Các không gian hàm và tích phân Lebesgue
Không gian Banach
Một không gian vectơ X trên trường số R được gọi là không gian định chuẩn thực nếu có một ánh xạ k:k:X → R thỏa mãn các điều kiện sau: (i) kxk ≥ 0 với mọi x ∈ X, và kxk = 0 chỉ khi x = 0; (ii) kαxk = |α| kxk với mọi α ∈ R và x ∈ X; (iii) kx + yk ≤ kxk + ky với mọi x, y ∈ X Định nghĩa này tạo nền tảng cho không gian định chuẩn (X; k:k).
Dãy (x n ) trongX gọi là dãy Cauchy nếu 8" 0;9N " 2N sao cho kx n x m k< ";
Dãy (x_n) trong không gian X được gọi là hội tụ về x_0, ký hiệu là x_n → x_0 khi n tiến đến vô cùng, nếu giới hạn lim n→∞ ||x_n - x_0|| = 0 Không gian định chuẩn X được gọi là Banach nếu mọi dãy Cauchy trong không gian đó đều hội tụ.
Trong không gian định chuẩn X, một dãy hội tụ sẽ là dãy Cauchy Hơn nữa, mọi dãy Cauchy có dãy con hội tụ cũng sẽ hội tụ.
Các định lý căn bản trong tích phân Lebesgue
Một tính chất P(x) trong không gian R^n được coi là đúng hầu khắp nơi nếu tồn tại một tập A có độ đo không sao cho P(x) đúng với mọi x thuộc R^n không thuộc A Định lý hội tụ đơn điệu cho biết rằng nếu (f_m) là một dãy các hàm khả tích trên R^n, với f_m: R^n → R, và dãy này tăng hầu khắp nơi (tức là f_m(x) ≤ f_(m+1)(x) cho mọi x), đồng thời tồn tại một hằng số M, thì các điều kiện này sẽ dẫn đến những kết luận quan trọng về tính hội tụ của dãy hàm này.
R n f m M;8m2 N, thì có một hàm khả tích f :R n ! R sao cho f m ! f hầu khắp nơi và lim m !1
R n f(x)dx. Định lí 1.1.2 (Hội tụ bị chặn) Cho dãy (f m ) là một dãy hàm khả tích trên R n , f m : R n ! R , sao cho f m !f hầu khắp nơi.
Nếu có một hàm khả tích g sao cho jf m (x)j g(x) hầu khắp nơi thì f khả tích, và lim m !1
Các định lý về hội tụ bị chặn và hội tụ đơn điệu vẫn giữ nguyên tính đúng đắn khi thay không gian R^n bằng các tập hợp đo được Cụ thể, nếu hàm số f là đo được trên R^n và hàm số g là khả tích trên R^n với điều kiện |f| ≤ g hầu như mọi nơi, thì hàm số f cũng sẽ là khả tích trên R^n.
Không gian L p (1 p 1 )
Trong phần này, chúng ta ký hiệu một tập đo được trong R^n Hai hàm đo được f và g được coi là bằng nhau hầu hết ở mọi nơi nếu f = g Định nghĩa 1.1.5 nêu rõ rằng, đối với hàm f đo được trên tập này, nếu giá trị tuyệt đối của f, ký hiệu là |f|, có khả tích p (với 1 ≤ p < ∞), thì chúng ta định nghĩa kfkp = ( ).
Tập hợp tất cả các hàm f thỏa mãn điều kiện jfj p khả tích được gọi là L p ( ) Định nghĩa 1.1.6 xác định rằng tập hợp tất cả các hàm bị chặn hầu khắp nơi (hkn) trên là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết hàm.
Trong bài viết này, chúng ta định nghĩa không gian L^p với kfk 1 = inff : jf(x)jhkng Định lý 1.1.4 khẳng định rằng không gian (L^p; k:kp) là một không gian định chuẩn cho mọi 1 < p < 1 Hơn nữa, theo định lý 1.1.5, với tập đo được trong R^n và 1 < p < 1, không gian (L^p; k:kp) là một không gian Banach.
Không gian Hilbert
Một ánh xạ f từ không gian vectơ E vào trường số được gọi là tích vô hướng trên E nếu nó thỏa mãn các tính chất sau: Đối với mọi x, x₀, y, y₀ thuộc E và s thuộc trường số, f(x+x₀, y) = f(x, y) + f(x₀, y); f(x, y+y₀) = f(x, y) + f(x, y₀); f(sx, y) = sf(x, y); f(x, sy) = sf(x, y); f(x, y) = f(y, x); f(x, x) ≥ 0; và f(x, x) = 0 nếu và chỉ nếu x = 0.
Mệnh đề 1.1.2 Chof là một tích vô hướng trên một không gian vectơE, vàx; y 2E.
Bất đẳng thức Schwartz khẳng định rằng |f(x; y)|^2 ≤ f(x; x)f(y; y) và bất đẳng thức Minkowski chỉ ra rằng f(x+y; x+y) ≤ (1/2)f(x; x) + (1/2)f(y; y) Định nghĩa 1.1.8 xác định rằng với f là một tích vô hướng trên không gian vectơ E, ta đặt kxk = √f(x; x) cho mọi x thuộc E Theo Mệnh đề 1.1.2, (E; k:k) được coi là một không gian định chuẩn, và E được gọi là không gian Hilbert nếu nó đầy đủ với chuẩn k:k.
Trong không gian Hilbert E, ký hiệu hx; yi đại diện cho f(x; y) Định nghĩa 1.1.9 cho biết nếu hx; yi = 0, thì x được coi là trực giao với y, ký hiệu là x ? y Định nghĩa 1.1.10 đề cập đến một họ vectơ fu i g i 2 I trong E được gọi là trực chuẩn nếu và chỉ nếu điều kiện hu i ; u j i = j i cho mọi i, j 2 I được thỏa mãn, trong đó j i là số Kronecker, với j i = 1 khi i = j.
0 nếu i6=j: Định nghĩa 1.1.11 Hệ trực chuẩn fuig i 2 I được gọi là đầy đủ trong E nếu u =P i 2 Ihu i ; uiu i ;8u 2 E Hệ trực chuẩn hữu hạn fu i g i 2 I được gọi là đầy đủ trong
E nếu nó là cơ sở trong E. Định lí 1.1.6 Cho fu i g i 2 I là một họ trực chuẩn đầy đủ trong một không gian Hilbert
E và x là các vectơ trong không gian E, với x i = hx; u i i cho mọi i thuộc I Tập hợp I(x) = {i ∈ I : x i ≠ 0} là một tập đếm được, và có hai tính chất quan trọng: i) x = Σ i ∈ I x i u i, ii) Σ i ∈ I |x i|² = kxk² Định lý 1.1.7 khẳng định rằng, với tập đo được R n, ta có hf; gi = ∫ f(x)g(x)dx và kfk₀.
Không gian L 2 ( ) là một không gian Hilbert.
Trong không gian Hilbert L²(0; ∞) với hệ trực chuẩn đầy đủ {φ_n(x)}, cho u ∈ L²(0; ∞), ta có u = Σ (n=1 đến ∞) φ_n(x) Chuỗi Σ (n=1 đến ∞) φ_n(x) hội tụ trong L²(0; ∞) nếu và chỉ nếu Σ (n=1 đến ∞) ||² hội tụ Định lý Parseval khẳng định rằng trong không gian Hilbert L²(0; ∞) với hệ trực chuẩn đầy đủ {φ_n(x)}, với mọi u ∈ L²(0; ∞), ta có ||u||²_{L²(0; ∞)} = Σ (n=1 đến ∞) ||².
Không gian Sobolev W m;p ( ); (1 p 1 )
Định nghĩa 1.1.12 Cho tập mở R k ; k 2N:Ta đặt
L 1 loc ( ) = f : !R đo đươc:f 2L 1 (!) với mọi ! R k thỏa
!là tập compact được chứa trong o
: Định nghĩa 1.1.13 (Đạo hàm suy rộng)
Cho f 2 L 1 loc ( ); = ( 1 :::; k ) 2 Z k ; i 0 (i= 1; :::; k): Hàm g 2 L 1 loc ( ) gọi là đạo hàm riêng suy rộng thứ của f nếu
Z g 'dx; với mọi ' 2C c 1 ( ): Ở đây, j j= 1 +:::+ k và D '= @ j j '
@x 1 1 :::@x k k : Định nghĩa 1.1.14 Vớim 2N;1 p < 1, cho tập mở R n ta định nghĩa
W m;p ( ) 2L p ( ) :f 0 ; :::; f (m) 2L p ( )g; với chuẩn kfkW m;p ( ) =Pm k=0( f (k) p p ) 1 p : Đặc biệt, nếu p= 2, ta ký hiệu
Không gian H m ( ) = W m;2 ( ) được định nghĩa theo định lý 1.1.9 là không gian Banach Đối với 0 < q < 1, không gian H q (R) = W q;2 (R) bao gồm các hàm g(x) thuộc L 2 (R) với điều kiện có đạo hàm đến cấp q và g(n) thuộc L 2 (R) cho mọi n trong tập {1, 2, , q} Chuẩn trong H q (R) được xác định bởi công thức kgkH q (R) = kgk 2 2 + kg'k 2 2 + g(2) 2 2 + + g(q) 2 2.
Bất đẳng thức Cauchy - Bunhiakovski - Schwartz
Các giới hạn hàm số cơ bản
Với x2R, ta có các giới hạn cơ bản sau i) lim x ! 0 e x 1 x = 1; lim x ! 0 ln(1+x) x = 1. ii) Với mọi k 2N; x lim! + 1 e x x k = +1; lim x ! 1x k e x = +1: iii) Với mọi k 2N; x lim! + 1 lnx x k = 0; lim x ! 1x k lnx= 0:
Khai triển Fourier
Định lí 1.4.1 (Khai triển Fourier Sin) Vớif 2L 2 (0; ), ta có khai triển Fourier sin của f như sau f(x) X1 n=1 bnsin(nx); (0< x < ); trong đó b n = 2
0 f(x) sin(nx)dx;(n 1) là các hệ số khai triển Fourier sin. Định lí 1.4.2 (Đẳng thức Parseval) Với f 2L 2 (0; ), ta có kfk 2 2
Biến đổi Fourier
Định nghĩa 1.5.1 Giả sử f 2L 1 ( ), ta định nghĩa biến đổi Fourier của f là fb(!) = 1 p2
Khi đó, công thức biến đổi Fourier ngược của f là f_(x) = 1 p2
Z1 1 f(x)e i!x d!; vớix2R: Định nghĩa 1.5.2 Giả sử f 2 L 1 ( ), khi đó ta định nghĩa biến đổi Fourier sin của hàm f là
Công thức biến đổi Fourier sin ngược là f(x) r2Z 1
0 fb s (!) sin!xdx; x >0: Định nghĩa 1.5.3 Giả sử f 2 L 1 ( ), ta định nghĩa biến đổi Fourier cos của hàm f(x)theo biến x là
Công thức biến đổi Fourier cos ngược là f(x) r2Z 1
0 b f c (!) cos!xdx; x >0: Định nghĩa 1.5.4 Cho hàm f; g2L 1 (R k ) Đặt
Tích chập của hai hàm f và g được ký hiệu là fg, và có tính chất giao hoán, tức là fg = gf Theo Định lý 1.5.1, với f và g thuộc không gian L1(R), ta có các tính chất sau: i) f + g thuộc L1(R); ii) cf = f với b ∈ C; iii) fb(0) = (i!)f(!); b; iv) f[g = f : bb g Định lý 1.5.2 chỉ ra một số biến đổi Fourier cho các hàm thường gặp, cụ thể là [1/(x^2 + a^2)] = π.
2 a a 2 +! 2 ; a >0. Định lí 1.5.3 (Định lí Plancherel) Với mọi f 2L 2 (R); N >0, ta đặt
Khi xem xét hàm f(x) trên R, ta có thể tính toán tích phân ZN f(x)e^(i!x) dx với ! thuộc R Đầu tiên, F N ffg sẽ hội tụ trong không gian L²(R) đến một hàm Fffg khi N tiến đến vô cùng, và đồng thời, chuẩn L² của Fffg được xác định bởi công thức Z1^1 |Fffg(!)|² d! = Z1^1 |f(x)|² dx = kf k²² Thứ hai, nếu hàm f thuộc L²(R) nhưng không thuộc L¹(R), thì Fffg sẽ không hội tụ trên R Cuối cùng, ta định nghĩa g N (x) = √(1).
Fffg(!)e ix! d!, thìg N hội tụ trongL 2 (R)đếnf khi N ! 1. iv) F là toán tử đẳng cấu từ L 2 (R) vào L 2 (R).
Bất đẳng thức H¨ older
Giả sử 1 p; q 1; 1 p + 1 q = 1; R Khi đó nếu f 2 L p ( ); g 2 L q ( ) thì f:g2L 1 ( ) và
Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh
Theo định nghĩa của Hadamard, bài toán được chia thành hai loại: bài toán chỉnh và không chỉnh Cụ thể, định nghĩa 1.7.1 xác định bài toán chỉnh khi X và Y là hai không gian định chuẩn.
K: X ! Y là một ánh xạ, và phương trình Kx = y được coi là chỉnh khi thỏa mãn ba điều kiện: đầu tiên, sự tồn tại, tức là với mỗi y trong Y, phải có ít nhất một x trong X sao cho Kx = y; thứ hai, sự duy nhất, nghĩa là với mỗi y trong Y, chỉ có nhiều nhất một x trong X thỏa mãn Kx = y; cuối cùng, tính ổn định, yêu cầu rằng nghiệm x phải phụ thuộc liên tục vào dữ liệu y, tức là nếu dãy (x_n) trong X thỏa mãn Kx_n gần với Kx thì x_n sẽ gần với x Ngược lại, bài toán được gọi là không chỉnh nếu không thỏa mãn ít nhất một trong ba điều kiện nêu trên.
Trong chương 2, chúng tôi trích dẫn bài báo [10] để trình bày và chứng minh chi tiết các kết quả liên quan đến việc chỉnh hóa bài toán parabolic ngược thời gian không thuần nhất Nghiên cứu này tập trung vào hệ số khuếch tán nhiệt bị nhiễu trong miền bị chặn [0; ] và miền không bị chặn R.
Chỉnh hóa bài toán (5)-(7)
Trong tiểu mục 2.1, chúng tôi phân tích dữ liệu đo đạc và dữ liệu chính xác với các ký hiệu (g " ; k " );(g; k) 2L 2 (0; ) C[0; T], trong đó kg " gk " và kk " kkC[0;T ] " Bằng cách áp dụng khai triển chuỗi Fourier, chúng tôi đã tìm ra nghiệm cho bài toán (5)-(7) dưới dạng u(x; t) = X1 n=1.
ZT t e m 2 (F(s) F (t)) f m (s)ds) sin(mx): (2.1) Nghiệm chỉnh hoá ứng với dữ liệu đo g " ; k " u " (g " ; k " )(x; t) = X m0 là tham số chỉnh hóa sẽ được chọn sao cho lim " ! 0 m " = +1:
Bổ đề 2.1.1 Cho " >0và b" sao cho lim
" ! 0"b 2 " = 0 Gọi k"; k lần lượt là dữ liệu đo và dữ liệu chính xác thỏa kk " kkC[0;T ] " Khi đó, tồn tại > 0 sao cho với mọi" 2(0; ) thì e
Chứng minh Với mọi r2[0; T], ta có jk " (r) k(r)j kk " kkC[0;T ] ":
Suy ra tồn tại >0 sao cho với mọi "2(0; )
Định lý 2.1.1 nêu rằng nếu " > 0; g " ; g 2L 2 [0; ] thỏa mãn kg g " k " và k; k " 2C[0; T] thỏa kk " kkC[0;T] ", với M = 2 max t 2 [0;T ] jk(t)j, và nghiệm chính xác u(:; t) của bài toán (5)-(7) thuộc H 1 (0; ) cho mọi t2[0; T] với ku(:;0)k < 1, thì tồn tại một số điều kiện nhất định.
>0 sao cho với mọi "2(0; ), ta có ku " (g " ; k " )(:; t) u(:; t)k C 1 " 2M T pt ; với C 1 = 1 + 2M 3K +ku(:;0)k, K = (kgk 2 +T
Chứng minh Với mọi0< " < max t 2 [0;T] k(t); ta có jk " (t)j jk(t)j kk " kkC[0;T] " max t 2 [0;T]k(t):
Suy ra jk " (t)j< max t 2 [0;T ] k(t) + max t 2 [0;T ] k(t) =M; với mọi t2[0; T]:
Ta có ku " (g " ; k " )(:; t) u(:; t)k ku " (g " ; k " )(:; t) u " (g; k " )(:; t)k+ku " (g; k " )(:; t) u " (g; k)(:; t)k+ku " (g; k)(:; t) u(:; t)k: (2.5)
Từ (2.2) và (2.3), ta được ku " (g " ; k " )(:; t) u " (g; k " )(:; t)k 2 2
Từ (2.3) và (2.4), ta được ku " (g; k " )(:; t) u " (g; k)(:; t)k 2
Từ Bổ đề 2.1.1, ta có với mọi"2(0; 1 ) e m 2 (F " (T ) F " (t)) e m 2 (F (T ) F (t)) = e m 2 (F (T ) F (t)) e m 2
Tương tự, ta có e m 2 (F " (s) F " (t)) e m 2 (F (s) F(t)) e m 2 " M(T t) 2T "m 2 " e m 2 " M T 2T "m 2 " : Áp dụng bất đẳng thức H¨older, ta được
Khi đó ku " (g; k " )(:; t) u " (g; k)(:; t)k 3m 2 " e m 2 " M (T t) T "K; (2.7) với K vu uu tkgk 2 +T
Từ (2.1)và (2.4), ta được ju " (g; k)(x; t) u(x; t)j= X m m " e m 2 (F (T ) F (t)) g m e m 2 (F(s) F (t)) f m (s)ds sin(mx):
Khi đó, từ (2.5), (2.6), (2.7) và (2.8), ta được ku"(g"; k")(:; t) u(:; t)k e m 2 " M(T t) "+ 3m 2 " e m 2 " M (T t) T "K+e m 2 " pt ku(:;0)k:
Ta chọn m " sao cho e m 2 " M T = p 1 "; suy ra m " = ln
Suy ra tồn tại 2 >0 sao cho với mọi "2(0; 2 );ta có p"ln(1
Khi đó, nếu ta chọn = min 1; M 2 ; 1 ; 2 >0 thì
" 2T t < " 2M T pt ; p"ln( 1 " )0; g " ; g 2L 2 (R) và các hàm k, k " thuộc C[0; T], tồn tại một số M = 2 max t 2 [0;T ] jk(t)j Nếu nghiệm chính xác u(:; t) của bài toán (9)-(10) thuộc H 1 (R) cho mọi t 2[0; T], thì tồn tại một số 0 >0 sao cho với mọi "2(0; 0 ), ta có ku " (g " ; k " )(:; t) - u(:; t)k2 C 2 1.
Chứng minh Ta có ku " (g " ; k " )(:; t) u(:; t)k2 = kub " (g " ; k " )(:; t) bu(:; t)k2 kub " (g " ; k " )(:; t) ub " (g; k " )(:; t)k2+kub " (g; k " )(:; t) ub " (g; k)(:; t)k2
Từ (2.10) và (2.11), ta được jub " (g " ; k " )(!; t) ub " (g; k " )(!; t)j 2 = e 2! 2 (F " (T ) F " (t)) jgb " (!) bg(!)j 2 2 [ b " ;b " ](!)
ZT t k " (s)ds jgb " (!) bg(!)j 2 2 [ b " ;b " ](!) e 2! 2 M (T t) jgb"(!) bg(!)j 2 2 [ b " ;b " ](!):
Do đó, ta được kub " (g " ; k " )(:; t) ub " (g; k " )(:; t)k 2 2 b "
Từ (2.11) và (2.12), ta được jub " (g; k " )(!; t) ub " (g; k)(!; t)j 2
Mặt khác, áp dụng Bổ đề 2.1.1, ta được với mọi "2(0; 3 ) ta có e ! 2 (F " (T ) F " (t)) e ! 2 (F(T ) F (t)) = e ! 2 (F (T ) F (t)) e
Từ (2.15) và áp dụng bất đẳng thức H¨older, ta được
Với mọi" 2(0; 3 ); ta được kub " (g; k " )(:; t) ub " (g; k)(:; t)k 2 2
Khi đó, ta được kub " (g; k " )(:; t) ub " (g; k)(:; t)k2 3b 2 " e b 2 " M T T "K; (2.16) vớiK 0
Ta có jub " (g; k)(!; t) u(g; k)(!; t)b j 2 =jbu(!; t)j 2 2 Rn [ b " ;b " ](!):
Từ (2.14), (2.15), (2.16) và (2.17), ta có kub " (g " ; k " )(:; t) bu(:; t)k2 e b 2 " M T "+ 3b 2 " e b 2 " M T T "K+ 1 b " ku(:; t)kH 1 ( R ):
Ta chọn b " sao cho e b 2 " M T = 1 " ;suy ra b " = ln( 2M T 1 " )
Suy ra tồn tại 4 >0 sao cho với mọi "2(0; 2 ); p"(ln( 1 " )) 1 2