Ước lượng Gradient cho phương trình truyền nhiệt trên đa tập riemann

Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Hà Tuấn Dũng ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRÊN ĐA TẠP RIEMANN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Hà Tuấn Dũng ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRÊN ĐA TẠP RIEMANN Chuyên ngành: Hình học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THẠC DŨNG Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung báo cáo thực tập chuyên ngành, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ NGUYỄN THẠC DŨNG tận tình hướng dẫn để em hoàn thành đề tài Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực đề tài thực tập Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Hà Tuấn Dũng Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu khóa luận trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực khóa luận cảm ơn thông tin trích dẫn khóa luận rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2015 Sinh viên Hà Tuấn Dũng Footer Page of 161 Header Page of 161 Mục lục Lời mở đầu 1 TOÁN TỬ LAPLACE TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 1.1 Toán tử Laplace đa tạp Riemann 1.2 Liên thông Levi - Civita đa tạp Riemann 13 1.3 Tensơ độ cong, độ cong Ricci 16 ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 21 2.1 Ước lượng gradient cho phương trình truyền nhiệt đa tạp Riemann 22 2.2 Một số hệ 38 Tài liệu tham khảo 45 i Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Tuấn Dũng Lời mở đầu Năm 1986, báo [5] đăng Acta Mathematica, Li-Yau nghiên cứu ước lượng gradient bất đẳng thức Harnak cho nghiệm dương phương trình nhiệt ut = ∆u (ở số t bên ký hiệu phép lấy vi phân theo biến t, ∆u toán tử Laplace u) đa tạp Riemann đầy Ước lượng Li-Yau sau cải tiến tổng quát hóa cho phương trình phi tuyến khác đa tạp Riemann Bên cạnh năm 1993, Hamilton đưa ước lượng gradient khác, sau gọi ước lượng gradient kiểu Hamilton cho phương trình nhiệt đa tạp Riiemann compact báo [3] Từ ước lượng gradient này, người ta so sánh nghiệm điểm khác thời gian Sau này, ước lượng gradient kiểu Hamilton tổng quát hóa lên đa tạp Riemann đầy, không compact công trình Souplet Zang ( xem [7]) Mặt khác, kể từ sau nghiên cứu Perelman gradient Ricci soliton để chứng minh giải thiết Poincare - bảy toán thiên niên kỷ, nhà Toán học đặc biệt quan tâm đến không gian đo metric trơn Nhắc lại , không gian đo metric trơn ba (M, g, e−f dv) M đa tạp Riemann với metric g, f hàm trơn M , dv dạng thể tích ứng với metric Riemann g.Toán tử Laplace có trọng M xác định ∆f · = ∆ · − ∇f, ∇· ∆ toán tử Laplace M Trên (M, g, e−f dv), độ cong Bakry-Émery Ricf độ cong N -Bakry-Émery RicN f định nghĩa Ricf = Ric + Hessf, RicN f = Ricf − ∇f ⊗ ∇f N Ric, Hessf độ cong Ricci Hessian f M Các gradient Ricci soliton trường hợp đặc biệt không gian đo metric trơn Một tổng quát quan trọng toán tử Laplace có trọng toán tử ∆V · = ∆ · + V, ∇· Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Tuấn Dũng đa tạp Riemann (M ,g) Ở đây, ∇ ∆ liên thông Levi-Civita toán tử Laplace- Beltramil tương ứng với g V trường vector trơn M.Trong tài liệu [2] Jost tài liệu [4] Yi Li giới thiệu độ cong 1 V ⊗V RicV = Ric − LV g, RicN V = RicV − N với số nguyên dương N > LV kí hiệu đạo hàm Lie dọc theo hướng V Khi V = ∇f f hàm trơn M độ cong RicV , RicN V trở thành độ cong Bakry-Émery Ricf độ cong N -Bakry-Émery RicN f Trong báo [9], Nguyen Thac Dung Nguyen Ngoc Khanh nghiên cứu ước lượng gradient kiểu Hamilton-Souplet-Zhang cho phương trình nhiệt ut = ∆V u + au log u + bu đa tạp Riemann không compact, a, b hàm không đổi dấu xác định M × [0, +∞), hàm thuộc C (M ) với biến x Bên cạnh đó, vấn đề thu hút quan tâm nhiều nhà Toán học toán Yamabe phát biểu sau: "Cho (M, g) đa tạp Riemann compact có số chiều n ≥ R độ cong vô hướng tương ứng với g Liệu có tồn hay không metric g bảo giác với g cho độ cong vô hướng R tương ứng với g hằng?" Năm 1984, Richard Schoen chứng minh metric đa tạp Riemann compct hiệu chỉnh bảo giác (tức nhân với hàm hương phù hợp) để trở thành metric với độ cong vô hướng Chú ý g = g.ϕ2 (ở ϕ hàm dương) R R liên hệ với phương trình (xem [8]) ϕ2 R = R − 2(n − 1) ∆ϕ |∇ϕ|2 − (n − 1)(n − 4) ϕ ϕ với n ≥ 3, đặt ϕ = u n−1 phương trình trở thành: ∆u + buα + cu = Footer Page of 161 (1) Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Tuấn Dũng b= n−2 R, 4(n − 1) c=− n−2 R, 4(n − 1) α= n+2 > n−2 Rõ ràng Bài toán Yamabe tương đương với toán tìm nghiệm dương phương trình (1) (phương trình (1) gọi phương trình Yamabe) Trong khóa luận nghiên cứu ước lượng gradient cho phương trình nhiệt tổng quát: ut = ∆u + V, ∇u + auα lnu + buα + cu Trong a, b, c hàm không đổi dấu xác định M × [0, +∞), hàm thuộc C (M ) với biến x, α số dương Dựa phương pháp báo [6] kết gần định lý so sánh Laplace [2] [4], tổng quát hóa thành công kết Ruan thu ước lượng gradient cho phương trình nhiệt tổng quát nói Khóa luận gồm hai chương: Chương "Toán tử Laplace đa tạp Riemann" nhắc lại khái niệm hình học vi phân, định nghĩa toán tử Laplace đa tạp Riemann khái niệm liên thông, độ cong Ricci, độ cong Bakry - Émery m chiều Chương "Ước lượng gradient cho phương trình truyền nhiệt đa tạp Riemann"chúng chứng minh ước lượng gradient kiểu Hamilton - Souplet - Zang cho phương trình nhiệt tổng quát đề cập đưa hệ thu từ ước lượng Footer Page of 161 Header Page of 161 Chương TOÁN TỬ LAPLACE TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 1.1 Toán tử Laplace đa tạp Riemann A ĐA TẠP TRƠN Định nghĩa 1.1 Giả sử M không gian tôpô Hausdorff có sở đếm M gọi đa tạp tôpô n - chiều với p ∈ M , tồn ba {ϕ, U, V }, U lân cận mở p M, V tập mở Rn , ϕ : U → V đồng phôi Mỗi ba gọi đồ p Hai đồ {ϕ1 , U1 , V1 } {ϕ2 , U2 , V2 } gọi tương thích phép chuyển ϕ12 = ϕ2 ◦ ϕ−1 : ϕ1 (U1 ∩ U2 ) → ϕ2 (U1 ∩ U2 ), đồng phôi Lưu ý: ϕ1 (U1 ∩ U2 ) ϕ2 (U1 ∩ U2 ) mở Rn Định nghĩa 1.2 Một atlas A đa tạp M tập đồ {ϕα , Uα , Vα } tương thích với nhau, thỏa mãn α Uα = M Hai atlas M gọi tương đương hợp chúng atlas M Định nghĩa 1.3 Một đa tạp trơn n - chiều đa tạp tôpô M n - chiều trang bị lớp tương đương atlas cho hàm chuyển hàm trơn Lớp tương đương gọi cấu trúc trơn atlas Footer Page of 161 Header Page 10 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Tuấn Dũng Ví dụ 1.1.1 Rn đa tạp trơn Ví dụ 1.1.2 Xét siêu cầu n chiều Rn+1 S n = (x1 , , xn+1 ) ∈ Rn+1 |x21 + + xnn+1 = Gọi N = (0, 0, , 0, 1) ∈ Rn+1 S = (0, 0, , 0, −1) ∈ Rn+1 điểm cực bắc điểm cực nam S n , đặt U1 = S n \ {N } U2 = S n \ {S} Xét phép chiếu ϕi : Ui → Rn định nghĩa ϕ1 (x) = (x1 , , xn ) , − xn+1 ϕ2 (x) = (x1 , , xn ) + xn+1 Khi {ϕi , Ui , Rn } tạo thành atlas S n Siêu cầu S n đa tạp trơn B ÁNH XẠ TRƠN Định nghĩa 1.4 Giả sử ta có ánh xạ f : M → N hai đa tạp trơn Ta nói ánh xạ trơn với đồ {ϕα , Uα , Vα } M ψβ , Uβ , Vβ N , ánh xạ −1 ψβ ◦ f ◦ ϕ−1 (Xβ ) → ψβ f (Uα ) ∩ Xβ , α : ϕα Uα ∩ f trơn Ánh xạ f : M → N gọi vi phôi song ánh f, f −1 ánh xạ trơn Chú ý: (1.) Khi N = R, ta gọi f hàm trơn có giá trị thực Tập hàm trơn có giá trị thực M kí hiệu C ∞ (M ) (2.) Mỗi ánh xạ trơn f : M → N tạo ánh xạ "kéo - lùi" f∗ : C ∞ (N ) −→ C ∞ (M ) g −→ g ◦ f C VECTƠ TIẾP XÚC Cho M đa tạp trơn n chiều; C ∞ (M ) tập hàm khả vi vô hạn M Định nghĩa 1.5 Một vectơ tiếp xúc điểm p ∈ M ánh xạ tuyến tính Xp : Footer Page 10 of 161 Header Page 37 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Tuấn Dũng Mà ∆V ψ = ∆ψ + V, ∇ψ η |η |2 η |∇ρ|2 + ∆ρ + V, ∇ρ R R R |η | η = |∇ρ|2 + ∆V ρ R R η η = + ∆V ρ R R = nên C2 C1 n−1 (n − 1)K + +L − R R ρ n−1 R + L C1 + C2 (n − 1)K + R ≥− R2 ∆V ψ ≥ − Đặt ϕ = tψ ta có ∇ϕ = t∇ψ; |∇ϕ| = t|∇ψ|; ∇ϕ = t.∆ψ Khi ϕ = ∆ϕ + L, ∇ϕ − ϕt = t∆ψ + L, t∇ψ − ψ = t ∆ψ + L, ∇ψ −ψ = t∆V ψ − ψ Từ đó, ta có ước lượng sau   −R  w ϕ ≥ tw    n−1 (n − 1)K + + L C1 + C2  R   − wψ R  (2.10) Giả sử ϕw đạt giá trị cực đại điểm (x, t) ∈ B(p, 2R) × [0, T ] Theo E.Calabi 32 Footer Page 37 of 161 Header Page 38 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Tuấn Dũng [1] ta giả sử x không vị trí out p Khi đó, (x, t) ta có     ∇(ϕw) =    ∆(ϕw) ≤      (ϕw)t ≥0 Từ hệ bất phương trình ta thu (ϕw) = ∆(ϕw) + V, ∇(ϕw) − (ϕw)t ≤ mà ∆(ϕw) + V, ∇(ϕw) − (ϕw)t = ∆ϕw + ϕ∆w + ∇ϕ, ∇w + V, w∇ϕ + ϕ∇w − ϕt w − ϕwt = w ∆ϕ + V, ∇ϕ − ϕt + ϕ ∆w + V, ∇w − wt + ∇ϕ, ∇w = w ϕ + ϕ w + ∇ϕ, ∇w nên ta có w ϕ + ϕ w + ∇ϕ, ∇w ≤ (2.11) Áp dụng (2.2) vào ước lượng (2.11) ta có ϕ − K + (2 − α)a+ + α|a| + αb+ + |b| + c + |c| w − +2(1 − f )w2 + 2f |∇w|.w |∇a|2 |∇b|2 |∇c|2 + + 2|a| 2|b| 2|c| + w ϕ + ∇ϕ, ∇w ≤ Vì ∇(ϕw) = w.∇ϕ + ϕ.∇w = nên: ∇w = −∇ϕ w ϕ Từ đó, ta có: |∇w| = w2 w |∇ϕ|2 = |∇ϕ| ϕ ϕ ∇ϕ, ∇w = ∇ϕ, − ∇ϕ w ϕ =− 33 Footer Page 38 of 161 w |∇ϕ|2 ∇ϕ, ∇w = − w ϕ ϕ w (2.12) Header Page 39 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Tuấn Dũng |∇ϕ|2 ∇ϕ w ∇ϕ, ∇w = − w vào ước lượng (2.13) ta được: ϕ ϕ Thay |∇w| = |∇a|2 |∇b|2 |∇c|2 + + 2|a| 2|b| 2|c| ϕ − K + (2 − α)a+ + α|a| + αb+ + |b| + c + |c| w − +2(1 − f )w2 + 2f |∇ϕ| w ϕ + w ϕ − w |∇ϕ|2 w≤0 ϕ hay −2ϕw K + (2 − α)a+ + α|a| + αb+ + |b| + c + |c| − ϕ +2ϕ(1 − f )w2 + 2f |∇ϕ|w + w ϕ − |∇a|2 |∇b|2 |∇c|2 + + 2|a| 2|b| 2|c| |∇ϕ|2 w≤0 ϕ Áp dụng bất đẳng thức 2ab ≤ a2 + b2 , ta (−f ).|∇ϕ|.w w −2f |∇ϕ|.w = (1 − f )ϕ (1 − f )ϕ ≤ (1 − f )ϕ = f |∇ϕ|2 w + w2 (1 − f )2 ϕ2 f |∇ϕ|2 w + (1 − f )ϕ.w2 (1 − f )ϕ Do −2ϕw K + (2 − α)a+ + α|a| + αb+ + |b| + c + |c| − ϕ +ϕ(1 − f )w2 − Nhân hai vế (2.13) với − |∇a|2 |∇b|2 |∇c|2 + + 2|a| 2|b| 2|c| f |∇ϕ|2 |∇ϕ|2 w + w ϕ − w≤0 (1 − f )ϕ ϕ ta thu 1−f 2ϕ ϕ w K + (2 − α)a+ + α|a| + αb+ + |b| + c + |c| − 1−f 1−f 34 Footer Page 39 of 161 (2.13) |∇a|2 |∇b|2 |∇c|2 + + 2|a| 2|b| 2|c| Header Page 40 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học +ϕw2 − Vì f ≤ 0; < Hà Tuấn Dũng w ϕ |∇ϕ|2 f |∇ϕ|2 w + − w≤0 (1 − f )2 ϕ 1−f ϕ(1 − f ) f2 ≤ 1; ≤ ≤ nên ta có 1−f (1 − f )2 |∇a|2 |∇b|2 |∇c|2 + + 2|a| 2|b| 2|c| −2ϕw K + (2 − α)a+ + α|a| + αb+ + |b| + c + |c| − ϕ +ϕ.w2 − |∇ϕ|2 w ϕ w + ≤0 ϕ 1−f Ta có |∇ϕ|2 t2 |∇ψ|2 t.|∇ψ|2 t.C = = ≤ 21 ϕ ψt ψ R theo (2.10) nên ta ϕw2 + w − K + (2 − α)a+ + α|a| + αb+ + |b| + c + |c| ϕ R (n − 1)K + +t − n−1 + L C1 + C2 + 3C12 ψ R − R t −ϕ |∇a|2 |∇b|2 |∇c|2 + + 2|a| 2|b| 2|c| (2.14) Đặt R (n − 1)K + A=− n−1 + L C1 + C2 + 3C12 R R2 Khi ta có (2.14) trở thành ϕw2 + w − K + (2 − α)a+ + α|a| + αb+ + |b| + c + |c| ϕ + t − A − −ϕ |∇a|2 |∇b|2 |∇c|2 + + 2|a| 2|b| 2|c| ψ t ≤0 (2.15) Nhân ϕ vào hai vế bất phương trình (2.15) với ϕ = tψ (x, t) ta (ϕw)2 − (ϕw)t K + (2 − α)a+ + α|a| + αb+ + |b| + c + |c| ψ + A + 35 Footer Page 40 of 161 ψ t ≤0 Header Page 41 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Tuấn Dũng −ϕ2 |∇a|2 |∇b|2 |∇c|2 + + 2|a| 2|b| 2|c| ≤0 Vì ≤ ψ ≤ ≤ t ≤ T mà ϕ = ψt nên ≤ ϕ ≤ T Suy ϕ2 ≤ T Do (ϕw)2 − (ϕw)T K + (2 − α)a+ + α|a| + αb+ + |b| + c + |c| ψ + A + −T |∇a|2 |∇b|2 |∇c|2 + + 2|a| 2|b| 2|c| Áp dụng bất đẳng thức x2 ≤ ax + b x ≤ a + T ≤0 (2.16) √ b với ∀a, b ≥ từ (2.16) ta ϕw ≤ T K + (2 − α)a+ + α|a| + αb+ + |b| + c + |c| ψ + A + +T T |∇a|2 |∇b|2 |∇c|2 + + 2|a| 2|b| 2|c| Ta có với (x0 , t) ∈ B(p, R) × [0, T ] ψ = ϕ(x, t).w(x, t) ≤ T.w(x0 , T ) nên (x0 , T ) ta có w≤ K + (2 − α)a+ + α|a| + αb+ + |b| + c + |c| sup M ×[0,+∞) + Mặt khác w = |∇a|2 |∇b|2 |∇c|2 + + 2|a| 2|b| 2|c| +A+ T |∇u|2 nên u2 (1 − f )2 |∇u|2 ≤ sup K + (2 − α)a+ + α|a| + αb+ + |b| + c + |c| u2 (1 − f )2 M ×[0,+∞) + |∇a|2 |∇b|2 |∇c|2 + + 2|a| 2|b| 2|c| 36 Footer Page 41 of 161 +A+ T Header Page 42 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Tuấn Dũng Do |∇u|2 ≤ u2 A+ + sup K + (2 − α)a+ + α|a| + αb+ + |b| + c + |c| T M ×[0,+∞) |∇a|2 |∇b|2 |∇c|2 + + 2|a| 2|b| 2|c| + (1 − f )2 Vì T tùy ý nên thay f = lnu, ta có |∇u|2 ≤ u2 A+ K + (2 − α)a+ + α|a| + αb+ + |b| + c + |c| + sup t M ×[0,+∞) |∇a|2 |∇b|2 |∇c|2 + + 2|a| 2|b| 2|c| + Áp dụng bất đẳng thức |∇u| ≤ u t √ a+b≤ √ A+ + √ a+ √ (1 − lnu)2 b ta thu K + (2 − α)a+ + α|a| + αb+ + |b| + c + |c| sup M ×[0,+∞) +4 |∇a|2 |∇b|2 |∇c|2 + + 2|a| 2|b| 2|c| (1 − lnu) Cho R → +∞ từ bất đẳng thức ta thu điều phải chứng minh Nếu < α < lập luận tương tự trường hợp α ≥ kết hợp với ước lượng (2.3) ta thu hết |∇u| ≤ u 1 t2 + sup M ×[0,+∞) + (uα−1 )max K + (uα−2 )max (a + 3|a| + 3|b|) + c + |c| |∇a|2 |∇b|2 + 2|a| 2|b| + |∇c|2 2|c| (1 − lnu) Như vậy, Định lí 2.1 chứng minh Định lý 2.2 Cho M đa tạp Riemann không compact n chiều với điều kiện độ cong RicN V ≥ −K với K ≥ V trường vectơ trơn M Giả sử a, b, c hàm không đổi dấu xác định M × [0, +∞), hàm C (M ) theo biến x, α 37 Footer Page 42 of 161 Header Page 43 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Tuấn Dũng số dương u nghiệm dương phương trình truyền nhiệt (2.1) với u ≤ C với (x, t) ∈ M × (0, +∞) Khi ta có kết sau Nếu α ≥ |∇u| ≤ u 1 t2 + sup K + (2 − α)a+ + α|a| + αb+ + |b| + c + |c| M ×[0,+∞) +4 |∇a|2 |∇b|2 |∇c|2 + + 2|a| 2|b| 2|c| Trong a+ = max {a, 0} , + ln C u b+ = max {b, 0} Nếu < α < |∇u| ≤ u 1 t2 + K + (uα−2 )max (a + 3|a| + 3|b|) + c + |c| sup M ×[0,+∞) + (uα−1 )max |∇a|2 |∇b|2 + 2|a| 2|b| + |∇c|2 2|c| + ln C u Chứng minh Ta có RicN V ≥ −K, theo định lí so sánh Laplace Yi Li [3] ta ∆V p ≤ K ρ n−1 (n − 1)Kcoth ≤ (n − 1)K + n−1 ρ Bằng kĩ thuật tương tự chứng minh Định lí 2.1 ý Định lí 2.2 ta có n−1+ A= (n − 1)K.R C1 + C2 + 3C12 R2 ta điều phải chứng minh 2.2 Một số hệ Trong mục này, đưa vài ứng dụng ước lượng gradient cho phương trình truyền nhiệt Hệ ước lượng dạng Harnack cho phương trình truyền 38 Footer Page 43 of 161 Header Page 44 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Tuấn Dũng nhiệt (2.1) với trường hợp α ≥ Hệ 2.1 Cho M đa tạp Riemann không compact n chiều thỏa mãn RicN V ≥ −K với K ≥ V trường vectơ trơn M Giả sử a, b, c hàm không đổi dấu thỏa mãn điều kiện C1 ≥ max (2 − α)a+ + α|a|; C2 ≥ max   |∇a|2 , 2|a|  αb+ + |b|; |∇b|2 , 2|b| c + |c|  |∇c|2  2|c|  Nếu u nghiệm dương phương trình truyền nhiệt ut = ∆u + V, ∇u + auα lnu + buα + cu Với u ≤ với (x, t) ∈ M × [0, +∞) Khi đó, với x1 , x2 ∈ M ta có u(x2 , t) ≤ u(x1 , t)β e1−β với β = exp − ρ t2 − 2(K + 3C1 ) + 3C2 ρ ρ = ρ(x1 , x2 ) khoảng cách trắc địa x1 x2 Chứng minh Gọi γ(s) đường trắc địa cực tiểu x1 x2 , γ[0, 1] → M , γ(0) = x2 , γ(0) = x1 Ta có ln − f (x1 , t) = ln − f (x1 , t) − ln − f (x2 , t) − f (x2 , t) = ln − f (γ(1), t) − ln − f (γ(0), t) dln − f (γ(s), t) = = dln − f (γ(s), t) ds ds 39 Footer Page 44 of 161 Header Page 45 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Tuấn Dũng = dln − lnu(γ(s), t) ds ds Vì ta có dln − lnu(γ(s), t) |∇u| ≤ |γ| ds u(1 − lnu) Nên ln 1 − f (x1 , t) ≤ − f (x2 , t) |γ| |∇u| ds u(1 − lnu) Theo ước lượng gradient chứng minh Định lí (2.2) ứng với trường hợp α ≥ ta |∇u| ≤ u 1 t2 + K + (2 − α)a+ + α|a| + αb+ + |b| + c + |c| sup M ×[0,+∞) |∇a|2 |∇b|2 |∇c|2 + + 2|a| 2|b| 2|c| +4 + ln C u Với giả thiết C1 ≥ max (2 − α)a+ + α|a|; C2 ≥ max   |∇a|2  2|a| αb+ + |b|; c + |c|  , |∇b|2 2|b| , |∇c|2  2|c|  ta ước lượng |∇u| ≤ u 1 t2 + 2(K + 3C1 ) + 3C2 (1 − lnu) Do |∇u| ≤ + u(1 − lnu) t2 2(K + 3C1 ) + 3C2 từ ta − f (x1 , t) ln ≤ − f (x2 , t) |γ| |∇u| ρ ds ≤ + u(1 − lnu) t2 40 Footer Page 45 of 161 2(K + 3C1 ) + 3C2 ρ Header Page 46 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Tuấn Dũng Đặt β = exp ρ t2 − 2(K + 3C1 ) + 3C2 ρ thay f = lnu(x1 , t); f (x2 , t) = lnu(x2 , t) ta ln 1 − u(x1 , t) ≤ − u(x2 , t) β từ ta thu u(x2 , t) ≤ u(x1 , t)β e1−β Ta có điều phải chứng minh Hệ 2.2 Cho M đa tạp không compact, n chiều thỏa mãn RicN V ≥ −K với K ≥ V trường vectơ trơn M Giả sử b số cố định, c hàm không đổi dấu xác định M × [0, +∞) hàm thuộc C (M ) với biến x, α số α ≥ 1, u nghiệm dương phương trình truyền nhiệt ut = ∆u + V, ∇u + buα + cu Với u ≤ C với (x, t) ∈ M × [0, +∞) |∇u| ≤ u t + sup K + αb+ + c + |c| + M ×[0,+∞) |∇c|2 2|c| + ln C u (2.17) Chứng minh Vì b số cố định nên ∇b = 0; từ ước lượng (2.2) ta w ≥ −2 K + αb+ + c + |c| w − |∇c|2 w + 2(1 − f )w2 + 2f |∇w|.w 2|c| Từ áp dụng kĩ thuật tương tự chứng minh Định lí 2.1 ta điều phải chứng minh Hệ 2.3 Cho M đa tạp không compact n chiều thỏa mãn RicN V ≥ −K với K = V trường vectơ trơn M Giả sử b số âm cố định α số, α ≥ phương trình eliptic phi tuyến ∆u + buα = 41 Footer Page 46 of 161 (2.18) Header Page 47 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Tuấn Dũng nghiệm dương Chứng minh Giả sử u nghiệm dương phương trình (2.18) Trong báo [10], Lin Feng Wang chứng minh phương trình (2.18) có nghiệm dương nghiệm bị chặn Do đó, ta coi u ≤ C với C số dương Mặt khác u nghiệm phương trình ut = ∆u + V, ∇u + buα + cu V = 0; c = Theo ước lượng (2.17) |∇u| ≤ u t + (K + αb+ ) sup + ln M ×[0,+∞) C u mà b số âm nên b+ = từ ta có |∇u| ≤ u t + ln C u Cho t → ∞ |∇u| = 0; u ≡ const Từ (2.18) ta u = (vô lí) Do đó, điều giả sử sai Vậy phương trình (2.18) nghiệm dương Từ hệ (2.3) ta thu hệ sau (xem [10]) Hệ 2.4 Trong không gian Euclide có số chiều n ≥ 3, với metric tắc g0 không tồn metric g ∈ Cg0 = u n−2 g0 |u > 0, u ∈ C ∞ (M ) cho đường cong vô hướng tương ứng với g số âm Đặc biệt, ta cho V ∇φ, a = b = c hàm xác định âm M × [0, +∞) từ Định lí 2.2 ta thu kết đánh giả Qihua Ruan [6] sau Hệ 2.5 Cho M đap tạp không compact n chiều thỏa mãn RicN φ ≥ −K với K ≥ φ hàm vectơ M Giả sử c hàm xác định âm M × [0, +∞) 42 Footer Page 47 of 161 Header Page 48 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Tuấn Dũng hàm thuộc C (M ) với biến x Cho u nghiệm dượng phương trình ut = ∆u + ∇φ, ∇u + cu với u ≤ C M × [0, +∞) Khi  √ |∇u|  ≤ 2K + sup + u t2 M ×[0,+∞) 43 Footer Page 48 of 161 √ ∇ −c   + ln C u Header Page 49 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Tuấn Dũng KẾT LUẬN Trong khóa luận này, tác giả nghiên cứu ước lượng gradient cho phương trình truyền nhiệt đa tạp Riemann thu kết sau Chứng minh ước lượng gradient cho phương trình truyền nhiệt đa tạp Riemann với độ cong RicV RicN V bị chặn Nội dung chứng minh trình bày Định lí 2.1 Định lí 2.2 Đưa hệ thu từ việc ước lượng gradient cho phương trình nhiệt nói Dù cố gắng song bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận đóng góp quý thầy cô bạn đọc để đề tài hoàn thiện hơn.Tác giả xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016 44 Footer Page 49 of 161 Header Page 50 of 161 Tài liệu tham khảo [1] PHÙNG THỊ DIỆU TUYỀN, Cấu trúc hình học đa tạp đầy với bất đẳng thức Poincare có trọng, Luận văn thạc sĩ, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội [2] ĐỖ THỊ HẠNH, Ước lượng gradient cho phương trình khuếch tán phi tuyến đa tạp Riemann, Luận văn thạc sĩ, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội [3] E CALABI, An extension of E.Hopf’s maximum principle with an application to Riemannian geometry, Duke Math Jour., 25 (1958), 45-56 [4] Q CHEN, J.JOST, and H.B.QIU, Existence and Liouville theorems for Vharmonic maps from complete manifolds, Ann Glob Anal Geom., 42 (2012), 565-584 [5] R S HAMILTON, A matrix Harnack estimate for the heat equation, Comm Anal Geom., (1993), 113-126 [6] Y LI, Li-Yau-Hamilton estimates and Bakry-Esmeery Ricci curvature, Nonlinear Anal., 113 (2015), 1-32 [7] P LI and S T YAU, On the parabolic kernel of the Schr¨odinger operator, Acta Math., 156 (1986), 152-201 [8] Q J RUAN, Elliptic-type gradient estimates for Schr¨odinger equation on noncompact manifolds, Bull London Math Soc., 39 (2007), 982-988 45 Footer Page 50 of 161 Header Page 51 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Tuấn Dũng [9] P SOUPLET and ZHANG, Sharp gradient estimate and Yau’s Liouville theorem for the heat equation on noncompact manifolds, Bull London Math Soc., 38 (2006), 1045-1053 [10] R SCHEON, S T YAU, Lectures on differential geometry, in Conference Proceedings and Lecture Notes in Geometry anh Topology, vol I, International Press, 1994 [11] N T Dung, N N KHANH, Gradient estimates of Hamilton-Souplet-Zhang type for a general heat equation on Riemannian manifolds, arXiv:1505.07790 [12] L.F.Wang, Liouville theorems and gradient estimates for a nonlinear elliptic equation, J Differential Equation (2015), Volume 260, Issue 1, January 2016, Pages 567–585 46 Footer Page 51 of 161 ... Ricci 16 ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 21 2.1 Ước lượng gradient cho phương trình truyền nhiệt đa tạp Riemann 22 2.2 Một số hệ ... tổng quát hóa cho phương trình phi tuyến khác đa tạp Riemann Bên cạnh năm 1993, Hamilton đưa ước lượng gradient khác, sau gọi ước lượng gradient kiểu Hamilton cho phương trình nhiệt đa tạp Riiemann... gradient cho phương trình truyền nhiệt đa tạp Riemann" chúng chứng minh ước lượng gradient kiểu Hamilton - Souplet - Zang cho phương trình nhiệt tổng quát đề cập đưa hệ thu từ ước lượng Footer