(SKKN HAY NHẤT) phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu của hàm số mũ lôgarit và hàm lượng giác

Phát triển tư học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu hàm số mũ - lơgarit hàm số lượng giác ĐỀ TÀI PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC SINH THƠNG QUA VIỆC KHAI THÁC TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ MŨ LÔGARIT VÀ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Bất đẳng thức vấn đề khó chương trình phổ thơng, thường xuất đề thi học sinh giỏi cấp thi đại học Trong trình dạy học nghiên cứu vấn đề thấy bất đẳng thức chứa hàm số Mũ - Lôgarit hàm số lượng giác thấy tài liệu sách báo Một số đề thi đại học học sinh giỏi năm gần thường thấy sử dụng hàm số để giải loại này, đặc biệt có xuất bất đẳng thức chứa đối tượng hàm số Mũ -lôgarit hàm số lượng giác Chẳng hạn đề thi đại học khối A, A1 năm 2012, đề thi đại học khối D 2007 Trong đề tài đề xuất ví dụ đặc trưng cho hàm số, từ ví dụ xây dựng thành chuỗi toán Việc xây dựng chuỗi toán nâng dần mức độ khó giúp học sinh phát triển tư duy, gây hứng thú cho học sinh Từ học sinh hoạt động cách tích cực, độc lập, chủ động sáng tạo Vì lý tơi chọn đề tài " Phát triển tư học sinh thơng qua việc khai thác tính đơn điệu hàm số mũ, lôgarit hàm số mũ " GV: Đậu Thanh Kỳ Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phát triển tư học sinh thơng qua việc khai thác tính đơn điệu hàm số mũ - lôgarit hàm số lượng giác B NỘI DUNG ĐỀ TÀI I CƠ SỞ LÝ THUYẾT Định nghĩa tính đơn điệu hàm số Sách giáo khoa đại số 10 định nghĩa hàm số đồng biến nghịch biến sau: " Giả sử K khoảng, đoạn khoảng f hàm số xác định K Hàm số f gọi đồng biến K Hàm số f gọi nghịch biến K Điều kiện cần để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng I a) Nếu hàm số f đồng biến I với b) Nếu hàm số f nghịch biến I với Chú ý: Khoảng I định lí thay đoạn nửa khoảng Khi phải bổ sung giả thiết “Hàm số liên tục đoạn nửa khoảng đó” Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng I a) Nếu với hàm số f đồng biến khoảng I b) Nếu với hàm số f nghịch biến khoảng I c) Nếu với hàm số f khơng đổi khoảng I Các nhận xét  Nhận xét 1: Hàm số xác định Đồng biến Đồng biến Nghịch biến Nghịch biến  Nhận xét 2: Hàm số xác định Đồng biến K , với x, y thuộc K Nghịch biến K  Nhận xét 3: Cho hàm số đoạn , với x, y thuộc K liên tục có đạo hàm đến cấp hai i) Nếu GV: Đậu Thanh Kỳ Trường THPT Nguyễn Xn Ơn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phát triển tư học sinh thơng qua việc khai thác tính đơn điệu hàm số mũ - lôgarit hàm số lượng giác ii) Nếu Đẳng thức hai Bất đẳng thức xảy Ta chứng minh nhận xét sau i) Xét hàm số , Ta có : Suy phương trình có nghiệm đổi dấu từ ( ) sang ( ) x qua nên ta có : ii) Chứng minh tương tự Chú ý: Phương trình phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm  Nhận xét 4: Cho hàm số liên tục có hai nghiệm , phương trình a b ln mang dấu II XÂY DỰNG CÁC CHUỖI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC XUẤT PHÁT TỪ NHẬN XÉT a) Từ tính đơn điệu hàm số mũ lơgarit Ví dụ Xuất phát từ hàm số đồng biến khoảng xác định với nghịch biến khoảng xác định với Do với số thực 1) với 2) với Với thuộc khoảng xác định hàm số ta có nên + Tương tự ta có: Do x, y, z số lớn nên: (1) Áp dụng BĐT Cơsi ta có: (2) GV: Đậu Thanh Kỳ Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phát triển tư học sinh thơng qua việc khai thác tính đơn điệu hàm số mũ - lôgarit hàm số lượng giác Từ (1) (2) suy Đẳng thức xẩy + Vì nên Tương tự ta có: Cộng vế với vế ta được: Áp dụng BĐT Côsi ta có: Đẳng thức xẩy Do ta có tốn sau:  Bài 1: Cho x, y, z số thực thuộc nửa khoảng a) , chứng minh rằng: b) Xét nên Khi ta có: Mà GV: Đậu Thanh Kỳ Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phát triển tư học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu hàm số mũ - lôgarit hàm số lượng giác Suy Từ ta có tốn sau:  Bài 2: Cho Chứng minh : a) b) Ví dụ Xuất phát từ hàm số Ta có Do nghịch biến 1) Suy Với ta xét ta : hay Với với ta được: Ta toán :  Bài 1: Cho số thực dương Chứng minh rằng: a) b) GV: Đậu Thanh Kỳ Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phát triển tư học sinh thơng qua việc khai thác tính đơn điệu hàm số mũ - lôgarit hàm số lượng giác 2) Suy Hay Do ta có toán:  Bài 2: Cho Chứng minh 3) Kết hợp với BĐT  ta có : Bài 3: Chứng minh 4) Kết hợp với Hay với ta , áp dụng BĐT Côsi ta có Bài 4: Chứng minh : với số thực Ví dụ Xuất phát từ hàm số 1) Kết hợp với BĐT đồng biến ta có: Do ta có tốn:  Bài 1: Chứng minh với số thực GV: Đậu Thanh Kỳ ta ln có Trường THPT Nguyễn Xn Ôn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phát triển tư học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu hàm số mũ - lơgarit hàm số lượng giác (*) 2) Kết hợp với BĐT Khi ta có: Do ta tốn:  Bài 2: Chứng minh với số thực 3) Kết hợp với giả thiết ta ln có ta được: hay Kết hợp BĐT Bunhiacopxky ta có: Do ta có tốn:  Bài 3: Chứng minh 4) Với , với ta có: Tương tự ta có: Cộng vế với vế ta tốn:  Bài 4: Chứng minh với số thực x, y, z khơng âm a) b) + Từ 4a ta được: với số thực x, y, z Áp dụng BĐT GV: Đậu Thanh Kỳ kết hợp giả thiết thêm , ta có Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phát triển tư học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu hàm số mũ - lơgarit hàm số lượng giác Do đó: Hay Suy Ta toán  Bài 5: Cho số thực thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức: + Với (Đại học KA 2012) ta có , xây dựng BĐT tương tự biến y, z cho  Bài 6: Cho tam giác cộng lại ta Chứng minh rằng: Để che giấu hàm số, ta sử dụng bất đẳng thức quen thuộc: Từ tốn là:  Bài 7: Cho tam giác Chứng minh Từ ta có tương tự nhân lại với ta toán:  Bài 8: Cho số thực a) , xây dựng BĐT Chứng minh : b) Lại có: GV: Đậu Thanh Kỳ Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phát triển tư học sinh thơng qua việc khai thác tính đơn điệu hàm số mũ - lôgarit hàm số lượng giác Và bất đẳng thức Từ suy có toán:  Bài 9: Chứng minh , ta ln có:  Bài 10: Chứng minh ta ln có Ví dụ Xuất phát từ hàm 1) Với đồng biến khoảng ta có: (Đại học KD 2007) Do ta có tốn:  Bài 1: Chứng minh rằng: 2) Với ta có Tương tự ta có: Từ ta có tốn:  Bài 2: Cho chứng minh rằng:  Bài 3: Cho thỏa mãn GV: Đậu Thanh Kỳ Chứng minh rằng: Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phát triển tư học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu hàm số mũ - lôgarit hàm số lượng giác 3) Từ trên, ta suy ra: Với , hay Tương tự, xây dựng thêm y công lại, ta được: Lại theo bất đẳng thức Cauchy thì: Từ có toán:  Bài 4: Cho Chứng minh rằng: 4) Kết hợp với bất đẳng thức Trêbưsép, ta có thì: Hay  Bài 5: Cho số thực dương x,y,z Chứng minh rằng: b) Từ tính đơn điệu hàm số lượng giác Ví dụ Xét hàm số Kết hợp với nghịch biến suy Ta có tốn: GV: Đậu Thanh Kỳ Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phát triển tư học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu hàm số mũ - lơgarit hàm số lượng giác + Với giả thiết (thỏa mãn điều kiện ràng buộc trên) Ta có Do ta có tốn:  Bài 2: Cho cho số thực dương thỏa mãn Chứng minh + Với giả thiết x, y, z số thực lớn thỏa mãn  Bài 3: Cho cho số thực lớn thỏa mãn ta được: Chứng minh b) Xuất phát từ tính đơn điệu hàm số lượng giác Sử dụng trực tiếp tính chất Xét hàm số Ta có Suy Tương tự ta có: Cộng vế với vế ta được: (1) Ta lại có Từ (1) (2) suy GV: Đậu Thanh Kỳ Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phát triển tư học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu hàm số mũ - lôgarit hàm số lượng giác Hay Đẳng thức xảy tam giác Ta toán  Bài 1: Cho tam giác Chứng minh rằng: Xét hàm số Ta có: Suy Tương tự ta có: Cộng vế với vế ta được: Đẳng thức xảy tam giác Ta toán  Bài 2: Cho tam giác nhọn Chứng minh rằng: Ta có hàm số đồng biến nên Tương tự ta có: Cộng vế với vế lại ta GV: Đậu Thanh Kỳ Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phát triển tư học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu hàm số mũ - lôgarit hàm số lượng giác Mặt khác ta có Do ta có Ta tốn  Bài 3: Cho tam giác Ta có hàm số nhọn Chứng minh rằng: nghịch biến nên Tương tự ta có: Cộng vế với vế lại ta được: Ta toán  Bài 4: Cho tam giác Chứng minh rằng: Sử dụng linh hoạt tính chất Ta có tam giác có cạnh biến bình đẳng ta hồn tồn giả sử Bây ta kết hợp với tính đơn điệu hàm số đó: Nếu hay Tương tự ta có biểu thức chứa đồng biến Cộng vế với vế ta được: Mặt khác ta có GV: Đậu Thanh Kỳ Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phát triển tư học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu hàm số mũ - lơgarit hàm số lượng giác Do Vậy ta toán  Bài 5: Cho tam giác ABC có Chứng minh rằng: Tổng quát(chứng minh hoàn toàn tương tự) Cho tam giác ABC có x số thực dương Chứng minh rằng: Bây ta kết hợp với tính đơn điệu hàm số với đồng biến , suy Do đó: Mà (1) Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có: GV: Đậu Thanh Kỳ Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phát triển tư học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu hàm số mũ - lôgarit hàm số lượng giác , Suy Hay (2) Từ (1) (2) ta có Đẳng thức xảy Vậy ta toán  Bài 6: Cho tam giác ABC có Chứng minh XUẤT PHÁT TỪ NHẬN XÉT Ví dụ Xét hàm số có phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ Suy Từ ta có với Cho GV: Đậu Thanh Kỳ , ta có tốn: Trường THPT Nguyễn Xn Ơn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phát triển tư học sinh thơng qua việc khai thác tính đơn điệu hàm số mũ - lôgarit hàm số lượng giác  Bài 1: Cho số thực không âm thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ Sau lời giải đầy đủ Xét hàm số Ta có Vì nên hàm số đồng biến phương trình có tối đa nghiệm Mặt khác trình nghiệm Bảng biến thiên x + đó phương Vậy ta có hay Tương tự ta có: , Cộng vế với vế ta được: Vậy Cho  , ta có tốn: Bài 2: Cho số thực khơng âm thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ Ví dụ Xét hàm số có phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ GV: Đậu Thanh Kỳ Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phát triển tư học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu hàm số mũ - lôgarit hàm số lượng giác Suy ta có Xây dựng BĐT tương tự kết hợp với đánh giá ta có tốn  Bài 1: Cho số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn Lời giải đầy đủ Xét hàm số Ta có , Bảng biến thiên x + 0 Suy , Ta có Tương tự ta có Cộng vế với vế ta được: Mặt khác ta có Do Vậy Suy ta có Xây dựng BĐT tương tự kết hợp với ràng buộc biến ta có toán  Bài 2: Cho số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn  Bài 3: Cho số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn  Bài 4: Cho GV: Đậu Thanh Kỳ số thực dương thỏa mãn Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phát triển tư học sinh thơng qua việc khai thác tính đơn điệu hàm số mũ - lôgarit hàm số lượng giác Tìm giá trị lớn Ví dụ Xét hàm số có Xét hàm số có Xét hàm số có Xét hàm số có Phương trình tiếp tuyến Suy hàm số , Do ta có toán:  Bài 1: Cho tam giác Chứng minh rằng: Tương tự ta có tốn:  Bài 2: Cho tam giác nhọn Chứng minh rằng: Phương trình tiếp tuyến Suy hàm số , Do ta có tốn:  Bài 3: Cho tam giác GV: Đậu Thanh Kỳ nhọn Chứng minh rằng: Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phát triển tư học sinh thơng qua việc khai thác tính đơn điệu hàm số mũ - lôgarit hàm số lượng giác Tương tự ta có  Bài 4: Cho tam giác nhọn Chứng minh rằng: Thay  góc khác ta có tốn: Bài 5: Cho tam giác Chứng minh rằng: a) b) c) với  Bài 6: Cho tam giác Chứng minh rằng: a) b) (  Bài 7: Cho tam giác dấu căn) với nhọn Chứng minh a) b)  Bài 8: Chứng minh rằng: ( dấu căn) với tam giác ABC Từ kết với tam giác GV: Đậu Thanh Kỳ ta có BĐT: Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phát triển tư học sinh thơng qua việc khai thác tính đơn điệu hàm số mũ - lôgarit hàm số lượng giác Do ta có , , Cộng vế với vế ta có Đẳng thức xảy Vậy ta có tốn  Bài 9: Cho tam giác Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Từ kết với tam giác Với ta có Lại có nên Từ ta có, Cộng vế với vế lại ta Đẳng thức xảy hốn vị Từ ta có tốn:  Bài 10: Cho tam giác GV: Đậu Thanh Kỳ có góc khơng nhỏ Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phát triển tư học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu hàm số mũ - lơgarit hàm số lượng giác Chứng minh rằng : XUẤT PHÁT TỪ NHẬN XÉT Ví dụ Ta có hàm số nghiệm Do có có nhiều hai nghiệm Mà có Kết hợp với f(x) liên tục Dấu "=" xảy nên ta có: Từ nhận xét ta có tốn  Bài 1: Cho số thực Giả thiết  Chứng minh rằng: khơng âm có Bài 2: Cho số thực khơng âm ta có tốn thỏa Tìm giá trị lớn Nhận xét: Ngồi ta tìm giá trị nhỏ sử dụng BĐT Cơsi Ta có , ta có: Do Cho theo kết ta có Vì Từ đó, ta có tốn sau  Bài 3: Cho số thực không âm thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có GV: Đậu Thanh Kỳ Từ lập luận ta có: Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phát triển tư học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu hàm số mũ - lôgarit hàm số lượng giác Suy Đẳng thức xảy Vậy Ta có hốn vị với Từ ta có tốn sau:  Bài 4: Cho số thực Chứng minh a) b) c) Từ lập luận ta có Áp dụng cho biến a, b, c ràng buộc biến đẳng thức Ta toán sau:  Bài 5: Cho số thực không âm thỏa mãn Chứng minh rằng: Ví dụ Ta có hàm số có , dễ thấy hàm số nghịch biến nên phương trình có nghiệm Do có nhiều hai nghiệm Mà Dấu "=" xảy Kết hợp với liên tục nên ta có Từ ta có tốn  Bài 1: Cho số thực Chứng minh rằng: GV: Đậu Thanh Kỳ Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phát triển tư học sinh thơng qua việc khai thác tính đơn điệu hàm số mũ - lôgarit hàm số lượng giác Giả thiết  khơng âm có Bài 2: Cho số thực khơng âm thỏa Tìm giá trị lớn Kết hợp BĐT:  ta có toán ta toán: Bài 3: Cho số thực không âm thỏa nhiên lớn Tìm giá trị lớn : Với số tự a) b) Ta có  , Vì ta có tốn Bài 4: Cho số thực khơng âm thỏa Tìm giá trị lớn Với Ví dụ 3: Ta có hàm số đoạn Ta dễ dàng chứng minh có hai nghiệm hai nghiệm hai điểm đầu mút Kết hợp với liên tục Dấu "=" xảy nên ta có Như ta có (*) Từ ta có tốn  Bài 1: Cho số thực Giả thiết cho ta có với Chứng minh rằng: khơng dương Ta có tốn: GV: Đậu Thanh Kỳ Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phát triển tư học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu hàm số mũ - lôgarit hàm số lượng giác  Bài 2: Cho số thực khơng dương thỏa Tìm giá trị lớn BĐT (*) tương đương với Ta toán:  Bài 3: Cho số thực khơng dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn BĐT (*) tương đương với , Xây dựng BĐT tương tự ràng buộc biến ta có tốn:  Bài 4: Cho số thực Chứng minh rằng:  Bài 5: Cho số thực không dương nhỏ  Bài 6: Cho số thực thỏa Tìm giá trị Chứng minh rằng: GV: Đậu Thanh Kỳ Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phát triển tư học sinh thơng qua việc khai thác tính đơn điệu hàm số mũ - lôgarit hàm số lượng giác C KẾT LUẬN Đề tài thân đồng nghiệp đơn vị thí điểm em có học lực từ trở lên Kết thu khả quan, em học tập cách say mê hứng thú Một số em đạt thành tích tốt qua đợt thi học sinh giỏi thi đại học năm vừa qua Vì tác dụng tích cực việc bồi dưỡng học sinh giỏi nên kính mong hội đồng khoa học q thầy ( cơ) góp ý bổ sung để đề tài ngày hồn thiện hơn, có ứng dụng rộng trình dạy học trường THPT Xin chân thành cảm ơn! Diễn Châu ngày 20/4/2014 Người thực : Đậu Thanh Kỳ GV: Đậu Thanh Kỳ Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... luanvanchat@agmail.com Phát triển tư học sinh thơng qua việc khai thác tính đơn điệu hàm số mũ - lôgarit hàm số lượng giác Tìm giá trị lớn Ví dụ Xét hàm số có Xét hàm số có Xét hàm số có Xét hàm số có Phương.. .Phát triển tư học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu hàm số mũ - lơgarit hàm số lượng giác B NỘI DUNG ĐỀ TÀI I CƠ SỞ LÝ THUYẾT Định nghĩa tính đơn điệu hàm số Sách giáo khoa đại số. .. luanvanchat@agmail.com Phát triển tư học sinh thông qua việc khai thác tính đơn điệu hàm số mũ - lơgarit hàm số lượng giác Hay Đẳng thức xảy tam giác Ta toán  Bài 1: Cho tam giác Chứng minh rằng: Xét hàm số Ta