Đang tải... (xem toàn văn)
R " định nghĩa T Á X) = -( x u , x n), - ^n+l N hai đa tạp trơn Ta nói ánh xạ trơn với đồ {ipa, Ua , Va} M {'ệp, Up, Vp} N , ánh xạ Ta (Ua nr 1^ ) ) -> *p i f ( Ua) n X p) , trơn Á n h xạ Ị : M —> N gọi vi phôi m ột song ánh f , ỉ ~1 ánh xạ trơn C h ú ý: (1.) Khi N = R, ta gọi / m ột hàm trơ n có giá trị thực Tập hàm trơn có giá trị thực M kí hiệu (2.) Mỗi ánh xạ trơ n / : M —» N tạo m ột ánh xạ "kéo - lùi" /* : C° ° ( N) — > C° ° ( M) '— > ° /• c V E C T Ơ T IẾ P X Ú C Cho M m ột đa tạ p trơn n chiều; C ° ° ( M ) tậ p hàm khả vi vô hạn M Đ ịn h n g h ĩa M ột vectơ tiếp xúc điểm p E M m ột ánh xạ tuyến tính X p : HÀ T u ấ n D ũ n g Khóa luận tốt nghiệp Dại học Nếu a > c2trên Ta chọn hàm cut-off ĩ] hàm —Ci < [0, oo) thỏa m ãn p ■ệ(x) = p(p,x) ĩ] R ta thấy = |v p ; |V^| = M ~ “ |Vp|; |v —c2với Ví > < 0; C i , C số dương Ký hiệu điểm T] ( t ) = / -——— n —1 A y p ^ V (ĨI — 1)K T T L p 31 X Khóa luận tốt nghiệp Dại học HÀ T u ấ n D ũ n g Mà = AĩỊ) + (K, vv>) w r |V p |2 + ^ - A p + ( v ^ - V p R2 ' ' r R iỉ _ w r ịỵ7 = ^ IV/?I + í ỉ AVP -ị- ĩL \ “ ã ã + B ^ nên A v w > ——TT - -fv R2 R R > , , n —1 ( n - )K + — + L rẫ -n —1 V (n - l ) K + —^ 1- L Ơ! + C - Ã* Đ ặt
; |V Khi □ = A + (L, v) - t = tAip + (L,tW ĩp) — ĩp = t (A-ệ + {L, V ị/>)) - ĩị> — tAyĩỊ) — ĩj) T đó, t a có ước lượng sau / -R V (n — H - ^ w.ưl
tw iỉ2 b L ƠI + \ W ĩp ( 10 ) V Giả sử ư; đ t giá trị cực đại điểm ( x ,t ) e B ( p ,2 R ) X [0,T] Theo E.Calabi 32 Khóa luận tốt nghiệp Dại học [1] ta giả sử HÀ T u ấ n D ũ n g không vị trí out X p V (tpw) = ' A ( Khi đó, (X , t ) ta có T hệ b ấ t phương trình t a thu □ (,Vin) = \ v, - —w / \ ip = / (V,Vw) = — Ị V y |2-w ip 33 w ( 12 ) Khóa luận tốt nghiệp Dại học HÀ T u ấ n D ũ n g V (í „ „ |V w |2 T hay |Vu>| = ——w {'Ụ(p,'Ụw) = -— w vào ước lượng (2.13) ta được: ip - {K + (2 - a ) a + + a |a | + ab+ + \b\ + c + |c|) w - í + 2(1 - f ) w + V J + ^ |- j w + wn
7n ) í ị [K + (2 — a ) a + + a |a | + ab+ + | 6| + c + |c|] ĩp + A + —ị 35 Khóa luận tốt nghiệp Dại học HÀ T u ấ n D ũ n g v ( ỊV«12 V \a\ ỊVfel2 \b\ |VcỊ2>ị < |c| ) V ì O ^ ^ ^ l v O ^ í ^ T m ip = iị>t nên < (p < T Suy ip2 < T Do (ự>w)2 — (ip w )T ị [K + (2 — a ) a + + a |a | + ab+ + | 6| + c + |c|] 'ệ + A -ị ị ,2 ị |V o |2 ỵ |a| Áp dụng b ấ t đẳng thức iv&r < ax + b X2 IVcỊ 2 |c| \b\ X < (2.16) < a + V b với Vữ, b > từ (2.16) ta cpw < T^ị2 [K + (2 — a ) a + + a |a | + ab+ + | 6| + c + |c|] 'ệ + A -ị ị +T Ta có với ( x 0, t ) e + B (p ,R ) X |VÒ|2 |V c |2 | 6| + [0,T] ĩjj = |c| ự>(x,t).w(x,t) < T w ( x 0, T ) nên (x 0, T ) ta có w < [K + (2 - a ) a + + sup Q i|a | + ab+ + |6 | + c + M x [0,+oo) V + M ặt khác w = — u { l - f ) < + |VfrỊ2 \b\ + + A + T ỊV^I nên ( l - / ) sup Ỉ [ K + (2 - a ) a + + a\a\ + a b + + \b\ + c + \ c \ ] Mx[0,+oo) l + + |VfrỊ2 \b\ 36 + A + T Khóa luận tốt nghiệp Dại học HÀ T u ấ n D ũ n g Do < ( u a + —+ \ Í [K + (2 - a ) a + + a |a | + ab+ + | 6| + c + |c|] sup M x [ ,+ oo) í V |a| Iò| |c| Vì T tùy ý nên thay / = Inu, ta có |V n |2 u* ' „ *1 ị [K + (2 — a ) a + + a |a | + ab+ + | 6| + c + |c|] < (A + J + sup t Mx[0,+oo) / |V a |2 |VÒ|2 |V c |2 \ V , , n2 Áp dụng b ấ t đẳng thức V a + b < V a + >/& ta thu |V«| < í — + VẦ + V í2 \ s j ^K + (2 — a ) a + + a |a | + ab+ + | 6| + c + Ịc 1] sup M x [0 ,+ o o ) L v + + ỊVfeỊ2 (1 — Inù) \b\ Cho R —> +00 từ b ấ t đẳng thức ta thu điều phải chứng minh Nếu < a < lập luận tương tự trường hợp a > kết hợp với ước lượng (2.3) ta thu hết ^ ^ ■ —K với K > V trường vectơ trơn M Giả sử a ,b ,c hàm không đổi dấu xác định M X [0 ,+ o o ); hàm C 1( M ) theo biến 37 X, a HÀ T u ấ n D ũ n g Khóa luận tốt nghiệp Dại học số dương u nghiệm dương phương trình truyền nhiệt ( ) với c u < với (x , t ) £ M X (0 , + o o ) Khi ta có kết sau Nếu a > Vit ( < — + u sup M X (K —a ) a + + + (2 Q í |a | + ab+ + |6 | + c + |c |) [0 ,+ oo) |V ữ |2 |V 6|2 |V c |2 |a| \b\ |c Trong a+ = m a x {a, 0} , c + In — u b+ = m a x {b, 0} Nếu < a < |V u u < ( \+ \t sup ị ^ ( K + (ua 2)max(a + 3\a\ + 3\b\) + c + \ c \ ) Mx[0,+oo) *|V a |2 |VÒ|2A |V c |2 \a\ \b\ J |c , c + In — u C h ứ n g m in h Ta có RỈCy > —K, theo định lí so sánh Laplace Yi Li [3] t a A y ỹ < y / ( n — 1) K c o th If \ j p^j < y / ( n — T)K -ị - Bằng kĩ th u ậ t tương tự chứng minh Định lí 2.1 ý Định lí 2.2 t a có c2 (n - + V (n - )K r ) + + 3ơ A = - R2 t a điều phải chứng minh 2.2 □ M ột số hệ Trong mục này, đưa m ột vài ứng dụng ước lượng gradient cho phương trình truyền nhiệt Hệ ước lượng dạng Harnack cho phương trình truyền 38 Khóa luận tốt nghiệp Dại học HÀ T u ấ n D ũ n g nhiệt (2 ) với trường hợp a > H ệ q u ả 2.1 Cho M đa tạp R ìem ann không compact n chiều thỏa m ãn RỈCy > —K với K > V trường vectơ trơn M Giả sử a ,b ,c hàm không đổi dấu thỏa m ãn điều kiện c1 > max {(2 —a ) a + c2> max ' +a |a |; ab+ + c |6|; + |c|} |V«I , / |V612 , / ỊVcỊ , |o| ’ V | 6| ’ V |c Nếu u m ột nghiệm dương phương trình truyền nhiệt Uị = A u + (V, V u) + aualnu + bua + cu Với u < với (X, t) E M X [0, + oo) Khi đó, với Xi, x Ễ M ta có u ( x 2, t ) < u ( x 1, í)^ e 1-^ vôi p = p_ t2 + 3C i) + ^ p = p { x I , x 2) khoảng cách trắc địa X\ ^ 2) x C h ứ n g m in h Gọi (s) đường trắc địa cực tiểu Xi x 2, 'Ỵ[ , ] —> M , ( ) = x 2, ( ) = Ta có - f ( x u t) i n 71 - In (1 — f ( x i , t ) ) — In (1 — f ( x 2,t)) In (1 - / ( ( ), í)) - In (1 ị dln (1 - / ( ( s ) ,í)) ^0 dln (1 - / ( ( s ) ,í)) ds ds / 39 - / ( ( ) , t)) Xỵ HÀ T u ấ n D ũ n g Khóa luận tốt nghiệp Dại học dln ( l — l n u ( j ( s ) , t ) ) ds L ds Vì ta có dln ( l — ln u ( rY(s),t)) |V u — — < It Ids It(l — Inu ) Nên - f { x u t) In J — < y 1— |V u| Ị 1-71■ ' ' '— -ds J0 u ( l — ỉnù) Theo ước lượng gradient chứng minh Định lí (2.2) ứng với trường hợp a > t a -< í ——h u \t ^ (K + (2 — a')a+ + Qí|ữ| + ab+ + |6| + c + |c|) sup MX [ ,+ o o ) 1« |Vft |2 \b\ + ỉn c_ u Với giả thiết c > max { ( — a ) a + + a|a|; ab+ + |ò|; c + |c|} c > max • ta ước lượng ỊVu u - ị + y / ( K + z c ì) + Í2 (1 — Inù) Do ——^ - < — + \ / 2( K + 3Ci) + V3Ơ2 •u(l — Inu) ¿2 từ t a In i n T ĩ i l t ) < - ỉ ( x 2,t) |V u| u ( l — Inú) ds < 40 12 + ( y / { K + 3ơ i ) + V s c 2) p Khóa luận tốt nghiệp Dại học HÀ T u ấ n D ũ n g Đặt p = exp - Ụ 2( K + 3Ci) + y / c 2) p | thay / = ln u (x , í); f ( x 2, t ) = l n u ( x 2, t) t a - u ( x ! ,t) I n ; < — l - u ( x 2,t) ¡3 từ ta thu u ( x 2,t) < u ( x i ,t ) P e 1~P Ta có điều phải chứng minh □ H ệ q u ả 2.2 Cho M đa tạp không compact, n chiều thỏa mãn RỈCy > —K với K > V m ột trường vectơ trơn M Giả sử b số cố định, c hàm không đổi dấu xác định M X [0, + oo) hàm thuộc C 1( M ) với biến X, a số a > , u nghiệm dương phương trình truyền nhiệt dãy Uị — A u + {V , V u ) + bua + cu Với u < c với (x, t) e M X [0, +00 ) — u < ( \ + \t2 sup Mx[0,+oo) ị y j { K + ab+ + c + \ c \ ) + l v J^j-Ỵ)(l V 2M J / V + ln—') (2.17) C h ứ n g m in h Vì b số cố định nên V = 0; từ ước lượng (2.2) t a T áp dụng kĩ th u ậ t tương tự chứng minh Định lí 2.1 ta điều phải □ chứng minh H ệ q u ả 2.3 Cho M đa tạp không compact n chiều thỏa mãn RỈCy > —K với K = V trường vectơ trơn M Giả sử b số âm cố định a số, a > phương trình eliptic phi tuyến Alt + bua = 41 (2.18) Khóa luận tốt nghiệp Dại học HÀ T u ấ n D ũ n g nghiệm dương C h ứ n g m i n h Giả sử u nghiệm dương phương trình (2.18) Trong báo [10], Lin Feng Wang chứng minh phương trình (2.18) có nghiệm dương nghiệm bị chặn Do đó, t a coi U < c với c số dương M ặt khác u nghiệm phương trình Uị = A u + {V , V u ) + bua + cu V = 0;c = Theo ước lượng (2.17) ^ u ^< ị — + 12 sup M X ị -y/2 ( K + ab+) [0,+oo) , c + In — u m b số âm nên b+ = từ t a có |V u| ( l \ ( c — — < ( ) ( + ỉn — u \ ị 2/ \ u Cho t —> 00 |V u| = 0; u = const T (2.18) ta u = (vô lí) Do đó, điều giả sử sai Vậy phương trình (2.18) nghiệm dương □ T hệ (2.3) ta thu hệ sau (xem [10]) H ệ q u ả 2.4 Trong không gian Euclide có số chiều n > 3, với metric tắc gữ không tồn metric g Ễ Cg0 = | u " - 25o|w > 0, U e C ° ° ( M ) I cho đường cong vô hướng tương ứng với g m ột số ăm Đặc biệt, t a cho V v^>, a = b= c hàm xác định âm M X [0, + 00 ) từ Định lí 2.2 t a thu kết đánh giả Qihua R uan [6] sau H ệ q u ả 2.5 Cho M đap tạp không compact n chiều thỏa m ãn RiCỳ > —K với K > ậ hàm vectơ M Giả sử c hàm xác định âm M 42 X [0, + 00 ) Khóa luận tốt nghiệp Dại học HÀ T u ấ n D ũ n g ỉà hàm thuộc C 1( M ) với biến Uị với u < c M X [0, |V u| u 1< / 4- + V 2K + \t2 Cho u nghiệm dượng phương trình = A u + ( V ậ , Vti) + cu + 0 ) Khi ( X sup M X [0,+ oo) 43 c vV-í I 1 ~\~ ỈT l — ) v “ Khóa luận tốt nghiệp Dại học HÀ T u ấ n D ũ n g K ẾT LUẬN Trong khóa luận này, tác giả nghiên cứu ước lượng gradient cho phương trình truyền nhiệt đa tạp Riem ann thu kết sau Chứng minh ước lượng gradient cho phương trình truyền nhiệt đa tạp Riem ann với độ cong R ic y RỈCy bị chặn Nội dung chứng minh trình bày Định lí 2.1 Định lí 2.2 Đưa hệ thu từ việc ước lượng gradient cho phương trình nhiệt nói Dù cố gắng song bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên khóa luận không trá n h khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận đóng góp quý thầy cô bạn đọc để đề tài hoàn thiện hơn.Tác giả xin chân th n h cảm ơn Hà Nội, ngày Oị tháng 05 năm 2016 44 Tài liêu tham khảo [1] PH Ù N G T H Ị DIỆU TU Y ỀN , đẳng thức Poincare có trọng, c ấ u trúc hình học đa tạp đầy với bất Luận văn thạc sĩ, Đại học K hoa học T ự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội [2] ĐÔ T H Ị HẠNH, ước lượng gradient cho phương trình khuếch tán phi tuyến đa tạp Riem ann, Luận văn thạc sĩ, Đại học K hoa học T ự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội [3] E CALABI, A n extension of E H o p f’s m axim um principle with an application to R iem annian geometry, Duke M ath Jour., 25 (1958), 45-56 [4] Q CHEN, J JO S T , and H.B.QIU, Existence and Liouville theorems fo r Vharmonic maps from complete manifolds, Ann Glob Anal Geom., 42 (2012), 565-584 [5] R s HAMILTON, A m atrix Harnack estimate fo r the heat equation, Comm Anal Geom., (1993), 113-126 [6] Y LI, Li- Yau-Hamilton estimates and Bakry-Esm eery Ricci curvature, Non linear Anal., 113 (2015), 1-32 [7] p LI and s T YAU, On the parabolic kernel of the Schrodinger operator, Acta M ath., 156 (1986), 152-201 [8] Q J RUAN, Elliptic-type gradient estimates fo r Schrodinger equation on non compact manifolds, Bull London M ath Soc., 39 (2007), 982-988 45 ... lượng gradient cho phương trình truyền nhiệt đa tạp Riem ann "chúng chứng m inh ước lượng gradient kiểu H am ilton - Souplet - Zang cho phương trìn h nhiệt tổng q u át đề cập đưa hệ th u từ ước. .. đầy Ước lượng Li-Yau sau cải tiến tổng q u t hóa cho phương trìn h phi tuyến khác trê n đa tạp R iem ann Bên cạnh năm 1993, H am ilton đưa m ột ước lượng gradient khác, sau gọi ước lượng gradient. .. kiểu H am ilton cho phương trìn h nhiệt trê n đa tạ p R iiem ann com pact báo [3] T ước lượng gradient này, người ta so sánh nghiệm tạ i điểm khác m ột thời gian Sau này, ước lượng gradient kiểu