(Sáng kiến kinh nghiệm) phát huy năng lực tự học môn toán cho học sinh thông qua nghiên cứu bài toán tính đơn điệu của hàm số

1 ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lý chọn đề tài Giảng dạy, nghiên cứu hướng dẫn học sinh tập dượt nghiên cứu khoa học nhiệm vụ trọng tâm giáo viên Chính năm qua, trường THPT Như Thanh coi trọng việc bồi dưỡng nâng cao lực nghiên cứu hướng dẫn, tập dượt nghiên cứu khoa học cho đội ngũ giáo viên nhà trường thơng qua nhiều hình thức như: Đổi sinh hoạt tổ, nhóm chun mơn; phát động phong trào viết chuyên đề; sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy; nghiên cứu đề tài khoa học sư phạm ứng dụng; tổ chức ngoại khoá Đổi PPDH phải gắn liền với đổi hình thức tổ chức dạy học Hình thức tổ chức dạy học phù hợp hút HS tham gia vào nội dung học, từ HS phát huy tính tích cực, chủ động q trình học, tạo điều kiện cho việc tiếp thu kiến thức có hiệu Hình thức tổ chức dạy học phù hợp khơng tạo điều kiện cho GV HS giao lưu, tranh luận với mà tạo tranh luận HS với HS, nhóm HS với để từ đạt mục đích kiến thức cách tự nhiên Mơn tốn mơn khoa học bản, có vai trị quan trọng phát triển tư duy, kỹ năng, tính sáng tạo HS, vấn đề cốt lõi đổi phương pháp dạy học mơn tốn trường THPT là: hướng dẫn HS học tập tích cực, chủ động, phát huy tính sáng tạo, rèn luyện kỹ giải toán, phát triển tư toán học Để làm điều đòi hỏi mối GV trước hết phải có trình độ chun mơn vững vàng, đổi phương pháp dạy học theo hướng tích cực, chủ động, lấy học sinh làm trung tâm trình dạy học Trong chương trình tốn lớp 12 THPT, tốn ứng dụng đạo hàm đóng vai trị quan trọng học sinh, khơng khía cạnh thi cử, mà giúp em rèn luyện kỹ sử dụng đạo hàm để giải toán, ứng dụng vào mơn khoa học khác Lý, Hóa, Sinh xa áp dụng kiến thức, kỹ vào thực tiễn, vào cơng việc sau Với lý trên, chọn đề tài “ Phát huy lực tự học mơn tốn cho học sinh thơng qua nghiên cứu tốn tính đơn điệu hàm số” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Rèn luyện tư sáng tạo, lực tự học- tự nghiên cứu dạy- học toán - Rèn luyện kỹ giải, xây dựng toán tính đơn điệu hàm số 1.3 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu 1.4 Phạm vi nghiên cứu đề tài - Nghiên cứu sở lý luận phương pháp dạy học tự học- tự nghiên cứu - Nghiên cứu mở rộng tốn tính đơn điệu hàm số 1.5 Điểm kết nghiên cứu - Áp dụng phương pháp dạy học tự học- tự nghiên cứu thơng qua nghiên cứu tốn tính đơn điệu hàm số - Nghiên cứu tốn tính đơn điệu hàm số, từ làm sở cho việc hướng dẫn HS tự học- tự nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận 2.1.1 Khái niệm PPDH hướng dẫn HS tự học tự nghiên cứu Tự học hình thức hoạt động nhận thức cá nhân nhằm nắm vững hệ thống tri thức kỹ thân người học tiến hành lớp ngồi lớp Có hai hình thức tự học: - Tự học có hướng dẫn (GV hướng dẫn lớp hướng dẫn hoạt động ngoại khố) - Tự học khơng có hướng dẫn GV (HS tự học với sách, tự xây dựng kế hoặch học tập) - Đối với học sinh phổ thông, tập dượt nghiên cứu khoa học thông qua tập nghiên cứu Đó làm, cơng trình nghiên cứu mang tính chất thực hành sau học chương học, nhằm đào sâu, mở rộng tri thức, làm bước đầu để học chủ đề để làm phong phú thêm giảng tài liệu sách báo hay thực tế điều tra, tiến hành thử nghiệm Bài tập nghiên cứu GV nêu HS tiến hành tự học, tự nghiên cứu hướng dẫn GV 2.1.2 Các bước thực dạy học tự học- tự nghiên cứu Trên sở khái niệm PPDH tự học, tự nghiên cứu ta đưa bước sau để thực hiên việc dạy học tự học, tự nghiên cứu: a) Xác định vấn đề cần nghiên cứu b) GV hướng dẫn học sinh thực nhiệm vụ c) HS thực nhiệm vụ báo cáo kết d) Đánh giá 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu Trong giảng dạy lâu trường THPT Như Thanh đa số GV tổ tốn thực tốt cơng tác chun mơn như: Đổi sinh hoạt tổ, nhóm chuyên môn; phát động phong trào viết chuyên đề Tuy nhiên chuyên đề “ Hướng dẫn Học sinh tự học- tự nghiên cứu” chưa quan tâm cách mức Trong dạy học theo chủ đề, phần tính đơn điệu hàm số có vai trị quan trọng chương ứng dụng hàm số, việc khai thác tính đơn điệu hàm số hợp khó, phần lớn Giáo viên cho học sinh nghiên cứu vài tập dạng trắc nghiệm, mà chưa hệ thống xây dựng chủ đề cách đầy đủ để HS dễ dàng tiếp cận Đối với HS có số có ý thức tự học, phần cịn lại học tập thụ động, không sáng tạo, dựa chủ yếu vào thầy-cô giáo Đa số HS cịn chưa có ý tứ nghiên cứu toán học Trong học toán phần lớn HS cịn yếu phần tốn ứng dụng nói chung tốn tính đơn điệu hàm hợp nói riêng, hàm mở rộng hàm số Đó điều hạn chế cách học HS trường THPT Như nói riêng trường THPT nói chung Để phần khắc phục điều tác giả mạnh dạn áp dụng phương pháp dạy học tự học- tự nghiên cứu vào số đối tượng HS khá, giỏi trường 2.3 Giải vấn đề Để hướng dẫn HS tự học- tự nghiên cứu có hiệu trước hết GV cần phải có cơng trình nghiên cứu cụ thể hoạt động đặc biệt quan trọng GV tốn bời ngồi việc rèn luyện tư sáng tạo cho GV, cịn làm phong phú thêm kho tàng kiến thức người thầy để từ lên lớp ngày hiệu quả, gương sáng cho HS noi theo đường học tập nghiên cứu tương lai Phần 1: Nghiên cứu xây dựng tốn tính đơn điệu hàm số Tính đơn điệu hàm số Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x) xác định K  Hàm số y = f ( x) đồng biến K " x1, x2 Ỵ K : x1 < x2 Þ f ( x1 ) < f ( x2 )  Hàm số y = f ( x) nghịch biến K " x1, x2 Ỵ K : x1 < x2 Þ f ( x1 ) > f ( x2 ) ( K khoảng đoạn nửa khoảng) Định lý: Cho hàm số y = f ( x) xác định K  Nu f Â( x) > 0, " x ẻ K hàm số f ( x) đồng biến K  Nếu f ¢( x) < 0, " x Î K hàm số f ( x) nghịch biến K Định lý mở rộng: Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm K  Nếu f ¢( x ) ³ 0, " x Î K f ¢( x) = số hữu hạn điểm hàm số đồng biến K  Nếu f ¢( x ) £ 0, " x ẻ K v f Â( x) = ti số hữu hạn điểm hàm số nghịch biến K  Nếu f ¢( x) = 0, " x Ỵ K f ( x) khơng đổi K Xây dựng mở rộng tốn tìm khoảng đơn điệu hàm số Bài toán: Cho hàm số f  x  có bảng xét dấu đạo hàm sau: x f  x      Tìm khoảng đơn điệu hàm số y  f  x  Lời giải Từ bảng biến thiên ta định lý nêu, suy hàm số đồng biến khoảng  ;1  2;   , nghịch biến khoảng  1;  Tìm khoảng đơn điệu hàm số y  2 f  x  Lời giải   Ta có y  g  x   2 f  x   g  x   2 f  x  x    x  1 g   x   2 f   x       x   x  Từ bảng xét dấu f  x  ta có Vậy hàm số nghịch biến khoảng  ; 1  0;   , đồng biến khoảng  1;0  Tìm khoảng đơn điệu hàm số y  f  x   Lời giải     Ta có y  g  x   f  x    g  x    x   f  x    f  x   x    x  1 g   x   f   x  2      x   x  Từ bảng xét dấu f  x  ta có Vậy hàm số đồng biến khoảng  ; 1  0;   , nghịch biến khoảng  1;0  Tìm khoảng đơn điệu hàm số y  f  x    Lời giải     Ta có y  g  x   f  x     g  x    x   f  x    f  x   x    x  1 g   x   f   x  2      x   x  Từ bảng xét dấu f  x  ta có Vậy hàm số đồng biến khoảng  ; 1  0;   , nghịch biến khoảng  1;0  Tìm khoảng đơn điệu hàm số y   f  x   Lời giải     Ta có y  g  x    f  x    g  x    x   f  x    3 f  x   x    x  1 g   x   f   x  2      x   x  Từ bảng xét dấu f  x  ta có Vậy hàm số nghịch biến khoảng  ; 1  0;   , đồng biến khoảng  1;0  Tìm khoảng đơn điệu hàm số y  f  x  Lời giải     Ta có y  g  x   f  x   g  x    x  f  x   f  x   x 2x   g x  f  2x      x    x  Từ bảng xét dấu f  x  ta có 1   ;    1;   , nghịch biến Vậy hàm số đồng biến khoảng  1   ;1 khoảng   Tìm khoảng đơn điệu hàm số y   f  x  Lời giải     Ta có y  g  x    f  x   g  x   3  x  f  x   6 f  x   x 2 x   g   x   6 f   x       x    x  Từ bảng xét dấu f  x  ta có 1   ;    1;   , đồng biến Vậy hàm số nghịch biến khoảng  1   ;1 khoảng   Tìm khoảng đơn điệu hàm số y  f  x  x2  Lời giải Đặt y  g  x   f  x  x2   g  x   f   x  x2   x  x2      2x  f   x  x2  1  x   1  x    x  x  1 ptvn    x   x  x2   f x  x  ptvn g  x       Cho 1  x    1     f  x    0    x    g x     Với nên   1  x    1     f    x      x  g x      Với nên   1  ;   g x  f  xx   Vậy   , đồng biến khoảng  1   ;    nghịch biến khoảng  Tìm khoảng đơn điệu hàm số y   f  x  x2  Lời giải Đặt y  g  x    f  x  x   g   x   2 f   x  x   x  x       x  f   x  x  g x   f  x  x2  Từ ta kết quả: Hàm   , nghịch biến khoảng 1  1  ;    ;    vàđồng biến khoảng    y  f  x3  1 10 Tìm khoảng đơn điệu hàm số Lời giải Đặt y  g  x   f  x  1  g   x    x   f   x  1  3x f   x  1  x3    x3  x  g x       x  x 1  x  Do x  nên Hàm y  g  x   f  x  1 đồng biến khoảng  ;0   1;   , nghịch biến khoảng  0;1 1 1  y   f  x  x  x  1 2  11 Tìm khoảng đơn điệu hàm số Lời giải Đặt 1 1  y  g  x    f  x3  x  x  1   1 1 1 3   g   x     x  x   f   x  x  x  1 6 2 2  1 3   x  x    0x 6 Do  nên 1  x  x  x 1  3 x  x  x  g x      x3  x  x   3 x  x  x     x  x  x  1  x     x  1  x  x    x   1 1  y  g  x    f  x  x  x  1 2  đồng biến khoảng  ;0   1;   Hàm ,nghịch biến khoảng  0;1  x 1 y f    x 1  12 Tìm khoảng đơn điệu hàm số Lời giải  x 1 y  g  x  f   ( x  1) x    Đặt  g x   x 1  x 1  x  x 1   f       x 1  x 1  1  x   2  x   x  1  x 1 y  g  x  f    x   đồng biến khoảng  ;1  1;3 , nghịch biến Hàm khoảng  3;    13 Tìm khoảng đơn điệu hàm số Lời giải y f Đặt y  g  x  f Hàm  y  g  x  f x 1    g x  x 1 f x 1  x 1   x 1   1  x  x 1     x   x     đồng biến khoảng  1;0   3;   , nghịch biến khoảng  ; 1 và  0;3 14 Tìm khoảng đơn điệu hàm số y  f  sinx  Lời giải   Đặt y  g  x   f  sinx   g  x   cos xf  s inx  s inx  f   s inx     s inx  Ta có     g   x    cos x   x     k 2 ;  k 2    Suy 3   g   x    cos x   x    k 2 ;  k 2  2  và       k 2 ;  k 2   y  g  x   f  s inx   và, nghịch Hàm đồng biến khoảng  3    k 2    k 2 ;  biến khoảng  y  f  2x  15 Tìm khoảng đơn điệu hàm số Lời giải Đặt y  g  x   f  2x  Hàm y  f  2x  2x  x   g   x   x ln f   x     x  x  2  đồng biến khoảng  ;0   1;   , nghịch biến khoảng  0;1 16 Tìm khoảng đơn điệu hàm số y  f  log x  Lời giải Đặt y  g  x   f  log x  ( x  0)  g x   log x  0  x  f   log x      x ln x   log x  Hàm y  f  log x  đồng biến khoảng  0;   4;   , nghịch biến khoảng  2;  Nhận xét Có số tốn, mà việc tìm tất khoảng đơn điệu khó khăn, ta chứng minh hàm số đồng biến, hay nghịch biến khoảng định, toán thường xuất toán chứng minh, tập trắc nghiệm 17 Chứng minh hàm số y  x  f  x  đồng biến  ;1  2;   Lời giải   Ta có y  g  x   x  f  x   g  x    f  x   Từ bảng xét dấu ta có f  x   0x   ;1   2;   suy g   x    f   x   0x   ;1   2;   Vậy hàm số đồng biến khoảng  ;1  2;   18 Chứng minh hàm số y   x  f   x  nghịch biến  ; 1  0;   Lời giải   Ta có y  g  x    x  f   x   g  x   1  f   x  Từ bảng xét dấu ta có 1  x  x  f   x      1  x   x  1 g   x   1  f    x   0x   ; 1   0;   Vậy hàm số nghịch biến khoảng suy  ; 1  0;       ;1 19 Chứng minh hàm số y  x  x   f  x  đồng biến    2;   Lời giải y  g  x  x  x   f  x  g x   2x  1 f  x  Ta có Dễ thấy    x   x  Vậy hàm số đồng biến g x       ;1    2;   20 Chứng minh hàm số y  x2  x   f  x2  x  2 đồng biến  0;   Lời giải Ta có 10 y  g  x   x  x   f  x  x    g   x   x    x  1 f   x  x      x  1  f   x  x     x2  x   x  f   x  x  2      x  1 x  x   2 Ta có 2 x    g x      f x  x     Vậy x   Suy hàm số đồng biến  0;   21 Chứng minh hàm số y  x  x  x   f  x  x  x  1 đồng biến  ;0  Lời giải Ta có  y  g  x   x3  x  x   f  x  x  x  1  g   x    x  x  1  f   x  x  x  1 Ta có  x  x  x  1   x3  x  x    f  x  x  x  1      x3  x  x   x  x  x 1  Vậy g x  x  f   x  x  x  1  , mặt khác 3x  x   x nên Vậy hàm số đồng biến  ;0  22 Chứng minh hàm số y  f  x   f  x    f  nx  nghịch biến 1 2    ;   ;   n   n   Lời giải Ta có y  g  x   f  x   f  x    f  nx  , n  N  y  g   x   f   x   f   x    nf   nx  11  Từ bảng biến thiên ta có  x  n  f   x   0, f   x   0, , n f   nx    x   n  y  g   x   f   x   f   x    nf   nx   Vậy hàm số đồng biến khoảng 1   ;  n  2   ;   n  Nhận xét:  Tương tự ta xây dựng thêm nhiều câu hỏi khác nữa, từ toán gốc cho  Đối với toán cho biết đồ thị đạo hàm, ta dễ dàng suy dấu đạo hàm hàm số đó, ta xây dựng toán cách tương tự Phần2: Kế hoặch dạy chuyên đề “Hướng dẫn học sinh tự học- tự nghiên cứu” Đối tượng: HS lớp 12, HS ôn thi THPT QG I Mục tiêu dạy Nghiên cứu giải mở rộng toán tính đơn điệu hàm số, biết dấu đạo hàm II Nhiệm vụ GV - GV tiến hành giảng dạy chun đề mở rộng tốn tính đơn điệu hàm số, nhận xét hướng dẫn học sinh hoàn thành nhiệm vụ - GV giao đề tài nghiên cứu cho HS hướng dẫn bước tiến hành tự học, tự nghiên cứu cho HS - GV hướng dẫn cho HS số kỹ giải tốn tính đơn điệu hàm số, hướng dẫn HS tìm tài liệu, viết thành báo trình bày đề tài 12 - GV đóng vai trị người hướng dẫn, tổ chức, thiết kế, cố vấn, trọng tài trình nghiên cứu HS III Nhiệm vụ HS Hoàn thành nhiệm vụ GV giao cho IV Phương pháp dạyhọc Hướng dẫn HS tự học tự- nghiên cứu V Nội dung chi tiết GV đặt vấn đề Trong đề thi THPT QG năm gần câu hỏi tính đơn điệu hàm số chiếm phần quan trọng, câu hỏi tính đơn điệu tương đối đa dạng nhiều mức độ từ dễ đến khó, tốn liên quan đến dấu đạo hàm, hay đọc đồ thi hàm số…là phần tương đối khó với học sinh Để giúp học sinh tiếp cận chuyên đề tốt hơn, việc học SGK học sinh cần nghiên cứu sâu dạng tốn này, nhằm có kỹ tốt hơn, để đạt kết cao kỳ thi THPT QG GV đưa nội dung cần tự học, tự nghiên cứu - Ngiên cứu giải tốn tính đơn điệu hàm số - Nghiên cứu xây dựng toán tương tự tính đơn điệu hàm số GV gợi ý tài liệu tham khảo - Đề thi THPTQG, đề thi thử: 2016-2017, 2017-2018 - Các tài liệu đọc thêm có liên quan đến tính đơn điệu hàm số GV phát phiếu học tập cho HS GV cho tập hướng dẫn học sinh giải, mở rộng toán Bài tâp : Cho hàm số f  x  có bảng xét dấu đạo hàm sau: x f  x        Tìm khoảng đơn điệu hàm số y  f  x  Tìm khoảng đơn điệu hàm số y  2 f  x  Tìm khoảng đơn điệu hàm số y  f  x   13 Tìm khoảng đơn điệu hàm số y  f  x    Tìm khoảng đơn điệu hàm số y   f  x   Tìm khoảng đơn điệu hàm số y  f  x  Tìm khoảng đơn điệu hàm số y   f  x  Tìm khoảng đơn điệu hàm số Tìm khoảng đơn điệu hàm số y  f  x  x2  y   f  x  x2  y  f  x3  1 10 Tìm khoảng đơn điệu hàm số …………………………………………………………………………………… Trên số câu minh họa, học sinh sáng tạo thêm ý khác tương tự, toán liên quan cực trị, GTLN-GTNN GV tổ chức cho HS nêu hướng giải GV cho HS nêu ý kiến thân phương hướng giải tốn, thuận lợi khó khăn, vấn đề cần hướng dẫn GV GV hướng dẫn HS giải số ý tốn mà học sinh cịn lúng túng GV giao đề tài cho HS yêu cầu HS tự học, tự nghiên cứu GV yêu cầu HS: - Tự giải tấp giao - Tự tìm tịi thêm tập có liên quan - Sáng tạo tập liên quan - HS viết thành báo nhỏ theo mẫu sau: ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU CỦA HS Họ tên:………… lớp:……… ……trường:………………………… Tên đề tài: NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ MỞ RỘNG… Lời mở đầu Kiến thức ( kiến thức tính đơn điệu hàm số) Kết nghiên cứu (các dạng tập ví dụ minh hoạ) Kết luận Tài liệu tham khảo 14 GV nghiệm thu báo HS - GV kiểm tra kết tự học, tự nghiên cứu HS - GV tổ chức cho HS trình bày kết nghiên cứu, làm trọng tài cho thảo luận - GV đưa đánh giá cho báo HS theo tiêu chí: + Chính xác, khoa học, sáng tạo, tích cực, khả hợp tác cao + Bài tập HS đưa đa dạng, phong phú + Thời gian hoàn thành 2.4 Hiểu sáng kiến kinh nghiệm - Đối với HS giỏi, HS lớp đội tuyển trường phổ thông tiếp thu tốt có khả nghiên cứu sáng tạo, với khả tự học vốn có, hướng dẫn GV kết đạt tốt, HS say mê nghiên cứu, tìm tịi, sáng tạo, từ chuẩn bị tốt cho kỳ thi THPT QG - Phương pháp dạy học dành cho HS trở lên, khơng hiệu HS yếu kém, hiệu HS có học lực trung bình KẾT LUẬN 3.1 Kết luận Quá trình nghiên cứu đề tài thu số kết sau: - Trong đề tài nghiên cứu cách khoa học tốn tìm khoảng đơn điệu hàm số, giúp học sinh bước đầu làm quen với dạng toán này, từ làm tiền đề cho việc nghiên cứu sâu dạng toán - Đưa sở lý luận phương pháp dạy học hướng dẫn HS tự học, tự nghiên cứu - Đưa biện pháp hướng dẫn HS tự học- tự nghiên cứu 3.2 Khuyến nghị Sau tổng kết thực nghiệm sư phạm, chúng tơi có số đề xuất sau: - GV nên thay đổi PPDH để phù hợp với đối tượng, nội dung học, hướng dẫn HS tự học, tự nghiên cứu, để tạo sản phẩm hữu ích giúp em có lượng kiến thức kỹ tốt để chuẩn bị cho kỳ thi - Nhà trường, tổ chuyên mơn cần khuyến khích hình thức, tự học tự nghiên cứu, hợp tác nhóm HS theo hướng dẫn GV để từ tạo điều kiện cho 15 GV HS giao lưu cải thiện chất lượng học tập giúp em có tảng kiến thức thật vững 16 Xác nhận, đánh giá, xếp loại đơn vị Như Thanh, ngày 20 tháng 05 năm 2019 Người viết Mai Xuân Đông ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRÊN 17 ...- Nghiên cứu sở lý luận phương pháp dạy học tự học- tự nghiên cứu - Nghiên cứu mở rộng tốn tính đơn điệu hàm số 1.5 Điểm kết nghiên cứu - Áp dụng phương pháp dạy học tự học- tự nghiên cứu thông. .. tự nghiên cứu thông qua nghiên cứu tốn tính đơn điệu hàm số - Nghiên cứu tốn tính đơn điệu hàm số, từ làm sở cho việc hướng dẫn HS tự học- tự nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở... khoảng đơn điệu hàm số y  f  x  Tìm khoảng đơn điệu hàm số y  2 f  x  Tìm khoảng đơn điệu hàm số y  f  x   13 Tìm khoảng đơn điệu hàm số y  f  x    Tìm khoảng đơn điệu hàm số