Tập lồi đa diện và ứng dụng trong quy hoạch toàn phương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* LÃ HỒNG NHUNG TẬP LỒI ĐA DIỆN VÀ ỨNG DỤNG TRONG QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* LÃ HỒNG NHUNG TẬP LỒI ĐA DIỆN VÀ ỨNG DỤNG TRONG QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN VĂN NGHỊ HÀ NỘI – 2018 Lã Hồng Nhung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lời cảm ơn Để hoàn thiện khóa luận em nhận giúp đỡ thầy khoa Tốn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy cơ, đặc biệt TS.Trần Văn Nghị, người trực tiếp tận tình hướng dẫn để em hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy trường ĐHSP Hà Nội tận tình dạy bảo em suốt q trình học tập trường Khóa luận chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh viên Lã Hồng Nhung i Lời cam đoan Khóa luận hồn thành sau q trình tự tìm hiểu, nghiên cứu thân với hướng dẫn TS.Trần Văn Nghị Khóa luận có tham khảo kết nghiên cứu nhà khoa học ngồi nước Em xin cam đoan kết khóa luận khơng chép từ khóa luận Em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh viên Lã Hồng Nhung Mục lục Mở đầu 1 Tập lồi đa diện 1.1 Tập lồi 1.2 Tập lồi đa diện 14 1.2.1 Khái niệm tập lồi đa diện 14 1.2.2 Điểm cực biên tập lồi đa diện 16 1.2.3 Phương vô tận phương cực biên tập lồi đa diện 1.2.4 20 Cấu trúc tập lồi đa diện không chứa đường thẳng Ứng dụng quy hoạch tồn phương 21 24 2.1 Bài tốn quy hoạch toàn phương 24 2.2 Sự tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương 27 2.2.1 Định lí Frank-Wolfe 27 2.2.2 Định lí Eaves 29 Điều kiện cực trị cho tốn quy hoạch tồn phương 31 2.3.1 Điều kiện cực trị bậc 31 2.3.2 Điều kiện cực trị bậc hai 35 2.3 KẾT LUẬN 39 Tài liệu tham khảo 40 Lã Hồng Nhung Khóa luận tốt nghiệp Đại học MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tập lồi đa diện môt loại tập lồi đặc biệt Đây đối tượng toán học quan trọng, có nhiều ứng dụng khoa học kỹ thuật Từ xa xưa, nhà toán học giới tập trung vào khai thác tính chất đặc biệt tập lồi đa diện sử dụng tính chất quan trọng để giải toán quan trọng tối ưu, điều khiển, tin học, toán kinh tế nhiều lĩnh vực khác Trong quy hoạch tốn học, tốn quy hoạch tồn phương tập lồi đa diện thu hút nhiều nhà nghiên cứu nước quốc tế đạt nhiều thành tựu có ý nghĩa Với mong muốn nghiên cứu sâu tính chất tập lồi đa diện tầm quan trọng nó, em chọn đề tài "Tập lồi đa diện ứng dụng quy hoạch tồn phương" làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu tập lồi đa diện Lã Hồng Nhung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Tập lồi đa diện - Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng tập lồi đa diện toán quy hoạch tồn phương Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày sở lý thuyết tập lồi, tập lồi đa diện ứng dụng tốn quy hoạch tồn phương nhờ tính chất tập lồi đa diện Phương pháp nghiên cứu Phân tích tổng hợp kiến thức Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm chương: Chương 1: Tập lồi đa diện Chương 2: Ứng dụng quy hoạch toàn phương Chương Tập lồi đa diện Nội dung chương đề cập đến tập lồi tập lồi đa diện Tập lồi tính chất tập lồi trình bày Mục 1.1 Khái niệm tính chất tập lồi đa diện trình bày Mục 1.2 1.1 Tập lồi Định nghĩa 1.1 Tập C ⊂ Rn gọi tập lồi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1] λx + (1 − λ) y ∈ C Nhận xét 1.1 Tập ∅ tập có phần tử xem tập lồi Định nghĩa 1.2 Đoạn thẳng nối x1 x2 tập hợp định nghĩa sau [x1 , x2 ] = {x ∈ C : x = λx1 + (1 − λ) x2 , λ ∈ [0; 1]} Nhận xét 1.2 Nếu tập C lồi, đoạn thẳng nối điểm thuộc C thuộc C Định nghĩa 1.3 Tập C ⊂ Rn gọi tập affine ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R λx + (1 − λ) y ∈ C Lã Hồng Nhung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Định nghĩa 1.4 Cho tập A ⊂ Rn , giao tất tập affine chứa A gọi bao affine A Kí hiệu: affA Ví dụ 1.1.1 Trong R2 , đoạn thẳng, tia, đường thẳng, hình tam giác (nói chung đa giác lồi), hình tròn tập lồi Hình cầu đơn vị khơng gian Banach tập lồi Các nửa không gian tập lồi Định lý 1.1 Giao số tập lồi tập lồi Chứng minh Gọi Ci tập lồi, I tập số tùy ý ∀x1 , x2 ∈ C = ∩ Ci , ∀λ ∈ [0; 1], suy x1 , x2 ∈ Ci , ∀i ∈ I Vì Ci i∈I tập lồi nên λx1 + (1 − λ) x2 ∈ Ci , ∀i ∈ I Do λx1 + (1 − λ) x2 ∈ ∩ Ci = C i∈I Hệ 1.1 Cho ∈ Rn αi ∈ R với i ∈ I, I tập số tùy ý Khi đó, tập C = {x ∈ Rn : x, ≤ αi , ∀i ∈ I} lồi Chứng minh Với i ∈ I, đặt Ci = {x ∈ Rn : x, ≤ αi } Khi đó, Ci nửa khơng gian đóng ∅ Rn Do C = ∩ Ci lồi i∈I Lã Hồng Nhung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nếu tồn x ∈ X cho f (x) ≥ f (x) , ∀x ∈ X x gọi nghiệm toán; Một nghiệm x toán gọi nghiệm địa phương tồn lân cận U x cho f (x) ≥ f (x) , ∀x ∈ ∆ ∩ U Định nghĩa 2.4 Cho tập lồi C ⊂ Rn Một hàm số f : C → R gọi lồi ∀x, y ∈ C, ∀α ∈ [0; 1] ⇒ f [αx + (1 − α) y] ≤ αf (x) + (1 − α) f (y) Ví dụ 2.1.1 Hàm số g (x) = αf (x) + β hàm lồi, f : Rn → R hàm lồi α, β vô hướng cho α > Định nghĩa 2.5 Một ma trận D ∈ Rm×n gọi xác định dương (xác định âm) v T Dv > (v T Dv < 0) với v ∈ Rn \ {0} Nếu v T Dv ≥ (v T Dv ≤ 0) với v ∈ Rn D gọi nửa xác định dương (nửa xác định âm) n Định lý 2.1 Cho f (x) = xT Dx + cT x + α, D ∈ Rn×n S ,c ∈ R α ∈ R Nếu D ma trận nửa xác định dương f hàm lồi Ví dụ 2.1.2 Bài tốn quy hoạch tồn phương sau khơng lồi f (x) = x21 − x22 : x = (x1 , x2 ) , ≤ x1 ≤ 5, ≤ x2 ≤ Hiển nhiên, f hàm khơng lồi Ta kiểm tra Sol (P ) = {(2; 5)} v (P ) = −21 Rõ ràng, ta bỏ số α biểu diễn (2.1) f tập nghiệm toán {f (x) : x ∈ ∆} khơng đổi Vì vậy, ta thường 26 Lã Hồng Nhung Khóa luận tốt nghiệp Đại học sử dụng dạng đơn giản hàm mục tiêu: f (x) = xT Dx + cT x Ta gọi dạng sau quy hoạch toàn phương: T x Dx + cT x : x ∈ Rn , Ax ≥ b , T x Dx + cT x : x ∈ Rn , Ax ≥ b, x ≥ , T x Dx + cT x : x ∈ Rn , Ax ≥ b, Cx = d dạng chuẩn tắc, tắc, tổng quát (A, C, b, d có vai trò dạng điển hình tốn tuyến tính) Chú ý biểu diễn tập ràng buộc quy hoạch toàn phương dạng tắc khác so với tốn tuyến tính tắc Nhờ mối liên hệ chặt chẽ tốn quy hoạch tồn phương với tốn bù tuyến tính, ta nhận định nghĩa quy hoạch tồn phương dạng tắc 2.2 Sự tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương 2.2.1 Định lí Frank-Wolfe Xét quy hoạch toàn phương dạng chuẩn tắc   f (x) := xT Dx + cT x  x ∈ Rn , Ax ≥ b 27 (2.2) Lã Hồng Nhung Khóa luận tốt nghiệp Đại học đó: D ∈ Rsn×n , A ∈ Rm×n , c ∈ Rn b ∈ Rm Ta sử dụng kí hiệu sau cho tập ràng buộc giá trị tối ưu (2.2): ∆ (A, b) = {x ∈ Rn : Ax ≥ b} , θ = inf {f (x) : x ∈ ∆ (A, b)} Nếu ∆ (A, b) = ∅ quy ước θ = +∞ Nếu ∆ (A, b) = ∅ có hai trường hợp: (i) θ ∈ R ; (ii) θ = −∞ Nếu (ii) xảy chắn tốn (2.2) khơng có nghiệm Câu hỏi đặt là: Liệu (i) xảy tốn ln có nghiệm? Chú ý toán tối ưu với hàm mục tiêu khơng tồn phương khơng có nghiệm kể trường hợp giá trị tối ưu hữu hạn Ví : x ∈ R, x ≥ khơng có nghiệm giá trị dụ, tốn x2 tối ưu θ = inf , x ∈ R, x ≥ = hữu hạn x2 Định lý 2.2 (Định lí Frank-Wolfe) Nếu θ = inf {f (x) : x ∈ ∆ (A, b)} số thực hữu hạn tốn (2.2) có nghiệm Trong Định lí (2.2) ta giả sử f hàm tồn phương tuyến tính ∆ tập lồi đa diện Từ định nghĩa tập lồi đa diện, ta có với tập lồi đa diện ∆ ⊂ Rn , tồn số m ∈ N, ma trận A ∈ Rm×n , vectơ b ∈ Rm cho ∆ = {x ∈ Rn : Ax ≥ b} Nghĩa Định lí Frank-Wolfe phát biểu sau: “Nếu hàm toàn phương tuyến tính bị chặn tập lồi đa diện khác rỗng, tốn cực tiểu hàm tập có 28 Lã Hồng Nhung Khóa luận tốt nghiệp Đại học nghiệm” Ví dụ 2.2.1 Cho f (u) = x, ∀u = (x, y, z) ∈ R3 ∆ = x = (x, y, z) ∈ R3 : xyz ≥ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ Ta có θ = inf {f (u) : u ∈ ∆} = toán {f (u) : u ∈ ∆} khơng có nghiệm Nếu ∆ tập lồi đa diện giả thiết f khơng phải hàm tồn phương tuyến tính, kết luận Định lí (2.2) khơng Trong ví dụ sau, f hàm đa thức bậc với ẩn x1 , x2 Ví dụ 2.2.2 Cho f (x) = x21 + (1 − x1 x2 )2 , ∀x = (x1 , x2 ) ∈ R2 , ∆ = x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 ≥ 0, x2 ≥ Ta thấy f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R2 Chọn xk := , + k , k ∈ N k Ta có: f xk = → k → ∞ k2 Suy θ := inf {f (x) : x ∈ ∆} = = inf f (x) : x ∈ R2 Dễ thấy, toán {f (x) : x ∈ ∆} f (x) : x ∈ R2 khơng có nghiệm Frank Wolfe tốn cực tiểu hàm đa thức có bậc lớn tập lồi đa diện không rỗng khơng có nghiệm kể trường hợp hàm bị chặn tập 2.2.2 Định lí Eaves Định lý 2.3 (Định lí Eaves) Bài tốn (2.2) có nghiệm điều kiện sau thỏa mãn: 29 Lã Hồng Nhung Khóa luận tốt nghiệp Đại học (i) ∆ (A, b) khác rỗng; (ii) Nếu v ∈ Rn Av ≥ v T Dv ≥ 0; (iii) Nếu v ∈ Rn x ∈ Rn cho Av ≥ 0, v T Dv = Ax ≥ b (Dx + c)T v ≥ Hệ 2.1 Giả sử D ma trận nửa xác định dương Khi đó, tốn (2.2) có nghiệm ∆ (A, b) khác rỗng thỏa mãn điều kiện sau: v ∈ Rn , x ∈ Rn , Av ≥ 0, v T Dv = 0, Ax ≥ b ⇒ (Dx + c)T v ≥ (2.3) Hệ 2.2 Giả sử D ma trận nửa xác định âm Khi đó, tốn (2.2) có nghiệm ∆ (A, b) khác rỗng thỏa mãn điều kiện sau: (i) (v ∈ Rn , Av ≥ 0) ⇒ v T Dv = 0; (ii) (v ∈ Rn , x ∈ Rn , Av ≥ 0, Ax ≥ b) ⇒ (Dx + c)T v ≥ Hệ 2.3 Nếu D ma trận xác định dương tốn (2.2) có nghiệm ∆ (A, b) khác rỗng Hệ 2.4 Nếu D ma trận xác định âm tốn (2.2) có nghiệm ∆ (A, b) khác rỗng compact Định lí (2.3) cho phép kiểm tra tồn nghiệm quy hoạch tồn phương có dạng (2.2) thơng qua giải tích Nếu vi phạm điều kiện (i), (ii), (iii) định lí tốn khơng có nghiệm Hệ 2.5 Cho D ∈ Rm×n , A ∈ Rm×n , c ∈ Rn b ∈ Rm Bài tốn s quy hoạch tồn phương 30 Lã Hồng Nhung Khóa luận tốt nghiệp Đại học T x Dx + cT x : x ∈ Rn , Ax ≥ b, x ≥ (2.4) có nghiệm điều kiện sau thỏa mãn: (i) Tập ràng buộc {x ∈ Rn : Ax ≥ b, x ≥ 0} khác rỗng; (ii) Nếu v ∈ Rn , Av ≥ v ≥ v T Dv ≥ 0; (iii) Nếu v ∈ Rn x ∈ Rn cho Av ≥ 0, v ≥ 0, v T Dv = 0, Ax ≥ b x ≥ (Dx + c)T v ≥ Hệ 2.6 Cho D ∈ Rm×n , A ∈ Rm×n , C ∈ Rs×n , c ∈ Rn , b ∈ Rm s d ∈ Rs Bài tốn quy hoạch tồn phương T x Dx + cT x : x ∈ Rn , Ax ≥ b, Cx = d (2.5) có nghiệm điều kiện sau thỏa mãn: (i) Tập ràng buộc {x ∈ Rn : Ax ≥ b, Cx = d} khác rỗng; (ii) Nếu v ∈ Rn , Av ≥ Cv = v T Dv ≥ 0; (iii) Nếu v ∈ Rn x ∈ Rn cho Av ≥ 0, Cv = 0, v T Dv = 0, Ax ≥ b Cx = d (Dx + c)T v ≥ 2.3 Điều kiện cực trị cho tốn quy hoạch tồn phương 2.3.1 Điều kiện cực trị bậc Định lý 2.4 Cho x vectơ chấp nhận toán quy hoạch tồn phương 31 Lã Hồng Nhung Khóa luận tốt nghiệp Đại học f (x) = xT Dx + cT x : x ∈ ∆ (2.6) đó, D ∈ Rsn×n , c ∈ Rn ∆ ∈ Rn tập lồi đa diện (i) Nếu x nghiệm địa phương tốn Dx + c, x − x ≥ 0, ∀x ∈ ∆ (2.7) Dx + c, x − x > 0, ∀x ∈ ∆\ {x} (2.8) (ii) Nếu x nghiệm địa phương (2.6) và, nữa, tồn ε > > cho f (x) − f (x) ≥ x − x , ∀x ∈ ∆ ∩ B (x, ε) (2.9) Định lý 2.5 Nếu x ∈ Rn nghiệm địa phương tốn (2.2) tồn λ = (λ1 , , λm ) ∈ Rm cho    Dx − AT λ + c = 0,   Ax − b ≥ 0, λ ≥ 0,     λT (Ax − b) = (2.10) Hệ 2.7 Nếu x nghiệm địa phương tốn (2.4), tồn λ = (λ1 , , λm ) ∈ Rm cho    Dx − AT λ + c ≥ 0,   Ax − b ≥ 0, x ≥ 0, λ ≥ 0,     xT (Dx − Ax + c) + λT (Ax − b) = 32 (2.11) Lã Hồng Nhung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hệ 2.8 Nếu x nghiệm địa phương tốn (2.5), tồn λ = (λ1 , , λm ) ∈ Rm µ = (µ1 , , µs ) ∈ Rs cho    Dx − AT λ − C T µ + c = 0,   Ax − b ≥ 0, Cx = d, λ ≥ 0,     λT (Ax − b) = (2.12) Định nghĩa 2.6 Nếu (x, λ) ∈ Rn × Rm cặp thỏa mãn (2.10) (tương ứng (2.11)), ta nói (x, λ) cặp Karush-Kuhn-Tucker (cặp KKT ) quy hoạch tồn phương dạng chuẩn tắc (2.2) (tương ứng dạng tắc (2.4)) Điểm x gọi điểm KKT số thực λ1 , , λm gọi nhân tử Lagrange tương ứng với x Tương tự, nu (x, , à) Rn ì Rm ì Rs ba thỏa mãn (2.12) x gọi điểm KKT quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát (2.5), số thực λ1 , , λm µ1 , , µs gọi nhân tử Lagrange tương ứng với x Đôi khi, vectơ λ = (λ1 , , λm ) µ = (µ1 , , µs ) gọi nhân tử Lagrange tương ứng với x Sử dụng kí hiệu, ta viết gọn tập điểm KKT (2.2) (2.4) S (D, A, c, b) Tương tự, tập nghiệm (tương ứng tập nghiệm địa phương) (2.1) (2.4) viết gọn Sol (D, A, c, b) (tương ứng loc (D, A, c, b)) Từ Định lí 2.5 Hệ 2.7, ta suy Sol (D, A, c, b) ⊂ loc (D, A, c, b) ⊂ S (D, A, c, b) 33 (2.13) Lã Hồng Nhung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ví dụ 2.3.1 Cho tốn quy hoạch toàn phương 1 f (x) = x21 − x22 − x1 2 với tập ràng buộc ∆ = x = (x1 , x2 ) ∈ R2 , x1 + 2x2 ≥ 0, x1 − 2x2 ≥ Ta có  D= 0 −1   ,A =  S (D, A, c, b) =  −2 ,c =  (1, 0) , loc (D, A, c, b) =  −1   ,b =  4 , , ,− 3 3 4 , , ,− 3 3 0  , , Ta thấy, ∀x ∈ 1 2 f (x) + = x21 − x22 − x1 + ≥ x21 − x1 + ≥ ⇒ f (x) ≥ − 2 3 4 2 Với x1 = , x2 = , − , ta có f (x1 ) = f (x2 ) = − Vì 3 3 x1 , x2 nghiệm toán Sol (D, A, c, b) = loc (D, A, c, b).Ta kiểm tra λ = (0, 0) nhân tử Lagrange tương ứng với x3 = (1, 0) Ví dụ 2.3.2 Xét tốn quy hoạch tồn phương với hàm số f (x) xác định Ví dụ 2.3.1 với tập ràng buộc ∆ = x = (x1 , x2 ) ∈ R2 , x1 + 2x2 ≥ 0, x1 − 2x2 ≥ 0, x1 ≥ 34 Lã Hồng Nhung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ta có   ,A =  D=   −1   −2       −1   ,b =   , ,c =       S (D, A, c, b) = {(2, −1) , (2, 1) , (2, 0)} , Sol (D, A, c, b) = loc (D, A, c, b) = {(2, −1) , (2, 1)} Đặt x1 = (2, −1) , x2 = (2, 1) x3 = (2, 0) Khi x1 , x2 thỏa mãn điều kiện nghiệm địa phương Chú ý λ = (0, 0, 1) nhân tử Lagrange tương ứng với x3 2.3.2 Điều kiện cực trị bậc hai Định lý 2.6 Điều kiện cần đủ để điểm x ∈ Rn nghiệm địa phương của toán (2.5) tồn cặp vectơ λ, µ = λ1 , , λm , µ1 , , µs ∈ Rm × Rs cho (i) Hệ sau thỏa mãn    Dx − AT λ − C T µ + c = 0,   Ax − b ≥ 0, Cx = d, λ ≥ 0,     λT (Ax − b) = (2.14) (ii) Nếu v ∈ Rn \ {0} cho AI1 v = 0, AI2 v ≥ 0, Cv = 0, I1 = i : Ai x = bi , λi > , I2 = i : Ai x = bi , λi = 35 (2.15) Lã Hồng Nhung Khóa luận tốt nghiệp Đại học v T Dv ≥ Xét toán (2.5) tập ∆ = {x ∈ Rn : Ax ≥ b, Cx = d} Kí hiệu hàm mục tiêu (2.5) f (x), (∇f (x))⊥ nửa khơng gian tuyến tính trực giao với ∇f (x), nghĩa là: (∇f (x))⊥ = {x ∈ Rn : ∇f (x) , v = 0} Để chứng minh Định lí 2.6 ta cần kết sau Bổ đề 2.1 Cho x ∈ Rn , λ ∈ Rm µ ∈ Rs cho hệ (2.14) thỏa mãn Đặt I1 I2 (2.15) Khi {v ∈ Rn : AI1 v = 0, AI2 v ≥ 0, Cv = 0} = {v ∈ Rn : AI0 v = 0, Cv = 0} ∩ (∇f (x))⊥ = T∆ (x) ∩ (∇f (x)) đó, I0 := I1 ∪ I2 = {i : Ai x = bi } T∆ (x) kí hiệu nón tiếp tuyến ∆ x Định lý 2.7 Điều kiện cần đủ để điểm x ∈ Rn nghiệm địa phương toán (2.5) tính chất sau thỏa mãn: (i) ∇f (x) , v = (Dx + c)T v ≥ với v ∈ T∆ (x) = {x ∈ Rn : AI0 v ≥ 0, Cv = 0}, I0 = {i : Ai x = bi }; (ii) v T Dv ≥ với v ∈ T∆ (x) ∩ (∇f (x))⊥ , (∇f (x))⊥ = {v ∈ Rn : ∇f (x) , v = 0} 36 Lã Hồng Nhung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tính chất thứ tương đương với tồn ca cp , Rm ì Rs tha hệ (2.14) thiết lập cách sử dụng Bổ đề Farkas vài lí luận tương tự chứng minh Bổ đề 2.1 Sự tương đương tính chất (ii) Định lí 2.7 tính chất (ii) Định lí 2.6, viết thành cơng thức qua tập nhân tử Lagrange, suy từ Bổ đề 2.1 Vì vậy, Định lí 2.7 tương đương với Định lí 2.6 Định nghĩa 2.7 Một điểm x ∈ ∆ gọi nghiệm địa phương chặt toán {f (x) : x ∈ ∆}, f : Rn → R hàm số thực ∆ ∈ Rn tập cho, tồn ε > cho f (x) > f (x) , ∀x ∈ (∆ ∩ B (x, ε)) \ {x} Hiển nhiên, x nghiệm địa phương chặt toán cực tiểu nghiệm địa phương tốn Điều ngược lại nói chung khơng Định lí mô tả điều kiện cực trị bậc để điểm nghiệm địa phương chặt tốn quy hoạch tồn phương Định lý 2.8 Điều kiện cần đủ để điểm x ∈ Rn nghiệm địa phương chặt toán (2.5) tồn cặp vectơ λ, µ = λ1 , , λm , à1 , , às Rm ì Rs cho (i) Hệ (2.14) thỏa mãn (ii) Nếu v ∈ Rn \ {0} cho AI1 v = 0, AI2 v ≥ 0, Cv = 0, I1 = i : Ai x = bi , λi > , I2 = i : Ai x = bi , λi = v T Dv > 37 Lã Hồng Nhung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Định lý 2.9 Điều kiện cần đủ để điểm x ∈ Rn nghiệm địa phương chặt tốn (2.5) tính chất sau thỏa mãn: (i) ∇f (x) , v = (Dx + c)T v ≥ với v ∈ T∆ (x) = {x ∈ Rn : AI0 v ≥ 0, Cv = 0}, I0 = {i : Ai x = bi } (ii) v T Dv ≥ với vectơ khác v ∈ T∆ (x) ∩ (∇f (x))⊥ , (∇f (x))⊥ = {v ∈ Rn : ∇f (x) , v = 0} Chú ý Định lí 2.7, tính chất tương đương với tn ti cp , Rm ì Rs tha mãn hệ (2.14) Sự tương đương tính chất (ii) Định lí 2.9 tính chất (ii) Định lí 2.8, viết thành cơng thức qua tập nhân tử Lagrange, suy từ Bổ đề 2.1 Vì vậy, Định lí 2.9 tương đương với Định lí 2.8 Định lý 2.10 Nếu x ∈ Rn nghiệm địa phương chặt tốn (2.5) tồn ε > f (x) − f (x) ≥ > cho x−x với x ∈ ∆ ∩ B (x, ε) ∆ = {x ∈ Rn : Ax ≥ b, Cx = d} tập ràng buộc (2.5) 38 Lã Hồng Nhung Khóa luận tốt nghiệp Đại học KẾT LUẬN Trong khóa luận, em trình bày vấn đề liên quan đến tập lồi đa diện ứng dụng vào toán quy hoạch tồn phương Sau q trình nghiên cứu, em tìm hiểu thêm nhiều kiến thức mới, đúc rút cho số kiến thức vấn đề nghiên cứu Em hy vọng điều em trình bày khóa luận giúp cho việc nghiên cứu vấn đề khác có liên quan hình học thuận lợi Vì thời gian kiến thức có hạn nên khóa luận nhiều thiếu sót khó tránh khỏi Kính mong q thầy bạn góp ý để khóa luận hoàn thiện 39 Tài liệu tham khảo [1] LÊ DŨNG MƯU, NGUYỄN VĂN HIỀN, Nhập môn giải tích lồi ứng dụng, Hà Nội, 2009 [2] QUÁCH VĂN CHƯƠNG, Luận văn thạc sỹ, Trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh, 2011 [3] GUE MYUNG LEE, NGUYEN NANG TAM, and NGUYEN DONG YEN, Quadratic Programming and Affine Variational Inequalities: A Qualitative Study, Vol, 78, Springer Science & Business Media, 2006 [4] HOANG TUY, Convex Analysis and Global Optimization, 1998 40 ... gồm chương: Chương 1: Tập lồi đa diện Chương 2: Ứng dụng quy hoạch toàn phương Chương Tập lồi đa diện Nội dung chương đề cập đến tập lồi tập lồi đa diện Tập lồi tính chất tập lồi trình bày Mục 1.1... đầu 1 Tập lồi đa diện 1.1 Tập lồi 1.2 Tập lồi đa diện 14 1.2.1 Khái niệm tập lồi đa diện 14 1.2.2 Điểm cực biên tập lồi đa diện. .. toán quy hoạch dạng toàn phương (hay quy hoạch toàn phương) f hàm toàn phương ∆ ⊂ Rn tập lồi đa diện Trong biểu diễn (2.1) D ma trận khơng f hàm affine Vì vậy, lớp quy hoạch tuyến tính lớp lớp quy