nghiên cứu didactic về tính đơn điệu của hàm số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - Võ Thị Loan NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Võ Thị Loan NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Chuyên ngành: Lí Luận Phương Pháp Dạy Học Toán Mã số: 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn:  Tiến sĩ Trần Lương Công Khanh tận tình hướng dẫn có góp ý chân thành trình làm luận văn  Phó giáo sư Tiến sĩ Lê Thị Hoài Châu tận tình giảng dạy môn học đặc biệt phương pháp luận nghiên cứu, giúp có bước nghiên cứu khoa học  Tiến sĩ Lê Văn Tiến, Tiến sĩ Lê Thái Bảo Thiên Trung nhiệt tình giảng dạy hướng dẫn trình học tập làm luận văn  Tập thể giáo viên học sinh trường THPT Nguyễn Trãi, THPT Ninh Hải, tỉnh Ninh Thuận, tạo điều kiện cho thực nghiệm trình làm luận văn  Các bạn lớp didactic khóa 20 động viên giúp đỡ lúc khó khăn, giúp có thêm niềm tin để tiếp tục học tập theo đuổi chuyên ngành  Các thầy cô giáo phòng đào tạo sau đại học trường ĐHSP Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện cho công tác học tập làm luận văn Võ Thị Loan DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT ∀ : với tất ∃ : tồn ∈ : thuộc ⇒ : suy ⇔ : tương đương ∞ : vô ( ; ) : khoảng ( ; ] : nửa khoảng [ ; ] : đoạn GV : giáo viên HS: Học sinh THPT: Trung học phổ thông THCS: Trung học sở MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Danh mục kí hiệu, chữ viết tắt Mục lục Trang PHẦN MỞ ĐẦU - Ghi nhận ban đầu - Câu hỏi xuất phát - Khung lí thuyết tham chiếu - Câu hỏi nghiên cứu - Cấu trúc luận văn PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1: KHÁI NIỆM TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Ở BẬC ĐẠI HỌC 1.1 - Các khái niệm tính đơn điệu hàm số 1.2 – Các định lí về tính đơn điệu hàm số 1.3- Các kiểu nhiệm vụ giáo trình 12 1.4- Những nhận xét kết luận từ việc phân tích giáo trình 17 CHƯƠNG MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ20 2.1 Sơ lược trình tiếp cận khái niệm tính đơn điệu hàm số 20 2.2 - Phân tích sách giáo khoa toán giải tích 12 27 2.3 – Đối chiếu [M1], [M2] tri thức đại học 48 2.4 - Những ảnh hưởng chuyển đổi 57 CHƯƠNG NHỮNG QUI TẮC HỢP ĐỒNG DẠY HỌC VÀ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRONG XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 3.1- Những qui tắc hợp đồng trình dạy - học khảo sát biến thiên hàm số 60 3.2- Những sai lầm học sinh việc xét tính đơn điệu hàm số 68 CHƯƠNG THỰC NGHIỆM 4.1 – Mục đích thực nghiệm chung 78 4.2- Giới thiệu thực nghiệm 78 4.3 - Mục đích thực nghiệm cho câu 80 4.5 - Phân tích hậu nghiệm 95 PHẦN KẾT LUẬN Những kết nghiên cứu 103 Hướng mở rộng cho nghiên cứu 103 TÀI LIỆU THAM KHẢO 104 PHỤ LỤC 105 PHẦN MỞ ĐẦU - Ghi nhận ban đầu - Tính đơn điệu hàm số phần chủ yếu việc khảo sát vẽ đồ thị hàm số công cụ hữu hiệu để giải toán Nó yếu tố ứng dụng đạo hàm để khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số trường phổ thông - Trong trình dạy học, học sinh mắc sai xét tính đơn điệu hàm số? giáo viên thực hành giảng dạy tri thức nào? Giữa họ có qui tắc ngầm ẩn nào? Chính phạm vi có thể, định chọn đề tài “ Nghiên cứu didactic tính đơn điệu hàm số” để tìm hiểu rõ tri thức tồn vận hành thể chế dạy học Việt Nam - Câu hỏi xuất phát Thông qua việc phân tích sách giáo khoa lớp 12 hành, giáo trình bậc đại học, thực tế giảng dạy trường THPT Chúng muốn tìm câu trả lời cho câu hỏi sau: Khái niệm tính đơn điệu hàm số trình bày thể chế dạy học bậc đại học nào? Tri thức giảng dạy trường THPT Việt Nam? Những khó khăn học sinh tiếp cận tri thức gì? Những sai lầm khảo sát biến thiên hàm số học sinh nào? Những qui tắc hợp đồng hình thành dạy học khái niệm này? - Khung lí thuyết tham chiếu Cơ sở lí thuyết để thực trả lời câu hỏi thuyết nhân học sư phạm khái niệm hợp đồng dạy học 3.1 Thuyết nhân học sư phạm Lý thuyết nhân học sư phạm dựa vào ba thuật ngữ ban đầu không định nghĩa đối tượng, cá thể, thể chế Quan hệ thể chế tri thức “Trong khoa học sư phạm, vấn đề trung tâm vấn đề nghiên cứu mối quan hệ thể chế, điều kiện hiệu ứng Việc nghiên cứu mối quan hệ cá nhân vấn đề khoa học sư phạm, mặt thực hành thứ yếu mặt khoa học luận” (Chevallard 1989b, trang 93) Tổ chức toán học Theo lý thuyết nhân học sư phạm, hoạt động người nhằm hoàn thành nhiệm vụ t Nhiều nhiệm vụ t xếp vào kiểu nhiệm vụ T chúng giải kỹ thuật τ Công nghệ θ cho phép nghĩ đến, tạo lý giải cho kỹ thuật τ Đến lượt mình, công nghệ θ giải thích, biện minh lý thuyết Θ Bộ bốn phần tử [T/ τ/ θ/ Θ] gọi praxéologie, vốn cấu thành hai từ Hy Lạp praxis (thực hành) logos (lý lẽ, lập luận) Thật vậy, praxéologie, khối [T/ τ] thuộc thực hành khối [θ/ Θ] thuộc lý lẽ, lập luận Nếu T kiểu nhiệm vụ toán học, praxéologie liên quan gọi tổ chức toán học Chuyển hóa sư phạm “Mọi tri thức S gắn với thể chế I mà tri thức vận dụng vào lĩnh vực thực tiễn D Điều chủ yếu tri thức không tồn cách riêng lẻ bên lề xã hội: tri thức xuất vào thời điểm định, xã hội định ăn sâu vào nhiều thể chế” (Chevallard 1989) Như vậy: - Mỗi tri thức tri thức thể chế - Cùng đối tượng tri thức sống thể chế khác Để sống thể chế, tri thức phải tuân theo số ràng buộc Điều dẫn đến tri thức bị biến đổi để tri thức tồn thể chế Chevallard chấp nhận tiên đề tồn thể chế chuyển hóa cho phép tri thức chuyển từ thể chế sang thể chế khác: thiết chế chuyển hóa thiết chế vô hình mà Chevallard gọi noosphère (1985) Khi thể chế đích thể chế dạy học,sự chuyển hóa tri thức gọi chuyển hóa sư phạm Đối với tri thức toán học, sử dụng thuật ngữ tri thức bác học để tri thức tham chiếu (savoir de référence) huy động để hợp thức hoá tri thức thể chế dạy học 3.2 Khái niệm hợp đồng dạy học - Hợp đồng dạy học tập hợp qui tắc phân chia hạn chế trách nhiệm bên, học sinh giáo viên tri thức toán học giảng dạy - Những điều khoản hợp đồng không công bố có dạng toàn văn Chúng tổ chức nên mối quan hệ mà thầy trò nuôi dưỡng đối mặt với tri thức • Để xác định hiệu lực hợp đồng ta thường tiến hành sau: - Tạo biến loạn hệ thống dạy học, cho đặt giáo viên học sinh tình khác lạ mà ta gọi tình phá vỡ hợp đồng - Phân tích thành phần hệ thống dạy học thực tế • Để đặt thành viên chủ chốt vào tình không quen thuộc ta tiến hành sau: - Thay đổi điều kiện tri thức, biến đổi đặc trưng toán - Lợi dụng học sinh chưa biết cách vận dụng số tri thức đó, thay đổi thể chế, làm thay đổi cách vận dụng tri thức - Đặt phạm vi tri thức bàn đến sử dụng tình mà tri thức không giải - Đặt giáo viên trước ứng xử học sinh không phù hợp với điều giáo viên mong đợi - Câu hỏi nghiên cứu - Các em học sinh bậc THCS tiếp cận khái niệm tính đơn điệu hàm số dừng yêu cầu hiểu định nghĩa, biết nhìn đồ thị để xác định tính đồng biến, nghịch biến hàm số Khi lên THPT yêu cầu cao hơn, chương trình cung cấp cho học sinh công cụ để giải toán việc học định nghĩa tính đơn điệu hàm số Điều có nghĩa em phải học kiến thức toán học việc khảo sát biến thiên hàm số, em gặp khó khăn việc hiểu rõ công cụ giải toán này, việc tiếp thu tri thức thường xuất sai lầm việc sử dụng để giải toán Từ đó, đặt câu hỏi nghiên cứu sau Q1 Khái niệm tính đơn điệu hàm số trình bày bậc đại học? Q2 Mối quan hệ thể chế tính đơn điệu hàm số trường trung học phổ thông gì? Q3 Sự chuyển đổi didactic tính đơn điệu hàm số, có chênh lệch tri thức bác học tri thức cần dạy? Q4 Những quy tắc hợp đồng dạy học hình thành giáo viên (GV) học sinh (HS) trình tiếp cận với khái niệm tính đơn điệu hàm số? Q5 Sai lầm học sinh học tập khái niệm tính đơn điệu hàm số gì? 5- Cấu trúc luận văn Luận văn gồm: có phần: phần mở đầu, phần nội dung, phần kết luận • Phần mở đầu: trình bày ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, khung lí thuyết tham chiếu, câu hỏi nghiên cứu, cấu trúc luận văn • Phần nội dung: gồm chương Chương 1: Khái niệm tính đơn điệu hàm số bậc đại học Chương 2: Mối quan hệ thể chế với tính đơn điệu hàm số Chương 3: Những qui tắc hợp đồng dạy học sai lầm học sinh xét tính đơn điệu hàm số Chương 4: Thực nghiệm Thực nghiệm học sinh lớp 12, giáo viên giảng dạy chương trình toán giải tích 12 • Phần kết luận: - Những kết nghiên cứu đạt - Hướng mở rộng cho nghiên cứu Không đồng ý Vì có hàm số thoã tính chất trên, không đồng biến R Hàm số phải đồng biến nửa khoảng (-∞, 1] [1, +∞) đồng biến (-∞, +∞) Chiến lược 3: Đồng ý hàm số liên tục nửa khoảng (-∞, 1] [1, +∞) Chiến lược 4: (chiến lược mong đợi) Không đồng ý hàm số không liên tục x= 1, nên không đồng biến R  Biến ảnh hưởng đến chiến lược: - Loại hàm số cho: + Hàm số cho liên tục R chiến lược cho câu trả lời xảy phổ biến + Hàm số cho không liên tục khả xuất thêm chiến chiến lược Câu 5: Xét biến thiên hàm số: y = f ( x) = x + x + − x [0, ] Chiến lược 1:(chiến lược mong đợi) Hàm số xác định [0, y’ =f’(x) = 2x +3 + ] −2 ; y '' = f ''( x) = ≤ ( x ≥ ) 2− − 2x (1 − x)3 Suy f’(x) nghịch biến [0, Do f '( x) > f '( ) ≥ ] 11 − > với x ∈ [0, ] 3 Hàm số đồn g biến đoạn [0, ] Chiến lược 2: - Tính y’ - Lấy giá trị x thuộc đoạn [0, ] -Tính f’(x ) để xem dấu - Nếu f(x ) > suy hàm số đồng biến, f(x ) < hàm số nghịch biến Chẳng hạn lấy x = 1 ; f’( ) = − 2 > 4 Vậy hàm số đồng biến [0, ] Chiến lược cho câu trả lời khoảng cần khảo sát, đạo hàm hàm số không đổi dấu qua x Trong trường hợp đạo hàm hàm số không đổi dấu đoạn [0, ] Nên học sinh dễ dàng cho câu trả lời hàm số đồng biến đoạn [0, ]  Biến ảnh hưởng đến chiến lược: - Nếu hàm số cho có biểu thức đạo hàm xét dấu dễ dàng (tìm nghiệm phương trình y’ = hay nhận biết dấu biểu thức đạo hàm khoảng cần xét), chiến lược phổ biến hiển nhiên - Nếu hàm số cho có biểu thức đạo hàm xét dấu khó khăn (không tìm nghiệm phương trình y’ = hay nhận biết dấu biểu thức đạo hàm khoảng cần xét), chiến lược xuất  Cái quan sát giáo viên Câu 1: Tìm giá trị tham số a để hàm số f ( x) = x + ax + x + đồng biến R (Bài tập số 5, [11, tr 8]) Lời giải tìm thấy học sinh: Lời giải 1: Hàm số xác định R Ta có f’(x) = x2 + 2ax + Hàm số đồng biến R f’(x) ≥ ⇔ ∆ ' = a2 - ≤ ⇔ -2 ≤ a ≤ Vậy hàm số đồng biến R -2 ≤ a ≤ a) Thầy cô chấm điểm cho lời giải toán học sinh (thang điểm từ 010) cho lời giải thích thoã đáng cho học sinh lời giải không điểm 10 b) Thầy cô có đồng ý hay không học sinh sử dụng điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu lời giải toán Vì sao? Thầy cô cần lưu ý điều cho học sinh, sử dụng điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu Trả lời 1: Đồng ý cho học sinh sử dụng điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu Khi sử dụng cần lưu ý : - Tính liên tục hàm số khoảng mà hàm số đơn điệu - Phương trình f’(x) = có hữu hạn nghiệm Trả lời 2: Không (hoặc hạn chế sử dụng) chưa thực xuất cách tường minh thành định lí sách giáo khoa dành cho học sinh Trả lời khác: không sử dụng định lí điều kiện cần đủ lí khác Câu 2: Thầy cô có cho học sinh phân biệt hàm số đồng biến (nghịch biến) đoạn (nửa khoảng) với hàm số đồng biến (nghịch biến) khoảng  Có (Số lượng giáo viên thực điều ít)  Không (Chủ yếu) Câu 3: Trong trình dạy học tính đơn điệu hàm số Thầy cô có cho học sinh ví dụ khảo xác biến thiên hàm số cho biểu thức trở lên? - Không Làm rắc rối thêm cho học sinh việc học xét biến thiên hàm số - Có, khoảng 1-2 Vì cần minh hoạ để học sinh không bỏ qua điều kiện để hàm số đơn điệu - Có, thường xuyên Hầu giáo viên làm điều thường xuyên Câu 4: Thầy cô có thường lưu ý cho học sinh kiểm tra tính liên tục hàm số khoảng cần xét biến thiên Vì sao?  Có, cần xét biến thiên hàm số đoạn (nửa khoảng), để nhắc học sinh kiểm tra đầy đủ điều kiện đủ để hàm số đơn điệu đoạn, (nửa khoảng)  Không Vì hàm số sơ cấp liên tục khoảng hàm số xác định  Có, thường xuyên Hầu giáo viên làm điều cách thường xuyên Câu 5: Thầy cô có cho học sinh kiểm tra tính hợp thức giá trị tham số tìm toán “ Tìm tham số để hàm số đồng biến (nghịch biến trên) K  Không Chỉ sử dụng điều kiện đủ để hàm số đơn điệu, nên không việc phải kiểm tra tính hợp thức giá trị tham số  Có, Vì cần nhắc nhở học sinh quan tâm đến xem giá trị tham số tìm có thoã thỏa điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng cần xét biến thiên  Có, thường xuyên Số lượng giáo viên làm điều Câu 6: Thầy cô hướng dẫn học sinh giải toán mà việc tìm nghiệm phương trình y’ = gặp khó khăn : a) Xét biến thiên hàm số y= x + x + x − x [0, +∞) b) Xét biến thiên hàm số y = x + 3x + − x [0, ] Trả lời 1: - Tính đạo hàm - Xét dấu đạo hàm: xác định nghiệm (có nghiệm vô nghiệm) phương trình f’(x) = Từ xét dấu biểu thức đạo hàm f’(x) - Kết luận tính đơn điệu hàm số Trả lời 2: - Tính đạo hàm cấp - Nếu xác định dấu, hay nghiệm phương trình f’(x) = chuyển sang tính đạo hàm cấp - Xét dấu đạo hàm cấp 2, suy tính đơn điệu hàm số f’(x) - Vận dụng định nghĩa tính đơn điệu hàm số f’(x), suy dấu f’(x) khoảng K - Kết luận tính đồng biến, nghịch biến hàm số f(x) khoảng cần xét biến thiên 4.5 - Phân tích hậu nghiệm 4.5.1- Kết thực nghiệm học sinh Thực nghiệm 105 học sinh lớp 12 trường THPT Nguyễn Trãi, THPT Ninh Hải Kết thực nghiệm thống kê đây: - Phần chữ đậm nét chiến lược mong đợi - Phần chữ gạch chiến lược đưa giả thuyết nghiên cứu chiến lược thể qui tắc sai lầm học sinh Câu 1a) Chiến lược S1a S2a S3a CL khác Bỏ trống Không giải thích Số lượng 28 43 11 13 Chiến lược S3a chiếm số lượng đáng kể, điều chứng tỏ học sinh tồn sai lầm: “chỉ có hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) ≥ (f’(x) ≤ 0) x thuộc đoạn [a, b] hàm số đồng biến (nghịch biến) đoạn [a, b].” Chiến lược khác: Chiến lược học sinh quan tâm đến xác định hàm số đoạn [a; b] “Không đồng ý với học sinh An hàm số xác định điểm x = 0, x= 2” Câu 1b) Chiến lược S1b S2b S3b CL khác Không GT Bỏ trống Số lượng 21 47 10 17 Chiến lược S3b chiếm số lượng cao nhất, chứng tỏ qui tắc sai lầm “ Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) khoảng (đoạn, nửa khoảng) K hàm số có đạo hàm f’(x) ≥ (f’(x) ≤ 0) x thuộc K” tồn phổ biến học sinh Chiến lược khác: chiến lược học sinh cho hàm số đồng biến (nghịch biến) K đạo hàm y’ lớn hữu hạn điểm K Câu trả lời: “Sai y ' ≥ xảy hữu hạn điểm K.” Câu Chiến S1 S3 S2 S4 S5 S6 Bỏ trống lược Số lượng 68 10 Chiến lược S3 chiếm số lượng lớn nhất, điều chứng tỏ học sinh việc xét dấu đạo hàm hàm số định kết trình xét tính đơn điệu hàm số xét tính liên tục hàm số, đồng thời kiểm chứng giả thuyết H :Tôn trọng qui tắc hợp đồng, học sinh sử dụng kiến thức học vào việc xét biến thiên hàm số mà không nghi ngờ tính liên tục hàm số khoảng cần xét biến thiên Câu 3) Câu 3) Chiến S1 S2 S3 S4 lược Số lượng 14 52 2 CL CL Bỏ khác khác trống 17 12 Chiến lược S2 chiếm số lượng đáng kể, chứng tỏ học sinh tách biểu thức hàm số thành hàm số riêng biệt tìm tham số để hàm số đồng biến khoảng cho Số lượng chiến lược S2 xuất lớn, phần kiểm chứng giả thuyết H : Học sinh không nghi ngờ tính hợp thức giá trị tham số tìm được, cụ thể học sinh thường không thực kiểm tra lại tham số tìm có làm cho hàm số đơn điệu hay không khoảng cho toán tìm giá trị tham số để hàm số đơn điệu khoảng cho trước Chiến lược khác thứ 1: Học sinh sử dụng qui tắc: điều kiện đủ để hàm số đồng biến (nghịch biến) khoảng y’> (y’ < 0) Câu trả lời: ;x≥0 2x a “ y' =  ;x0 Kết luận: với a >0, hàm số đồng biến R” Chiến lược khác thứ 2: Học sinh tách biểu thức hàm số thành hàm số sử dụng qui tắc: để hàm số đồng biến (nghịch biến) khoảng y’> (y’ < 0) Câu trả lời: “Ta có y’ = 2x ≥ với x ∈ [0, + ∞) nên hàm số đồng biến [0, + ∞) - Trên (-∞, 0), y’ = a Để hàm số đồng biến R cần có y’> ∀x ∈ R Khi hàm số phải đồng biến (-∞, 0), nên ta cần có a > Như với a > hàm số đồng biến R.” Câu Chiến S1 S2 S3 S4 lược Số lượng 58 16 CL Bỏ khác trống 12 13 Chiến lược S1 chiếm số lượng cao nhất, điều cho thấy qui tắc hành động 4: “Những hàm số đồng biến (nghịch biến) K, I (K, I khoảng, đoạn hay nửa khoảng) mà K ∪ I = L hàm số đồng biến (nghịch biến) L.” tồn học sinh, số học sinh quan tâm đến liên tục hàm số khoảng xét biến thiên thấp (chiến lược S2) Chiến lược khác : học sinh quan tâm đến xác định đạo hàm điểm x =1 hàm số Câu trả lời: “Mệnh đề sai f’(1) không xác định” Câu 5) Chiến lược S1 S2 C L khác Không kết luận Số lượng 11 83 Số lượng học sinh kết luận lớn, điều cho thấy phần lớn học sinh quan tâm đến việc tìm nghiệm đạo hàm mà không chứng minh biểu thức đạo hàm lớn với x thuộc đoạn cho Chiến lược khác: Chúng tìm thấy y’> kết luận hàm số đồng biến đoạn cho mà không tìm thấy giải thích Có thể học sinh có chiến lược khác mà sản phẩm mà thu 4.5.2- Kết thực nghiệm giáo viên Thực nghiệm 20 giáo viên dạy chương trình toán giải tích 12 Kết sau Câu 1a: Tìm giá trị tham số a để hàm số f ( x) = x + ax + x + đồng biến R Một lời giải tìm thấy học sinh: Hàm số xác định R Ta có f’(x) = x2 + 2ax + Hàm số đồng biến R f’(x) ≥ ⇔ ∆ ' = a2 - ≤ ⇔ -2 ≤ a ≤ Vậy hàm số đồng biến R -2 ≤ a ≤ a) Thầy cô chấm điểm cho lời giải toán học sinh (thang điểm từ 010) ghi lời giải thích thoã đáng cho học sinh lời giải không điểm 10 Điểm Số lượng 1- 5- 10 Các lí đưa để làm không đạt điểm tối đa là: điểm - Đạo hàm f’(x) ≥ phải với tập xác định hàm số 5-6 điểm- Thiếu hàm số liên tục R f’(x) = có hữu hạn nghiệm R 7-8 điểm -Thiếu hàm số liên tục R điểm -Thiếu f’(x) = có hữu hạn nghiệm  Bảng số liệu cho thấy giáo viên cho phép học sinh sử dụng điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu K, đôi với phải bổ sung điều kiên Câu 1b Thầy cô cần lưu ý điều cho học sinh, sử dụng định lí điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu Các câu trả lời : A1 Dấu (f’(x)=0) xảy số hữu hạn điểm thuộc tập xác định (Chiếm tỉ lệ 5/20) A2 Hàm số liên tục có đạo hàm khoảng cần xét biến thiên (Chiếm tỉ lệ 7/20) A3 Hàm số phải có đạo hàm khoảng cần xét (Chiếm tỉ lệ 8/20.)  Số liệu thực nghiệm cho thấy, giáo viên xem trọng việc hàm số phải có đạo hàm khoảng cần xét biến thiên liên tục hàm số Câu 2: Thầy cô có cho học sinh phân biệt hàm số đồng biến (nghịch biến) đoạn (nửa khoảng) với hàm số đồng biến (nghịch biến) khoảng Có Không - Có (Chiếm tỉ lệ 7/20) - Không (Chiếm tỉ lệ 13/20)  Từ số liệu cho thấy, số giáo viên cho học sinh phân biệt hàm số đơn điệu đoạn (nửa khoảng) với hàm số đơn điệu khoảng Câu 3: Trong trình dạy học tính đơn điệu hàm số Thầy cô có cho học sinh ví dụ khảo xác biến thiên hàm số cho biểu thức trở lên?  Không  Có,  Có, thường xuyên - Không (chiếm tỉ lệ12/20) - Có khoảng 1-2 (chiếm tỉ lệ 6/20) - Thường xuyên (chiếm tỉ lệ 2/20)  Quá trình dạy học tính đơn điệu hàm số, chủ yếu thực xét biến thiên hàm số sơ cấp xác định biểu thức Câu 4: Thầy cô có thường lưu ý cho học sinh kiểm tra tính liên tục hàm số khoảng cần xét biến thiên Vì sao?  Không  Có,  Có, thường xuyên Không Vì hàm sơ cấp liên tục khoảng cần xét sụ biến thiên (Chiếm tỉ lệ 10/20) Có, Vì xét tính đơn điệu hàm số đoạn hay nửa khoảng (Chiếm tỉ lệ 6/20) Có thường xuyên Vì đơn điệu hàm số khoản K phải gắn liền với liên tục hàm số K (Chiếm tỉ lệ 4/20)  Từ số liệu thực nghiệm cho thấy việc kiểm tra tính liên tục hàm số khoảng cần xét biến thiên không trọng nhiều Câu 5: Thầy cô có cho học sinh kiểm tra lại tính hợp thức giá trị tham số tìm toán “ Tìm tham số để hàm số đồng biến (nghịch biến) K  Không  Có,  Có, thường xuyên - Không (Chiếm tỉ lệ 16/20) - Có, thỉnh thoảng.(Chiếm tỉ lệ 3/20) - Có thường xuyên.(Chiếm tỉ lệ 1/20)  Việc kiểm tra lại tham số tìm để hàm số đơn điệu K, không trọng Câu 6: Thầy cô hướng dẫn học sinh giải toán sau: a Xét biến thiên hàm số y= x + x + x − x [0, +∞) b Xét biến thiên hàm số y = x + 3x + − x [0; ] Hướng dẫn 1: - Tính đạo hàm f’(x) → tìm nghiệm có f’(x) =0→bảng biến thiên→kết luận biến thiên hàm số khoảng tương ứng - Hướng dẫn thực đạo hàm cấp xác định dấu Hướng dẫn 2: Xác định liên tục hàm số→tính đạo hàm y’→tính đạo hàm cấp (y”) → suy đơn điệu hàm số f’(x) với x thuộc khoảng cho→từ so sánh y’ với số 0→kết luận biến thiên hàm số khoảng tương ứng - Hướng dẫn thực biểu thức đạo hàm cấp khó xác định dấu trực tiếp  Kết luận chương Thực nghiệm cho kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu H , H qui tắc sai lầm tồn học sinh, đồng thời cho kiểm chứng số qui tắc hợp đồng dạy học xét tính đơn điệu hàm số Ngoài thực nghiệm đặt cho câu hỏi : Học sinh giáo viên ứng xử trước toán mà biểu thức đạo hàm tìm nghiệm (khác nghiệm)? Học sinh có nhận biết hàm số không đơn điệu khoảng? Hàm số đơn điệu hay không khoảng hàm số không liên tục khoảng đó? PHẦN KẾT LUẬN Những kết nghiên cứu - Luận văn phân tích diện tri thức bậc đại học tri thức cần dạy cấp trung học phổ thông biến đổi tri thức cấp bậc - Luận văn phân tích sai lầm xét tính đơn điệu hàm số giải thích nguyên nhân sai lầm tồn học sinh - Luận văn đưa qui tắc hợp đồng dạy học giáo viên học sinh xét tính đơn điệu hàm số - Thực nghiệm kiểm chứng vấn đề nêu đặt cho số vấn đề Hướng mở rộng cho nghiên cứu Luận văn mở rộng cho số vấn đề có liên quan sau: - Những hàm số không liên tục khoảng đơn điệu khoảng hay không ? - Có phải hàm số ta xét đơn điệu khoảng đó.? - Ứng xử giáo viên học sinh việc xét tính đơn điệu hàm số đứng trước hàm số có đạo hàm cấp xét dấu thật khó khăn.? Luận văn đời với giúp đỡ tận tình thầy cô môn phương pháp dạy học toán nổ lực làm việc tác giả Luận văn nhiều thiếu sót, mong quí thầy cô bạn đồng nghiệp góp ý bổ sung cho luận văn ngày hoàn thiện Học viên Võ Thị Loan TÀI LIỆU THAM KHẢO BESSOT ANNIE, COMITI CLAUDE, LÊ THỊ HOÀI CHÂU, LÊ VĂN TIẾN (2009), Những yếu tố didactic toán, NXB Đại Học Quốc Gia, Thành Phố Hồ Chí Minh NGUYỄN VIẾT ĐÔNG, LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG, NGUYỄN ANH TUẤN, LÊ ANH VŨ, (1998) - Toán cao cấp tập 1, NXBGD, Thành phố Hồ Chí Minh PHẠM GIA ĐỨC, NGUYỄN MẠNH CẢNG, BÙI HUY NGỌC, VŨ DƯƠNG THỤY (2001), Phương pháp dạy học môn toán- tập 2, NXBGD - Bộ Giáo dục Đào tạo TRẦN VĂN HẠO - VŨ TUẤN- LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG -NGUYỄN TIẾN TÀI - CẤN VĂN TUẤT, (2008), Giải tích 12 NXBGD - Bộ Giáo dục Đào tạo PHẠM TRẦN HOÀNG HÙNG (2008), Khái niệm hàm số Logarit trường Trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ giáo dục, Thành Phố Hồ Chí Minh TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH (2002), Nghiên cứu didactic khó khăn học sinh tiếp thu khái niệm tích phân, Luận văn thạc sĩ khoa học, Thành Phố Hồ Chí Minh NGUYỄN HỮU LUÂN (2008), Khái niệm hàm số mũ trường Trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ giáo dục, Thành Phố Hồ Chí Minh MARIE MONIER JEAN (1999), Giải tích toán tập 1, NXBGD, Thành phố Hồ Chí Minh NGUYỄN THỊ NGA (2007), Nghiên cứu đồ án didactic dạy học khái niệm hàm số tuần hoàn, Luận văn thạc sĩ giáo dục, Thành phố Hồ Chí Minh 10 LÊ THỐNG NHẤT (2006), Rèn luyện lực giải toán cho học sinh phổ thông trung học qua việc phân tích sửa chữa sai lầm học sinh giải toán, Luận án tiến sĩ, ĐHSP Vinh 11 ĐOÀN QUỲNH, NGUYỄN HUY ĐOAN -TRẦN PHƯƠNG DUNG NGUYỄN XUÂN LIÊM - ĐẶNG HÙNG THẮNG, (2008), Giải tích 12 nâng cao, NXBGD - Bộ Giáo dục Đào tạo 12 ĐOÀN QUỲNH, NGUYỄN HUY ĐOAN -TRẦN VĂN VUÔNG - NGUYỄN XUÂN LIÊM - ĐẶNG HÙNG THẮNG, (2006), Đại số 10 nâng cao, NXBGD - Bộ Giáo dục Đào tạo 13 NGUYỄN ĐỨC TẤN, NGUYỄN ĐỨC HÒA, TẠ TOÀN, 500 toán đại số nâng cao lớp 9, (2001), NXB Đại học quốc gia, TPHCM 14 NGUYỄN THẾ THẠCH, (2008), Hướng dẫn thực chương trình sách giáo khoa môn toán lớp 12, NXBGD - Bộ Giáo dục Đào tạo 15 NGUYỄN PHÚ TRƯỜNG, TRẦN TUẤN ĐIỆP, (2010), Bộ đề thi tuyển sinh đại học môn toán, NXB ĐHSP, Hà Nội [...]... nhấn mạnh ứng dụng của đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số “Trong bài này ta sẽ ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu (tức là tính đồng biến và nghịch biến) của hàm số. ’’ [11, tr4] Đây cũng là ý đồ của thể chế dạy học nhằm nhấn mạnh vai trò chủ yếu của đạo hàm trong việc xét tính đơn điệu của hàm số Vì vậy trong tất cả các bài hàm số được xét đến là những hàm số có đạo hàm và đạo hàm có thể xét dấu... Phần lớn các bài toán xét tính đơn điệu của hàm số phụ thuộc chủ yếu vào sự khả vi của hàm số và dấu của biểu thức đạo hàm của hàm số trên các khoảng xác định Một mặt giáo trình nói đến sự biến thiên của hàm số trên khoảng sao cho phù hợp với tựa đề mục “6.1.1 khoảng biến thiên của hàm số của giáo trình trước khi trình bày các định lí điều kiện cần và đủ tính đơn điệu của hàm số Mặt khác, thường người... thiên của hàm số, mà không nói đến các “tập biến thiên” của hàm số  Điều kiện đầu tiên để xét sự biến thiên của hàm số trên một khoảng là sự khả vi của hàm số trên khoảng đó Việc ngầm hiểu hàm số khả vi trên khoảng (a, b) thì hàm số cũng liên tục trên khoảng (a,b), giáo trình cũng chưa đề cập đến tính đơn điệu của những hàm số liên tục trên khoảng (a, b) nhưng không có đạo hàm hay hàm số không có đạo hàm. .. các định nghĩa có đề cập đến tính đơn điệu của hàm số trên một tập con bất kì của số thực Các kiểu nhiệm vụ chủ yếu đi sâu vào việc ứng dụng của đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng mà hàm số xác định 1.4- Những nhận xét và kết luận từ việc phân tích các giáo trình Ở đây người ta có tính đến sự đơn điệu của hàm số trên tập, thông thường là các tập con của số thực (R+ , R-, Q+, Q-, Q,... đạo hàm Sau khi xuất hiện khái niệm đạo hàm, thì người ta đã sử dụng nó để nghiên cứu một số tính chất của các hàm số, đặc biệt là việc ứng dụng đạo hàm trong việc khảo sát tính đơn điệu của hàm số Trên phương diện đối tượng, chúng tôi sẽ tiếp tục xem xét các định lí về tính đơn điệu của hàm số qua công cụ đạo hàm, đặc biệt là tìm hiểu những đặc trưng khoa học luận của tri thức này 1.2 – Các định lí về. .. đạo hàm, là một bước tiến trong lịch sử hình thành các công cụ toán học để giải quyết một lớp các bài toán nghiên cứu tính chất của hàm số Cụ thể, các định lí về điều kiện cần và đủ về tính đơn điệu của hàm số là công cụ mang lại lợi ích lớn trong việc xét tính đơn điệu của hàm số, cho phép giảm bớt sự phức tạp của việc so sánh các biểu thức đại số (f(x 1 ) và f(x 2 )) trong ứng dụng định nghĩa tính đơn. .. các bài toán + Sự tương giao của hai đồ thị + Sự tiếp xúc của hai đồ thị + Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị + Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số [14, tr 26] b - Mục đích yêu cầu của thể chế dạy học đối với tính đơn điệu của hàm số Bài tính đơn điệu của hàm số là bài đầu tiên thuộc chương I “ Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số của cả 2 cuốn sách giáo khoa... một số điểm trên khoảng (a, b) và những yếu tố công nghệ nào được sử dụng để giải quyết kiểu nhiệm vụ xét tính đơn điệu của những hàm số này Khi đó còn lại yếu tố công nghệ duy nhất để giải quyết kiểu nhiệm vụ xét tính đơn điệu của những hàm số này chỉ có thể là định nghĩa tính đơn điệu của hàm số Tuy nhiên không phải loại hàm số nào ta cũng có thể sử dụng định nghĩa trên để khảo sát tính đơn điệu của. .. quan hệ giữa tính đơn điệu với dấu của đạo hàm của hàm số + Khảo sát sự biến thiên của của hàm số + Thông hiểu điều kiện (chủ yếu là điều kiện đủ) để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng, một nửa khoảng hay một đoạn Từ đó giúp học sinh vận dụng thành thạo định lí về điều kiện đủ về tính đơn điệu để xét chiều biến thiên của hàm số và từ đó có thể chứng minh được một số bất đẳng thức đơn giản,... tập con của tập R, mà trên đó hàm số liên tục và khả vi  Điều kiện trước hết để một hàm số đơn điệu trên một khoảng là tính liên tục và khả vi của hàm số trên khoảng đó, sau là xét dấu của biểu thức đạo hàm trên khoảng đó Bước chuyển từ nhận biết tính chất tăng giảm của hàm số dựa vào hình dáng đồ thị hàm số sang nhận biết tính tăng giảm của hàm số thông qua các phép toán trên các biểu thức đại số, cụ ... hỏi nghiên cứu sau Q1 Khái niệm tính đơn điệu hàm số trình bày bậc đại học? Q2 Mối quan hệ thể chế tính đơn điệu hàm số trường trung học phổ thông gì? Q3 Sự chuyển đổi didactic tính đơn điệu hàm. .. nghiên cứu số tính chất hàm số, đặc biệt việc ứng dụng đạo hàm việc khảo sát tính đơn điệu hàm số Trên phương diện đối tượng, tiếp tục xem xét định lí tính đơn điệu hàm số qua công cụ đạo hàm, ... đạo hàm việc xét tính đơn điệu hàm số Vì tất hàm số xét đến hàm số có đạo hàm đạo hàm xét dấu Điều tạo tin tưởng bền vững học sinh giáo viên xét biến thiên hàm số tính đạo hàm xét dấu ta biết tính