Các phương pháp biểu diễn dao động và ứng dụng trong giải các bài toán dao động

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ CÔNG THỊ KHÁNH HUYỀN CÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN DAO ĐỘNG Chuyên ngành: Vật lý đại cương KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ CÔNG THỊ KHÁNH HUYỀN CÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN DAO ĐỘNG Chuyên ngành: Vật lý đại cương KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS LÊ ĐÌNH TRỌNG HÀ NỘI, 2018 LỜI CẢM ƠN Lời em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo – PGS.TS Lê Đình Trọng người hướng dẫn, tận tình bảo, giúp đỡ em suốt q trình học tập nghiên cứu để hồn thành đề tài khóa luận Em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô giáo khoa Vật lý trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ, tạo điều kiện cho em suốt thời gian thực khóa luận Trong q trình nghiên cứu em cố gắng nỗ lực để thực đề tài cách hoàn thiện Song làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên khơng tránh khỏi vài thiếu sót Em mong nhận góp ý thầy giáo bạn đọc để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày… tháng năm 2018 Sinh viên Công Thị Khánh Huyền i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Khóa luận xét tốt nghiệp với đề tài “Các phương pháp biểu diễn dao động ứng dụng giải tốn dao động” hồn thành với cố gắng thân với giúp đỡ tận tình thầy giáo PGS.TS Lê Đình Trọng, tơi xin cam đoan khóa luận khơng trùng khớp với kết cơng trình nghiên cứu khác cơng bố Trong q trình thực khóa luận, tơi có tham khảo thành tựu nhà nhà nghiên cứu trước với trân trọng biết ơn sâu sắc Hà Nội, ngày… tháng năm 2018 Sinh viên Công Thị Khánh Huyền ii MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU .2 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU .2 ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI NỘI DUNG CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT .3 1.1 DAO ĐỘNG 1.1.1 Một số khái niệm tổng quát dao động 1.1.2 Dao động điều hòa 1.2 CÁC HỆ DAO ĐỘNG 1.2.1 Hệ dao động điều hòa .5 1.2.2 Hệ dao động riêng tắt dần 1.2.3 Hệ dao động riêng trì .11 1.2.4 Hệ dao động cưỡng 11 1.3 CÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG 12 1.3.1 Phương pháp lượng giác 12 1.3.2 Phương pháp hình học 12 1.3.3 Phương pháp số phức 13 CHƯƠNG 2: VẬN DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG VÀO GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG 15 2.1 BÀI TOÁN TỔNG HỢP HAI DAO ĐỘNG CÙNG TẦN SỐ 15 2.1.1 Hai dao động phương, tần số biên độ pha ban đầu khác nhau: 15 2.1.2 Hai dao động tần số, phương vng góc nhau, biên độ pha ban đầu khác 27 2.2 BÀI TOÁN TỔNG HỢP HAI DAO ĐỘNG KHÁC TẦN SỐ 30 2.2.1 Tổng hợp hai dao động điều hòa phương, tần số khác (hiện tượng phách) 31 2.2.2 Tổng hợp hai dao động có phương vng góc nhau, tần số bội ngun lần KẾT LUẬN 37 TÀI TIỆU THAM KHẢO 38 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Dao động học phần kiến thức quan trọng vật lý nói riêng khoa học kỹ thuật đời sống nói chung Kiến thức dao động nội dung lớn chương trình vật lý lớp 12, chiếm lượng lớn hệ thống kiến thức thi THPT Quốc gia, đồng thời học phần thiếu sinh viên khoa Vật lý, tầm quan trọng trọng Không vậy, hệ thống tập dao đông vô phong phú dạng lẫn cách biểu diễn, phương pháp giải tập Khi nghiên cứu dao động, nhiều phương pháp biểu diễn dao động sử dụng như: phương pháp lượng giác, phương pháp hình học, phương pháp số phức Mỗi phương pháp có ưu điểm hạn chế riêng Để giải toán dao động nhanh gọn, hiệu quả, phù hợp với xu đổi ngành giáo dục giảng dạy kiểm tra đánh giá theo hướng trắc nghiệm khách quan, đòi hỏi học sinh bên cạnh nắm kiến thức cần phải có phản ứng nhanh dạng tốn việc hiểu rõ vận dụng tốt phương pháp biểu diễn dao động vào giải toán dao động cụ thể cần thiết Qua trình học tập, nghiên cứu vật lý đại học, tìm hiểu phương pháp giải tập vật lý hiệu đặc biệt phần dao động, tơi cho để giải tốn nhanh gọn, hiệu cần phải chọn phương pháp phù hợp với trường hợp tốn cụ thể Bên cạnh đó, để có nhìn tổng quan dao động cần khai thác vấn đề theo nhiều khía cạnh Bằng trải nghiệm thực tế thân trường THPT xuất phát từ nhu cầu thực tiễn, chọn đề tài nghiên cứu: “Các phương pháp biểu diễn dao động ứng dụng giải tốn dao động” làm đề tài khóa luận xét tốt nghiệp đại học Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp biểu diễn dao động từ làm bật ưu nhược điểm phương pháp ứng dụng giải toán dao động Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Các phương pháp biểu diễn dao động: phương pháp lượng giác, phương pháp hình học, phương pháp số phức - Phạm vi nghiên cứu: Các phương pháp biểu diễn dao động ứng dụng phương pháp biểu diễn dao động việc giải toán dao động Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu sở lý thuyết phương pháp biểu diễn dao động: phương pháp lượng giác, phương pháp hình học, phương pháp số phức - Tổng hợp kiến thức hệ thống tập dao động - Trên sở kiến thức toán học trang bị cấp học phổ thông đại học sư phạm vật lý, qua việc vận dụng phương pháp, ưu hạn chế đề xuất việc vận dụng phương pháp vào giải dạng toán dao động cho phù hợp Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu chủ đạo lý thuyết: - Nghiên cứu, phân tích, tổng hợp tài liệu có liên quan đến dao động phương pháp biểu diễn dao động - Vận dụng phương pháp biểu diễn dao động nghiên cứu dao động sở phân tích, tổng hợp đưa nhận xét, đánh giá cách tổng quát Đóng góp đề tài - Nâng cao trình độ nhận thức, kỹ vận dụng kiến thức lý thuyết vào thực tiễn cho người học - Làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành cử nhân sư phạm vật lý giáo viên giảng dạy trường phổ thông NỘI DUNG Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Dao động 1.1.1 Một số khái niệm tổng quát dao động Hiện tượng tuần hoàn: Trong thiên nhiên, đời sống, khoa học kỹ thuật có nhiều tượng diễn lặp lặp lại cũ sau khoảng thời gian định tượng tuần hồn Ví dụ: nhịp tim động vật, mùa năm, Quá trình tuần hồn q trình liên tục biến thiên số đại lượng đặc trưng cho trình biến đổi vận tốc, gia tốc, áp suất, nhiệt độ, khoảng cách,… lặp lại cũ sau khoảng thời gian xác định Dao động: Trong số q trình tuần hồn đại lượng biến thiên đặc trưng cho trình thay đổi giá trị xung quanh giá trị trung bình gọi dao động tuần hồn Mỗi lần đại lượng biến thiên trình lặp lại giá trị cũ ta nói thực dao động Chu kì dao động: Chu kì dao động (T) khoảng thời gian xác định khơng đổi để q trình biến đổi thực dao động Nếu f (t+T) =f (t) đại lượng biến đổi tuần hoàn theo thời gian với chu kì T ta ln có: f (t+T) =f (t) Chúng ta gặp dao động tuần hồn khơng q trình học mà trình điện học, nhiệt học, quang học, trình diễn nguyên tử hạt nhân,… 1.1.2 Dao động điều hòa 1.1.2.1 Khái niệm dao động điều hòa Dao động điều hòa loại dao động đơn giản quan trọng Các dao động tự nhiên kĩ thuật thường có tính chất gần với dao động điều hòa dao động biểu diễn tổng hợp dao động điều hòa Một dao động tuần hồn mà đại lượng biến đổi biểu diễn phương trình dạng sin cosin gọi dao động điều hòa 1.1.2.2 Phương trình động học dao động điều hòa Dao động điều hòa biểu diễn phương trình: Khi chất điểm thứ có li độ x cm theo chiều âm khoảng cách hai chất điểm là: A 3 cm B cm C cm D 15 cm Giai: Khi t = 0: x = 0, vx < chât điêm qua VTCB theo chiêu âm y = , vy > 0, chât điêm y tư biên Khi chât điêm x tư VTCB đên vi tri x hêt thơi gian T/6 Trong thơi gian T/6 đo, chât điêm y tư y biên dương rôi vê lai đung y Vi tri cua vât hinh 2.10: Dựa vào hình vẽ, khoang cach giưa vât la d 3 15 (cm) Hình 2.10 Vậy chọn đáp án: D 2.2 Bài toán tổng hợp hai dao động khác tần số Xét vật tham gia đồng thời hai dao động phương, khác tần số, biên độ pha ban đầu: x1 A1 sin(1t ) x A sin(2 t ) (2.13) Chuyển động vật tổng hợp hai dao động x x1 x A1 sin(1t ) A sin(2 t ) (2.14) Ta nhận thấy hai dao động điều hòa dao động với hai tần số khác nhau, hai vectơ biên độ quay với vận tốc khác nên góc chúng biến đổi theo thời gian, hình bình hành tạo hai vecto biên độ biến dạng theo thời gian Nếu sử dụng phương pháp hình học để biểu diễn hai dao động điều hòa khác tần số ta nhận định cách định lượng vị trí dao động thời điểm Mặt khác, vận tốc góc quay biến đổi theo thời gian, biên độ tổng hợp khơng phải số dao động lúc khơng dao động điều hòa Sau đây, ta xét số trường hợp đặc biệt 2.2.1 Tổng hợp hai dao động điều hòa phương, tần số khác (hiện tượng phách) Xét tổng hợp hai dao động điều hòa phương, biên độ, pha ban đầu, tần số khác không đáng kể: x1 A sin(1t ) A sin( t ) x2 Cách 1: Phương pháp lượng giác (2.15) Chuyển động vật tổng hợp hai dao động x x1 x A sin(1t A [sin(1t 0) A 2.sin 2A cos Đặt 2 0) sin(2 t )] t 2 A sin(2 t ) t sin cos t 2 t , ta có: x 2A cos1 Vì ω1 ≈ ω2 nên 2 Do đó, số hạng thời gian so với sin t t sin t cos t (2.16) biến đổi chậm theo Trong chu kỳ biến đổi sin t , xem cos t gần khơng đổi Như coi biên độ dao động tổng hợp là: A 2A cos t (2.17) Như vậy, biên độ dao động tổng hợp biến đổi tuần hoàn theo thời gian Hiện tượng biên độ dao động biến đổi chậm theo thời gian gọi tượng phách Tần số biến đổi biên độ theo thời gian gọi tần số phách, có giá trị lớn gấp hai lần tần số biểu thức đứng dấu môdun, tức hiệu tần số dao động thành phần Chu kì dao động biên độ: T (2.18) Cuối ta viết lại (2.17): x A.sin t (2.19) Ta coi dao động tổng hợp dao động gần điều hòa biểu diễn phương trình (2.19) Trong thực tế, tượng phách giúp so dây đàn cho Tuy nhiên máy thu thanh, tượng làm cho âm phát lúc to lúc nhỏ khó chịu, nên máy thu thường có phận chống phách để khắc phục tượng Cách 2: Phương pháp số phức Hai dao động điều hòa x1, x2 biểu diễn phần thực hai số phức a1, a2: i( t ) A e i( t ) A e a a 2 (2.20) Dao động tổng hợp x = x1 + x2 biểu diễn phần thực số phức a, ta có: a a 1a A e i(1t ) A0 e i(2 t ) →a A e i1 a = A0 e t0 i2 e i(1t ) t0 i1 i(e2t ) t0 e (2.21) 2t i e i 1t e i2 e t0 Suy ra: a= A0 e i( t ) i( e 12 t) 12 i( e t) Với biên độ dao động tổng hợp hai dao động có dạng: A A e i( t ) i( 12 t) e 2 Ta viết: a A e i( 12 t0 ) (2.22) (2.22) phương trình dao động tổng hợp dao động gần điều hòa biểu diễn dạng số phức Nhận xét: Đối với toán tổng hợp hai dao động phương khác tần số, dùng phương pháp số phức cho ta phương trình dao động tổng hợp Tuy nhiên biến đổi có đơi chút phức tạp Vậy nên trường hợp sử dụng phương pháp lượng giác ngắn gọn Bài tập vận dụng: Bài 1: Một vật dao động tổng hợp từ hai dao động thành phần có phương trình: x1 = cos10t x 2= cos12t (cm) Hãy xác định phương trình dao động, biên độ dao động tổng hợp Giải Phương trình tổng hợp từ hai dao động thành phần là: x = x1 +x = 4cos10t = 2.cos11t 4cos12t cos t 24 = 8cos t Nhận xét: Thừa số cos 11t 24 cos11t 24 5 24 chứa tần số góc 11( 24 ) nên tần số góc chứa thừa số tần số góc chu kỳ dao động tổng hợp Vậy biên độ dao động tổng hợp có phương trình dao động: x A 8cos t 24 (cm) Bài 2: Một vật tham gia đồng thời hai dao động thành phần có phương trình: x1 =10 cos 49t (cm) x = 10 cos 51t (cm) Hỏi biên độ dao động tổng hợp hồn thành chu kỳ vật thực dao động Giải Phương trình tổng hợp từ hai dao động thành phần: x x 1x 10cos 49t 10cos51t 6 → x 20cost cos 50t (cm) Phương trình dao động biên độ: x A = 20 cost Chu kỳ dao động biên độ: (cm) A T A 1(s) (2.23) Chu kỳ dao động tổng hợp: T 0,04(s) (2.24) Từ (2.23) (2.24) dễ thấy biên độ hồn thành chu kỳ dao động tổng hợp thực 25 dao động Vì TA 25 T 2.2.2 Tổng hợp hai dao động có phương vng góc nhau, tần số bội nguyên lần Xét trường hợp vật tham gia đồng thời hai dao động có phương vng góc nhau, tần số khác Phương trình dao động thành phần có dạng: x A1 sin(1t+1 ) y A 2sin(2 t+2 ) (2.25) đó: ω1 = qω, ω2 = pω; với p, q hai số nguyên Khi chuyển động vật coi phức tạp Quỹ đạo chuyển động đường cong phức tạp gọi đường Lixaju Ta gọi T1 , T2 chu kỳ hai dao động thành phần theo trục x y (s) , q với T1 T2 (s) p Hình dạng đường Lixaju phụ thuộc vào tỷ số tần số T1 T2 hiệu pha (2 ) Hình 2.11 cho thấy hình 2.11 Tương tự trường hợp tổng hợp hai dao động có phương vng góc có tần số, tùy thuộc vào kiện đề ta nên sử dụng phương pháp lượng giác để tìm phương trình quỹ đạo vật Bài tập vận dụng: Tìm phương trình quỹ đạo y(x) chất điểm, chất điểm chuyển động theo quy luật x a sin(t) y asin(2t) Giải Phương trình quỹ đạo hai dao động thành phần có dạng: x sin(t) a (2.26) y sin(2t) a Suy x a y a sin(t) (2.27) sin(2t)= 2.sin t cost Chia hai vế phương trình (2.27), sau lấy bình phương hai vế ta được: x2 y 2 4cos (t) Suy y2 4cos (t).x y2 sin (t).x Kết hợp với (2.27) ta : y 4x 2 Đáp số: y 4x x a x a 2 KẾT LUẬN Trong trình thực khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Các phương pháp biểu diễn dao động ứng dụng giải tốn dao động” tơi hồn thành việc nghiên cứu vấn đề sau: Trình bày sở lý thuyết loại dao động phương pháp biểu diễn dao động: phương pháp lượng giác, phương pháp hình học, phương pháp số phức Trên sở lý thuyết trình bày, đề tài làm bật ưu, nhược điểm phương pháp biểu diễn dao động ứng với trường hợp cụ thể, chia dạng áp dụng cách rõ ràng Bên cạnh đó, khóa luận đưa tập vận dụng mang tính chất điển hình có đáp án chi tiết hình thức tự luận trắc nghiệm khách quan để phát huy điểm mạnh phương pháp giải Đối với số trường hợp tổng hợp dao động khác phương phức tạp đề cập chương trình Vật lý phổ thơng khóa luận chưa đưa nhiều dạng tập vận dụng Tuy nhiên, đề tài tiếp tục nghiên cứu mở rộng cho chương, phần khác thời gian sớm mong nhận ý kiến đóng góp độc giả để giúp khóa luận tốt nghiệp tơi hồn thiện TÀI TIỆU THAM KHẢO [1] Lê Đình Trọng, Giáo trình Cơ học, Trường ĐHSP Hà Nội 2, 2013 [2] Lê Đình Trọng, Giáo trình Dao động sóng, Trường ĐHSP Hà Nội 2, 2013 [3] Phạm Quý Tư, Dao động sóng, NXB Giáo Dục 2000 [4] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Hàm biến phức, ĐHQG Hà Nội, 1997 [5] Trần Ngọc Hợi (chủ biên) - Phạm Văn Thiều, Vật lý đại cương nguyên lý ứng dụng (tập 2), NXB Giáo Dục 2006 ... cứu: Các phương pháp biểu diễn dao động ứng dụng phương pháp biểu diễn dao động việc giải toán dao động Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu sở lý thuyết phương pháp biểu diễn dao động: phương pháp. .. tập dao đông vô phong phú dạng lẫn cách biểu diễn, phương pháp giải tập Khi nghiên cứu dao động, nhiều phương pháp biểu diễn dao động sử dụng như: phương pháp lượng giác, phương pháp hình học, phương. .. nhược điểm phương pháp ứng dụng giải toán dao động Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Các phương pháp biểu diễn dao động: phương pháp lượng giác, phương pháp hình học, phương pháp số phức