Phương trình vi phân cao cấp và ứng dụng trong vật lí (2017)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ LINH PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ LINH PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Người hướng dẫn khoa học: T.S HÀ THANH HÙNG HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất thầy giáo giáo Khoa Vật lí trường Đại học Sư phạm Hà Nội tận tình giảng dạy giúp đỡ suốt thời gian theo học trường đặc biệt tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Hà Thanh Hùng người trực tiếp hướng dẫn tơi tận tình bảo giúp đỡ tơi hồn thiện đề tài khóa luận tốt nghiệp Mặc dù có nhiều cố gắng lần đầu làm công tác nghiên cứu khoa học hạn chế kinh nghiệm kiến thức nên không tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý thầy bạn đọc để khóa luận hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Linh LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan hướng dẫn thầy giáo Hà Thanh Hùng khóa luận tơi hồn thành khơng trùng với đề tài khác Các liệu thơng tin thứ cấp sử dụng khóa luận có nguồn gốc trích dẫn rõ ràng Tơi xin chịu trách nhiệm hoàn toàn lời cam đoan Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Linh MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục khóa luận PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 1.1 Phương trình vi phân tuyến tính với hệ số số 1.1.1 Hàm bù yc  x  1.1.2 Nghiệm riêng y p  x  10 1.1.3 Cấu trúc nghiệm tổng quát 13 1.2 Phương trình vi phân tuyến tính với hệ số biến số 14 1.2.1 Phương trình vi phân tuyến tính Legendre Euler 15 1.2.2 Phương trình vi phân xác 18 1.3 Phương trình vi phân cấp cao 20 1.3.1 Phương trình đẳng cấp 20 1.3.2 Phương trình với x với y 22 1.4 Phương trình vi phân có nghiệm hàm luỹ thừa 24 1.5 Phương trình vi phân tổng quát 24 1.5.1 Phương trình vi phân khơng có biến phụ thuộc 25 1.5.2 Phương trình vi phân khơng có biến độc lập 26 CHƯƠNG NG D NG C PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO TRONG V T L 29 2.1 Phép biến đổi Laplace 29 2.2 Hàm Green 32 2.3 Phương trình vi phân với x y 34 2.4 Phương trình vi phân có hệ số số 35 KẾT LU N 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý học vốn ngành khoa học tự nhiên tìm hiểu cấu trúc quy luật vận động giới vật chất tự nhiên ngành khoa học thực nghiệm Trong thực tiễn, Vật lý Tốn học ln ln có mối quan hệ mật thiết với nhau, Vật lý sử dụng cơng cụ Tốn học có sẵn đồng thời đặt yêu cầu Tốn học Phương trình vi phân Tốn học có vai trò đặc biệt quan trọng Vật lý Tuy nhiên kiến thức phương trình vi phân cấp cao cịn chưa rõ ràng khó hiểu người học Để giúp người học hiểu rõ kiến thức phương trình vi phân cấp cao vai trị phương trình vi phân cấp cao Vật lý định chọn đề tài: “PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ” Mục đích nghiên cứu Khóa luận bao gồm chương: chương khóa luận tơi trình bày tổng quát phương trình vi phân cấp cao phân dạng đưa lời giải tổng quát cho số dạng phương trình vi phân đặc biệt, cịn chương trình bày ứng dụng phương trình vi phân cấp cao Vật lý Nhiệm vụ nghiên cứu Giới thiệu tổng quát phương trình vi phân cấp cao Phân loại đưa phương pháp giải dạng phương trình vi phân cấp cao ng dụng phương trình vi phân cấp cao vật lý Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đề tài chủ yếu nghiên cứu số dạng phương trình vi phân cấp cao ứng dụng Vật lý Phương pháp nghiên cứu - Đọc sách tham khảo tài liệu - Phương pháp phân tích, tổng hợp - Phương pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giáo viên Bố cục khóa luận Ngồi phần Mở đầu, Tài liệu tham khảo, phần Nội dung khóa luận bao gồm: Chương 1: Phương trình vi phân cấp cao Chương 2: ng dụng phương trình vi phân cấp cao Vật lý PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO Phương trình vi phân cấp cao phần mở rộng nghiên cứu phương trình vi phân thơng thường cấp một, việc giải phương trình vi phân cấp cao dựa chủ yếu sở từ phương trình vi phân cấp Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao tập trung với ba khía cạnh chính: i) Phương trình vi phân tuyến tính với hệ số số ii) Phương trình vi phân tuyến tính với hệ số biến số iii) Một số phương pháp giải tổng quát phương trình vi phân tuyến tính khơng tuyến tính Sau đây, bắt đầu với số khái niệm phương trình vi phân tuyến tính cấp cao Các phương trình vi phân thơng thường phương trình có chứa đạo hàm tồn phần hàm cần tìm y theo biến số x, mà khơng chứa đạo hàm riêng phần Phương trình vi phân cấp cao phương trình vi phân thơng thường có chứa đạo hàm từ cấp hai trở lên hàm y(x) Trong thực tế, để mô tả hệ vật lý ngơn ngữ tốn học, thường gặp phương trình vi phân cấp cao cách tự nhiên, đặc biệt phương trình vi phân cấp hai Do vậy, trước tiên quan tâm đến phương trình vi phân cấp hai trước, sở tiếp tục mở rộng với phương trình vi phân cấp n (n>2) Một phương trình vi phân thơng thường cấp cao, đưa dạng tổng quát: an  x  d ny d n1 y a  n1   n n1 x dx dx dy  a0  x  y  f  a1  x  x (1) dx Nếu f (x)  , phương trình vi phân gọi nhất, ngược lại phương trình vi phân gọi khơng Tương tự với phương trình vi phân cấp một, nghiệm tổng quát phương trình (1) chứa n tham số tùy ý để xác định cụ thể n tham số này, cần n điều kiện biên Để giải phương trình (1), cần tìm nghiệm tổng quát phương trình tương ứng, cịn gọi phương trình bổ sung, tức tìm nghiệm phương trình: an  x  d ny d n1 y a   n1  n n1 x dx dx dy  a0  x  y   a1  x (2) dx Nghiệm phương trình (2), đưa sở biết n nghiệm riêng độc lập tuyến tính (2) Giả sử, có n nghiệm riêng độc lập tuyến tính (2), ký hiệu là: y1 (x); y2 (x); ; yn (x), nghiệm tổng quát phương trình (2) viết tổ hợp tuyến tính nghiệm riêng yc (x)  c1 y1 (x)  c2 y2 (x)   cn yn (x) , (3) Trong đó, ci ,i  1, hệ số n Từ điều kiện nghiệm riêng độc lập tuyến tính nên hệ tất yếu nếu: c1 y1 (x)  c2 y2 (x)   cn yn (x)  Thì kéo theo tất hệ số không, tức là: c1  c2  Trong phần này, thảo luận phương pháp khác để rút gọn phương trình vi phân Các phương pháp áp dụng cho phương trình tuyến tính phi tuyến số trường hợp rút nghiệm Tuy nhiên tm phương pháp giải tổng quát cho phương trình vi phân phi tuyến tính 1.5.1 Phương trình vi phân khơng có biến phụ thuộc Nếu phương trình vi phân khơng chứa biến phụ thuộc y mà biến thể nó, ta đặt p  dy để thu phương trình vi phân có cấp thấp dx Giải phương trình ta thu nghiệm phương trình Ví dụ: Giải phương trình d 2y dy   4x dx dx (1.5.1) Lời giải Thế: p dy , dx Ta thu phương trình cấp dp  p  4x dx (1.5.2) Nghiệm (1.5.2) có dạng: p dy 2  a.e  2x 1 dx Trong a số Như phép lấy tích phân ta nghiệm (1.5.1) là:  x  x  c2 y  x   c1.e2 x Mở rộng: phương pháp thích hợp phương trình vi phân chứa đạo hàm cấp m y đạo hàm cấp cao m d Thay y p  m ta phương trình vi phân cấp m Giải dx phương trình vi phân ta thu nghiệm phương trình cần tìm Phương pháp giải: Nếu phương trình vi phân chứa đạo hàm cấp m y đạo hàm cao m d y Thế p  m phương trình vi phân có cấp m Giải phương trình vi dx phân ta thu nghiệm phương trình cần tìm 1.5.2 Phương trình vi phân khơng có biến độc lập Là phương trình vi phân khơng chứa biến độc lập x cách rõ ràng, ngoại trừ d d , , có dạng dx dx  dy F  y, , dx dn y   dy coi p hàm số Thì phần 1.5.1 ta p  dx , (1.5.3) Ta có đạo hàm sau: dp dy dp dp   p , dx dx dy dy d  dp  dy d  dp  d y dx d y  dx n p  p p     dx dy dx dy dy  d y  dp , n    p, dx dy  d p  dp  p , dy   dy dn1 p ,   Thế (1.5.4) vào (1.5.3) ta thu phương trình dạng: n1  dp d p   y, p, , , n1   dy  dy (1.5.4) Đây phương trình vi phân cấp n-1 Giả sử ta giải nghiệm tổng quát p    y,c1,c2 , ,cn1  Tích phân phương trình vi phân cấp sau ta nghiệm tổng qt tích phân tổng qt phương trình (1.5.1) Ví dụ: Giải phương trình 2 d y  dy   1y 2 dx   d x Lời giải Thế p  dy  dp  d y (1.5.5) p    d y Ta phương trình vi phân cấp dx dx  yp   dp p 0 dy  2dy dy 2p y p  dp  d  p 1 y p 1 Từ suy ra: ln y  ln  p Hay: Vì p  1 p  y 2 1  ln c1  c dy , ta có: dx p dy  c1  y dx y Lấy tích phân ta nghiệm tổng quát (1.5.5), sau bình phương ta x  c22  y2  c21 Trường hợp z  cho ta y  c nghiệm phưng trình vi phân Phương pháp giải: Nếu phương trình vi phân khơng chứa biến độc lập dy x ta p  Từ biếu thức (1.5.4) ta thu phương trình cấp dx thấp để dễ giải CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO TRONG VẬT LÝ 2.1 Phép biến đổi Laplace Phép biến đổi Laplace định nghĩa sau:  f  s    e sx f  x  dx Với f  s  ảnh Laplace biến (2.1.1) f  x  Ta có phép biến đổi Laplace đạo hàm thứ n f n  s   s n f  s   s n1 f    s n2 f      sf f  x  :    sf n1   (2.1.2) dấu phẩy số phép lấy vi phân x Kết hợp với việc sử dụng bảng biến đổi ta giải phương trình vi phân Bảng : Bảng biến đổi Laplace tiêu chuẩn  s  s0  f t  f s s0 c c s cn! s n ct n1 sin bt b  s  b2  cosbt s s b  at  s  a a n at te n!  s  a n1 a sinh at a  s2  a2  a e cosh at at e sin bt at e cosbt t t 12 1 s  s2  a2  b 2s  a  b 2    s  a  2 s 2  a  12  s3      t  t0  H  t  t0  1 t  t  0  0  t  t0 e e s 12 a  a 0 st0 st0 b a s Bài toán 1: Giải phương trình d y dy x   y  2e dx dx (2.1.2) Với điều kiện biên y  0  2, y   1 Lời giải Sử dụng phép biến đổi Laplace cho phương trình (2.1.2) áp dụng cơng thức bảng ta có: s y  s   sy    y     s y  s   y  0    2y  s   s 1   s  3s   y  s   2s   2 , s 1 2s  3s  y s   s  1 s 1 s    được: Dùng phương pháp đại số phân tích sau cân hệ số vế ta thu y s  ,    s  1 s 1  s   Sử dụng phép biến đổi Laplace ngược ta thu nghiệm phương trình (2.1.2) là: x 2x x y  x   e  2e  e 3 Bài tốn 2: Tìm số ngun tử cịn lại không bị phân rã thời điểm t  N t  Biết phương trình biểu diễn phân rã chất đồng vị phóng xạ là: dN   N dt đó: N  N  t  số phân rã Lời giải (1) Phương trình (1) tương đương với dN   N  dt Biến đổi Laplace vế ta được:  sN  s   N  0   N  s   Với N    N0 : Số nguyên tử ban đầu Như ta có: N s  N0 s Sử dụng bảng lấy biến đổi Laplace ngược ta thu được: N  t   N 0e  t Ta áp dụng phép biến đổi Laplace vào toán Vật lý hạt nhân nguyên tử toán giải mạch cách biến đổi yếu tố mạch từ miền thời gian (t) sang miền tần số (s) Trong tốn giải mạch phương trình đạo hàm chuyển từ đại số sang dạng biến đổi Laplace Các đại lượng chưa biết tính miền tần số (s) Sử dụng biến đổi Laplace ngược để suy giá trị miền thời gian 2.2 Hàm Green Bài toán: Sử dụng hàm Green để giải phương trình: d yy f x   dx (2.2.1) Biết điều kiện biên y    y    Lời giải Ta có hàm Green G(x, z) thỏa mãn d G  x, z   G  x, z     x  z  dx (2.2.2) Với x=z ta có vế phải (2.2.2) 0, nhiệm vụ tm nghiệm phương trình tức tìm hàm bù Hàm bù tổ hợp tuyến tính sinx cosx phải bao gồm giới hạn hai bên x=z Vì đạo hàm thứ (n-1) (nghĩa đạo hàm thứ trường hợp này) bị gián đoạn x=z Do hàm Green viết dạng:  A  z  sinx  B  z  cos G  x, z   x  C  z  sinx  D  z  cos x  xz ,  xz Tuy nhiên, áp dụng điều kiện biên G  0, z   G  0, z   ta A z   B  z   Vì vậy: 0  x  z  G  x, z    C  z  sinx  D  z  cos x ,  xz Áp dụng điều kiện liên tục G  x, z  suy C  z  sinx  D  z  cosx=0, C  z  sinx  D  z  cosx=1 Từ ta thu được: C  z   cos x D  z   sin x Vì hàm Green đuộc viết sau:   x  z  G  x, z    sin  x  z   xz Và nghiệm tổng quát (2.2.1) thỏa mãn điều kiện biên y    y    là:  x y  x    G  x, z  f  z  dz   sin  x  z  f  z  dz 0 Ta sử dụng phương pháp vào số tốn vật lý ví dụ tốn truyền nhiệt Tuy nhiên giúp giải tốn đơn giản hơn, ngắn gọn khơng giải trực tiếp phương trình vi phân khơng 2.3 Phương trình vi phân với x y Bài tốn: Tìm nghiệm tổng qt phương trình dy d y x  x  y  x dx dx biết y 1 1, y  e   2e Lời giải Đặt x  et rút gọn ta thu phương trình d d dy  1 ty  y e   dt dt dt d y dyt  2 y  e dt dt Trước tên ta tính yc  t  Đặt et  y  Aet Suy phương trình đặc trưng là:   2 1    1  Phương trình có nghiệm   bội  nghiệm et , t te Do đó: hệ nghiệm phương trình t yc  t    c1  c2t  e (2.3.1) Tính y p  t  Ta thấy f  t   et Giả sử đặt y p  t   bet Hàm bù xuất et , t te nên ta phải nhân thêm bội số nhỏ t để tích phân riêng khác hàm bù  yp  t   bt 2et Thế vào phương trình vi phân ta thu được: b 2 t y p t   t e Do đó: Nghiệm tổng quát là: y  y  t    t    c1  c2t cy p e Do y 1 1, y  e   t  t 2et (2.3.2) thay vào (2.3.2) ta thu 2e c 1 1,c  Thay x  et c  1,c  1 vào (2.3.2) ta nghiệm tổng quát phương trình cho là: x ln x 1 ln x  yx  2.4 Phương trình vi phân có hệ số biến số Bài tốn: Tìm nghiệm tổng qt phương trình:  x  1 d2 y dx dy   x  1 yx dx Lời giải t Thế x 1  e Ta có dy dy  x  1  ,  dx dt   x  12 d 2y  d d  1 y.  dx dt  dt   d  dy  t d 1 y   y  e 1   dt dt dt     d y  y  et 1  dx  t  Đặt e 1  y  Aet Phương trình đặc trưng có dạng:  1     i Như hàm bù có dạng: yc  c1eit  c2eit  d1 cost  d sint  d1 cos ln  x 1  d sin ln  x 1 Tính nghiệm riêng y p  t  Ta thấy: f  t    et 12  e2t  2et 1 Giả sử đặt: y p t   b2t0e  t b1e Thế vào phương trình vi phân ta được: b0 1 b1 1  b2 b2 1 ... 1: Phương trình vi phân cấp cao Chương 2: ng dụng phương trình vi phân cấp cao Vật lý PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO Phương trình vi phân cấp cao phần mở rộng nghiên cứu phương. .. tích phân phương trình để rút phương trình vi phân khác có cấp thấp giải rút gọn phương trình vi phân xác 1.3 Phương trình vi phân cấp cao 1.3.1 Phương trình đẳng cấp Từ vi? ??c nghiên cứu phương trình. .. Giới thiệu tổng quát phương trình vi phân cấp cao Phân loại đưa phương pháp giải dạng phương trình vi phân cấp cao ng dụng phương trình vi phân cấp cao vật lý Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đề