Về tính đơn điệu của toán tử và áp dụng trong bất đẳng thức biến phân

  1                                                                                 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO    TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II             LÊ HƯƠNG GIANG                 VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA TOÁN TỬ VÀ ÁP DỤNG     TRONG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN                     LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC                           HÀ NỘI, 2016   2                                                                              BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO     TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II               LÊ HƯƠNG GIANG               VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA TOÁN TỬ VÀ ÁP DỤNG   TRONG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN       Chuyên ngành: Toán Giải tích                                                       Mã số: 60 46 01 02                LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC         Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Lê Dũng Mưu                  HÀ NỘI, 2016   3                                                 LỜI CẢM ƠN   Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn, tôi đã nhận được sự dạy bảo  tận tình của các thầy cô giáo ở trường Đại học Sư phạm Hà nội II. Đặc biệt là  sự chỉ bảo, hướng dẫn trực tiếp của GS. TSKH. Lê Dũng Mưu. Qua đây, tôi  xin  bày  tỏ  lòng biết  ơn sâu  sắc  đến GS.  TSKH.  Lê  Dũng Mưu, các  thầy  cô  giáo cùng các bạn đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thực hiện  luận văn.                                                                                       Hà Nội, tháng 7 năm 2016                                                                                                  Tác giả                                                                                 Lê Hương Giang                                          4  LỜI CAM ĐOAN Tôi  xin  cam  đoan  rằng  số  liệu  và  kết  quả  nghiên  cứu  trong  luận  văn  này  là  trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng  mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông  tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc                                                                        Hà Nội, tháng 7 năm 2016                                                                                         Người cam đoan                                                                              Lê Hương Giang      5  Mục Lục Trang phụ bìa 2  Lời cảm ơn 3  Lời cam đoan 4  Mục lục 5  Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt 6  Mở đầu 7  Nội dung 9  Chương Toán tử đơn điệu 9              § 1.1 Không gian Hilbert                                                                    9                  1.1.1 Định nghĩa và ví dụ                                                                9                  1.1.2 Một số tính chất quan trọng                                                  11              § 1.2 Toán tử đơn điệu                                                                       12                 1.2.1 Tập lồi và hàm lồi                                                                  12                 1.2.2 Toán tử đơn điệu                                                                    25  Kết luận chương 43  Chương Bất đẳng thức biến phân 44                 § 2.1  Phát biểu bài toán bất đẳng thức biến phân                           44                 § 2.2  Sự tồn tại ngiệm của bài toán bất đẳng thức                          45                           biến phân đơn điệu  Kết luận chương 54 Tài liệu tham khảo 55    6  Các ký hiệu danh mục từ viết tắt H  - Không gian Hilbert.   - Tập số thực    a, b - Đoạn đóng của tập hợp số thực với các đầu mút a, b và a [...]... toàn tính đơn điệu) i Cho T : H  2 H là toán tử đơn điệu khi và chỉ khi T 1 : H  2 H là toán tử đơn điệu ii Nếu T1 ,T2 là các toán tử đơn điệu từ H  2 H và 1 ,  2  0 thì 1 T1   2 T2 cũng là toán tử đơn điệu Đặc biệt, nếu T1 hoặc T2 là đơn điệu ngặt thì 1 T1   2 T2 cũng đơn điệu ngặt với 1  0,   2  0 iii Nếu T : H  2 H là toán tử đơn điệu và: A : H  H là toán tử tuyến tính ( A là toán. ..                                    Một toán tử đơn điệu đều có thể mở rộng thành toán tử đơn điệu cực đại nhờ  có mệnh đề sau.  Mệnh đề 1.13 Với mọi toán tử đơn điệu T : H  2 H luôn tồn tại toán tử đơn  và T  : H  2H sao cho gphT  gphT  được gọi là toán tử điệu cực đại T đơn điệu cực đại mở rộng của T   Mệnh đề 1.14.  Toán tử T : H  2 H là đơn điệu cực đại khi và chỉ khi với mọi  a, b   H  H... T là toán tử đơn điệu cực đại.  Ngược lại giả sử  T là toán tử đơn điệu cực đại và   0 Đặt  T  T,  khi  đó  T   1 T  là toán tử đơn điệu cực đại.  Định nghĩa 1.33 Cho toán tử đa trị S : H  2H S được gọi là toán tử tràn khi và chỉ khi với mỗi v  H tồn tại x  H thỏa mãn v  S  x  Định lý 1.7 (Định lý Min-ty)   Cho T : H  2H là toán tử đơn điệu và   0 Khi đó, T là toán tử đơn điệu cực... gph T   Và suy ra  b  T  a  ,  từ đó ta có   a, b   gph T     gphT   Tức là  gphT Vậy  T  là toán tử đơn điệu cực đại.                                                                 Mệnh đề 1.15 Toán tử đa trị T : H  2 H là đơn điệu cực đại khi và chỉ khi T là toán tử đơn điệu cực đại    0  Chứng minh:   Giả sử  T  là toán tử đơn điệu cực đại và   0,  theo phép bảo toàn tính đơn điệu ta có ... iii Nếu T : H  2 H là toán tử đơn điệu và: A : H  H là toán tử tuyến tính ( A là toán tử liên hợp của A ), b  H thì S  x   A T(Ax  b) cũng là toán tử đơn điệu Ngoài ra nếu A là đơn ánh và T là toán tử đơn điệu ngặt thì S là toán tử đơn điệu ngặt Chứng minh: i Theo định nghĩa, toán tử T  là đơn điệu khi và chỉ khi             u  v, x  y  0,  x, y  domT, u  T  x  , v  T  y    Hay     ... thực sự của đồ thị của bất kỳ một toán tử đơn điệu nào khác Mệnh đề 1.12 Cho ánh xạ đơn trị A : H  H là toán tử đơn điệu và liên tục Khi đó, A là toán tử đơn điệu cực đại Chứng minh:   Giả  sử   x,  u    có  tính chất  u  T  y  , x  y  0,  y   ta  phải  chứng  minh  u  T  x    Đặt  y  x  v  với    0, v  H     33 Ta thấy  u  T  x  v  , v  0   Do tính chất liên tục của T  nên  ... T  y  , x  y : u  v, x  y  0   Nhận xét 1.2 - T  là đơn điệu mạnh thì  T  cũng đơn điệu ngặt.  - T  là đơn điệu ngặt thì  T  cũng đơn điệu.   - T  là đơn điệu thì  T  cũng là giả đơn điệu.   Ví dụ 1.11   Cho  f  :  H  f : H   ,     hàm  lồi,  chính  thường.  Khi  đó  f là toán tử đơn điệu đa trị.  Chứng minh: Lấy   x, u  và    y, v   dom  f   Khi đó, ta có                                     ...  là toán tử đơn điệu ngặt nên                                v1  u1 ,  Ay  b    Ax  b   0   Suy ra                                             v  u, y  x  >0   Chứng tỏ  S  là đơn điệu ngặt.                                                                              1.2.2.3 Toán tử đơn điệu cực đại Định nghĩa 1.32. Toán tử đơn điệu T : H  2 H được gọi là đơn điệu cực đại nếu đồ thị của T... Do tính đơn điệu của T  nên ta có                       v  u, y  x  A v1  A u1 , y  x                     = v1  u1 ,  Ay  b   (Ax  b)  0   Vậy  S  là toán tử đơn điệu.    Giả sử  A  là đơn ánh và T  là toán tử đơn điệu ngặt. Khi đó, nếu  x  y  thì  Ax  Ay  kéo theo                                            Ax  b  Ay  b   Giả sử  u,  v,  u1 ,  v1  được lấy như trên, vì  T  là toán tử đơn điệu ngặt nên  ...   2 v 2   Do  T1 ,T2  là các toán tử đơn điệu nên ta có                                       u1  v1 , x  y  0 u 2  v 2 , x  y  0      Nhân các bất đẳng thức trên lần lượt với  1 và  2  rồi cộng lại ta được                                       u  v, x  y  0   Vậy  1T1   2 T2  là toán tử đơn điệu.   Hiển nhiên khi  T1  hoặc  T2  là ngặt thì bất đẳng thức trên là ngặt.  iii. Lấy  x,