Khảo sát bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic không thuần nhất với hệ số khuếch tán bị nhiễu

1 Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Một số kí hiệu dùng luận văn Lời nói đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các khơng gian hàm tích phân Lebesgue 1.1.1 Không gian Banach 1.1.2 Các định lý tích phân Lebesgue 1.1.3 Không gian Lp (1 p 1) 1.1.4 Không gian Hilbert 1.1.5 Không gian Sobolev W m;p ( ); (1 p 1) 1.2 Bất đẳng thức Cauchy - Bunhiakovski - Schwartz 1.3 Các giới hạn hàm số 1.4 Khai triển Fourier 1.5 Biến đổi Fourier 1.6 Bt ng thc Hăolder 1.7 Bài toán chỉnh, tốn khơng chỉnh 7 7 8 10 10 11 11 11 13 13 CÁC KẾT QUẢ CHÍNH 2.1 Chỉnh hóa tốn (5)-(7) 2.2 Chỉnh hóa tốn (9)-(10) 14 14 19 VÍ DỤ MINH HỌA 3.1 Ví dụ cho tốn (5)-(7) 3.2 Ví dụ cho tốn (9)-(10) 25 25 28 Kết Luận 31 Tài liệu tham khảo 32 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan : Những nội dung luận văn tự thực hướng dẫn trực tiếp PGS.TS Phạm Hoàng Quân Mọi tham khảo dùng luận văn trích dẫn rõ ràng ghi cụ thể phần tài liệu tham khảo Mọi chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo, hay gian trá, tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm Lời cảm ơn Lời đầu tiên, xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tất quý thầy tận tình giảng dạy, truyền đạt cho kiến thức quan trọng suốt thời gian học trường Tơi xin tỏ lịng biết ơn chân thành đến Thầy hướng dẫn PGS.TS Phạm Hồng Qn, người tận tình hướng dẫn, động viên, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Nhân đây, xin gửi lời cảm ơn Thầy TS.Lê Minh Triết, tận tâm dạy kiến thức bản, phương pháp học, cách tư vấn đề Tốn học để tơi tiếp cận với mơn Tốn nói chung Ngành Tốn Giải tích nói riêng cách dễ dàng Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn gia đình bạn thành viên lớp Giải tích K22 bên cạnh tôi, giúp đỡ động viên tơi suốt thời gian hồn thành luận văn Cuối cùng, tơi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian quý báu để xem xét góp ý cho điểm cịn thiếu sót để rút kinh nghiệm cho luận văn cho q trình học tập sau tơi Rất mong nhận bảo quý báu quý thầy đóng góp chân thành q bạn đọc Xin chân thành cảm ơn TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2016 Tác giả Võ Trung Thành Một số kí hiệu dùng luận văn Trong luận văn này, ta có kí hiệu sau k:kC[0;T ] : Chuẩn không gian C[0; T ]: k:k2 : Chuẩn không gian L2 (R): k:k : Chuẩn không gian L2 (0; ): k:kH (R) : Chuẩn không gian H (R): k:kH (R) : Chuẩn không gian H (R): Rt F (t) = k(s)ds với k(.) hệ số dẫn nhiệt xác phụ thuộc vào thời gian phươngRtrình parabolic t F (t) = k (s)ds với k (:) hệ số dẫn nhiệt bị nhiễu phụ thuộc vào thời gian phương trình parabolic R +1 f (x)e i!x dx(! R) : Biến đổi Fourier hàm f L1 (R): f[ (!) = p12 Lời nói đầu Việc nghiên cứu toán ngược bắt nguồn từ thực tế lĩnh vực vật lý, địa chất, học, Khi mà liệu toán đo đạc khơng xác dẫn đến tốn khơng tồn nghiệm nghiệm không nghiệm không ổn định (tức sai số liệu nhỏ sai số nghiệm lớn) Những tốn gọi tốn khơng chỉnh theo nghĩa Hadarmard Cụ thể, Hadarmard định nghĩa toán Kx = y gọi chỉnh thỏa mãn ba tính chất sau: Tính tồn nghiệm, Tính nghiệm, Tính ổn định nghiệm Ngược lại, tốn khơng thỏa ba tính chất gọi tốn khơng chỉnh Khảo sát tính ổn định nghiệm tốn ngược trở thành vấn đề mà nhà khoa học quan tâm Bài toán nhiệt ngược thời gian nghiên cứu nhiều tác Hào (xem [3], [4]), Fu (xem [15], [16]), David [19] Các tác giả khảo sát tốn ngược thời gian cho nhiều loại phương trình nhiệt với hệ số hằng, hệ số phụ thuộc thời gian, nguồn nhiệt phi tuyến, .Trong báo [16], Fu đồng tác giả khảo sát toán nhiệt ngược thời gian với hệ số miền không bị chặn sau @2u @u (x; t) = (x; t); (x; t) R @t @2x u(x; T ) = '(x); x R: (0; T ); (1) (2) Sử dụng phương pháp chỉnh hóa Fourier, tác giả thu ước lượng sai số cp Hăolder ti nhng thi im < t < T ước lượng sai số dạng logarit thời điểm ban đầu t = Trong [3], Hào Đức khảo sát toán (1)-(2) thu kết tương tự họ sử dụng phương pháp khác (phương pháp mollification) Năm 2008, Tuấn Trọng (xem [6]) tiến hành chỉnh hóa trường hợp khơng toán (1)-(2) miền bị chặn phương pháp tựa giá trị biên có điều chỉnh Một năm sau đó, Tuấn Trọng [8] sử dụng phương pháp quen thuộc phương pháp chặt cụt để mở rộng kết nghiên cứu trước Ngồi ra, dạng tổng qt tốn (1)-(2) khảo sát Nam (xem [5]) Cụ thể, tác giả sử dụng phương pháp chặt cụt để chỉnh hóa tốn sau ut + Au(t) = f (t; u(t)); < t < T; u(T ) = '; (3) (4) A tốn tử tự liên hợp dương f hàm Lipschitz Gần đây, toán (1)-(2) (3)-(4) khảo sát trường hợp hệ số dẫn nhiệt phụ thuộc vào thời gian (xem [10], [20]) Đây hướng nghiên cứu xuất phát từ thực tế mà hệ số dẫn nhiệt vật thể phụ thuộc vào chất liệu vật Tuy nhiên vật thể thực tế thường không đồng nhất, nữa, vật thể biến đổi theo thời gian q trình ăn mịn, oxi hóa, Do đó, hệ số dẫn nhiệt khơng phải số Ngồi ra, theo biết trường hợp chưa nghiên cứu Vì lý đó, luận văn chúng tơi chọn đề tài "Khảo sát tốn ngược thời gian cho phương trình parabolic khơng với hệ số khuếch tán bị nhiễu" Trong luận văn này, chúng tơi xét tốn tìm nhiệt độ u(x; t); (x; t) [0; ] [0; T ] thỏa mãn toán ngược thời gian cho phương trình parabolic khơng với hệ số dẫn nhiệt phụ thuộc thời gian bị nhiễu miền bị chặn [0; ] miền không bị chặn R: Như vậy, liệu toán gồm hai thành phần, phân bố nhiệt thời điểm cuối g(:) hệ số dẫn nhiệt k(:) Bài toán 1: Xét miền bị chặn [0; ]; @2u @u (x; t) = k(t) (x; t) + f (x; t); (x; t) (0; ) @t @ x u(0; t) = u( ; t); t [0; ]; u(x; T ) = g(x); x (0; ); [0; T ] ; (5) (6) (7) với (g; k) liệu có đo đạc thỏa g L2 (0; ); f C([0; T ]; L2 [0; ]) k : [0; T ] ! (0; 1) hàm liên tục cho tồn p; q > 0; 0