Bài toán ngược thời gian cho phương trình ginzburg landau

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÙI THANH DUY BÀI TOÁN NGƯỢC THỜI GIAN CHO PHƯƠNG TRÌNH GINZBURG-LANDAU LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tp Hồ Chí Minh, năm 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÙI THANH DUY BÀI TOÁN NGƯỢC THỜI GIAN CHO PHƯƠNG TRÌNH GINZBURG-LANDAU Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số chuyên ngành: 62 46 01 01 Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Phản biện độc lập 1: Phản biện độc lập 2: PGS TS MAI ĐỨC THÀNH PGS TS NGUYỄN BÍCH HUY TS BÙI LÊ TRỌNG THANH GS TSKH ĐINH NHO HÀO TS NGUYỄN XUÂN TRƯỜNG Cán hướng dẫn: GS TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Tp Hồ Chí Minh, năm 2015 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu đồng nghiệp Các kết luận án trung thực chưa công bố công trình khác Nghiên cứu sinh Bùi Thanh Duy Lời cảm ơn Đầu tiên, xin tri ân Thầy hướng dẫn GS TS Đặng Đức Trọng nhiệt tình giảng dạy động viên suốt trình làm luận án Bên cạnh đó, xin gửi lòng biết ơn đến tất quý Thầy (Cô) hội đồng phản biện đóng góp nhận xét quý báu cho luận án Xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, quý Thầy (Cô) làm việc Phòng Sau đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi thủ tục hành giúp hoàn thành khóa học bảo vệ luận án Xin gửi lòng biết ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng Tổ chức nhân sự, Khoa Khoa học trường Đại học Kiến trúc Thành phố Hồ Chí Minh hỗ trợ mặt tài tạo điều kiện thuận lợi trình học tập nghiên cứu Tôi muốn gửi tình cảm thân thương đến đại gia đình tôi, người luôn lo lắng, động viên giúp đỡ mặt, mặt tinh thần để học tập tốt Cuối cùng, cho gửi lời cám ơn đến người bạn nhóm nghiên cứu học tập, tháo gỡ vướng mắc trình học làm luận án Nghiên cứu sinh Bùi Thanh Duy Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Bài toán chỉnh, toán không chỉnh chỉnh hóa 1.2 Hàm số Lipschitz toàn cục, địa phương 1.3 Miền có biên Lipschitz 1.4 Không gian Holder ¨ 1.5 Điểm bất động nguyên lí ánh xạ co 1.6 Biến đổi Fourier 10 1.7 Một số bất đẳng thức thường dùng 10 1.8 Toán tử liên hợp 11 1.9 Toán tử compact phổ toán tử compact 12 1.10 Bài toán nửa tuyến tính 12 1.11 Toán tử parabolic - Nguyên lí cực đại 13 1.12 Toán tử elliptic - Nguyên lí cực đại 14 Bài toán ngược thời gian cho phương trình loại Ginzburg - Landau miền bị chặn 15 2.1 Bài toán cho lớp hàm Lipschitz địa phương 15 2.2 Phương pháp chỉnh hoá 21 2.3 Kết cho chỉnh hóa 24 Bài toán ngược thời gian cho phương trình loại Ginzburg - Landau miền bị chặn với hệ số bị nhiễu 38 3.1 Giới thiệu toán 38 3.2 Kết cho chỉnh hoá 40 3.3 Ví dụ số 61 Bài toán ngược thời gian cho phương trình loại Ginzburg - Landau miền không bị chặn 69 4.1 Giới thiệu toán 69 4.2 Kết cho chỉnh hóa 71 Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic loại Ginzburg-Landau với hệ số bị nhiễu 82 5.1 Giới thiệu toán 82 5.2 Kết cho chỉnh hóa 87 Phần kết luận 99 Công trình khoa học tác giả 100 Tài liệu tham khảo 101 Danh sách kí hiệu Kí hiệu tập hợp N R R+ C Kí hiệu đạo hàm u = u(t) = u( x, t) ∂u ut = u (t) = ∂t ∂2 u utt = u (t) = ∂t ∂u ux = ∂x ∂2 u u xx = ∂x Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số thực Tập hợp số thực dương Tập hợp số phức Lời nói đầu Phương trình Ginzburg-Landau phương trình tiếng lĩnh vực vật lí Phương trình dùng để mô hình hóa nhiều tượng vật lí bao gồm chuyển đổi hệ không cân bằng, không ổn định hệ thủy động lực học, hỗn loạn hóa học, nhiệt động lực học (xem [26], [33], [40]) Phương trình dùng để mô tả trạng thái vật chất từ trạng thái siêu dẫn đến trạng thái không siêu dẫn (xem [10]) Nhiều nghiên cứu phương trình loại Ginzburg-Landau dạng thực phương trình loại Ginzburg-Landau dạng phức tổng quát công bố (xem [22], [26], [31], [41]) Dạng thực phương trình Ginzburg-Landau có dạng ut = ∆u + au − bu3 , a ∈ R, b ∈ R+ Trong tài liệu [3], Ames kiểm tra phụ thuộc liên tục nghiệm toán Cauchy cho phương trình không gian ba chiều toán thuận lẫn toán ngược thời gian Để có kết phụ thuộc liên tục, tác giả sử dụng tính lồi logarit Ngoài ra, số nghiên cứu kiểm tính phụ thuộc liên tục hay cấu trúc ổn định nghiệm giới thiệu tài liệu [6], [7], [9] Một nghiên cứu phương trình Ginzburg-Landau dạng thực giới thiệu [42] Ian Melbourne Guido Schneider năm 2003 Các tác giả xét phương trình ut = u xx + u − u|u|2 , x ∈ R, t 0, u( x, t) ∈ C Phương trình xét mô hình hình thành hệ thống phản ứng phân hủy, hệ thống quang học phi tuyến, toán khí động học, ví dụ đối lưu Rayleigh-Bénard, toán Taylor-Couette Trong luận án này, khảo sát toán ngược (xem [35]) thời gian, toán Cauchy cho phương trình loại Ginzburg-Landau Các toán toán không chỉnh dạng phi tuyến Thực tế cho thấy rằng, toán không chỉnh toán mà nhiều nhà khoa học quan tâm tính chất quan trọng hữu ích chúng Bài toán không chỉnh theo nghĩa Hadamard toán không thỏa ba tính chất tồn tại, ổn định nghiệm phương trình T x = y T : X → Y ánh xạ tuyến tính không tuyến tính X, Y hai không gian định chuẩn Nhiều toán trường hợp tuyến tính khảo sát đánh giá tốt phương pháp chỉnh hóa cho sai số nhỏ việc tính toán số liệu đo Tuy nhiên, ta gặp trở ngại việc xử lí trường hợp phi tuyến tài liệu trường hợp chưa nhiều Ở luận án này, tính không chỉnh loại toán xét, ta cần đưa phép chỉnh hóa thích hợp Chúng ta sơ lược qua lịch sử vấn đề Năm 1967, Lattès Lions khảo sát toán sau ut + Au = 0, t ∈ (0, T ), (1) (2) u( T ) = ϕ, ϕ hàm cho trước Các tác giả chỉnh hóa toán cách nhiễu toán tử A Phương pháp gọi tựa khả nghịch (quasi-reversibility) Ý tưởng cốt lõi phương pháp nhiễu phương trình toán không chỉnh để toán chỉnh Sau dùng nghiệm toán chỉnh xấp xỉ nghiệm toán không chỉnh Trong tài liệu Lattès Lions, tác giả chỉnh hóa toán cách thêm vào phương trình yếu tố sau ut + Au − αA∗ Au = (α > 0) A∗ toán tử liên hợp toán tử A Năm 1975, Bài toán (1)-(2) Ewing [18] chỉnh hóa phương trình Sobolev ut + Au + αAut = Tương tự, năm 1998, Alekseeva Yurchuk [2] chỉnh hóa (1)-(2) cách thay phương trình (1) ut + Au + αAut = không cần phải sử dụng toán tử A∗ Bài toán (1)-(2) xét nhiều tác Huang Zheng [29], Lavrentiev [36], Miller [43], Payne [45] Năm 1981, Vabishchevish [67] lần đầu chỉnh hoá Bài toán (1)-(2) toán sau ut + Au = 0, t ∈ (0, T ), u( T ) + αu(0) = ϕ Phương pháp nhiễu điều kiện u( T ) = ϕ u( T ) + αu(0) = ϕ gọi tựa giá trị biên (quasi-boundary value) Phương pháp Showalter sử dụng [49] vào năm 1983 Từ ý tưởng này, tác giả [14] tiến hành chỉnh hóa toán (1)-(2) với ut + Au = 0, t ∈ (0, T ), u( T ) + αu(0) = ϕ Mở rộng cho phương pháp tựa biên, Denche Abdessemed (xem [16]) khảo sát chỉnh hóa toán không sau ut + Au = f , t ∈ (0, T ), u( T ) = g, cách dùng toán xấp xỉ ut + Au = f α , t ∈ (0, T ), u ( T ) = gε , < α < fα = e −λk T ∑ αλ p + e−λk T f k ϕk , k k gε = e −λk T ∑ p − λ k T gk ϕ k k αλk + e Một toán không khác công bố [57], [58] Như nói trên, kết trường hợp tuyến tính mang lại nhiều ứng dụng khoa học, nhu cầu giải toán phi tuyến có sức ảnh hưởng lớn tầm quan trọng chúng thời điểm tương lai ý Năm 2007, tác giả báo [56] khảo sát trường hợp phi tuyến toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt sau    ut − u xx = f ( x, t, u( x, t)), ( x, t) ∈ (0, π ) × (0, T ), u(0, t) = u(π, t) = 0, t ∈ (0, T ),   u( x, T ) = ϕ( x ), x ∈ (0, π ), f hàm Lipschitz toàn cục theo biến thứ ba Dưới điều kiện f Lipschitz toàn cục, toán tổng quát xét [63] sau    ut − ∆u = f ( x, t, u( x, t)), ( x, t) ∈ Ω × (0, T ), u|∂Ω = 0, t ∈ (0, T ),   u( x, T ) = ϕ( x ), x ∈ Ω, Ω miền bị chặn Rn với biên ∂Ω Hai toán toán parabolic ngược thời gian dạng phi tuyến toán không chỉnh Các tác giả hai báo chỉnh hóa toán kết hợp phương pháp tựa biên [14] phương pháp tựa khả nghịch [37] Đây hai phương pháp phổ biến hữu ích nhiều phương pháp chỉnh hóa đưa năm qua Có nhiều nghiên cứu xoay quanh toán nói trên, chẳng hạn toán giải không gian hai chiều (nhiều chiều) với toán tử Laplace, toán giải cách sử dụng biến đổi Fourier phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier (xem [61], [65]) Năm 2008, toán xét [59] cho trường hợp toán tử Thật vậy, tác giả chỉnh hoá toán ut + Au = κ (u(t), t), u( T ) = ϕ, < t < T, (3) (4) Mệnh đề 5.2.7 √ uε,δ ( g1 , g2 , a, b)(., y) − uε,δ ( g1 , g2 , aδ , bδ )(., y) c A( M ) = L2 ( Ω ) M + M3 , C ( M, δ) = (−λ1 ) δA( M)C ( M, δ)e N (ε,δ)y , (5.13) )] cy[K ( M, δ)2 ] cy[2K(−( M,δ λ1 ) e 1+ 2(−λ1 ) 2 K ( M, δ) = (| aδ | + 3bδ M2 ) Chứng minh Đặt a ,b a,b S1,M,n (ε, δ)(z) = a,b δ δ (uε,δ ( g1 , g2 , aδ , bδ ))(z) , f M,n (uε,δ ( g1 , g2 , a, b))(z) − f M,n a,b S2,M,n (ε, δ)(z) = a,b δ δ (uε,δ ( g1 , g2 , aδ , bδ ))(z) , f M,n (uε,δ ( g1 , g2 , a, b))(z) − f M,n a,b S3,M,n (ε, δ)(z) = δ δ δ δ f M,n (uε,δ ( g1 , g2 , a, b))(z) − f M,n (uε,δ ( g1 , g2 , aδ , bδ ))(z) , a ,b a ,b a ,b ta có uε,δ ( g1 , g2 , a, b)(., y) − uε,δ ( g1 , g2 , aδ , bδ )(., y) 2L2 (Ω)  y 2 √ sinh[ −λn (y − z)] a,b √ S1,M,n (ε, δ)(z) dz ∑  − λ n −λn N (ε,δ) 2  y √ √ N (ε,δ)y − N (ε,δ)z e e a,b √ S1,M,n (ε, δ)(z) dz ∑  − λ −λn N (ε,δ)  y  √ √ N (ε,δ)y ye  e−2 N (ε,δ)z S a,b (ε, δ)(z) dz ∑ 1,M,n 4(−λ1 ) −λ N (ε,δ) n √ y √ ye2 N (ε,δ)y a,b −2 N (ε,δ)z e S1,M (ε, δ)(., z) dz 4(−λ1 ) L (Ω) √ y √ ye2 N (ε,δ)y a,b e−2 N (ε,δ)z S2,M (ε, δ)(., z) dz 4(−λ1 ) L (Ω) √ y √ ye2 N (ε,δ)y a,b (ε, δ)(., z) dz + e−2 N (ε,δ)z S3,M 4(−λ1 ) L (Ω) a,b Vì S2,M,n (ε, δ)( x, z) e −2 √ M + M3 δ, ∀( x, z) ∈ Ω × [0, c], ta thu N (ε,δ)y uε,δ ( g1 , g2 , a, b)(., y) − uε,δ ( g1 , g2 , aδ , bδ )(., y) L2 ( Ω ) 92 c M + M3 4(−λ1 ) c 4(−λ1 ) + c 4(−λ1 ) c2 + Đặt A( M) = e −2 √ 4(−λ1 ) c y e −2 √ y δ e −2 √ N (ε,δ)z dz N (ε,δ)z a,b S3,M (ε, δ)(., z) y e −2 √ N (ε,δ)z a,b S3,M (ε, δ)(., z) M + M3 2 L2 ( Ω ) L2 ( Ω ) dz dz δ2 M + M3 , ta có (−λ1 ) N (ε,δ)y c[K ( M, δ)]2 4(−λ1 ) L2 ( Ω ) uε,δ ( g1 , g2 , a, b)(., y) − uε,δ ( g1 , g2 , aδ , bδ )(., y) y e −2 √ N (ε,δ)z uε,δ ( g1 , g2 , a, b)(., z) − uε,δ ( g1 , g2 , aδ , bδ )(., z) L2 ( Ω ) dz 2 + A( M) δ , với K ( M, δ) = (| aδ | + 3bδ M2 ) Dùng bất đẳng thức Gronwall ta (5.13) Mệnh đề 5.2.8 Ta có đánh giá uε,δ ( g1 , g2 , a, b)(., y) − uε,δ ( g1ε , g2ε , aδ , bδ )(., y) √ 2C ( M ) g1 − g1ε √ + δA( M)C ( M, δ)e C ( M) = L2 ( Ω ) N (ε,δ)y + L2 ( Ω ) √ (−λ1 ) C ( M) g2 − g2ε L2 ( Ω ) N (ε,δ)y , (5.14) , K ( M )] cy[K ( M)]2 cy2[(− λ1 ) 1+ e 2(−λ1 ) e 2 C ( M, δ) = )] cy[K ( M, δ)]2 cy[2K(−( M,δ λ1 ) 1+ e 2(−λ1 ) Chứng minh Ta suy từ bất đẳng thức tam giác uε,δ ( g1 , g2 , a, b)(., y) − uε,δ ( g1ε , g2ε , aδ , bδ )(., y) uε,δ ( g1 , g2 , a, b)(., y) − uε,δ ( g1ε , g2 , a, b)(., y) + L2 ( Ω ) L2 ( Ω ) uε,δ ( g1ε , g2 , a, b)(., y) − uε,δ ( g1ε , g2ε , a, b)(., y) L2 ( Ω ) 93 + uε,δ ( g1ε , g2ε , a, b)(., y) − uε,δ ( g1ε , g2ε , aδ , bδ )(., y) L2 ( Ω ) Từ Mệnh đề 5.2.5, Mệnh đề 5.2.6, Mệnh đề 5.2.7, ta suy uε,δ ( g1 , g2 , a, b)(., y) − uε,δ ( g1ε , g2ε , aδ , bδ )(., y) L2 (Ω) √ √ 2C ( M) g1 − g1ε L2 (Ω) e N (ε,δ)y + C ( M) g2 − g2ε (−λ1 ) √ + δA( M)C ( M, δ)e N (ε,δ)y √ L2 ( Ω ) e N (ε,δ)y Do đó, ta có đánh giá (5.14) Mệnh đề 5.2.9 Giả sử có số E > cho +∞ ∑ (−λn )e2 √ −λn y u( g1 , g2 , a, b)(., y), ϕn n =1 L2 ( Ω ) E2 u(., 0), u(., c) ∈ L∞ (Ω) Với ε, δ > đủ nhỏ, ta có u( g1 , g2 , a, b)(., y) − uε,δ ( g1 , g2 , a, b)(., y) √ L2 ( Ω ) 2EC ( M ) e− √ N (ε,δ)y N (ε, δ) (5.15) a,b a,b Chứng minh Đặt Ψ a,b M,n ( ε, δ )( z ) = f n ( u ( g1 , g2 , a, b ))( z ) − f M,n ( uε,δ ( g1 , g2 , a, b ))( z ), ta có u( g1 , g2 , a, b)( x, y) − uε,δ ( g1 , g2 , a, b)( x, y)   y √ sinh[ −λn (y − z)]  √ Ψ a,b = ∑  M,n ( ε, δ )( z ) dz ϕn ( x ) − λ n −λn N (ε,δ) √ sinh( −λn y) √ + g2,n ϕn ( x ) ∑ cosh( −λn y) g1,n ϕn (x) + ∑ −λn −λn >N (ε,δ) −λn >N (ε,δ)  y  √ sinh[ −λn (y − z)] a,b √ f n (u( g1 , g2 , a, b))(z) + hn (z) dz ϕn ( x ) + ∑  − λ n −λn >N (ε,δ) Suy u( g1 , g2 , a, b)(., y) − uε,δ ( g1 , g2 , a, b)(., y) 2L2 (Ω)  y 2 √ sinh[ −λn (y − z)]  √ Ψ a,b ∑  M,n ( ε, δ )( z ) dz − λ n −λn N (ε,δ) 94 √ √ −2 − λ n y − λ n y ( ε, δ )) e e u( g1 , g2 , a, b)(., y), ϕn (N ∑ N (ε, δ) −λ >N (ε,δ) n √ √ 2e−2 N (ε,δ)y +∞ −λn y λ e u( g1 , g2 , a, b)(., y), ϕn 2L2 (Ω) (− ) n N (ε, δ) n∑ =1  y  √ √ N (ε,δ)y +∞ 2ce  e−2 N (ε,δ)z Ψ a,b (ε, δ)(z) dz + M,n 4(−λ1 ) n∑ =1 + L2 ( Ω ) Vì e −2 2e √ −4 N (ε,δ)y √ N (ε,δ)y +∞ N (ε, δ) +∞ + u( g1 , g2 , a, b)(., y) − uε,δ ( g1 , g2 , a, b)(., y) ∑ (−λn ) e2 n=y1 √ −λn y L2 ( Ω ) u( g1 , g2 , a, b)(., y), ϕn L2 ( Ω )  √ c  e−2 N (ε,δ)z Ψ a,b (ε, δ)(z) dz ∑ M,n 2(−λ1 ) n=1 √ −4 N (ε,δ)y +∞ √ 2e (−λn ) e2 −λn y u( g1 , g2 , a, b)(., y), ϕn ∑ N (ε, δ) n=1 L2 ( Ω ) y √ c a,b + (uε,δ ( g1 , g2 , a, b))(z) e−2 N (ε,δ)z f a,b (u( g1 , g2 , a, b))(z) − f M 2(−λ1 ) √ √ 2e−4 N (ε,δ)y +∞ −λn y λ e u( g1 , g2 , a, b)(., y), ϕn 2L2 (Ω) = (− ) n N (ε, δ) n∑ =1 L2 ( Ω ) dz Bây giờ, ta viết lại phương trình (5.1) sau ∆u + uyy + ( au − bu3 − h) = Dựa vào Mục 1.12, ta thấy phương trình trường hợp đặc biệt phương trình Qu = Q toán tử elliptic Ta ý ( au − bu3 − h)sign(u) = usign(u)( a − bu2 ) − hsign(u) Do đó, Định lí 1.12.1 sup |u( g1 , g2 , a, b)( x, y)| Ω×(0,c) |u| ( a − bu2 ) + |h| µ M0 Vì M → +∞ a,b ε, δ → 0, ta M > M0 ε, δ đủ nhỏ Lúc f M (u( g1 , g2 , a, b)) = f a,b (u( g1 , g2 , a, b)) Suy √ e−2 N (ε,δ)y u( g1 , g2 , a, b)(., y) − uε,δ ( g1 , g2 , a, b)(., y) 2L2 (Ω) 95 √ e−4 N (ε,δ)y E N (ε, δ) y √ c a,b a,b −2 N (ε,δ)z + e fM (u( g1 , g2 , a, b)(z) − f M (uε,δ ( g1 , g2 , a, b)(z) dz 2(−λ1 ) L (Ω) √ e−4 N (ε,δ)y E N (ε, δ) y √ c[K ( M )]2 + e−2 N (ε,δ)z u( g1 , g2 , a, b)(z) − uε,δ ( g1 , g2 , a, b)(z) 2L2 (Ω) dz 2(−λ1 ) Từ bất đẳng thức Gronwall, ta suy (5.15) Chứng minh Định lí 5.2.1 Ta có u( g1 , g2 , a, b)(., y) − uε,δ ( g1ε , g2ε , aδ , bδ )(., y) u( g1 , g2 , a, b)(., y) − uε,δ ( g1 , g2 , a, b)(., y) L2 ( Ω ) L2 ( Ω ) uε,δ ( g1 , g2 , a, b)(., y) − uε,δ ( g1ε , g2ε , aδ , bδ )(., y) + L2 ( Ω ) Do đó, ta thu u( g1 , g2 , a, b)(., y) − uε,δ ( g1ε , g2ε , aδ , bδ )(., y) √ + √ 2C ( M) g1 − g1ε 2EC ( M ) √ e −2 E e −2 √ √ L2 ( Ω ) + L2 ( Ω ) √ (−λ1 ) C ( M) g2 − g2ε √ N (ε,δ)y N (ε, δ) N (ε,δ)y N (ε, δ) + + δA( M)C ( M, δ) e √ 2+ 2(−λ1 ) L2 ( Ω ) e N (ε,δ)y N (ε,δ)y √ ε C ( M ) + δA( M )C ( M, δ) e N (ε,δ)y Như vậy, định lí chứng minh Chứng minh Hệ 5.2.2 Với y c, ta có u( g1 , g2 , aδ , bδ )(., y) − u( g1 , g2 , a, b)(., y) L2 ( Ω ) u( g1 , g2 , aδ , bδ )(., y) − uε,δ ( g1 , g2 , aδ , bδ )(., y) L2 ( Ω ) + uε,δ ( g1 , g2 , aδ , bδ )(., y) − uε,δ ( g1 , g2 , a, b)(., y) L2 ( Ω ) + uε,δ ( g1 , g2 , a, b)(., y) − u( g1 , g2 , a, b)(., y) L2 (Ω) √ − N (ε,δ)y )]2 √ cy[K ( L, δ)]2 cy2[K(−( L,δ e λ1 ) 2E + e 2(−λ1 ) N (ε, δ) 96 + √ 2E + cy[K ( L)]2 2(−λ1 ) e cy[K ( L)]2 2(−λ1 ) e − √ N (ε,δ)y N (ε, δ) √ )]2 cy[K ( L, δ)]2 cy4[K(−( L,δ λ1 ) + δA( L) + e e N (ε,δ)y 4(−λ1 ) √ √ √ e− N (ε,δ)y 2E(C ( L, δ) + C ( L)) + δA( L)C ( L, δ)e N (ε,δ)y N (ε, δ) Chứng minh xong Chứng minh Định lí 5.2.3 Từ Định lí 5.2.1, ta có u( g1 , g2 , a, b)(., y) − u β ( g1β , g2β , a β , bβ )(., y) L2 (Ω)    √  √  √ √ e − − λ N0 ( β ) y  E 2+ + β C ( M) + βA( M)C M,β e N0 ( β)y   2(−λ1 ) − λ N0 ( β ) Ta có + γteγt t, ∀γ > γ lớn Suy A( M) C ( M) với M lớn, A( M) C ( M ) định nghĩa Định lí 5.2.1 Chọn Hβ = max a β + β , 3(bβ + β) Suy Hβ max | a| , 3b, a β , 3bβ Do [K ( M )]2 4Hβ2 M4 , K2M,β 4Hβ2 M4 , ta suy C( M) = 1+  1 + √ √ Tương tự, ta thu C M,β √ 2ln 2e cy[K ( M)]2 2(−λ1 ) 2c2 Hβ2 M4 (−λ1 ) e e cy[K ( M )]2 2(−λ1 ) 2c2 H M4 β (−λ1 ) 1  2c2 H M4 β (−λ1 ) 2ln β β Suy u( g1 , g2 , a, b)(., y) − uε,δ ( g1ε , g2ε , aδ , bδ )(., y) 2E √ + 2+ N ( β ) e N0 ( β ) y 2E √ + Rβln2 N ( β ) e N0 ( β ) y (−λ1 ) β β βln2 + 2βln3 L2 ( Ω ) β + 2βln3 β , 97 Vậy ta hoàn thành phần chứng minh định lí (−λ1 ) Chứng minh Hệ 5.2.4 Hệ suy từ chứng minh Định lí 5.2.3 R = + 98 Phần kết luận Trong luận án này, đưa hai kết Một chỉnh hoá dạng toán phi tuyến cho phương trình parabolic, phương trình elliptic lớp hàm Lipschitz địa phương cách xấp xỉ hàm Lipschitz toàn cục áp dụng cho phương trình loại Ginzburg-Landau Hai khảo sát toán ngược thời gian cho phương trình loại Ginzburg-Landau với hệ số bị nhiễu Hướng phát triển luận án cải tiến đánh giá sai số để có đánh giá tốt mở rộng nghiên cứu cho trường hợp toán với hệ số hàm, trường hợp toán cho phương trình Ginzburg-Landau dạng phức trường hợp toán với liệu ngẫu nhiên 99 Công trình khoa học tác giả D D Trong, B T Duy, N D Minh, The backward problem for Ginzburg-Landautype equation, Acta Mathematica Vietnamica, AMVI-D-13-00116R3, 2014 (gửi ngày 03/12/2013, nhận đăng ngày 04/08/2014) D D Trong, B T Duy, M N Minh, Backward heat equations with locally Lipschitz source, Applicable Analysis, DOI: 10.1080/00036811.2014.963063, 2014 (online ngày 14/10/2014) 100 Tài liệu tham khảo [1] R A Adams, Sobolev spaces, Pure and applied mathematics series, Vol 65, Academic Press, Inc New York, 1975 [2] S M Alekseeva and N I Yurchuk, The quasi-reversibility method for the problem of the control of an initial condition for the heat equation with an integral boundary condition, Diff Equation 34 (4), 493-500, 1998 [3] K A Ames, Continuous dependence on modelling and non-existence results for a Ginzburg-Landau equation, Math Meth Appl Sci., 23, 1537-1550, 2000 [4] K A Ames, G W Clark, J F Epperson and S F Oppenheimer, A comparison of regularizations for an ill-posed problem, Math Comp 67, 1451-1471, 1998 [5] K A Ames, R J Hughes, Structural stability for ill-posed problems in Banach space, Semigroup Forum 70 (1) 127-145, 2005 [6] K A Ames, L E Payne, On stabilizing against moldelling errors in a penetrative convection problem for a porous medium, Math Meth Appl Sci., 4: 733-740, 1994 [7] K A Ames, L E Payne, Continuous dependence results for a problem in penetrative convection, Quart Appl Math., 55: 769-790, 1997 [8] K A Ames, L E Payne, Continuous dependence on modeling for some well-posed perturbations of the backward heat equation, J of Inequal & Appl., Vol 3, pp 51-54, 1999 [9] A D Bennett, Continuous dependence on modelling in the Cauchy problem for elliptic equations Diff Integ Equa., 4:1311-1324, 1991 [10] M R Beasley, Notes on the Ginzburg-Landau theory ICMR Summer school on novel superconductors, University of California, Santa Barbara, 2009 [11] R N Bracewell, The Fourier transform and its applications, New York: McGraw-Hill, 2000 101 [12] H Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential Equations, Springer Science + Business Media, DOI 10.1007/978-0-387-70914-7, LLC 2011 [13] A Carasso, Error bounds in the final value problem for the heat equation, SIAM J Math Anal 7, 195-199, 1976 [14] G W Clark, S F Oppenheimer, Quasireversibility methods for non-well posed problems, Electronic Journal of Differential Equations, No 8, 1-9, 1994 [15] B Dacorogna, Introduction in the calculus of variations, Imperial College Press, 2004 [16] M Denche, A Abdessemed, On regularization and error estimates for nonhomogeneous backward Cauchy problem, Arab Journal of Mathematical Sciences, Vol 18, Issue 2, 149–164, 2012 [17] M Denche, K Bessila, A modified quasi-boundary value method for ill-posed problems, J Math Anal Appl., Vol 301, pp 419-426, 2005 [18] R E Ewing, The approximation of certain parabolic equations backward in time by Sobolev equations, SIAM J Math Anal., Vol 6, No 2, pp 283-294, 1975 [19] L C Evans, Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics, Vol 19, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1998 [20] L N G Filon, On a quadrature formula for trigonometric integrals, Proc Roy Soc Edinburgh, 1928 [21] C L Fu, Z Qian, R Shi, A modified method for a backward heat conduction problem, Applied Mathematics and Computation, 185, 564-573, 2007 [22] J L Gabriel, M St Andrew, Discrete Gevrey regularity, attractor and upper semicontinuity for a finite difference approximation to the Ginzburg-Landau equation, Numer Funct Anal And Optimiz., 16(7&8), 1003-1047, 1995 [23] H J Gao, J Duan, On the initial value problem for the generalized 2D Ginzburg-Landau equation J Math Anal Appl 216, 536–548, 1997 [24] J M Ghidaglia, Some backward uniqueness result, Nonlinear Analysis 10, 777-790, 1986 [25] D Gilbarg, N S Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Springer, 1983 [26] R Graham, T Tell, Potential for the complex Ginzburg- Landau equation, Europhys Lett., 13(8), pp 715-720, 1990 102 [27] D N Hao, N V Duc, D Lesnic, A non-local boundary value problem method for the Cauchy problem for elliptic equations, Inverse Problems, Vol 25, Issue 5, 2009 [28] B M C Hetrick, R J Hughes, Continuous dependence on modeling for nonlinear illposed problems, J Math Anal Appl 349, 420-435, 2009 [29] Y Huang, Q Zheng, Regularization for ill-posed Cauchy problems associated with generators of analytic semigroups, Journal of Differential Equations, Vol 203, No, 1, 3854, 2004 [30] Y Huang, Q Zheng, Regularization for a class of ill-posed Cauchy problems, Proc Amer Math Soc 133, 3005-3012, 2005 [31] S A Igor, K Lorenz, The world of the complex Ginzburg-Landau equation, The Review of modern physics, Vol 74, 2002 [32] V K Ivanov, I V Mel’nikova, and F M Filinkov, Differential-Operator Equations and Ill-Posed problems, Nauka, Moscow, 1995 [33] K Katou, Asymptotic spatial patterns on the complex time-dependent Ginzburg-Landau equation, J.Phys A, 19: 1063-1066, 1986 [34] M A Khamsi, W A Kirk, An introduction to metric spaces and fixed point theory, Pure and applied mathematics: Wiley-interscience of texts, monographs, and tracts, 2001 [35] A Kirsch, An introduction to the mathematical theory of inverse problems, Applied Mathematical Sciences, Vol 120, 1996 [36] M M Lavrentiev, Some improperly posed problem of mathematical physics, Springer Tracts in Natural Philosophy, Vol 11, 161-171, 1973 [37] R Lattès, J L Lions, Méthode de Quasi-réversibilité et Applications, Dunod, Paris, 1967 [38] G M Lieberman, Second order parabolic differential equations, World Scientific Publishing Co Pte Ltd, 1996 [39] G Marsaglia, W W TSang, The ziggurat method for generating random variables, J Statist Softw., No 8, 1-7, 2000 [40] G A Maugin, W Muschik, Thermodynamics with internal variables Part I, General Concepts, J Non-Equib Thermodyn, 19: 217-249, 1994 103 [41] I Melbourne, Validity, Universality and Structure of the Ginzburg-Landau equation, University of Houston, TX 77204-3476, USA, 1999 [42] I Melbourne, G Schneider, Phase dynamics in the real Ginzburg-Landau equations, Math Nachr., 1-14, 2003 [43] K Miller, Stabilized quasi-reversibility and other nearly-best-possible methods for nonwell-posed problems, Symposium on Non-Well-Posed Problems and Logarithmic Convexity (Heriot-Watt Univ., Edinburgh, 1972), Lecture Notes in Math., Vol 316, Springer, Berlin, 161-176, 1973 [44] P T Nam, An approximate solution for nonlinear backward parabolic equations, J Math Anal Appl 367, No 2, 337-349, 2010 [45] L E Payne, Some general remarks on improperly posed problems for partial differential equation, in symposium on non-well posed problems and logarithmic Convexity, in: Lecture Notes in Mathematics, Vol 316, Springer-Verlag, Berlin, 1-30, 1973 [46] P H Quan, D D Trong, A nonlinearly backward heat problem: uniqueness, regularization and error estimate, Applicable Analysis Vol 85, No 6-7, 641-657, 2006 [47] W Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill Inc, 1970 [48] R E Showalter, Quasi-reversibility of first and second order parabolic evolution equations, Improperly posed boundary value problems (Conf Univ New Mexico, Albuquerque, N M., 1974), 76-84 Res Note in Math No 1., Pitman, London, 1975 [49] R E Showalter, Cauchy problem for hyper-parabolic partial differential equations, Trends in the Theory and Practice of Non-linear Analysis, North-Holland Math Stud., Arlington, Tex., Vol 110, 1984, North-Holland, Amsterdam, 421-425, 1985 [50] R E Showalter, Hilbert space methods for partial differential equations, Electronic Journal of Differential Equations, Monograph 01, 1994 [51] U Tautenhahn, T Schroter, On optimal regularization methods for the backward heat ¨ equation, Zeitschrift Analysis und ihre Anwendungen, Vol 15, 475-493, 1996 [52] A N Tikhonov, V Y Arsenin, Solutions of ill-posed problems, V H Winston & Sons, a Division of Scripta Technica, Inc., 1977 [53] C Thierry, H Alain, M Yvan, An introduction to semilinear evolution equations, Clarendon press Oxford, 1998 [54] D D Trong, B T Duy, N D Minh, The backward problem for Ginzburg-Landau-type equation, Acta Mathematica Vietnamica, Vol 40, No 2, 2015 104 [55] D D Trong, B T Duy, M N Minh, Backward heat equations with locally Lipschitz source, Applicable Analysis, DOI: 10.1080/00036811.2014.963063, 2014 [56] D D Trong, P H Quan, N H Tuan, T V Khanh, A nonlinear case of the 1D backward heat problem: Regularization and error estimate, Zeitschrift fur ¨ Analysis und ihre Anwendungen, Vol 26, Issue 2, 231-245, 2007 [57] D D Trong, N H Tuan, Regularization and error estimates for nonhomogeneous backward heat problems, Electronic Journal of Differential Equations, Vol 2006, No 04, 1-12, 2006 [58] D D Trong, N H Tuan, A simple regularization method for the ill-posed evolution equation, Czechoslovak Mathematical Journal, Vol 61, Issue 1, 85-95, 2011 [59] D D Trong, N H Tuan, Stabilized quasi-reversibility method for a class of nonlinear ill-posed problems, Electronic Journal of Differential Equations, No 84, 1-12, 2008 [60] D D Trong, N H Tuan, On a backward parabolic problem with local Lipschitz source, Journal of Mathematical Analysis and Applications 414, 678-692, 2014 [61] D D Trong, N H Tuan, Remarks on a 2D nonlinear backward heat problem using a truncated Fourier series method, Electronic Journal of Differential Equations, Vol 2009, No 77, pp 1-13, 2009 [62] N H Tuan, Stability estimates for a class of semi-linear ill-posed problems, Nonlinear Analysis: Real World Applications 14, 1203-1215, 2013 [63] N H Tuan, B T Duy, N D Minh, V A Khoa, H¨older stability for a class of initial inverse nonlinear heat problem in multiple dimension, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, DOI: 10.1016/j.cnsns.2014.10.027, 2014 [64] N H Tuan, D D Trong, P H Quan, A note on a Cauchy problem for the Laplace equation: Regularization and error estimates, Appl Math Comput., Vol 217, Issue 7, pp 2913-2922, 2010 [65] N H Tuan, D D Trong, P H Quan, Note on a paper on nonlinear inverse time heat equation in unbounded region, Romai J., Vol 2, No 5, pp 169-180, 2009 [66] N H Tuan, P H Quan, D D Trong, Regularization and new error estimates for a modified Helmholtz equation, An St Univ Ovidius Constanta, Vol 18, Issue 2, pp 267-280, 2010 [67] P N Vabishchevich, Nonlocal parabolic problems and the inverse heat-conduction problem, Differentsial’nye Uravneniya, Vol 17, pp 1193-1199 (in Russian), 1981 105 [68] H Zhang, T Wei, A Fourier truncated regularization method for a Cauchy problem of a semi-linear elliptic equation, J Inverse Ill-Posed Problem, Vol 22, Issue 2, pp 143168, 2013 106 [...]... cho và A cũng là một toán tử tự liên hợp xác định trên một không gian con D ( A) của L2 (Ω) Nội dung của luận án gồm 5 chương 1 Kiến thức chuẩn bị 2 Bài toán ngược thời gian cho phương trình loại Ginzburg- Landau trên miền bị chặn Chương này trình bày phương pháp chỉnh hoá bài toán ngược thời gian cho lớp hàm Lipschitz địa phương trên miền bị chặn và áp dụng khi phương trình chính có dạng Ginzburg- Landau. .. dung ở Chương 2 và 3 khi bài toán được chỉnh hóa bằng cách dùng biến đổi Fourier trên Rn 5 Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic loại Ginzburg- Landau với hệ số bị nhiễu Nội dung chương này trình bày phép chỉnh hóa một bài toán Cauchy cho lớp hàm Lipschitz địa phương mà cụ thể là bài toán điều kiện đầu cho phương trình elliptic loại Ginzburg- Landau Bài toán được chỉnh hoá bằng phương pháp chặt cụt... Các phương pháp chỉnh hoá sử dụng là phương pháp tựa biên, tựa khả nghịch, khai triển Fourier 3 Bài toán ngược thời gian cho phương trình loại Ginzburg- Landau trên miền bị chặn với hệ số bị nhiễu Chương này chứa nội dung của bài báo khoa học [54] Đây một bước nối tiếp cho công trình của Ames trong [3], sử dụng ý tưởng của phương pháp tựa biên mà Ames đề cập trong [8] để chỉnh hóa cho bài ngược thời gian. .. thời gian đối với phương trình loại Ginzburg- Landau khi các hệ số bị nhiễu đồng thời khảo sát tính phụ thuộc của nghiệm theo các mẫu tham số Bài báo này được trình bày sơ lược ở Hội nghị Toán học toàn quốc tháng 08 năm 2013 4 Bài toán ngược thời gian cho phương trình loại Ginzburg- Landau trên miền không bị chặn Chương này chứa nội dung của bài báo khoa học [55] Đây là một bước mở rộng cho hai nội dung... loại Ginzburg - Landau Đây là một trường hợp cụ thể của bài toán parabolic ngược đối với lớp hàm Lipschitz địa phương Do đó, để chỉnh hoá bài toán trên, ta cần khảo sát một bài toán tổng quát cho lớp hàm Lipschitz địa phương 2.1 Bài toán cho lớp hàm Lipschitz địa phương Cho Ω là một miền bị chặn trong Rn Ta xét A : D ( A) → L2 (Ω) là một toán tử tự liên hợp xác định trên một không gian con trù mật... chỉnh hoá bài toán trong trường hợp hàm κ là một hàm Lipschitz địa phương không cần điều kiện ( H2 ) như trong [60] Một ví dụ điển hình là chỉnh hoá bài toán ngược thời gian cho phương trình loại Ginzburg- Landau ut = Au + au − bu3 + r ( x, t), x ∈ Ω, 0 < t < T, u( T ) = g Ở đây Ω là một miền bị chặn trong Rn , a, b là những hằng số thỏa a ∈ R, b ∈ R+ , g, r là những hàm được cho và A là một toán tử tự... sao cho κ ( v1 ( t ), t ) − κ ( v2 ( t ), t ), v1 ( t ) − v2 ( t ) H + L v1 ( t ) − v2 ( t ) 2 H 0 (H3 ) κ (0, t) = 0 với mọi t ∈ (0, 1) Bài báo này là một bước tiến cho việc tiếp cận với việc chỉnh hóa bài toán ngược thời gian, bài toán Cauchy cho lớp hàm Lipschitz địa phương, chẳng hạn như κ (u) = u u||u||2H hay κ (u) = Tuy nhiên bài báo nêu trên vẫn còn hạn chế khi không thể 1 + u2 áp dụng cho. .. bị chặn trên nghiệm chính xác Nhưng trong nghiên cứu này, bài toán được giải quyết với trường hợp hàm f ( x, y, z) là một hàm Lipschitz toàn cục theo biến z Trong luận án này, bài toán này sẽ được xét với f là một hàm Lipschitz địa phương tương tự như đã nói ở trên với phương trình chính là một phương trình loại Ginzburg- Landau Cụ thể, bài toán được xét dưới dạng như sau   uyy + Au = − au + bu3 +... 6 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh và sự chỉnh hóa Cho X và Y là hai không gian định chuẩn, T : X → Y là một ánh xạ (có thể tuyến tính hoặc không tuyến tính) Cho y ∈ Y, xét bài toán tìm x ∈ X sao cho T x = y Bài toán được gọi là chỉnh (xem [35], p 10) nếu thỏa 1 Sự tồn tại nghiệm: Với mỗi y thuộc Y, có ít nhất một x thuộc X sao cho T x = y 2 Sự duy nhất nghiệm: Với... 1.12.1 Cho Q là một toán tử elliptic trên miền Ω của Rn (n hằng số µ1 , µ2 không âm sao cho b( x, z, p)sign(z) det[ aij ( x, z, p)] 2) Giả sử rằng có hai µ1 | p| + µ2 , ∀( x, z, p) ∈ Ω × R × Rn Lúc này, nếu u ∈ C (Ω) ∩ C2 (Ω) thỏa Qu sup |u| Ω 0 trên Ω thì ta có sup |u| + Cµ2 , ∂Ω trong đó C = C (µ1 , diam(Ω)) (xem [25], p 265) 14 Chương 2 Bài toán ngược thời gian cho phương trình loại Ginzburg - Landau ... 1.12 Toán tử elliptic - Nguyên lí cực đại 14 Bài toán ngược thời gian cho phương trình loại Ginzburg - Landau miền bị chặn 15 2.1 Bài toán cho lớp hàm Lipschitz địa phương. .. toán khí động học, ví dụ đối lưu Rayleigh-Bénard, toán Taylor-Couette Trong luận án này, khảo sát toán ngược (xem [35]) thời gian, toán Cauchy cho phương trình loại Ginzburg-Landau Các toán toán... cho A toán tử tự liên hợp xác định không gian D ( A) L2 (Ω) Nội dung luận án gồm chương Kiến thức chuẩn bị Bài toán ngược thời gian cho phương trình loại Ginzburg-Landau miền bị chặn Chương trình