Bài toán ngược thời gian cho phương trình ginzburg landau

14 2 Bài toán ngược thời gian cho phương trình loại Ginzburg - Landau trên miền bị chặn 15 2.1 Bài toán cho lớp hàm Lipschitz địa phương... Trong tài liệu [3], Ames kiểm tra sự phụ thuộc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÙI THANH DUY

BÀI TOÁN NGƯỢC THỜI GIAN CHO PHƯƠNG

TRÌNH GINZBURG-LANDAU

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Tp Hồ Chí Minh, năm 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÙI THANH DUY

BÀI TOÁN NGƯỢC THỜI GIAN CHO PHƯƠNG

TRÌNH GINZBURG-LANDAU

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số chuyên ngành: 62 46 01 01Phản biện 1: PGS TS MAI ĐỨC THÀNH

Phản biện 2: PGS TS NGUYỄN BÍCH HUY

Phản biện 3: TS BÙI LÊ TRỌNG THANH

Phản biện độc lập 1: GS TSKH ĐINH NHO HÀO

Phản biện độc lập 2: TS NGUYỄN XUÂN TRƯỜNG

Cán bộ hướng dẫn:

GS TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG

Tp Hồ Chí Minh, năm 2015

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi và các đồng nghiệp Các kết quả trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì một công trình nào khác.

Nghiên cứu sinhBùi Thanh Duy

và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình học tập và nghiên cứu của tôi.

Tôi muốn gửi những tình cảm thân thương nhất đến đại gia đình của tôi, nhữngngười đã luôn luôn lo lắng, động viên và giúp đỡ tôi về mọi mặt, nhất là về mặt tinhthần để tôi học tập tốt

Cuối cùng, cho tôi gửi lời cám ơn đến những người bạn trong nhóm nghiên cứu đãcùng tôi học tập, cùng tôi tháo gỡ những vướng mắc trong quá trình học và làm luậnán

Nghiên cứu sinhBùi Thanh Duy

Mục lục

1.1 Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh và sự chỉnh hóa 7

1.2 Hàm số Lipschitz toàn cục, địa phương 8

1.3 Miền có biên Lipschitz 8

1.4 Không gian H ¨older 9

1.5 Điểm bất động và nguyên lí ánh xạ co 9

1.6 Biến đổi Fourier 10

1.7 Một số bất đẳng thức thường dùng 10

1.8 Toán tử liên hợp 11

1.9 Toán tử compact và phổ của toán tử compact 12

1.10 Bài toán nửa tuyến tính 12

1.11 Toán tử parabolic - Nguyên lí cực đại 13

1.12 Toán tử elliptic - Nguyên lí cực đại 14

2 Bài toán ngược thời gian cho phương trình loại Ginzburg - Landau trên miền bị chặn 15 2.1 Bài toán cho lớp hàm Lipschitz địa phương 15

2.2 Phương pháp chỉnh hoá 21

2.3 Kết quả chính cho sự chỉnh hóa 24

3 Bài toán ngược thời gian cho phương trình loại Ginzburg - Landau trên miền

3.1 Giới thiệu bài toán 383.2 Kết quả chính cho sự chỉnh hoá 403.3 Ví dụ số 61

4 Bài toán ngược thời gian cho phương trình loại Ginzburg - Landau trên miền

Lời nói đầu

Phương trình Ginzburg-Landaulà một phương trình khá nổi tiếng trong lĩnh vực vật

lí Phương trình này được dùng để mô hình hóa nhiều hiện tượng trong vật lí bao gồmchuyển đổi trong những hệ không cân bằng, sự không ổn định trong hệ thủy động lựchọc, sự hỗn loạn hóa học, nhiệt động lực học (xem [26], [33], [40]) Phương trình nàycòn được dùng để mô tả trạng thái của vật chất từ trạng thái siêu dẫn đến trạng tháikhông siêu dẫn (xem [10]) Nhiều nghiên cứu về phương trình loại Ginzburg-Landaudạng thực và phương trình loại Ginzburg-Landau dạng phức tổng quát đã được công

bố (xem [22], [26], [31], [41]) Dạng thực của phương trình Ginzburg-Landau có dạng

ut =∆u+auưbu3,trong đó a ∈ R, b ∈ R+

Trong tài liệu [3], Ames kiểm tra sự phụ thuộc liên tục trênnghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình này trong không gian ba chiều ở bàitoán thuận lẫn bài toán ngược thời gian Để có được những kết quả về sự phụ thuộcliên tục, tác giả sử dụng tính lồi logarit Ngoài ra, một số nghiên cứu về kiểm tínhphụ thuộc liên tục hay cấu trúc ổn định của nghiệm cũng được giới thiệu trong các tàiliệu [6], [7], [9] Một nghiên cứu về phương trình Ginzburg-Landau dạng thực đượcgiới thiệu trong [42] của Ian Melbourne và Guido Schneider năm 2003 Các tác giả xétphương trình

ut =uxx+uưu|u|2,trong đó x ∈ R, t > 0, u(x, t) ∈ C Phương trình này được xét trong mô hình hình

thành các hệ thống phản ứng phân hủy, hệ thống quang học phi tuyến, các bài toánkhí động học, ví dụ như sự đối lưu Rayleigh-Bénard, bài toán Taylor-Couette

Trong luận án này, chúng tôi khảo sát các bài toán ngược (xem [35]) thời gian, bài toán Cauchy cho phương trình loại Ginzburg-Landau Các bài toán này là những bài

toán không chỉnh ở dạng phi tuyến Thực tế cho thấy rằng, bài toán không chỉnh là bài toán

mà hiện nay đang được nhiều nhà khoa học quan tâm do tính chất quan trọng và hữu

ích của chúng Bài toán không chỉnh theo nghĩa của Hadamard là bài toán không thỏa ít

nhất một trong ba tính chất tồn tại, duy nhất và ổn định của nghiệm của phương trình

T x = y trong đó T : X → Y là một ánh xạ có thể tuyến tính hoặc không tuyến tính

và X, Y là hai không gian định chuẩn Nhiều bài toán ở trường hợp tuyến tính đã được

khảo sát và đánh giá rất tốt vì các phương pháp chỉnh hóa cho ra những sai số nhỏ trong

việc tính toán trên các số liệu đo Tuy nhiên, ta vẫn gặp trở ngại trong việc xử lí nhữngtrường hợp phi tuyến trong khi những tài liệu về những trường hợp này chưa nhiều

Ở luận án này, do tính không chỉnh của loại bài toán đang xét, ta cần đưa ra một phépchỉnh hóa thích hợp

Chúng ta sơ lược qua lịch sử của vấn đề Năm 1967, Lattès và Lions đã khảo sát bàitoán thuần nhất sau

(α>0) trong đó A∗là toán tử liên hợp của toán tử A Năm 1975, Bài toán (1)-(2) đượcEwing [18] chỉnh hóa bằng phương trình Sobolev ut+Au+αAut =0 Tương tự, năm

1998, Alekseeva và Yurchuk [2] chỉnh hóa (1)-(2) bằng cách thay phương trình (1) bởi

ut +Au+αAut = 0 và như vậy không cần phải sử dụng toán tử A∗ Bài toán (1)-(2)cũng được xét bởi nhiều tác giả như Huang và Zheng [29], Lavrentiev [36], Miller [43],Payne [45] Năm 1981, Vabishchevish [67] lần đầu chỉnh hoá Bài toán (1)-(2) bởi bàitoán sau

ut+Au =0, t ∈ (0, T),

u(T) +αu(0) = ϕ.Phương pháp nhiễu điều kiện u(T) = ϕ bởi u(T) +αu(0) = ϕ gọi là tựa giá trị biên

(quasi-boundary value) Phương pháp này cũng được Showalter sử dụng trong [49] vàonăm 1983 Từ ý tưởng này, các tác giả trong [14] đã tiến hành chỉnh hóa bài toán (1)-(2)với

bằng cách dùng bài toán xấp xỉ

ut+Au = fα, t∈ (0, T),

u(T) = gε,trong đó 0<α <1 và

Như đã nói trên, mặc dù các kết quả ở những trường hợp tuyến tính mang lại nhiềuứng dụng khoa học, nhu cầu giải quyết những bài toán phi tuyến vẫn có sức ảnh hưởnglớn vì tầm quan trọng của chúng trong thời điểm hiện tại và tương lai đang được chú

ý Năm 2007, các tác giả trong bài báo [56] đã khảo sát một trường hợp phi tuyến củabài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt sau đây

trong đó f là một hàm Lipschitz toàn cục theo biến thứ ba Dưới điều kiện f Lipschitz

toàn cục, một bài toán tổng quát hơn được xét trong [63] như sau

parabolic ngược thời gian dạng phi tuyến và là bài toán không chỉnh Các tác giả tronghai bài báo này đã chỉnh hóa bài toán bằng sự kết hợp giữa phương pháp tựa biên [14]

và phương pháp tựa khả nghịch [37] Đây là hai phương pháp phổ biến và hữu íchtrong nhiều phương pháp chỉnh hóa đã từng được đưa ra trong những năm qua Cónhiều nghiên cứu xoay quanh bài toán nói trên, chẳng hạn như bài toán được giải trênkhông gian hai chiều (nhiều chiều) với toán tử Laplace, bài toán được giải bằng cách

sử dụng biến đổi Fourier hoặc phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier (xem [61], [65]).Năm 2008, một bài toán được xét trong [59] cho trường hợp toán tử Thật vậy, các tácgiả đã chỉnh hoá bài toán

ut+Au =κ(u(t), t), 0<t< T, (3)

với A là là một toán tử không âm, tự liên hợp xác định trên một không gian Hilbert

Hsao cho ưAsinh ra một nửa nhóm compact trên H và κ cũng là một hàm Lipschitz

toàn cục theo biến u Dựa trên những tài liệu thu thập được gần đây, ta nhận thấy rằngtrong các phương pháp được sử dụng để chỉnh hóa bài toán, một số tác giả chỉ áp dụng

cho lớp hàm Lipschitz toàn cục trong khi những bài toán gắn với lớp hàm Lipschitz địa

Lipschitz địa phương được công bố trong [60] Bài toán được xét với t ∈ (0, 1) và hàm

κmang những giả thiết sau

(H1) Với mọi p > 0, tồn tại một hằng số K(p)sao cho hàm κ thỏa điều kiện Lipschitz

địa phương sau

kκ(v1(t), t) ưκ(v2(t), t)kH 6K(p)kv1(t) ưv2(t)kH

với mọi v1(t), v2(t) ∈ H thỏak 1(t)kH,kv2(t)kH 6 p

(H2) Tồn tại một hằng số L sao cho

hκ(v1(t), t) ưκ(v2(t), t), v1(t) ưv2(t)iH +Lkv1(t) ưv2(t)k2H >0

(H3) κ(0, t) =0 với mọi t ∈ (0, 1)

Bài báo này là một bước tiến cho việc tiếp cận với việc chỉnh hóa bài toán ngược thời

gian, bài toán Cauchy cho lớp hàm Lipschitz địa phương, chẳng hạn như κ(u) =

u||u||2H hay κ(u) = u

1+u2 Tuy nhiên bài báo nêu trên vẫn còn hạn chế khi không thể

áp dụng cho những trường hợp cụ thể không thỏa điều kiện (H2), ví dụ như trường

hợp κ(u) = uưu3, κ(u) = ueưu,

Luận án tập trung khắc phục hạn chế nói trên Chúng tôi tập trung khảo sát và

chỉnh hoá bài toán trong trường hợp hàm κ là một hàm Lipschitz địa phương không

cần điều kiện(H2) như trong [60] Một ví dụ điển hình là chỉnh hoá bài toán ngượcthời gian cho phương trình loại Ginzburg-Landau

Ngoài những bài toán parabolic, nhiều bài toán Cauchy cho phương trình ellipticcũng được nghiên cứu và nhận đăng trên những tạp chí toán học quốc tế Ta có thể lấyvài ví dụ điển hình, chẳng hạn như trong [27], các tác giả đã giải bài toán Cauchy chophương trình elliptic thuần nhất

có miền xác định D(A)trù mật với toán tử nghịch đảo compact trong H Trong [64], cáctác giả Tuấn, Trọng và Quân cũng xét một bài toán Cauchy cho phương trình ellipticnhư sau

f(x, y, z)là một hàm Lipschitz toàn cục theo biến z Trong luận án này, bài toán này sẽđược xét với f là một hàm Lipschitz địa phương tương tự như đã nói ở trên với phươngtrình chính là một phương trình loại Ginzburg-Landau Cụ thể, bài toán được xét dướidạng như sau

Ở đâyΩ là một miền bị chặn trong Rn, g1, g2, h là những hàm được cho và A cũng làmột toán tử tự liên hợp xác định trên một không gian con D(A)của L2(Ω).

Nội dung của luận án gồm 5 chương

1 Kiến thức chuẩn bị

2 Bài toán ngược thời gian cho phương trình loại Ginzburg-Landau trên miền bịchặn Chương này trình bày phương pháp chỉnh hoá bài toán ngược thời giancho lớp hàm Lipschitz địa phương trên miền bị chặn và áp dụng khi phươngtrình chính có dạng Ginzburg-Landau Các phương pháp chỉnh hoá sử dụng làphương pháp tựa biên, tựa khả nghịch, khai triển Fourier

3 Bài toán ngược thời gian cho phương trình loại Ginzburg-Landau trên miền bịchặn với hệ số bị nhiễu Chương này chứa nội dung của bài báo khoa học [54].Đây một bước nối tiếp cho công trình của Ames trong [3], sử dụng ý tưởng củaphương pháp tựa biên mà Ames đề cập trong [8] để chỉnh hóa cho bài ngượcthời gian đối với phương trình loại Ginzburg-Landau khi các hệ số bị nhiễu đồngthời khảo sát tính phụ thuộc của nghiệm theo các mẫu tham số Bài báo này đượctrình bày sơ lược ở Hội nghị Toán học toàn quốc tháng 08 năm 2013

4 Bài toán ngược thời gian cho phương trình loại Ginzburg-Landau trên miềnkhông bị chặn Chương này chứa nội dung của bài báo khoa học [55] Đây làmột bước mở rộng cho hai nội dung ở Chương 2 và 3 khi bài toán được chỉnh hóabằng cách dùng biến đổi Fourier trênRn

5 Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic loại Ginzburg-Landau với hệ số bịnhiễu Nội dung chương này trình bày phép chỉnh hóa một bài toán Cauchy cholớp hàm Lipschitz địa phương mà cụ thể là bài toán điều kiện đầu cho phươngtrình elliptic loại Ginzburg-Landau Bài toán được chỉnh hoá bằng phương phápchặt cụt chuỗi Fourier

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Cho X và Y là hai không gian định chuẩn,T : X →Ylà một ánh xạ (có thể tuyến tínhhoặc không tuyến tính) Cho y ∈ Y, xét bài toán tìm x ∈ X sao cho Tx = y Bài toán

được gọi là chỉnh (xem [35], p 10) nếu thỏa

1 Sự tồn tại nghiệm: Với mỗi y thuộc Y, có ít nhất một x thuộc X sao choT x=y

2 Sự duy nhất nghiệm: Với mỗi y thuộc Y, có nhiều nhất một x sao choT x=y

3 Tính ổn định: Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào dữ liệu y, tức là với mọi dãy

(xn) ⊂ Xsao choTxn → T xthì xn → x

Bài toán không chỉnh là bài toán không thỏa ít nhất một trong ba tính chất trên Trênthực tế, dữ liệu y ∈ Ykhó có thể biết chính xác được Do đó ta giả sử rằng có một sai

số δ >0 đủ bé và yδ ∈ Ysao choky−yδkY 6δ Mục tiêu đặt ra là từ yδ ∈ Y, ta tìm xδ

tiến về x càng gần càng tốt khi δ → 0 Do đó, ta cần xây dựng một toán tử chỉnh hoá R

cho toán tửT−1 : T (X) →Y

Giả sử T cóT−1 : T (X) ⊂Y →Xkhông liên tục, y∈ T (X)là dữ liệu chính xác và

x ∈ Xlà nghiệm chính xác tương ứng thỏa Tx =y Với yδ ∈ Ylà dữ liệu không chínhxác của y, ta tìm một nghiệm "ổn định" xδ ∈ X gọi là nghiệm chỉnh hoá (nghiệm xấp xỉ) cho bài toán Cho δ1 >0 và gọiO là một lân cận của y trong Y Ta xây dựng một toán

tử liên tục R :O × (0, δ1] → X, gọi là toán tử chỉnh hoá sao cho

i R liên tục trênO × (0, δ1]

ii R(Av, δ) →vkhi δ→0+với mọi Av ∈ O(xem [52], p 45-46).

Từ i, ii, ta chứng minh tồn tại một hàm α :=α(δ), gọi là tham số chỉnh hóa thỏa

lim

δ→ 0 +α(δ) = 0, lim

δ→ 0 +kR(yδ , α(δ)) −x X =0với mọi yδ ∈Ythỏa

ky−yδkY 6δ

Vậy sự chỉnh hóa là sự xây dựng toán tử chỉnh hoá và tìm tham số chỉnh hoá.

Cho X, Y là hai không gian Banach

i Hàm số f : X →Yđược gọi là Lipschitz toàn cục nếu tồn tại ω>0 sao cho

||f(x) − f(y)||Y 6ω||x−y||X,với mọi x, y∈ X

ii Hàm số f : X → Y được gọi là Lipschitz địa phương nếu với mọi M > 0, tồn tại

ω(M) >0 sao cho

||f(x) − f(y)||Y 6ω(M)||x−y||X,

với mọi x, y∈ Xthỏa||x||X,||y||X 6 M

Cho Ω là một miền trong Rn Gọi ∂Ω là biên của Ω Ω gọi là có biên Lipschitz (xem

[15], p 34) nếu với mọi điểm x ∈ ∂Ω, tồn tại r > 0 và một song ánh hx : B(x, r) → Qsao cho

ii hxvà h−x1là những hàm Lipschitz toàn cục

iii hx(∂Ω∩B(x, r)) =Q0

iv hx(Ω∩B(x, r)) =Q+,

và chuẩn γ- H¨older của f là

Cho f là một ánh xạ đi từ một không gian Banach X vào chính nó Điểm x ∈ X được

gọi là một điểm bất động của f nếu f(x) = x

Định lí 1.5.1 (Nguyên lí ánh xạ co) Cho X là một không gian Banach và f : X → X là

một ánh xạ sao cho fk là một ánh xạ co với một k > 1 Nghĩa là tồn tại số q ∈ [0, 1) sao cho

k(x) − fk(y)

X 6 qkx−ykX,∀x, y ∈ X Lúc này, f có duy nhất điểm bất động x ∈ X

(xem [34], p 41-44).

1.6 Biến đổi Fourier

Cho hàm f ∈ L1(Rn) Hàm bf được định nghĩa bởi

L 2 (Rn ) = ef

L 2 (Rn ) =kfkL2 (Rn )

(xem [19], p 183).

Định lí 1.7.1 (Bất đẳng thức Gronwall dạng 1) Cho g là một hàm khả tích, không âm trên

[0, T]đồng thời thỏa bất đẳng thức sau

Định lí 1.7.2 (Bất đẳng thức Gronwall dạng 2) Cho g là một hàm khả tích, không âm trên

[0, T]đồng thời thỏa bất đẳng thức sau

h.k.n trên[0, T], trong đó A, B là các hằng số không âm Khi đó, ta có

Cho X là một không gian vectơ trênR Ta gọi một dạng tuyến tính là một ánh xạ tuyến

tính xác định trên X hoặc trên một không gian vectơ con của X, với giá trị trongR Giả

sử X là một không gian định chuẩn Ta kí hiệu X0 là đối ngẫu của X tức là không gian

các dạng tuyến tính và liên tục trên X X0 có chuẩn đối ngẫu

kfkX0 = sup

x ∈ X, k k6 1

| (x)|

Khi f ∈ X0và x ∈ X, ta kí hiệuhf , xithay vì f(x)(xem [12], p 1-3)

Cho X, Y là các không gian Banach Một toán tử tuyến tính không bị chặn A : D(A) ⊂

X →Ylà một ánh xạ tuyến tính xác định trên không gian vectơ con D(A)của X D(A)

gọi là miền xác định của A Giả sử A có D(A) trù mật, ta định nghĩa toán tử liên hợp

của A như sau Phần tử y ∈Ygọi là thuộc về D(A∗)nếu tồn tại z ∈ Xsao cho

hAx, yi = hx, zi,∀x ∈ D(A).Khi đó ta kí hiệu z = A∗y và gọi A∗ : D(A∗) ⊂ Y0 → X0 là toán tử liên hợp của A Ta

có hệ thức cơ bản sau đây giữa A và A∗

hAu, vi = hu, A∗vi

với mọi u∈ D(A), v ∈ D(A∗) Nếu X =Y, D(A) = D(A∗), A= A∗thì ta nói A tự liênhợp

1.9 Toán tử compact và phổ của toán tử compact

Cho X, Y là hai không gian định chuẩn và A : X → Y là một toán tử tuyến tính, bị

chặn Ta nói toán tử A là compact nếu nó biến mọi tập bị chặn S trong X thành một tập

tương đối compact A(S)trong Y Xét A : X → Xlà một toán tử tuyến tính Phổ σ(A)

được định nghĩa là tập hợp các số thực (phức) λ sao cho toán tử A−λI không có toán

tử nghịch đảo bị chặn trên X Ở đây, I là toán tử đồng nhất Số λ ∈ σ(A)được gọi là

giá trị riêngcủa A nếu A−λI không là song ánh Nếu λ là một giá trị riêng thì nghiệm

xkhông tầm thường của phương trình Ax−λx=0 gọi là vectơ riêng của A (xem [35],

p 239)

Định lí 1.9.1 Cho X là một không gian Hilbert và A : X →X là một toán tử compact, tự liên

hợp Lúc này ta có phổ của A bao gồm các giá trị riêng và có thể bằng 0 Mọi giá trị riêng của

A đều là số thực A có tối thiểu một nhưng nhiều nhất một họ đếm được các giá trị riêng với 0

là điểm tụ duy nhất có thể Giả sử các giá trị riêng được sắp xếp như sau

|λ1| > |λ2| > |λ3| > >0

và kí hiệu Pj : X → N (A−λjI) = {x ∈ X : Ax = λjx là phép chiếu trực giao lên không gian các vectơ riêng ứng với λj Nếu A chỉ tồn tại một số hữu hạn λ1, , λm các giá trị riêng thì

i f(0) =0.

ii Với mọi M>0, tồn tại ω(M) >0 sao cho

||f(u) − f(v)||X 6ω(M)||u−v||X,

với mọi u, v∈ Xthỏa||u||X,||v||X 6 M

Giả sửΩ là một miền bị chặn trong Rn và có biên liên tục Lipschitz Xét bài toán tìm

Định lí 1.10.1 Với mọi u0 ∈ X, tồn tạiT (u0) > 0 để bài toán trên có nghiệm duy nhất với

mọi T ∈ (0,T (u0)) Hơn nữa, nếu T (u0) < ∞ thì lim

t →T ( u 0 )

ku(., t)kX = ∞ (xem [53], p.

62-64).

ChoΩ là một miền trong Rn + 1 Với mỗi t0cho trước, ta định nghĩa tập ω(t0)là tập hợpcác điểm(x, t0) ∈ Ω và I(Ω)là tập hợp các điểm t sao cho ω(t)khác rỗng Giả sử P làmột toán tử xác định trên C2,1(Ω)được cho bởi

Định lí 1.11.1 Cho u ∈ C2,1(Ω) ∩C(Ω) và P là một toán tử parabolic tại u trên Ω Giả sử

1

!,

trong đóPΩ là tập hợp những điểm x0 ∈ ∂ Ω sao cho với mọi ε>0,{x ∈ Rn + 1 : |x−x0| <

ε, t < t0} chứa những điểm không nằm trong Ω Tập hợp này còn được gọi là biên parabolic

(xem [38], p 214).

Cho

Qu =aij(x, u, Du)Diju+b(x, u, Du), aij =aji,trong đó x = (x1, , xn)nằm trong miền Ω của Rn với n > 2 và u ∈ C2(Ω) Các hệ sốcủa Q, các hàm aij(x, z, p), i, j=1, , n, b(x, z, p)là các hàm xác định trênΩ×R×Rn

Q được gọi là elliptic trên một tập con U của Ω×R×Rn nếu các hệ số của ma trận

[aij(x, z, p)] xác định dương với mọi (x, z, p) ∈ U Lúc này, ta chỉ nói đơn giản là Q

elliptictrênΩ (xem [25], p 259)

Định lí 1.12.1 Cho Q là một toán tử elliptic trên miền Ω của Rn (n>2) Giả sử rằng có hai hằng số µ1, µ2không âm sao cho

Chương 2

Bài toán ngược thời gian cho phương trình loại Ginzburg - Landau trên miền

bị chặn

ChoΩ là một miền bị chặn trong Rn với biên liên tục Lipschitz Giả sử a ∈ R, b ∈ R+

là hai tham số tuỳ ý và h ∈ L∞(Ω× [0, T]) là một hàm cho trước Ta xét bài toán sauđây

ChoΩ là một miền bị chặn trong Rn Ta xét A : D(A) → L2(Ω) là một toán tử tự liênhợp xác định trên một không gian con trù mật D(A)của L2(Ω) Giả sử rằnghAu, ui 6

0,∀u ∈ D(A) và A có một cơ sở trực chuẩn các hàm riêng {ϕn} trong L2(Ω)ứng vớicác trị riêng{λn}sao cho Aϕn =λnϕn Ta giả sử

0>λ1 >λ2 >λ3> > lim

n →+ ∞λn = −∞

Xét bài toán tìm hàm u ∈C([0, T]; L2(Ω)) ∩C1 (0, T]; L2(Ω) sao cho

f(x, t, u) − f(x, t, v)

u−v

: |u|,|v| 6$, u6= v,(x, t) ∈Rn× [0, T]

.Suy ra

| (x, t, u) − f(x, t, v)| 6K($)|u−v|,∀(x, t) ∈Ω× [0, T],∀|u|,|v| 6$

Ở đây, K là một hàm không giảm theo $.

Lấy tích vô hướng trong L2(Ω)với ϕn ở hai vế của (2.4), ta được

hut, ϕniL2 ( Ω ) =hAu, ϕniL2 ( Ω )+hf(., t, u), ϕniL2 ( Ω )

Vì A tự liên hợp và Aϕn =λnϕnnên ta suy ra

d

dthu, ϕniL2(Ω) =λnhu, ϕniL2(Ω)+hf(., t, u), ϕniL2(Ω).Đặt

0 6 z 6 T

kf(., z, u(., z))kL2 ( Ω )

Để thu được các đánh giá trên, ta cần thêm giả thiết là f ∈ C([0, T]; L2(Ω)) và giả sử

|ϕn(x)| 6 bL,∀n (Điều này hợp lí vì trong trường hợp toán tử∆, các hàm riêng là cáchàm lượng giác sin hoặc cos) Như vậy, từ các đánh giá trên, ta suy ra

... nhiên, Bài toán (2.1)-(2.3),hàm f lại hàm Lipschitz địa phương Đây khó khăn cần phải giải quyếtkhi muốn sử dụng phương pháp tựa khả nghịch tựa biên cho lớp hàm Gần đây,trong [60], tác giả cho đời phương. .. chưa thỏa mãn cho số trường hợp, chẳnghạn f(u) = auưbu3(b > 0)của phương trình Ginzburg- Landau Do đó, để giảiquyết khuyết điểm này, đưa xấp xỉ f để chỉnh hóa cho dạngbài với lớp hàm... M hai tham số chỉnh hóa chọn cho α → 0+ fM → f

M → +∞ Bài toán (2.11) toán xấp xỉ Bài toán (2.6) mà từ ta xâydựng nghiệm chỉnh hóa cho (2.4)-(2.5)

Ta kí