Bài toán xác định nguồn cho phương trình truyền nhiệt tuyến tính một chiều

I H¯C TH I NGUY N TR×˝NG I H¯C KHOA H¯C o0o É THÀ TUY T NGA B I TO N X C ÀNH NGU˙N CHO PH×ÌNG TR NH TRUY N NHI T TUY N T NH M¸T CHI U TH I NGUY N - 6/2020 I H¯C TH I NGUY N TR×˝NG I H¯C KHOA H¯C o0o É THÀ TUY T NGA B I TO N X C ÀNH NGU˙N CHO PH×ÌNG TR NH TRUY N NHI T TUY N T NH MáT CHI U Chuyản ng nh: ToĂn ứng dửng M s: 8460112 NGìI HìNG D N KHOA H¯C TS NGUY N THÀ NG¯C OANH TH I NGUY N - 6/2020 Möc löc Trang Danh s¡ch h…nh v‡ Danh s¡ch b£ng Líi nâi ƒu Ch÷ìng Mºt sŁ ki‚n thøc cì b£n 1.1 Giỵi thi»u b i to¡n 1.2 Ríi r⁄c hâa b i to¡n 14 1.2.1 1.2.2 Ch÷ìng Ríi r⁄c hâa b i to¡n thu“n theo bi‚n khỉng gian 14 Ríi r⁄c b i to¡n thu“n theo bi‚n thíi gian 16 B i toĂn xĂc nh nguỗn cho phữỡng trnh truyãn nhi»t tuy‚n t‰nh mºt chi•u 2.1 B i to¡n bi‚n ph¥n 19 20 2.2 Ríi r⁄c b i to¡n bi‚n ph¥n 22 2.3 Phữỡng phĂp gradient liản hổp 25 2.4 V‰ dö sŁ 28 K‚t lu“n 34 T i li»u tham kh£o 35 Danh s¡ch h…nh v‡ 2.1 V‰ dö 1: So s¡nh nghi»m ch‰nh xĂc v nghiằm s vợi nhiu = 0:1 (bản trĂi) v nhi„u = 0:01 (b¶n ph£i) H m trång ! ÷æc cho bði cæng thøc (2.28) 30 2.2 V‰ dö 2: So s¡nh nghi»m ch‰nh x¡c v nghiằm s vợi nhiu = 0:1 (bản trĂi) v nhiu = 0:01 (bản phÊi) H m trồng ! ữổc cho bði cæng thøc (2.28) 30 2.3 V‰ dö 3: So s¡nh nghi»m ch‰nh x¡c v nghiằm s vợi nhiu = 0:1 (bản trĂi) v nhiu = 0:01 (bản phÊi) H m trồng ! ữổc cho bði cæng thøc (2.28) 31 2.4 V‰ dö 1: So s¡nh nghi»m ch‰nh x¡c v nghi»m s vợi nhiu = 0:1 (bản trĂi) v nhiu = 0:01 (bản phÊi) H m trồng ! ữổc cho bi cæng thøc (2.29) 32 2.5 V‰ dö 2: So s¡nh nghi»m ch‰nh x¡c v nghi»m sŁ vợi nhiu = 0:1 (bản trĂi) v nhiu = 0:01 (bản phÊi) H m trồng ! ữổc cho bi cổng thøc (2.29) 32 2.6 V‰ dö 3: So s¡nh nghi»m ch‰nh x¡c v nghi»m sŁ vỵi nhi„u = 0:1 (b¶n tr¡i) v nhi„u = 0:01 (b¶n ph£i) H m trång ! ÷ỉc cho bði cỉng thøc (2.29) 33 Danh s¡ch b£ng 2.1 Tham s hiằu chnh , s bữợc lp n , sai sŁ kf fn k L (0;T ) v gi¡ trà phi‚m h m J (fn ) (h m trång ! ÷ỉc cho theo cỉng thøc (2.28) 31 2.2 Tham sŁ hi»u ch¿nh , sŁ bữợc lp n , sai s kf fn k L2(0;T ) v gi¡ trà phi‚m h m J (fn ) (h m trång ! ÷ỉc cho theo cỉng thøc (2.29)) 33 Líi nâi ƒu Trong nhi•u nghiản cứu thỹc t, h m nguỗn quĂ trnh truyãn nhiằt l khổng bit v yảu cu cn phÊi x¡c ành tł mºt v i thæng sŁ ta quan sĂt ữổc hay o ữổc [1, 2, 4, 5] Ơy l c¡c b i to¡n ng÷ỉc x¡c ành h m v‚ ph£i hay mºt phƒn h m v‚ ph£i (h m nguỗn) ca phữỡng trnh truyãn nhiằt V nhng ứng dửng quan trồng thỹc t nản cõ rĐt nhiãu nghiản cứu cÊ vã lỵ thuyt v giÊi s  ÷æc ph¡t tri”n [1, 3, 5, 6] B i to¡n ng÷ỉc n y l b i to¡n °t khỉng ch¿nh Mºt b i to¡n ÷ỉc gåi l °t ch¿nh theo nghắa Hadamard nu thọa mÂn tĐt cÊ cĂc iãu kiằn: i) Tỗn ti nghiằm; ii) Nghiằm l nhĐt; iii) Nghi»m phư thuºc li¶n tưc v o dœ ki»n b i toĂn Nu t nhĐt mt cĂc iãu kiằn trản khổng thọa mÂn th b i toĂn ữổc gồi l °t khæng ch¿nh B i to¡n °t khæng ch¿nh thữớng gƠy nhiãu vĐn ã nghiảm trồng v l m cho c¡c nghi»m sŁ cŒ i”n khæng Œn ành, tøc l mºt sai sŁ nhä dœ ki»n ƒu v o cõ th dÔn tợi sai s lợn bĐt k… vỵi nghi»m Ta câ th” x†t v‰ dư sau ¥y: X†t chuØi Fourier X n=0 (0.1) an cos nt = f(t) (a0; a1; : : : ; ): Chån an = an + ; n v a0 = a0 Trong chu'n cıa l , ta câ n k(a1; a2; :::) (a1; a2; : : : )kl2 = n =1 n 1=2 X X = p! 0; ! 0: 1=2 = n =1 n (0.2) M°t kh¡c kf(t) f (t)kC[0; ] = n=0 n = 1: (0.3) X Tł ph÷ìng tr…nh (0.2) v (0.3) ta câ m°c dị hằ s sai khĂc nhọ cõ th dÔn tợi sai khĂc bĐt k i vợi h m v phÊi f(t) Ni dung lun vôn ữổc trnh b y chữỡng: Chữỡng giợi thiằu mt s kin thức chu'n b, phữỡng trnh truyãn nhiằt mt chiãu dng tng quĂt, b i toĂn thun, phữỡng phĂp sai phƠn hu hn rới rc b i toĂn thun Chữỡng nghiản cøu b i to¡n x¡c ành h m v‚ ph£i bng cĂch sò dửng phữỡng phĂp bin phƠn kt hổp vỵi hi»u ch¿nh Tikhonov, cỉng thøc gradient cıa phi‚m h m mửc tiảu ữổc tnh thổng qua nghiằm ca b i toĂn liản hổp cÊ trữớng hổp liản tửc ( nh lỵ 2.1) v trữớng hổp rới rc ( nh lỵ 2.2) Trong chữỡng n y, chúng tổi cụng trnh b y li phữỡng phĂp gradient liản hổp ” t…m cüc ti”u phi‚m h m mưc ti¶u Lu“n v«n cơng tr…nh b y mºt v i v‰ dư s minh hồa cho cĂc phữỡng phĂp s ã xuĐt vợi cĂc tnh chĐt khĂc ca h m v phÊi cn tm Trữợc ht, tổi xin ữổc b y tọ lặng bit ỡn chƠn th nh v sƠu sc n TS Nguyn Th Ngồc Oanh ngữới  trỹc tip hữợng dÔn lun vôn, cổ tn tnh ch bÊo v hỉ trổ tổi tm hữợng nghiản cứu, tip cn thỹc t, tm kim t i liằu, xò lỵ v phƠn tch s liằu, giÊi quyt vĐn ã tổi câ th” ho n th nh lu“n v«n khoa håc n y Ngo i ra, qu¡ tr…nh håc t“p, nghiản cứu v thỹc hiằn ã t i tổi cặn nhn ữổc nhiãu sỹ quan tƠm, gõp ỵ, giúp ù ca quỵ thy cổ, ỗng nghiằp, bn b v ngữới thƠn Tổi xin b y tọ lặng bit ỡn sƠu sc n: Nhng ngữới thƠn gia nh  hỉ trỉ, t⁄o i•u ki»n thu“n lỉi cho tỉi suŁt thíi gian tỉi theo håc khâa th⁄c sÿ t⁄i tr÷íng Trữớng i hồc Khoa hồc i hồc ThĂi Nguyản Quỵ thy cổ Khoa ToĂn- Tin v quỵ thy cổ phặng o t⁄o - KHCN v HTQT, Tr÷íng ⁄i håc Khoa hồc i hồc ThĂi Nguyản  truyãn t cho tỉi nhœng ki‚n thøc bŒ ‰ch suŁt hai n«m hồc va qua Bn b, ỗng nghiằp luổn ng viản, hØ trỉ tỉi qu¡ tr…nh håc t“p v nghi¶n cứu! Tổi xin trƠn trồng cÊm ỡn! ThĂi Nguyản, ng y 25 thĂng nôm 2020 Hồc viản ỉ Th Tuy‚t Nga Ch÷ìng Mºt sŁ ki‚n thøc cì b£n Trong ch÷ìng n y chóng tỉi tr…nh b y mt s kin thức cỡ bÊn ữổc sò dửng lun vôn nhữ: mt s khổng gian h m, b i toĂn thun, nh nghắa nghiằm yu v phữỡng phĂp sai phƠn rới rc b i toĂn thổng qua lữổc ç Crank-Nicolson 1.1 Giỵi thi»u b i to¡n Cho = (0; L) R and Q = (0; L) (0; T ); S = f0; 1g (0; T ) X†t ph÷ìng tr…nh ut (a(x; t)ux)x + b(x; t)u = f(t)’(x; t) + g(x; t); (x; t) Q; > > u(x; t) = 0; (x; t) S; > > < > u(x; 0) = u0(x); x : > > > : (1.1) 2 Trong â a, b v ’ khæng gian L (Q), g L (Q), f L (0; T ) v u0 L ( ) Gi£ sß r‹ng a a > vỵi a l h‹ng sŁ v b Hìn nœa, ’ ’>0; (1.2) vỵi ’ l h‹ng sŁ ành ngh¾a 1.1 (B i to¡n thu“n) [5] Khi c¡c h» sŁ a(x; t); b(x; t), i•u ki»n ban ƒu u0, cĂc h m v phÊi  bit (gỗm f(t); ’(x; t); g(x; t)), 22 Nh÷ v“y, J0 kh£ vi Fr†chet v gradient cıa J0 câ d⁄ng Z rJ0(f) = ’(x; t)p(x; t)dx: Tł flng thøc n y, ta nh“n ữổc cổng thức (2.4) nh lỵ  ữổc chứng minh xong 2.2 Ríi r⁄c b i to¡n bi‚n ph¥n Ti‚p theo mưc n y, chóng tỉi ríi r⁄c phi‚m h m mửc tiảu J 0(f) nhữ sau: J0 â u k;m h; t (f) := t M Nx k k;m jh ! u m=1 m2 (2.6) (f) h j ; =0 X Xk (f) nh§n m⁄nh sü phö thuºc cıa nghi»m u v o f v k k ch s ca im lữợi theo trửc thới gian K‰ hi»u ! = !(x ) l ml x§p x¿ k cıa h m !(x) t⁄i i”m x , v‰ dư câ th” l§y k Z ! = j!(k)j !(k) (2.7) !(x)dx: ỡn giÊn kỵ hiằu, ta vÔn sò dửng kỵ hiằu f vợi nghắa l nh trản lữợi 0; t; : : : ; M tg vợi chu'n kfk = ( t P h m lữợi x¡c M m 1=2 m =0 jf j ) f Do â x§p x¿ lh u(f) cıa lu(f) câ d⁄ng M k k;m (f); m = 0; 1; : : : ; M: lhu(f) = (lh u(f); lh u(f); : : : ; lh u(f)) vỵi Nx Xk m lh u(f) = h ! u (2.8) =0 ” cüc ti”u hâa phi‚m h m (2.6) b‹ng phữỡng phĂp gradient liản hổp, trữợc tiản ta cn tnh gradient cıa phi‚m h m mưc ti¶u J thỉng qua nh lỵ sau Ơy nh lỵ 2.2 Gradient rJ0 h; t (f) cıa h m mưc ti¶u J0 h; t h; t t⁄i f ÷ỉc cho (f) 23 bði M rJ0 h; t X m t(B ) ’ (f) = m m (2.9) ; m=0 â l nghi»m cıa b i to¡n ríi r⁄c m > M > = (A = m+1 M m+1 ) + m+1 (2.10) ; m = M 2; : : : ; 0; ; > > < > M =0; > > > vỵi : (2.11) h ; m = 0; 1; : : : ; M Nx m k;m = =! Xk k k k;m h ! u k2 m (f) h ; =0 v c¡c ma tr“n (Am) m m v (B ) ÷ỉc cho bði m t t (A ) = (E m (B ) = (E t m) 1(E t m ) : )(E + m )(E + m t )(E + t m ) ; (2.12) Chøng minh Cho bi‚n ph¥n nhä f cıa f, tł cỉng thøc (2.6) ta nh“n ÷ỉc J0 h; t t = (f + f) J0 h; t M (f) m M t lh u(f + f) h M h m =1 k2 h!kvk;m h!kvk;m m=1 h N m=1 h x + t h!kvk;m k=0 m m ! (lh u(f) h ) X k =0 X X Xk m=1 M + t = XX = t Nx v X M Nx M k;m k M = XX m =1 k=0 lh u(f) h m=1 + t m X m=1 t t m m X vk ;m k;m Nx X M hv m; mi: X =0 m=1 (2.13) 24 m k;m k;m k;m â v = fv := u (f + f) u (f)g Tł (1.27) ta câ v l nghi»m cıa b i to¡n v0 = Am v m + tB m f’ m ; m = 0; ::; M < m+1 v = 0: (2.14) : Nh¥n m 1; vổ hữợng hai v phữỡng trnh thứ m ca (2.14) vợi vc tỡ bĐt ký v cng cĂc kt qu£ l⁄i theo m = 0; :::; M 1, ta nh“n ÷ỉc N 2R x M M X m=0 hv X m+1 m ; i= (2.15) M X m m m m m m hA v ; i + t hB f ’ ; i m=0 M X m=0 M m m m hv ; A m=0 = Trong õ, kỵ hiằu h ; i l X i+ t m m m hB m=0 f ; i: tch vổ hữợng R N x v A m l ma tr“n m li¶n hỉp cıa ma trn A NhƠn vổ hữợng hai v ca phữỡng trnh u tiản (2.10) vợi vc m+1 2, ta nhn ữổc tỡ bĐt ký v , lĐy tng theo m = 0; :::; M M X hv M M X X m+1 m ; i= m=0 m=0 M hvm+1; (Am+1) m m hv ; (A ) X m m m hv ; i+ m=1 hvm+1; m=0 M X = m+1i + (2.16) m+1i i: m=1 NhƠn vổ hữợng hai v ca phữỡng trnh thø hai (2.10) vỵi v†c tì M v , ta câ M hv ; M M M i = hv ; (2.17) i: Tł (2.16) v (2.17), ta nh“n ÷ỉc M M X X hv m+1 m M ; i+hv ; M i= m=0 m M m hv ; (A ) X m m i+ hv ; m=1 m=1 Tł (2.15), (2.18) ta nh“n ÷æc hv ; A 0 i+ t M M m mm hB f’ ; i= hv m m ; i + hv M M ; m i: X X m=0 m=1 M i+hv ; M i: (2.18) 25 V… v0 = n¶n M M X X M X hvm; hBm f’m; mi = mi + hvM Mi= t hvm; mi: ; m=0 m=1 M°t kh¡c tł m=1 (2.19) ¡nh gi¡ (1.30) ta câ M Nx X X k k;m = o(kfk): m=1 k=0! v Do â tł (2.13) v (2.19) ta nh“n ÷æc M J0 h; t (f + f) J0 h; t X m (f) = t m m h f; (B ) ’ i + o(kfk): (2.20) m=0 h; t Nh÷ v“y, J0 l kh£ vi v gradient cıa phim h m J0 (2.9) Chú ỵ V ma tr“n m (A ) = (E h; t câ d⁄ng nhữ i xứng, ta cõ vợi m = 0; : : : ; M t m)(E + t m) 1(E t m)(E + t m) 1: 4 4 V m nh lỵ 2.3 m t (B ) = (E )(E + t m) 1:  ữổc chứng minh xong Phữỡng phĂp gradient liản hổp Khi ta ÷ỵc l÷ỉng ÷ỉc gradient cıa J , ta câ th” sò dửng thut toĂn gradient liản hổp tm cỹc ti”u cıa phi‚m h m mưc ti¶u (1.14) Qu¡ tr…nh ÷æc t‰nh nh÷ sau: k+1 k k k k J (f ) k k f =f + d ; d = n‚u k = 0; (2.21) k k < J (f ) + d n‚u k > 0; : â k = k k rJ (f ) k ; k k k = argmin J (f + d ): (2.22) k rJ (f k )k 26 ” t‰nh k > @u > > u > P x; t ( > , ta thỹc hiằn nhữ sau Kỵ hiằu u~[f] l nghiằm ca b i to¡n + b(x; t)u = f(t)’(x; t); (x; t) Q; i=1 @xi ai(x; t)@xi n @ @u @t ( ; )=0 x; t ) S; < > u(x; 0) = 0; x ; > > > : > (2.23) v u [u0; g] l nghi»m cıa @t > @u > > u x; t < > ( i=1 @x i @ n P a (x; t) i ( ; )=0 x; t ) > > > > > > + b(x; t)u = g(x; t); (x; t) Q; @xi @u S; (2.24) u(x; 0) = u0(x); x : : Khi â lu(f) = lu~[f] + lu [u0; g] := Af + lu[u0; g] â Af := lu~[f] l to¡n tß tuy‚n t‰nh bà ch°n tł L (0; T ) v o L (0; T) Ta câ k nghi»m cıa b i to¡n cüc ti”u sau l k k k = argmin 0J (f + d ): Ta câ J (f k k f kL 2(0;T ) k + d )= k 2klu(f + d ) hkL 2(0;T ) + = = k k 2kf + d k k k k 2kA(f + d ) + lu kd +f [u0; g] hkL 2(0;T ) + 2 k k k 2k Ad + lu(f ) hkL 2(0;T ) + 2k d + f k k k k k k dJ (f + d ) = kAd kL 2(0;T ) + hAd ; lu(f ) hiL2(0;T ) d + kdkk2L2(0;T ) + hdk; fk f iL2(0;T ): f kL 2(0;T ) f kL 2(0;T ): ⁄o h m cıa J (f + d ) theo câ d⁄ng: k k 27 k k dJ (f + d ) Cho = 0, ta nh“n ÷ỉc d k k k k = hAd ; lu(f ) hiL2(0;T ) + hd ; f k k k k f iL2(0;T ) kAd kL 2(0;T ) + kd kL 2(0;T ) = hdk; A (lu(fk) h)iL2(0;T ) + hdk; fk f iL2(0;T ) k (2.25) kAd kL 2(0;T ) + kd kL 2(0;T ) = hdk; A (lu(fk) h) + (fk k f )iL2(0;T ) k kAd kL 2(0;T ) + kd kL 2(0;T ) k = k : hd ; rJ (f )iL2(0;T ) k k kAd kL 2(0;T ) + kd kL 2(0;T ) k Tł (2.21), ữổc tnh theo cổng thức dữợi Ơy k 8h k > = J ( k f )i )r ( ; J f kAd kL (0 ;T ) + kd kL (0 ;T ) k 2L (0;T ) k n‚u k = 0; > > k J (f > ) +k k > k (f r (2.26) k) ; J d h > < k n‚u k > 0: i L (0;T ) kAd kL 2(0;T ) + kd kL 2(0;T ) > > > > : Do â, k k = ; k = 0; 1; 2; : : : krJ (f )kL 2(0;T ) k (2.27) k kAd kL 2(0;T ) + kd kL 2(0;T ) Ph÷ìng ph¡p gradient li¶n hỉp ¡p dưng cho phi‚m h m (2.6) cõ dng nhữ sau Bữợc Cho xĐp x ban ƒu f (l u(f ) h 2 M 0 2R M+1 v t‰nh phn r^ = bng viằc giÊi lữổc ỗ M h ; l u(f ) h ; : : : ; l u(f ) h ) h h (1.27) vợi f ữổc thay bi giĂ tr ban u xĐp x¿ f v °t k = 0 J (f ) ữổc cho bi cổng thức (2.9) Bữợc T‰nh gradient r = 0 b‹ng vi»c gi£i b i to¡n li¶n hỉp (2.10) Sau â, °t d = r : Bữợc Tnh = kr k 2 klhd k + kd k 28 0 â lhd ÷ỉc t‰nh tł l÷ỉc ỗ (1.27) vợi f ữổc thay bi d v g(x; t) = 0; u0 = Ti‚p theo, °t 0 f =f + d : k k Bữợc Vợi k = 1; 2; , tnh r = õ k Bữợc Tnh k k k k k k kr k = k k klhd k + kd k k k vỵi lhd ữổc tnh t lữổc ỗ (1.27) vợi f ữổc thay bði d v 0; u0 = Ti‚p theo, °t 2.4 ; k kr f kr k = k k k J (f ); d = r + d k+1 k g(x; t) = k k =f + d : V‰ dö sŁ Trong möc n y, chóng tỉi tr…nh b y mºt v i v‰ dử s minh hồa cho thut toĂn ã xuĐt Cho T = 1, chúng tổi thò nghiằm thut toĂn xƠy düng l⁄i th nh phƒn ch¿ phư thuºc thíi gian f(t) h m v‚ ph£i cho b i to¡n sau V‰ dö 1: f(t) = sin( t), V‰ dö 2: f(t) = 82t t) t > > < > > u = f(t)’(x; t) + g(x; t); xx u(0; t) = u(1; t) = 0; < x < 1; < t < 1; < t < 1; > >u(x; 0) = u (x); < x < 1: : Cho u(x; t) = sin( x)(1 2 t), u0(x) = sin( x), ’(x; t) = (x + 5)(t + 5) v sau â cho h m f lƒn l÷ỉt l c¡c h m V‰ dö 1, V‰ dö 2, V‰ dö 3, sau â t‰nh g(x; t) Łi vỵi quan s¡t lu chóng tỉi chån h m trång sau (2.28) !(x) = x + ho°c !(x) = n‚u x (x0 < ng÷ỉc l⁄i ; x0 + ) vợi = 0:01: (2.29) : Chú ỵ rng toĂn tò quan sĂt vợi h m trồng (2.29) câ th” ÷ỉc xem nh÷ quan s¡t i”m C¡c k‚t qu£ sŁ ÷ỉc minh håa tł H…nh 2.1-H…nh 2.6 Tł c¡c k‚t qu£ n y ta câ th” th§y r‹ng c¡c thu“t to¡n l hœu hi»u m°c dò nhi„u ƒu v o kh¡ lỵn 10% Trong B£ng v B£ng 2, chúng tổi liằt kả tữỡng ứng ca tham s hiằu chnh, sai s L2, s bữợc lp v giĂ trà cıa h m mưc ti¶u 30 NOISE=0.1 NOISE=0.01 EXACT.SOL 0.8 0.8 F(T) F(T) EXACT.SOL 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 T 0.6 0.8 T H…nh 2.1: V‰ dö 1: So s¡nh nghi»m ch‰nh x¡c v nghiằm s vợi nhiu = 0:1 (bản trĂi) v nhiu = 0:01 (bản phÊi) H m trồng ! ữổc cho bði cæng thøc (2.28) NOISE =0.1 NOISE =0.01 EXACT.SOL 0.8 0.8 F(T) F(T) EXACT.SOL 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 T H…nh 2.2: V‰ dö 2: So s¡nh nghi»m ch‰nh x¡c v 0.2 0.4 0.6 0.8 T nghiằm s vợi nhiu = 0:1 (bản trĂi) v nhiu = 0:01 (bản phÊi) H m trồng ! ữổc cho bði cæng thøc (2.28) 31 Noise=0.1 Noise=0.01 Exact.Sol Exact.Sol 0.6 0.6 f(t) 0.8 f(t) 0.8 0.4 0.4 0.2 0.2 0 −0.2 −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 0.4 0.2 t 0.6 0.8 H…nh 2.3: V‰ dö 3: So s¡nh nghi»m ch‰nh x¡c v nghi»m s vợi nhiu = 0:1 (bản trĂi) v nhiu = 0:01 (bản phÊi) H m trồng ! ữổc cho bi cỉng thøc (2.28) V‰ dư Nhi„u 1 10 10 2 10 10 3 10 10 2 n kf fn k L (0;T ) J (fn ) 0:05 0:01 10 9:7E 2:0E 1:501E 2:4957E 0:05 0:01 13 15 8:9E 5:9E 8:4764E 1:6665E 3 0:05 0:01 18 29 9:8E 8:4E 1:2768E 2:541E BÊng 2.1: Tham s hiằu chnh , s bữợc l°p n , sai sŁ k f fn k J (fn ) (h m trång ! t ÷ỉc cho theo cæng thøc (2.28) L (0;T ) v gi¡ trà phi‚m h m 32 NOISE=0.1 NOISE=0.01 EXACT.SOL 0.8 0.8 F(T) F(T) EXACT.SOL 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 T 0.6 0.8 T H…nh 2.4: V‰ dö 1: So s¡nh nghi»m ch‰nh x¡c v nghi»m sŁ vợi nhiu = 0:1 (bản trĂi) v nhiu = 0:01 (bản phÊi) H m trồng ! ữổc cho bi cổng thøc (2.29) NOISE =0.1 NOISE =0.01 EXACT.SOL 0.8 0.8 F(T) F(T) EXACT.SOL 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 T H…nh 2.5: V‰ dö 2: So s¡nh nghi»m ch‰nh x¡c v 0.2 0.4 0.6 0.8 T nghi»m sŁ vỵi nhi„u = 0:1 (b¶n tr¡i) v nhi„u = 0:01 (b¶n ph£i) H m trång ! ÷ỉc cho bði cỉng thøc (2.29) 33 Noise=0.1 Noise=0.01 Exact.Sol Exact.Sol 0.6 0.6 f(t) 0.8 f(t) 0.8 0.4 0.4 0.2 0.2 0 −0.2 −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 0.4 0.2 t 0.6 0.8 H…nh 2.6: V‰ dö 3: So s¡nh nghi»m ch‰nh x¡c v nghi»m sŁ vỵi nhi„u = 0:1 (b¶n tr¡i) v nhi„u = 0:01 (b¶n ph£i) H m trång ! ÷ỉc cho bði cỉng thøc (2.29) V‰ dö Nhi„u 1 10 10 2 10 10 3 10 10 2 n kf fn k L (0;T ) J (fn ) 0:05 0:01 7:8E 2:92E 1:4257E 2:4757E 0:05 0:01 13 14 8:5E 7:8E 8:5007E 1:6667E 3 0:05 0:01 17 29 9:5E 1:0E 1:2817E 2:5384E B£ng 2.2: Tham s hiằu chnh , s bữợc lp n , sai sŁ k f fn k J (fn ) (h m trång ! t ÷ỉc cho theo cỉng thøc (2.29)) L (0;T ) v gi¡ trà phi‚m h m 34 K‚t lu“n Lu“n v«n tr…nh b y l⁄i mºt c¡ch câ h» thŁng b i to¡n ng÷ỉc x¡c ành th nh phƒn ch¿ phư thuºc thíi gian h m v phÊi ca phữỡng trnh truyãn nhiằt mt chiãu Chữỡng trnh b y mt s kin thức cỡ bÊn vã khổng gian Sobolev, cĂc khĂi niằm liản quan nh÷ b i to¡n thu“n, b i to¡n ng÷ỉc, b i toĂn liản hổp, b i toĂn bin phƠn, ành ngh¾a nghi»m y‚u, ríi r⁄c b i to¡n thu“n sò dửng phữỡng phĂp sai phƠn Chữỡng ÷a cỉng thøc t‰nh gradient cıa phi‚m h m mửc tiảu trữớng hổp b i toĂn liản tửc v b i toĂn rới rc, ỗng thới cụng tâm t›t l⁄i thu“t to¡n gradient li¶n hỉp t…m cüc ti”u phi‚m h m mưc ti¶u bi‚t cỉng thøc gradient cıa nâ Cơng Ch÷ìng n y, mºt s thò nghiằm s ữổc thỹc hiằn minh hồa tnh úng n ca cĂc thut toĂn ã xuĐt 35 T i li»u tham kh£o [1] H o D.N., Th nh N.T., and Sahli H., Splitting-based gradient method for multi-dimensional inverse conduction problems J Com-put Appl Math., 232(2009), 361 377 [2] John Rozier Cannon (1984), The one-dimensional Heat Equation, Addison-Wesley Publishing Company [3] Marchuk G.I., Splitting and alternating direction methods In Ciaglet P G and Lions J L., editors, Handbook of Numerical Mathe-matics Volume 1: Finite Difference Methods Elsevier Science Pub-lisher B.V., North-Holland, Amsterdam, 1990 [4] Nemirovskii A.S., The regularizing properties of the adjoint gradient method in ill-posed problems Zh vychisl Mat mat Fiz 26(1986), 332 347 Engl Transl in U.S.S.R Comput Maths Math Phys 26:2(1986), 16 [5] Oanh, Nguyen Thi Ngoc, Data Assimilation in Heat Conduction, LAP Lambert Academic Publishing, 2019 [6] Oanh, N T N and Huong, B V., Determination of timedependent term in the right-hand side of linear parabolic equations Acta Math Vietnam 41(2016), 313 335 [7] Troltzsch F., Optimal Control of Partial Differential Equations Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2010 ... cd ºc l“p vỵi a; b; f; ’; g v u0 cho kuk W (0;T ) c kf ’k d L (Q) + kgk L (Q) + ku k L () : (1.5) ” sß dưng phữỡng phĂp bin phƠn cho b i toĂn xĂc nh h m v phÊi cho phữỡng trnh truyãn nhiằt, ta... tr…nh b y mºt v i v‰ dö sŁ minh håa cho thut toĂn ã xuĐt Cho T = 1, chúng tổi thò nghiằm thut toĂn xƠy dỹng li th nh phn ch¿ phư thuºc thíi gian f(t) h m v‚ ph£i cho b i to¡n sau V‰ dö 1: f(t) =... H m trång ! ÷æc cho bði cæng thøc (2.29) 32 2.6 V‰ dö 3: So s¡nh nghi»m ch‰nh x¡c v nghiằm s vợi nhiu = 0:1 (bản trĂi) v nhiu = 0:01 (bản phÊi) H m trồng ! ữổc cho bði cæng thøc