u|2 u2 2K + √ + |∇ −h| (1 − lnu)2 t Vậy ta thu ước lượng gradient |∇u| u t √ + √ 2K + |∇ −h| (1 − lnu) Ta có điều phải chứng minh Trong trường hợp h hàm không âm, ta có ước lượng gradient sau Định lý 2.2 Cho M đa tạp đầy n chiều, không compact, thỏa mãn điều kiện độ cong Ric −K, K Giả sử h hàm vị xác định M × (0, +∞) (h hàm C theo biến x), u nghiệm dương phương trình Schr¨ odinger (2.1) với u C với (x, t) ∈ M × (0, +∞) Khi đó, h |∇u| u t + √ 2K + 2h + 2ε + |∇h| ε + ln C u Chứng minh Lập luận tương tự chứng minh định lý 2.1 trước bổ đề 2.1, ta coi u ≤ C = Sử dụng bất đẳng thức ab a2 + εb2 , ta có 4ε |∇h|2 + εw 4ε |∇h|w Áp dụng vào ước lượng (2.5) bổ đề 2.3, ta w 2h −2Kw − w− 1−f |∇h|2 + 2εw 2ε 1 + 2(1 − f )w2 + 2f |∇w|w 1−f Hay w −2K − 2h 2ε − 1−f 1−f (−2K − 2h − 2ε) w − Thay |∇w| = w− |∇h|2 + 2(1 − f )w2 + 2f |∇w|w 2ε(1 − f ) |∇h|2 + 2(1 − f )w2 + 2f |∇w|w 2ε w |∇ϕ| vào ước lượng trên, ta ϕ w (−2K − 2h − 2ε) w − |∇h|2 |∇ϕ| + 2(1 − f )w2 + 2f w2 2ε ϕ 34 (2.24) Các bước đánh giá ta làm tương tự chứng minh định lý 2.1 Một số bước trình bày rõ ràng chứng minh định lý 2.1 nên ta không nhắc lại |∇ϕ|2 Áp dụng (2.24) vào ước lượng (2.14), đồng thời thay Γ(ϕ, w) = − w, ta có ϕ ϕ (−2K − 2h − 2ε) w − |∇ϕ| |∇h|2 + 2(1 − f )w2 + 2f w2 ε ϕ +w ϕ−2 |∇ϕ|2 w ϕ Hay |∇h|2 ϕ (−f )|∇ϕ|w |∇ϕ|2 (−2K − 2h − 2ε) ϕw− +2(1−f )ϕw2 −(1−f )ϕ w +w ϕ−2 w ε (1 − f )ϕ ϕ Vì f < nên (−f )|∇ϕ|w 2 w (1 − f )ϕ f |∇ϕ|2 w + w2 (1 − f )2 ϕ2 Do (−2K −2h−2ε)ϕw − f |∇ϕ|2 |∇ϕ|2 |∇h|2 ϕ +2(1−f )ϕw2 − w −(1−f )ϕw2 +w ϕ−2 ε (1 − f )ϕ ϕ Hay f |∇ϕ|2 |∇ϕ|2 |∇h|2 ϕ + (1 − f )ϕw2 − w+w ϕ−2 ε (1 − f )ϕ ϕ ϕ Nhân hai vế ước lượng với , ta 1−f (−2K − 2h − 2ε)ϕw − (ϕw)2 − (2K + 2h + 2ε) Vì ϕ 1−f T, (ϕw)2 − ϕ f |∇ϕ|2 ϕ 2|∇ϕ|2 + − + 1−f (1 − f )2 ϕ − f ϕ(1 − f ) f2 1−f T, f2 (1 − f )2 (2K + 2h + 2ε)T + 3|∇ϕ|2 − ϕ 1−f (ϕw) − |∇h|2 ϕ2 ε 1−f nên ϕ (ϕw) − |∇h|2 T ε (ϕw) − |∇h|2 T ε Áp dụng (2.21) (2.22) vào ước lượng trên, ta (ϕw)2 − (2K + 2h + 2ε)T + 3T C mCT mCKT T + + + R2 R2 R T Hay (ϕw)2 − T (2K + 2h + 2ε) + Đặt X = ϕw; A = T 3C mC mCK + + + R R R T 2K + 2h + 2ε + (ϕw) − 3C mC mCK + + + R R R T Vế trái (2.25) = f (X) = X − XA − B 35 |∇h|2 T ε (2.25) B = |∇h|2 T , ta ε Xét tam thức f (X) = X − XA − B , có ∆ = A2 + 4B Để f (X) A− √ A2 + 4B X A+ √ A2 + 4B √ 2A + B Vậy từ ước lượng (2.25), ta có ϕw T 2K + 2h + 2ε + 3C mC mCK + + + R R R T + |∇h| T ε2 Vì ψ = B(p, R) nên ϕw = (tψ)w = tw T 2K + 2h + 2ε + 3C mC mCK + + + R R R T + |∇h| T ε2 Do w(x, T ) 3C mC mCK |∇h| + + + + T, với ∀x ∈ B(p, R) R2 R2 R T ε2 2K + 2h + 2ε + Mặt khác, w = |∇u|2 nên u2 (1 − f )2 |∇u|2 u2 (1 − f )2 2K + 2h + 2ε + 3C mC mCK |∇h| + + + + R R R T ε2 Do |∇u|2 u2 2K + 2h + 2ε + 3C mC mCK |∇h| + + + + R R R T ε2 (1 − f )2 Vì T tùy ý, cho R → +∞, thay f = lnu, ta có |∇u|2 u2 2K + 2h + 2ε + |∇h| + t ε2 (1 − lnu)2 Vậy ta thu ước lượng gradient sau |∇u| u 1 + √ 2K + 2h + 2ε + t2 |∇h| (1 − lnu) ε4 Ta có điều phải chứng minh 2.2 Một vài ứng dụng Trong mục này, đưa vài ứng dụng ước lượng gradient cho phương trình nhiệt Hệ ước lượng kết dạng Liouville Hệ 2.1 Cho (M, g) đa tạp Riemann với Ric ≥ φ hàm trơn M Nếu u hàm φ - điều hòa (tức u thỏa mãn phương trình ∆u + ∇φ, ∇u = 0), u bị chặn u ≡ const 36 Chứng minh Giả sử u hàm φ điều hòa M , ta coi u, φ hàm xác định M × R, u, φ độc lập với t ∈ R Ta dùng ký hiệu Ric để ký hiệu cho Ric M × R, tính toán [3], ta có Ric ≥ M × R Do vậy, ta đặt K = định lý 2.1 Mặt khác, u hàm φ-điều hòa, u độc lập với t, nên u nghiệm phương trình Schr¨ odinger (2.1) với h = Khi sử dụng ước lượng gradient chứng minh định lý 2.1 ta thu ước lượng gradient sau |∇u| u 1 (1 − lnu) t2 Cho t → ∞ |∇u| = 0, u ≡ const Ta có điều phải chứng minh Chú ý rằng, ta đưa chứng minh khác hệ cách sử dụng Định lý 2.2 sau Chứng minh Lập luận tương tự chứng minh hệ 2.1, ta có ước lượng gradient |∇u| u t + √ 2ε (1 − lnu) (2.26) Cho t → ∞ ta không thu trực tiếp kết u ≡ const từ ước lượng (2.26) trên, nhiên, ta có |∇u| u √ 2ε (1 − lnu) Cho ε → ta thu |∇u| = nên u = const Một hệ khác ước lượng dạng Harnack sau cho phương trình nhiệt Hệ 2.2 Cho M đa tạp đầy n chiều, không compact thỏa mãn điều −K; K kiện độ cong Ric Giả sử hàm vị h hàm âm xác định √ M × (0, +∞) C theo biến x, |∇ −h| C2 với số dương C2 , u nghiệm dương phương trình Schr¨ odinger (2.1) với u với (x, t) ∈ M × (0, +∞) Khi đó, với x1 , x2 ∈ M ta có u(x2 , t) với β = exp − ρ t − √ 2K + √ C2 ρ u(x1 , t)β e1−β , ρ = ρ(x1 , x2 ) khoảng cách trắc địa x1 x2 37 Chứng minh Gọi γ(s) đường trắc địa cực tiểu x1 x2 , γ : [0, 1] → M, γ(0) = x2 , γ(0) = x1 Ta có ln − f (x1 , t) = ln(1 − f (x1 , t)) − ln(1 − f (x2 , t)) − f (x2 , t) = ln (1 − f (γ(1), t)) − ln (1 − f (γ(0), t)) dln(1 − f (γ(s), t)) = dln(1 − f (γ(s), t)) ds ds dln(1 − lnu(γ(s), t)) ds ds = = Vì ta có dln(1 − lnu(γ(s), t)) ds Nên |γ| ˙ 1 − f (x1 , t) ln − f (x2 , t) |γ| ˙ |∇u| u(1 − lnu) |∇u| ds u(1 − lnu) Theo ước lượng gradient chứng minh định lý 2.1 |∇u| u √ Với giả thiết |∇ −h| t √ + √ 2K + |∇ −h| (1 − lnu) C2 ta ước lượng |∇u| u √ t + Do |∇u| u(1 − lnu) C2 (1 − lnu) √ 2K + C2 2K + t + Từ ta − f (x1 , t) ln − f (x2 , t) |γ| ˙ |∇u| u(1 − lnu) Vậy ta suy − f (x1 , t) − f (x2 , t) Đặt β = exp − ta ρ t − √ 2K + exp √ C2 ρ ρ ρ √ + 2K + 2K + C2 ρ t2 C2 ρ √ + t2 thay f (x1 , t) = lnu(x1 , t); f (x2 , t) = lnu(x2 , t) − lnu(x1 , t) − lnu(x2 , t) 38 β Từ qua tính toán trực tiếp, ta dễ dàng thu u(x2 , t) u(x1 , t)β e1−β Ta có điều phải chứng minh 39 Kết luận Nội dung luận văn trình bày lại kết báo [6] Ruan Qihua Các kết trình bày lại bao gồm Định lý 2.1 ước lượng gradient cho phương trình Schr¨odinger (2.1) hệ nó, Hệ 2.1 Hệ 2.2 Bên cạnh đó, cách sử dụng lập luận tác giả, chứng minh kết mới, định lý 2.2 Chúng sử dụng định lý 2.2, thu tính chất Liouville hàm φ-điều hòa 40 Tài liệu tham khảo [1] D Bakry, M Emery, "Diffusion hypercontractives", Séminaíre de Probabiliés XIX, Lecture Notes in Math 1123(1985), pp.177-206 [2] E Calabi, "An extension of E.Hopf’s maximum principle with an application to Riemannian geometry", Duke Math.J 25(157)(1958), pp.45-46 [3] P Li, "Harmonic functions and applications to complete manifolds", Preprint (available on the author’s homepage) [4] P Li and S T Yau, "On the parabolic kernel of the Schr¨odinger operator", Acta Math 156(1986), pp.153-201 [5] P Souplet and Qi S Zhang, "Sharp gradient estimate and Yau’s Liouville theorem for the heat equation on noncompact manifolds", Bull London Math Soc 38(2006), pp.1045-1053 [6] Q H Ruan, "Elliptic-type gradient estimate for Schr¨odinger equations on noncompact manifolds", Bull London Math Soc 39(6)(2007), pp.982-988 [7] R S Hamilton, "A matrix Harnack estimate for the heat equation", Comm Anual Geom 1(1993), No.1, pp.113-116 [8] S Y Cheng and S T Yau, "Differential equations on Riemannian manifolds and their geometric applications", Comm Pure Appl Math 28(1975), pp.335-354 [9] X D Li, "Liouville theorems for symmetric diffusion operators on complete Riemannian manifolds", J Math Pures Appl 84(2005), pp.1295-1361 [10] Z M Qian, "A comparison theorem for an elliptic operator", Potential Analysis 8(1998), pp.137-142 41 [...]... Chương 2 ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN TRÊN ĐA TẠP RIEMANN Cho M là một đa tạp đầy n chiều, không compact với điều kiện độ cong Ric −K, K 0 Giả sử h là hàm thế vị xác định trên M × (0, +∞) (h là hàm C 1 theo biến x), xét phương trình Schr¨ odinger ut = ∆u + ∇φ, ∇u + hu (2.1) Trong chương này, chúng tôi chứng minh các ước lượng gradient cho nghiệm dương của phương trình (2.1)... (gij (p)) xác định dương với mọi p Định nghĩa 1.9 Cho (M, gM ) và (N, gN ) là hai đa tạp Rieman Vi phôi f : M → N được gọi là một vi phôi đẳng cự nếu gM = f ∗ gN Sau đây ta sẽ trình bày một số cách để xây dựng đa tạp Riemann Có nhiều cách để xây dựng một đa tạp Riemann mới từ đa tạp cũ, như một số ví dụ sau 1 Cho (M, gm ) và (N, gN ) là các đa tạp Riemann, khi đó gM ⊕ gN định nghĩa bởi: (gM ⊕ gN )(p,q)... (N, gN ) là một đa tạp Riemann, và M ⊂ N là đa tạp con dìm Khi đó ánh xạ nhúng dìm ι : M → N là một phép dìm, xác định một metric Riemann cảm sinh trên M Ta gọi (M, ι∗ gN ) là một đa tạp con Riemann của (N, gN ) Chú ý rằng trong trường hợp này, (i∗ gN )p chỉ là thu hẹp của gN trên Tp M ⊂ Tp N 4 Cho (M, g) là một đa tạp Riemann bất kỳ, và ϕ : M → R là một hàm dương, trơn, tùy ý trên M Khi đó ϕg định... φ-điều hòa và một bất đẳng thức Harnack cho phương trình Schr¨odinger 2.1 Ước lượng Gradient cho phương trình Schr¨ odinger với hàm thế vị h(x, t) Định lý 2.1 Cho M là một đa tạp đầy n chiều, không compact, thỏa mãn điều kiện về độ cong là Ric −K, K 0 Giả sử h là hàm thế vị xác định trên M × (0, +∞) (h là hàm C 1 theo biến x), và u là nghiệm dương bất kỳ của phương trình Schr¨ odinger 21 (2.1) với u C... chứng minh được toán tử Laplace là một toán tử elliptic và là toán tử tự liên hợp nếu đa tạp M là compact 1.1.2 Liên thông Levi - Civita trên đa tạp Riemann 1 Liên thông tuyến tính Cho M là một đa tạp trơn Định nghĩa 1.13 Một liên thông tuyến tính ∇ trên M là một ánh xạ tuyến tính ∇ : Γ∞ (T M ) × Γ∞ (T M ) → Γ∞ (T M ), sao cho với mọi X, Y ∈ Γ∞ (T M ) và f ∈ C ∞ (M ) thì • ∇f X Y = f ∇X Y, • ∇X (f Y ) =... (1 − f )2 Vì T là tùy ý, cho R → +∞, và thay f = lnu, ta có |∇u|2 u2 2K + 2h + 2ε + 1 |∇h| + 1 t ε2 (1 − lnu)2 Vậy ta thu được ước lượng gradient sau |∇u| u 1 1 + √ 1 2K + 2h + 2ε + t2 |∇h| 2 1 (1 − lnu) ε4 Ta có điều phải chứng minh 2.2 Một vài ứng dụng Trong mục này, chúng tôi đưa ra một vài ứng dụng của ước lượng gradient cho phương trình nhiệt Hệ quả đầu tiên của ước lượng này là một kết quả dạng... tùy ý, cho R → +∞, và thay f = lnu, ta có |∇u|2 u2 2K + √ 1 + |∇ −h| (1 − lnu)2 t Vậy ta thu được ước lượng gradient |∇u| u 1 t 1 2 √ + √ 1 2K + |∇ −h| 2 (1 − lnu) Ta có điều phải chứng minh Trong trường hợp h là hàm không âm, ta có ước lượng gradient sau Định lý 2.2 Cho M là một đa tạp đầy n chiều, không compact, thỏa mãn điều kiện về độ cong là Ric −K, K 0 Giả sử h là hàm thế vị xác định trên M... metric Riemann trên M × N Ta gọi gM ⊕ gN là tích metric Riemann 2 Cho (N, gN ) là một đa tạp Riemann, và f : M → N là một phép dìm trơn, vd dfp : Tp M → Tf (p) N là toàn ánh với mọi p ∈ M , ánh xạ "kéo - lùi" f ∗ gN định nghĩa bởi (f ∗ gN )p (Xp , Yp ) = (gN )f (p) (dfp (Xp ), dfp (Yp )), là một metric Riemann trên M Ta gọi f ∗ gN là metric cảm sinh, và f là một phép dìm đẳng cự 3 Cho (N, gN ) là một đa. .. (Xp , Yp ), là một metric Riemann trên M , nó còn được gọi là metric bảo giác với g Dưới đây là một số ví dụ về đa tạp Riemann Ví dụ 1.4 Một tích vô hướng chuẩn trong Rm xác định một metric Riemann chính tắc go trên Rm với (g0 )ij = δij Tổng quát hơn, với bất kỳ ma trận A dương 11 cấp m × n, gp (Xp , Yp ) := XpT AYp xác định một metric Riemann trên Rm với gij = Aij Ví dụ 1.5 Cho M = S 2 là mặt bậc... nếu có tensor xoắn T = 0 và liên thông là tương thích với metric g Định lý 1.1 (Định lý cơ bản của hình học Riemann) Giả sử (M, g) là đa tạp Riemann, khi đó tồn tại duy nhất một liên thông tuyến tính Levi - Civita trên M Chứng minh Trước hết, ta giả sử rằng tồn tại liên thông Levi - Civita trên M Ta sẽ chứng minh liên thông này là duy nhất Thật vậy, ta có ∇X Y, Z = X ( Y, Z ) − Y, ∇X Z = X ( Y, Z ... cong, độ cong Ricci 17 ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 21 2.1 Ước lượng Gradient cho phương trình Schr¨odinger với hàm vị h(x, t) 21... quy ước m = n φ = Khái niệm độ cong Bakry-Émery m chiều xem mở rộng độ cong Ric φ hàm hằng, hai độ cong 20 Chương ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN TRÊN ĐA TẠP RIEMANN Cho. .. cùng, ước lượng gradient không áp dụng cho đa tạp vô hạn chiều Tuy nhiên, ước lượng gradient (3) Halminton không phụ thuộc vào số chiều n Trong luận văn mình, nghiên cứu ước lượng gradient cho phương