Bài toán xác định nguồn cho phương trình truyền nhiệt tuyến tính một chiều

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– ĐỖ THỊ TUYẾT NGA BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TUYẾN TÍNH MỘT CHIỀU THÁI NGUN - 6/2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– ĐỖ THỊ TUYẾT NGA BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TUYẾN TÍNH MỘT CHIỀU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN THỊ NGỌC OANH THÁI NGUYÊN - 6/2020 Mục lục Trang Danh sách hình vẽ Danh sách bảng Lời nói đầu Chương Một số kiến thức 1.1 Giới thiệu toán 1.2 Rời rạc hóa toán 14 1.2.1 Rời rạc hóa tốn thuận theo biến không gian 14 1.2.2 Rời rạc toán thuận theo biến thời gian 16 Chương Bài toán xác định nguồn cho phương trình truyền nhiệt tuyến tính chiều 19 2.1 Bài toán biến phân 20 2.2 Rời rạc toán biến phân 22 2.3 Phương pháp gradient liên hợp 25 2.4 Ví dụ số 28 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 Danh sách hình vẽ 2.1 Ví dụ 1: So sánh nghiệm xác nghiệm số với nhiễu = 0.1 (bên trái) nhiễu = 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho công thức (2.28) 2.2 30 Ví dụ 2: So sánh nghiệm xác nghiệm số với nhiễu = 0.1 (bên trái) nhiễu = 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho công thức (2.28) 2.3 30 Ví dụ 3: So sánh nghiệm xác nghiệm số với nhiễu = 0.1 (bên trái) nhiễu = 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho công thức (2.28) 2.4 31 Ví dụ 1: So sánh nghiệm xác nghiệm số với nhiễu = 0.1 (bên trái) nhiễu = 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho công thức (2.29) 2.5 32 Ví dụ 2: So sánh nghiệm xác nghiệm số với nhiễu = 0.1 (bên trái) nhiễu = 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho công thức (2.29) 2.6 32 Ví dụ 3: So sánh nghiệm xác nghiệm số với nhiễu = 0.1 (bên trái) nhiễu = 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho công thức (2.29) 33 Danh sách bảng 2.1 Tham số hiệu chỉnh γ, số bước lặp n∗ , sai số f −fn∗ L2 (0,T ) giá trị phiếm hàm Jγ (fn∗ ) (hàm trọng ω cho theo công thức (2.28) 31 2.2 Tham số hiệu chỉnh γ, số bước lặp n∗ , sai số f −fn∗ L2 (0,T ) giá trị phiếm hàm Jγ (fn∗ ) (hàm trọng ω cho theo công thức (2.29)) 33 Lời nói đầu Trong nhiều nghiên cứu thực tế, hàm nguồn trình truyền nhiệt yêu cầu cần phải xác định từ vài thông số ta quan sát hay đo [1, 2, 4, 5] Đây toán ngược xác định hàm vế phải hay phần hàm vế phải (hàm nguồn) phương trình truyền nhiệt Vì ứng dụng quan trọng thực tế nên có nhiều nghiên cứu lý thuyết giải số phát triển [1, 3, 5, 6] Bài tốn ngược tốn đặt khơng chỉnh Một toán gọi đặt chỉnh theo nghĩa Hadamard thỏa mãn tất điều kiện: i) Tồn nghiệm; ii) Nghiệm nhất; iii) Nghiệm phụ thuộc liên tục vào kiện toán Nếu điều kiện không thỏa mãn tốn gọi đặt khơng chỉnh Bài tốn đặt khơng chỉnh thường gây nhiều vấn đề nghiêm trọng làm cho nghiệm số cổ điển không ổn định, tức sai số nhỏ kiện đầu vào dẫn tới sai số lớn với nghiệm Ta xét ví dụ sau đây: Xét chuỗi Fourier ∞ an cos nt = f (t) ∼ (a0 , a1 , , ) (0.1) n=0 Chọn an = an + n , n ≥ a0 = a0 Trong chuẩn l2 , ta có ∞ (a1 , a2 , ) − (a1 , a2 , ) l2 = n=1 n2 ∞ 1/2 = π = √ −→ 0, → n=1 n2 1/2 (0.2) Mặt khác ∞ f (t) − f (t) C[0,π] = n=0 n = ∞ (0.3) Từ phương trình (0.2) (0.3) ta có hệ số sai khác nhỏ dẫn tới sai khác hàm vế phải f (t) Nội dung luận văn trình bày chương: Chương giới thiệu số kiến thức chuẩn bị, phương trình truyền nhiệt chiều dạng tổng quát, toán thuận, phương pháp sai phân hữu hạn rời rạc toán thuận Chương nghiên cứu toán xác định hàm vế phải cách sử dụng phương pháp biến phân kết hợp với hiệu chỉnh Tikhonov, công thức gradient phiếm hàm mục tiêu tính thơng qua nghiệm toán liên hợp trường hợp liên tục (Định lý 2.1) trường hợp rời rạc (Định lý 2.2) Trong chương này, trình bày lại phương pháp gradient liên hợp để tìm cực tiểu phiếm hàm mục tiêu Luận văn trình bày vài ví dụ số minh họa cho phương pháp số đề xuất với tính chất khác hàm vế phải cần tìm Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc đến TS Nguyễn Thị Ngọc Oanh người trực tiếp hướng dẫn luận văn, tận tình bảo hỗ trợ tơi tìm hướng nghiên cứu, tiếp cận thực tế, tìm kiếm tài liệu, xử lý phân tích số liệu, giải vấn đề để tơi hồn thành luận văn khoa học Ngồi ra, q trình học tập, nghiên cứu thực đề tài tơi cịn nhận nhiều quan tâm, góp ý, giúp đỡ quý thầy cô, đồng nghiệp, bạn bè người thân Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến: • Những người thân gia đình hỗ trợ, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt thời gian theo học khóa thạc sỹ trường Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên • Quý thầy Khoa Tốn- Tin q thầy phịng Đào tạo - KHCN HTQT, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên truyền đạt cho tơi kiến thức bổ ích suốt hai năm học vừa qua • Bạn bè, đồng nghiệp ln động viên, hỗ trợ tơi q trình học tập nghiên cứu! Tôi xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 25 tháng năm 2020 Học viên Đỗ Thị Tuyết Nga Chương Một số kiến thức Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức sử dụng luận văn như: số khơng gian hàm, tốn thuận, định nghĩa nghiệm yếu phương pháp sai phân rời rạc tốn thơng qua lược đồ Crank-Nicolson 1.1 Giới thiệu toán Cho Ω = (0, L) ⊂ R and Q = (0, L) × (0, T ), S = {0, 1} × (0, T ) Xét phương trình    u − (a(x, t)ux )x + b(x, t)u = f (t)ϕ(x, t) + g(x, t),    t u(x, t) = 0, (x, t) ∈ S,     u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω (x, t) ∈ Q, (1.1) Trong a, b ϕ không gian L∞ (Q), g ∈ L2 (Q), f ∈ L2 (0, T ) u0 ∈ L2 (Ω) Giả sử a ≥ a > với a số b ≥ Hơn nữa, ϕ ≥ ϕ > 0, (1.2) với ϕ số Định nghĩa 1.1 (Bài toán thuận) [5] Khi hệ số a(x, t), b(x, t), điều kiện ban đầu u0 , hàm vế phải biết (gồm f (t), ϕ(x, t), g(x, t)), 21 f , ta có J0 (f + δf ) − J0 (f ) = lu(f + δf ) − h L2 (0,T ) = lδu(f ), lu(f ) − h + − lu(f ) − h lδu(f ) L2 (0,T ) , δu(f ) nghiệm toán   ∂δu ∂ ∂δu    − a(x, t) + b(x, t)δu = δf (t)ϕ(x, t),   ∂t ∂x ∂x δu(x, t) = 0,      δu(x, 0) = 0, L2 (0,T ) (x, t) ∈ Q, (x, t) ∈ S, x ∈ Ω (2.5) Từ ước lượng (1.5) ta nhận lδu(f ) L2 (0,T ) = o( δf L2 (0,T ) ) δf L2 (0,T ) → Ta có J0 (f + δf ) − J0 (f ) = lδu, lu − h + o( δf L2 (0,T ) ) T = lu − h dt + o( δf ωδudx L2 (0,T ) ) Ω T ωδu(lu − h)dx dt + o( δf = L2 (0,T ) ) Ω T ωδu(lu − h)dxdt + o( δf = L2 (0,T ) ) Ω Sử dụng công thức Green Định lý 1.1 [7, Định lý 3.18] cho (2.3) (2.5), ta có T T ωδu(lu − h)dxdt = Ω δf ϕpdxdt Ω Do T J0 (f + δf ) − J0 (f ) = δf ϕpdxdt + o( δf L2 (0,T ) ) Ω = ϕ(x, t)p(x, t)dx, δf + o( δf Ω L2 (0,T ) ) 22 Như vậy, J0 khả vi Fréchet gradient J0 có dạng ∇J0 (f ) = ϕ(x, t)p(x, t)dx Ω Từ đẳng thức này, ta nhận công thức (2.4) Định lý chứng minh xong 2.2 Rời rạc toán biến phân Tiếp theo mục này, rời rạc phiếm hàm mục tiêu J0 (f ) sau: J0h,∆t (f ) := Nx M ∆t ω k uk,m (f ) − hm |2 , |∆h m=1 (2.6) k=0 uk,m (f ) nhấn mạnh phụ thuộc nghiệm u vào f m số điểm lưới theo trục thời gian Kí hiệu ω k = ω(xk ) xấp xỉ hàm ω(x) Ω điểm xk , ví dụ lấy ωk = |ω(k)| ω(x)dx (2.7) ω(k) Để đơn giản ký hiệu, ta sử dụng ký hiệu f với nghĩa hàm lưới xác định lưới {0, ∆t, , M ∆t} với chuẩn f = (∆t M m 1/2 m=0 |f | ) Do xấp xỉ lh u(f ) lu(f ) có dạng lh u(f ) = (lh0 u(f ), lh1 u(f ), , lhM u(f )) với Nx lhm u(f ) ω k uk,m (f ), = ∆h m = 0, 1, , M (2.8) k=0 Để cực tiểu hóa phiếm hàm (2.6) phương pháp gradient liên hợp, trước tiên ta cần tính gradient phiếm hàm mục tiêu J0h,∆t (f ) thông qua định lý sau Định lý 2.2 Gradient ∇J0h,∆t (f ) hàm mục tiêu J0h,∆t f cho 23 M −1 ∇J0h,∆t (f ) ∆t(B m )∗ ϕm η m , = (2.9) m=0 η nghiệm toán rời rạc    η m = (Am+1 )∗ η m+1 + ψ m+1 , m = M − 2, , 0,    η M −1 = ψ M ,     η M = 0, (2.10) với Nx m ψ = ψ k,m ω k uk,m (f )−hm , k = ω ∆h k ∈ Ωh , m = 0, 1, , M k=0 (2.11) ma trận (Am )∗ (B m )∗ cho ∆t m Λ )(E + ∆t m Λ )(E + (B m )∗ = (E − ∆t m −1 ∆t m ∆t m −1 Λ ) (E − Λ1 )(E + Λ ) , 4 ∆t m −1 Λ ) (2.12) (Am )∗ = (E − Chứng minh Cho biến phân nhỏ δf f , từ công thức (2.6) ta nhận J0h,∆t (f + δf ) − J0h,∆t (f ) = = = = ∆t ∆t ∆t ∆t M lhm u(f m + δf ) − h − m=1 M k k,m Nx k k,m ∆hω v Nx k=0 M Nx v k,m ψ k,m ∆h k=0 M k k,m ∆hω v m=1 k=0 v k,m ω k (lhm u(f ) − hm ) m=1 m=1 m=1 k=0 M Nx ∆h + ∆t m=1 + ∆t m=1 k∈Ωh M lhm u(f ) − hm M ∆hω v M ∆t vm, ψm +∆t m=1 (2.13) 24 v m = {v k,m := uk,m (f + δf ) − uk,m (f )} Từ (1.27) ta có v nghiệm tốn  v m+1 = Am v m + ∆tB m δf ϕm , m = 0, , M − 1, v = (2.14) Nhân vơ hướng hai vế phương trình thứ m (2.14) với véc tơ η m ∈ RNx cộng kết lại theo m = 0, , M − 1, ta nhận M −1 M −1 v m+1 ,η m M −1 m m = A v ,η m=0 m B m δf ϕm , η m + ∆t m=0 M −1 m=0 M −1 ∗ v m , Am η m + ∆t = m=0 (2.15) B m δf ϕm , η m m=0 Trong đó, ký hiệu ·, · tích vơ hướng RNx Am ∗ ma trận liên hợp ma trận Am Nhân vô hướng hai vế phương trình (2.10) với véc tơ v m+1 , lấy tổng theo m = 0, , M − 2, ta nhận M −2 M −2 v m+1 ,η m = m=0 M −2 v m+1 , (A m+1 ∗ m+1 )η m=0 M −1 m=0 M −1 v m , (Am )∗ η m + = v m+1 , ψ m+1 + m=1 (2.16) vm, ψm m=1 Nhân vô hướng hai vế phương trình thứ hai (2.10) với véc tơ v M , ta có v M , η M −1 = v M , ψ M (2.17) Từ (2.16) (2.17), ta nhận M −2 M −1 v m+1 ,η m M + v ,η M −1 = m=0 M −1 m m ∗ m v , (A ) η m=1 vm, ψm + vM , ψM + m=1 (2.18) Từ (2.15), (2.18) ta nhận M −1 v , A ∗ η M −1 m + ∆t m B δf ϕ , η m=0 m vm, ψm + vM , ψM = m=1 25 Vì v = nên M −1 M −1 m ∆t m B δf ϕ , η m = m=0 M m v ,ψ m M + v ,ψ M vm, ψm = m=1 m=1 (2.19) Mặt khác từ đánh giá (1.30) ta có Nx M ω k v k,m = o( f ) m=1 k=0 Do từ (2.13) (2.19) ta nhận M −1 J0h,∆t (f + δf ) − J0h,∆t (f ) δf, (B m )∗ ϕm η m + o( f ) (2.20) = ∆t m=0 Như vậy, J0h,∆t khả vi gradient phiếm hàm J0h,∆t có dạng (2.9) Chú ý Vì ma trận Λ đối xứng, ta có với m = 0, , M (Am )∗ = (E − ∆t m −1 ∆t m ∆t m −1 ∆t m Λ )(E + Λ ) (E − Λ )(E + Λ ) 4 4 Và ∆t m ∆t m −1 Λ )(E + Λ ) 4 Định lý chứng minh xong (B m )∗ = (E − 2.3 Phương pháp gradient liên hợp Khi ta ước lượng gradient Jγ , ta sử dụng thuật tốn gradient liên hợp để tìm cực tiểu phiếm hàm mục tiêu (1.14) Q trình tính sau: f k+1 = f k + αk dk ,  −∇Jγ (f k ) k d = −∇J (f k ) + β k dk−1 γ k = 0, (2.21) k > 0, k β = ∇Jγ (f k ) ∇Jγ (f k−1 ) 2 , αk = argminα≥0 Jγ (f k + αdk ) (2.22) 26 Để tính αk , ta thực sau Ký hiệu u˜[f ] nghiệm toán   n ∂ ∂u ∂u    − (x, t) + b(x, t)u = f (t)ϕ(x, t), (x, t) ∈ Q,   ∂t i=1 ∂xi ∂xi (x, t) ∈ S,  u(x, t) = 0,     u(x, 0) = 0, x ∈ Ω, (2.23) u[u0 , g] nghiệm   n ∂ ∂u ∂u    − a (x, t) + b(x, t)u = g(x, t),   ∂t i=1 ∂xi i ∂xi (x, t) ∈ Q, (2.24)  u(x, t) = 0, (x, t) ∈ S,     u(x, 0) = u (x), x ∈ Ω Khi lu(f ) = l˜ u[f ] + lu[u0 , g] := Af + lu[u0 , g] Af := l˜ u[f ] tốn tử tuyến tính bị chặn từ L2 (0, T ) vào L2 (0, T ) Ta có αk nghiệm tốn cực tiểu sau αk = argminα≥0 Jγ (f k + αdk ) Ta có Jγ (f k + αdk ) = = = 2 lu(f k + αdk ) − h L2 (0,T ) + γ A(f k + αdk ) + lu[u0 , g] − h αAdk + lu(f k ) − h L2 (0,T ) + f k + αdk − f ∗ L2 (0,T ) γ + γ 2 L2 (0,T ) αdk + f k − f ∗ αdk + f k − f ∗ Đạo hàm Jγ (f k + αdk ) theo α có dạng: dJγ (f k + αdk ) dα = α Adk + γα dk L2 (0,T ) L2 (0,T ) + Adk , lu(f k ) − h + γ dk , f k − f ∗ L2 (0,T ) L2 (0,T ) L2 (0,T ) L2 (0,T ) 27 Cho dJγ (f k + αdk ) dα k α =− =− =− =− = 0, ta nhận Adk , lu(f k ) − h Adk L2 (0,T ) L2 (0,T ) dk , A∗ (lu(f k ) − h) + γ dk L2 (0,T ) L2 (0,T ) Adk + γ dk , f k − f ∗ L2 (0,T ) + γ dk , f k − f ∗ + γ dk L2 (0,T ) dk , ∇Jγ (f k ) Adk L2 (0,T ) + γ dk L2 (0,T ) L2 (0,T ) dk , A∗ (lu(f k ) − h) + γ(f k − f ∗ ) Adk L2 (0,T ) (2.25) L2 (0,T ) L2 (0,T ) L2 (0,T ) dk 2L2 (0,T ) +γ Từ (2.21), αk tính theo công thức    −∇Jγ (f k ), ∇Jγ (f k ) L2 (0,T )    − Adk k L2 (0,T ) + γ d L2 (0,T ) k α =  −∇Jγ (f k ) + β k dk−1 , ∇Jγ (f k ) L2 (0,T )     − Adk 2L2 (0,T ) + γ dk 2L2 (0,T ) k = 0, (2.26) k > Do đó, ∇Jγ (f k ) k α = Adk L2 (0,T ) + L2 (0,T ) , γ dk 2L2 (0,T ) k = 0, 1, 2, (2.27) Phương pháp gradient liên hợp áp dụng cho phiếm hàm (2.6) có dạng sau Bước Cho xấp xỉ ban đầu f ∈ RM +1 tính phần dư rˆ0 = (lh1 u(f ) − h1 , lh2 u(f ) − h2 , , lhM u(f ) − hM ) việc giải lược đồ (1.27) với f thay giá trị ban đầu xấp xỉ f đặt k = Bước Tính gradient r0 = −∇Jγ (f ) cho công thức (2.9) việc giải toán liên hợp (2.10) Sau đó, đặt d0 = r0 Bước Tính r0 α = lh d0 2 + γ d0 28 lh d0 tính từ lược đồ (1.27) với f thay d0 g(x, t) = 0, u0 = Tiếp theo, đặt f = f + α d0 Bước Với k = 1, 2, · · · , tính rk = −∇Jγ (f k ), dk = rk +β k dk−1 , k β = rk rk−1 Bước Tính αk rk k α = lh dk 2 + γ dk với lh dk tính từ lược đồ (1.27) với f thay dk g(x, t) = 0, u0 = Tiếp theo, đặt f k+1 = f k + αk dk 2.4 Ví dụ số Trong mục này, chúng tơi trình bày vài ví dụ số minh họa cho thuật toán đề xuất Cho T = 1, chúng tơi thử nghiệm thuật tốn xây dựng lại thành phần phụ thuộc thời gian f (t) hàm vế phải cho tốn sau • Ví dụ 1: f (t) = sin(πt),  2t • Ví dụ 2: f (t) = 2(1 − t)  1 • Ví dụ 3: f (t) = 0 ≤ t ≤ 0.5 , 0.5 ≤ t ≤ 0.25 ≤ t ≤ 0.75 ngược lại Lý chọn hàm mức độ trơn khác với hàm phải tìm Ví dụ thứ hàm trơn, ví dụ thứ hai hàm liên tục khơng khả vi t = 0.5 ví dụ cuối hàm gián đoạn 29 Khi thực ví dụ số này, chúng tơi chọn hàm u nghiệm phương trình (1.1), chọn hàm ϕ f , sau tính hàm g vế phải (1.1) Khi có u chúng tơi tính lu = h đặt nhiễu kiện quan sát h, thử nghiệm số thực với nhiễu khác nhau, thuật toán dừng f k+1 − f k đủ nhỏ Cho Ω = (0, 1) Ta xây dựng hàm f từ hệ    u − uxx = f (t)ϕ(x, t) + g(x, t), < x < 1, < t < 1,    t u(0, t) = u(1, t) = 0, < t < 1,     u(x, 0) = u0 (x), < x < Cho u(x, t) = sin(πx)(1 − t), u0 (x) = sin(πx), ϕ(x, t) = (x2 + 5)(t2 + 5) sau cho hàm f hàm Ví dụ 1, Ví dụ 2, Ví dụ 3, sau tính g(x, t) Đối với quan sát lu chọn hàm trọng sau ω(x) = x2 + (2.28) ω(x) =  1 x ∈ (x0 − , x0 + ) 0 ngược lại với = 0.01 (2.29) Chú ý toán tử quan sát với hàm trọng (2.29) xem quan sát điểm Các kết số minh họa từ Hình 2.1-Hình 2.6 Từ kết ta thấy thuật toán hữu hiệu nhiễu đầu vào lớn 10% Trong Bảng Bảng 2, liệt kê tương ứng tham số hiệu chỉnh, sai số L2 , số bước lặp giá trị hàm mục tiêu 30 Noise=0.01 Exact.Sol 1 0.8 0.8 f(t) f(t) Noise=0.1 Exact.Sol 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 t 0.6 0.8 t Hình 2.1: Ví dụ 1: So sánh nghiệm xác nghiệm số với nhiễu = 0.1 (bên trái) nhiễu = 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho công thức (2.28) Noise =0.01 Exact.Sol 1 0.8 0.8 f(t) f(t) Noise =0.1 Exact.Sol 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 t 0.2 0.4 0.6 0.8 t Hình 2.2: Ví dụ 2: So sánh nghiệm xác nghiệm số với nhiễu = 0.1 (bên trái) nhiễu = 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho công thức (2.28) 31 Noise=0.1 Exact.Sol Noise=0.01 Exact.Sol 0.8 0.8 0.6 0.6 f(t) f(t) 0.4 0.4 0.2 0.2 0 −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 −0.2 0.2 0.4 t 0.6 0.8 t Hình 2.3: Ví dụ 3: So sánh nghiệm xác nghiệm số với nhiễu = 0.1 (bên trái) nhiễu = 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho công thức (2.28) Ví dụ Nhiễu γ n∗ 10−1 0.05 9.7E − 1.501E − 10−2 0.01 10 2.0E − 2.4957E − 10−1 0.05 13 8.9E − 8.4764E − 10−2 0.01 15 5.9E − 1.6665E − 3 10−1 0.05 18 9.8E − 1.2768E − 10−2 0.01 29 8.4E − 2.541E − f − fn∗ Jγ (fn∗ ) L2 (0,T ) Bảng 2.1: Tham số hiệu chỉnh γ , số bước lặp n∗ , sai số f − fn∗ Jγ (fn∗ ) (hàm trọng ω cho theo công thức (2.28) L2 (0,T ) giá trị phiếm hàm 32 Noise=0.01 Exact.Sol 1 0.8 0.8 f(t) f(t) Noise=0.1 Exact.Sol 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 t 0.6 0.8 t Hình 2.4: Ví dụ 1: So sánh nghiệm xác nghiệm số với nhiễu = 0.1 (bên trái) nhiễu = 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho công thức (2.29) Noise =0.01 Exact.Sol 1 0.8 0.8 f(t) f(t) Noise =0.1 Exact.Sol 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 t 0.2 0.4 0.6 0.8 t Hình 2.5: Ví dụ 2: So sánh nghiệm xác nghiệm số với nhiễu = 0.1 (bên trái) nhiễu = 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho công thức (2.29) 33 Noise=0.1 Exact.Sol Noise=0.01 Exact.Sol 0.8 0.8 0.6 0.6 f(t) f(t) 0.4 0.4 0.2 0.2 0 −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 −0.2 0.2 0.4 t 0.6 0.8 t Hình 2.6: Ví dụ 3: So sánh nghiệm xác nghiệm số với nhiễu = 0.1 (bên trái) nhiễu = 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho cơng thức (2.29) Ví dụ Nhiễu γ n∗ 10−1 0.05 7.8E − 1.4257E − 10−2 0.01 2.92E − 2.4757E − 10−1 0.05 13 8.5E − 8.5007E − 10−2 0.01 14 7.8E − 1.6667E − 3 10−1 0.05 17 9.5E − 1.2817E − 10−2 0.01 29 1.0E − 2.5384E − f − fn∗ Jγ (fn∗ ) L2 (0,T ) Bảng 2.2: Tham số hiệu chỉnh γ , số bước lặp n∗ , sai số f − fn∗ Jγ (fn∗ ) (hàm trọng ω cho theo công thức (2.29)) L2 (0,T ) giá trị phiếm hàm 34 Kết luận Luận văn trình bày lại cách có hệ thống tốn ngược xác định thành phần phụ thuộc thời gian hàm vế phải phương trình truyền nhiệt chiều Chương trình bày số kiến thức không gian Sobolev, khái niệm liên quan toán thuận, toán ngược, toán liên hợp, toán biến phân, định nghĩa nghiệm yếu, rời rạc toán thuận sử dụng phương pháp sai phân Chương đưa cơng thức tính gradient phiếm hàm mục tiêu trường hợp toán liên tục tốn rời rạc, đồng thời tóm tắt lại thuật tốn gradient liên hợp tìm cực tiểu phiếm hàm mục tiêu biết cơng thức gradient Cũng Chương này, số thử nghiệm số thực để minh họa tính đắn thuật toán đề xuất 35 Tài liệu tham khảo [1] Hào D.N., Thành N.T., and Sahli H., Splitting-based gradient method for multi-dimensional inverse conduction problems J Comput Appl Math., 232(2009), 361–377 [2] John Rozier Cannon (1984), The one-dimensional Heat Equation, Addison-Wesley Publishing Company [3] Marchuk G.I., Splitting and alternating direction methods In Ciaglet P G and Lions J L., editors, Handbook of Numerical Mathematics Volume 1: Finite Difference Methods Elsevier Science Publisher B.V., North-Holland, Amsterdam, 1990 [4] Nemirovskii A.S., The regularizing properties of the adjoint gradient method in ill-posed problems Zh vychisl Mat mat Fiz 26(1986), 332–347 Engl Transl in U.S.S.R Comput Maths Math Phys 26:2(1986), 7–16 [5] Oanh, Nguyen Thi Ngoc, Data Assimilation in Heat Conduction, LAP Lambert Academic Publishing, 2019 [6] Oanh, N T N and Huong, B V., Determination of time-dependent term in the right-hand side of linear parabolic equations Acta Math Vietnam 41(2016), 313–335 [7] Trăoltzsch F., Optimal Control of Partial Differential Equations Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2010 ... 16 Chương Bài toán xác định nguồn cho phương trình truyền nhiệt tuyến tính chiều 19 2.1 Bài toán biến phân 20 2.2 Rời rạc toán biến phân 22 2.3 Phương pháp... ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– ĐỖ THỊ TUYẾT NGA BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TUYẾN TÍNH MỘT CHIỀU Chun ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC... k−0 19 Chương Bài tốn xác định nguồn cho phương trình truyền nhiệt tuyến tính chiều Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu tốn tìm lại thành phần phụ thuộc thời gian vế phải phương trình từ quan