phương pháp toán tử fk tìm nghiệm số chính xác cho bài toán exciton 2d trong từ trường đều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ Nguyễn Thị Hồng Lanh Đề tài: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK TÌM NGHIỆM SỐ CHÍNH XÁC CHO BÀI TOÁN EXCITON 2D TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ Mà SỐ: 102 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC ThS Hoàng Đỗ Ngọc Trầm Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2013 Lời cảm ơn Trong trình thực luận văn này, bên cạnh nỗ lực thân,tôi nhận giúp đỡ động viên nhiệt tình từ phía gia đình, thầy cô bạn bè: - Trước hết xin chân thành cảm ơn giảng viên Bộ môn Vật lý lý thuyết trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tận tình giúp đỡ truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm quý báu trình thực luận văn - Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến ThS Hoàng Đỗ Ngọc Trầm – giáo viên hướng dẫn luận văn – người tận tình hướng dẫn, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình thực hoàn thành luận văn - Xin cảm ơn gia đình bạn bè ủng hộ suốt thời gian học thời gian thực luận văn - Cuối xin chân thành cảm ơn Hội đồng khoa học xét duyệt cho nhận xét vô quý báu để luận văn hoàn chỉnh Dù cố gắng luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Kính mong nhận góp ý, phê bình xây dựng từ phía thầy cô, bạn bè Xin chân thành cảm ơn! Tp Hồ Chí Minh, tháng 05 năm 2013 MỤC LỤC Chương 1: TỔNG QUAN VỀ EXCITON .10 1.1 Exciton 10 1.1.1 Lịch sử .10 1.1.2 Khái niệm 11 1.1.3 Phân loại .13 1.1.4 Tính chất .15 1.2 Phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều từ trường 16 1.2.1 Toán tử Hamilton exciton từ trường 16 1.2.2 Toán tử Hamilton toán hệ quy chiếu khối tâm 18 Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK 21 2.1 Giới thiệu phương pháp toán tử bước giải 21 2.2 Phương pháp toán tử FK cho toán hệ nguyên tử, phân tử .30 Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK 35 GIẢI BÀI TOÁN EXCITON 2D 35 TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU 35 3.1 Phương pháp toán tử FK giải toán exciton 2D từ trường 35 3.2 Kết 41 3.2.1 Nghiệm xác số 41 3.2.2 Ý nghĩa số lượng tử k, m 45 Phụ lục 1: 49 Đưa toán tử Hamilton exciton dạng không thứ nguyên 49 Phụ lục 2: Toán tử sinh-hủy chiều 51 Phụ lục 3: Xây dựng sơ đồ vòng lặp tìm nghiệm bậc không 53 Phụ lục 4: Chứng minh toán tử tạo thành đại số kín .55 Phụ lục 5: Dạng chuẩn toán tử { } Sˆ = exp −τ ( Mˆ + + Mˆ + Nˆ ) 57 Phụ lục 6: Tìm hàm sóng sở cho toán exciton .59 Phụ lục 7: Các thành phần ma trận toán tử Hamilton .62 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 DANH MỤC HÌNH ẢNH, ĐỒ THỊ Hình 1.1 Quang phổ exciton đồng (I) oxit 11 Hình 1.2 Các mức lượng exciton bán dẫn 11 Hình 1.3 Có dạng exciton: exciton trung hòa X , exciton âm X − exciton dương X + 12 Hình 1.4 Exciton Mott-Wannier exciton Frenkel .14 Hình 1.5 Dạng bán dẫn GaAs/GaAsAl .14 Hình 1.6 Thực nghiệm chứng tỏ tồn exciton 16 Hình 2.1 Tốc độ hội tụ lượng nghiệm xác dao động tử phi điều hòa ứng với trạng thái n = 28 Hình 2.2 Tốc độ hội tụ lượng nghiệm xác dao động tử phi điều hòa ứng với trạng thái kích thích n = 29 Hình 3.1 Các mức lượng exciton vẽ ứng với giá trị khác từ trường 44 Hình 3.2 Các mức lượng exciton vẽ vùng từ trường có γ ≤ 45 DANH MỤC BẢNG BIỂU Bảng 2.1 Phương pháp toán tử FK cho trạng thái n = dao động tử phi điều hòa 26 Bảng 2.2 Phương pháp toán tử FK cho trạng thái kích thích n = dao động tử phi điều hòa .27 Bảng 3.1 Năng lượng xác tính phương pháp toán tử FK exciton cho m ) ứng với giá trị khác từ trạng thái 1s= ( k 0,= trường .42 Bảng 3.2 Năng lượng xác tính phương pháp toán tử FK exciton cho trạng thái kích thích p − ( k = 0, m = −1 ) 42 Bảng 3.3 Năng lượng xác tính phương pháp toán tử FK exciton cho trạng thái kích thích d − ( k = 0, m = −2 ) .43 Bảng 3.4 Năng lượng xác tính phương pháp toán tử FK exciton cho trạng thái kích thích d − ( k = 2, m = −2 ) 43 Bảng 3.5 Giá trị số lượng tử ứng với trạng thái khác 46 MỞ ĐẦU Cùng với phát triển khoa học, vật lý có bước phát triển Các thiết bị đo đạc chế tạo ngày tinh vi xác hơn, nhiều phương pháp giải toán lượng tử tìm ra; kết lý thuyết ngày tiến gần đến kết thực nghiệm Một phương pháp cho phép tìm nghiệm số xác phương pháp toán tử Phương pháp toán tử nhóm nghiên cứu giáo sư Feranchuk Komarov đại học tổng hợp Belarus xây dựng (xem công trình [2] tài liệu trích dẫn) Phương pháp thường gọi phương pháp toán tử FK (viết tắt tên hai giáo sư Feranchuk Komarov) Phương pháp toán tử FK xây dựng sở kế thừa ưu điểm phương pháp lý thuyết nhiễu loạn phương pháp biến phân, đồng thời tận dụng ưu biểu diễn đại số học lượng tử để tiện lợi trình tính toán Phương pháp áp dụng thành công cho loạt toán khác vật lý nguyên tử, vật lý chất rắn toán lý thuyết trường áp dụng nhiều công trình [2], [3], [5], [10] Ý tưởng phương pháp toán tử FK dựa tư tưởng lý thuyết nhiễu loạn tách toán tử Hamilton thành hai phần: phần có nghiệm xác phần lại nhiễu loạn, nhiên khác với lý thuyết nhiễu loạn chỗ việc phân chia toán tử Hamilton không dựa vào yếu tố vật lý mà đơn dựa vào hình thức toán tử toán tử Hamilton Qua công trình áp dụng, phương pháp toán tử FK thể ưu điểm bật đơn giản hóa trình tính toán Việc tính tích phân phức tạp thay phép tính đại số đơn giản thể qua toán dao động tử điều hòa, phi điều hòa, exciton trung hòa, exciton từ trường…[1], [2], [7], [9] Hiện khoa học kỹ thuật phát triển, nhà vật lý ngày quan tâm đến hệ thấp chiều vật liệu kích cỡ nano phương pháp kỹ thuật nuôi cấy tinh thể (Molecular Beam Epitaxy, viết tắt MBE), kết tủa kim loại hóa hữu (Metal Organic Chemical Vapor Deposition, viết tắt MOCVD) [9], [12] Trong mô hình thấp chiều tạo từ thực nghiệm, loại tinh thể nhiều lớp bán dẫn GaAs/Al x Gs 1-x As sử dụng nhiều thỏa mãn yêu cầu nghiêm ngặt cấy ghép dễ dàng thay đổi tính chất nồng độ loại hạt tải điện thay đổi số x Trong tinh thể này, vùng GaAs đóng vai trò hố vùng Al x Gs 1-x As đóng vai trò tường Chuyển động điện tử bị giới hạn xem chuyển động không gian hai chiều Sự xuất mũi nhọn phổ hấp thụ chất bán dẫn chứng tỏ tồn exciton, trạng thái liên kết electron lỗ trống Exciton nhận nhiều quan tâm nhà vật lý nhiều lí Đầu tiên, exciton tồn bán dẫn chất cách điện mà không tồn kim loại, người ta tìm thấy exciton tinh thể halogen kiềm (vào năm 30), tinh thể phân tử (vào năm 40), tinh thể bán dẫn (vào năm 50) tinh thể ion, tinh thể khí số liên kết đất Thứ hai, quang phổ exciton thường có cấu trúc rõ nét cho phép nghiên cứu lý thuyết cách chi tiết Thứ ba, lý thuyết exciton không đơn giản hiểu cách áp dụng lý thuyết nguyên tử hay sơ đồ vùng Block exciton có sơ đồ lượng giả Hydro [5], [15] Nghiên cứu cho thấy nhiều hiệu ứng quang điện xảy đặc biệt có tồn exciton bán dẫn có từ trường hiệu ứng Stark, thay đổi tính dẫn điện, hiệu ứng tách vạch Zeeman từ trường [18], [12] Phổ lượng hàm sóng exciton từ trường cần tính toán với độ xác ngày cao Exciton hai chiều (2D) từ trường đối tượng nghiên cứu quan trọng thực nghiệm lẫn lý thuyết [5], [15], [13], [16], [9] Trong công trình [16], toán exciton từ trường giải phương pháp biến phân kết hợp với phân tích theo chuỗi 1/N, công trình [15] dùng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn có tính tới tiệm cận hàm sóng Cả hai công trình cho kết xác đến bảy chữ số thập phân với trạng thái 1s trạng thái kích thích 2p –, 3d – Có thể thấy việc tăng độ xác số áp dụng cho trạng thái kích thích cao dễ dàng Vì việc giải tìm nghiệm số xác toán với độ xác cao cho trạng thái mà trạng thái kích thích với độ xác cao có ý nghĩa quan trọng Ngoài ra, toán giải phương pháp toán tử FK công trình gần [10] Trong phương pháp toán tử, biểu diễn toán tử Hamilton qua toán tử sinh hủy, toán mà thành phần tương tác có dạng đa thức biến số động lực, ví dụ toán dao động tử phi điều hòa, việc vận dụng tương đối đơn giản Đối với toán hệ nguyên tử có tương tác Coulomb có chứa biểu thức tọa độ mẫu, để áp dụng phương pháp, cần phát triển thêm Trong công trình [10] sử dụng phép biến đổi Levi-Civita khắc phục khó khăn tìm nghiệm số xác đến 20 chữ số thập phân Phép biến đổi Levi-Civita cho phép đưa toán xét dạng toán dao động tử phi điều hòa Bài toán giải phương pháp toán tử FK có kết xác Tuy nhiên, áp dụng phép biến đổi này, lượng E không trị riêng toán tử Hamilton nữa, mà trở thành thành phần toán tử Khi ta sử dụng trị riêng hình thức Z với giá trị không đổi, lượng E xác định thông qua phương trình Z ( E ) = số Đối với toán exciton trung hòa, việc giải phương trình gián tiếp thực Tuy nhiên, toán phức tạp toán exciton âm, việc xác định lượng cách gián tiếp không thuận lợi việc giải trực tiếp, đặc biệt xây dựng giải thuật để tìm nghiệm số Trong trường hợp này, ta sử dụng phép biến đổi Laplace để đưa phần tọa độ khỏi mẫu số, phương pháp toán tử FK áp dụng cách hiệu mà không cần phải thông qua biến hình thức khác, khối lượng tính toán ban đầu tăng lên đáng kể so với việc sử dụng phép biến đổi Levi-Civita Phép biến đổi Laplace áp dụng cho toán exciton âm [4] toán exciton trung hòa [7], chưa áp dụng cho toán exciton trung hòa từ trường Bài toán có kết xác số sử dụng phép biến đổi Levi-Civita Để so sánh phép biến đổi Laplace với phép biến đổi Levi-Civita, sử dụng phép biến đổi Laplace cho toán exciton 2D từ trường thực đề tài: “Phương pháp toán tử FK tìm nghiệm số xác cho toán exciton 2D từ trường đều” Mục tiêu luận văn áp dụng phương pháp toán tử FK kết hợp với phép biến đổi Laplace tìm nghiệm số xác cho toán exciton hai chiều từ trường Căn vào mục tiêu đề ra, luận văn gồm có nội dung sau: - Tìm hiểu tổng quan exciton - Tìm hiểu phương pháp toán tử FK vấn đề áp dụng phương pháp cho toán hệ nguyên tử, phân tử - Tìm nghiệm số xác cho toán exciton trung hòa từ trường cho trạng thái số trạng thái kích thích Phương pháp nghiên cứu: - Tìm kiếm tài liệu, đọc, phân tích, tổng hợp - Tính toán để xây dựng phương trình Schrödinger cho exciton 2D từ trường - Sử dụng ngôn ngữ lập trình Fortran để tìm nghiệm số Cấu trúc luận văn gồm có ba chương Chương 1: Tổng quan exciton Trong chương này, giới thiệu sơ lược trình phát exciton, trạng thái liên kết electron lỗ trống; phân loại tính chất exciton Sự tồn exciton làm xuất mũi nhọn phổ hấp thụ chất bán dẫn Khi có mặt từ trường exciton thể số tính chất như: hiệu ứng Hall, giao thoa mức lượng tử, tách vạch từ trường, tượng ngưng tụ Bose Các thông tin tính chất quang, điện, lượng liên kết exciton tác động trường góp phần làm rõ tính chất chất bán dẫn, có ý nghĩa việc tạo cấu trúc thấp chiều với tính chất định sẵn, mục tiêu hàng đầu công nghệ vật liệu Do đó, việc giải phương trình Schrödinger cho exciton từ trường để xác định phổ lượng exciton từ trường với độ xác cao cần thiết Để bắt đầu công việc nghiên cứu xây dựng lại phương trình Schrödinger cho exciton trung hòa 2D từ trường Chương 2: Phương pháp toán tử FK Trong chương giới thiệu lại phương pháp toán tử FK bước giải thể thông qua toán dao động tử phi điều hòa Phương pháp toán tử có ưu điểm bật đơn giản trình tính toán nên áp dụng nhiều = aˆ n = = n n −1 n −1 1 ˆ ˆ + )( aˆ + )= aˆ ( aˆ += aa 0 + aˆ + aˆ )( aˆ + ) ) ( ( n! n! n! n −1 n −1 1 + 1 + aˆ + ) + aˆ aˆ ( aˆ + ) = n −1 + aˆ aˆ n − ( n! n! n n 1 n −1 + (n − 1) n − 1= n n − n n (A2.7) Ta thấy toán tử hủy có tác dụng “hủy” (giảm) bậc vectơ trạng thái Như có toán tử hủy tác dụng lên vectơ trạng thái hủy nhiêu bậc Chứng minh aˆ + n = n + n + aˆ + n =  n +1 aˆ + ) = n +  (  n!  ( aˆ ) + n +1 ( n + 1)!   = n +1 n +1   (A2.8) Tương tự, ta thấy toán tử sinh có tác dụng “sinh” (tăng) lên bậc vectơ trạng thái Như có toán tử sinh tác dụng lên vectơ trạng thái sinh thêm nhiêu bậc ˆ ˆ+ Chứng minh liên hợp a,a ˆ j n a= j aˆ + n = jδ n , j −1 , j n j= −1 j j −1 n = jδ n , j −1 , ⇒ n aˆ j = j aˆ + n (A2.9) Nhận xét: Từ tính chất ta thấy rằng: tác dụng toán tử chứa số toán tử sinh toán tử hủy lên vectơ trạng thái, không làm vectơ thay đổi bậc, ta gọi toán tử toán tử “trung hòa”; ngược lại toán tử chứa số toán tử sinh-hủy khác làm thay đổi bậc vectơ trạng thái Đây tính chất quan trọng tính toán đại số sử dụng biểu diễn toán tử yếu tố để ta tiến hành việc tách toán tử Hamilton hệ thành hai thành phần: trung hòa nhiễu loạn 52 Phụ lục 3: Xây dựng sơ đồ vòng lặp tìm nghiệm bậc không Tìm nghiệm gần bậc không Hˆ ψ n = En(0) ψ n (A3.1) (s) Hàm sóng xác bậc (s) ứng với lượng Ekm có dạng: Ψ = (s) km k +s k (m) + ∑ Cl( s ) l (m) (A3.2) l =o l ≠k Suy    k +s k +s (s)   ˆ ˆ H + βV k (m) + ∑ Cl l (m) =En  k (m) + ∑ Cl( s ) l (m)    = l o= l o l ≠k l ≠k    ) (     (A3.3) Nhân hai vế phương trình (A3.3) với k (m) , ta được:    k +s k +s (s)   ˆ ˆ k (m) H + βV k (m) + ∑ Cl l (m= k (m) En  k (m) + ∑ Cl( s ) l (m) )    = l o= l o ≠ l k l ≠k    ( )  ,   k +s H kk + ∑ Cl( s )Vkl = En( s ) (A3.4) l =o l ≠k Nhân hai vế phương trình (A3.3) với j (m) với j ≠ k , ta được:    k +s k +s ( s )   j (m) Hˆ + βVˆ k (m) + ∑ Cl l (m= j (m) En  k (m) + ∑ Cl( s ) l (m) )    = l o= l o l ≠ k l ≠k    ( )  ,   k +s C (j s ) H jj + V jk + ∑ Cl( s )V jl = C (j s ) En( s ) , (A3.5) l =o l ≠k (E k +s (s) n − H jj ) C (j s ) = V jk + ∑ Cl( s )V jl (A3.6) l =o l ≠k Vì Cl( s ) Cl( s +1) , En( s ) En( s +1) sai khác nên ta có sơ đồ vòng lặp sau: k +s (s) E= H kk + ∑ Cl( s )Vkl , n l =o l ≠k 53 (A3.7) k +s V jk + ∑ Cl( s )V jl C (j s +1) = (E l =o l ≠k (s) n − H jj ) (A3.8) Cl(0) 0, (j ≠ n) Ở ta chọn β = Các giá trị Với điều kiện ban đầu = Cl( s ) , En( s ) tương ứng với giá trị tương ứng với bước lặp bổ 54 Phụ lục 4: Chứng minh toán tử tạo thành đại số kín { } Để đưa toán tử Sˆ = exp −τ ( Mˆ + + Mˆ + Nˆ ) dạng chuẩn toán tử Mˆ , Mˆ + , Nˆ , Lˆ z phải tạo thành đại số kín ( ) Mˆ = aˆ + bˆ , Mˆ + =+ ( aˆ + ) bˆ+ , ( (A4.1) ) Nˆ= bˆ + bˆ + aˆ + aˆ + , (A4.2)  ∂ ∂  ˆ ˆ + − aˆ +bˆ Lˆ z = −i  x − y  = i ab ∂x   ∂y ( ) (A4.3) Tính giao hoán tử  Mˆ , Mˆ +  : ( ) 2 ˆ ˆ+= MM aˆ + bˆ ( aˆ + ) + ( aˆ + )    ( ) = aˆ ( aˆ + ) + aˆ bˆ + ( ) + bˆ ( aˆ + ) + bˆ bˆ + , ( ) ( ) = ( aˆ ) aˆ + ( aˆ ) bˆ + ( bˆ ) aˆ + ( bˆ ) bˆ ,  aˆ + + bˆ +  aˆ + bˆ Mˆ + Mˆ = ( )  + 2 + + 2 2 + ˆ + ˆ ˆ + ˆ + ˆ  Mˆ , =  M  MM − M M ( ) bˆ = + 4aˆ aˆ + ( aˆ ) aˆ + + 4bˆ bˆ + ( bˆ ) bˆ − ( aˆ ) aˆ − ( bˆ ) bˆ ( ) = aˆ ( aˆ + ) + bˆ bˆ + + + 2 − ( aˆ + ) aˆ − bˆ + + 2 + 2 + 2 + 2 = + 4aˆ + aˆ + 4bˆ + bˆ = Nˆ  Mˆ , Mˆ +  = Nˆ   Vậy (A4.4) Tính giao hoán tử  Mˆ , Nˆ  : ( )( ) ˆ ˆ = aˆ + bˆ 2 bˆ + bˆ + aˆ + aˆ + MN ( ) = aˆ 2bˆ + bˆ + aˆ aˆ + aˆ + aˆ + bˆ 2bˆ +bˆ + bˆ aˆ + aˆ + bˆ , 55 ( ˆˆ ( bˆ ba )( ˆ ˆ = bˆ + bˆ + aˆ + aˆ + aˆ + bˆ NM = + ) ) ˆ ˆ + aˆ + aa ˆ ˆ + aˆ + ab ˆ ˆ + aˆ + bˆ , + bˆ + bb ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  Mˆ , =  N  MN − NM ( ( 2aˆ ( 2aˆ ˆ ˆ − aˆ + aa ˆ ˆ2 = aˆ aˆ + aˆ + bˆ 2bˆ + bˆ − bˆ + bb = = ) ˆ ˆ − aˆ + aa ˆ ˆ2 + aˆ + aˆ + 2bˆ + bˆ + bˆ3 − bˆ + bb + 2bˆ = Mˆ ) )  Mˆ , Nˆ  = Mˆ   Vậy (A4.5) Tính giao hoán tử  Nˆ , Mˆ +  : ( ( ) ) ˆ ˆ += bˆ + bˆ + aˆ + aˆ +  ( aˆ + )2 + bˆ +  NM   2 =  bˆ + bˆ ( aˆ + ) + bˆ + bˆ bˆ + + aˆ + aˆ ( aˆ + ) + aˆ + aˆ bˆ +  ( ) + ( aˆ ) + (bˆ )  , ( ) ( ) ( ( ) ( ) Vậy Các giáo hoán tử + ( )  ( bˆ ) + ( bˆ ) bˆ + ( aˆ )   ( bˆ ) + ( aˆ )  = Mˆ   + + + + + ( )  , aˆ + aˆ + ( aˆ + ) + bˆ + ˆ +  NM ˆ ˆ + − Mˆ + Nˆ  Nˆ , M  =  2 =  bˆ + bˆ bˆ + + aˆ + aˆ ( aˆ + ) − ( aˆ + ) aˆ + aˆ − bˆ +  = + ) 2 Mˆ += Nˆ  ( aˆ + ) + bˆ +  bˆ + bˆ + aˆ + aˆ +   2 =  ( aˆ + ) bˆ + bˆ + ( aˆ + ) aˆ + aˆ + bˆ + bˆ + bˆ + bˆ +  = 2 ( ) bˆ bˆ  + ( ) bˆ bˆ  + ( aˆ + ) aˆ − ( aˆ + ) aˆ + aˆ − bˆ + + + ˆ ˆ +  = Mˆ +  NM   (A4.6) ˆ ˆ   ˆ + , Lˆ  = ˆ ˆ  = z  M , Lz   M=  N , LZ  (A4.7) 56 { } Phụ lục 5: Dạng chuẩn toán tử Sˆ = exp −τ ( Mˆ + + Mˆ + Nˆ ) Do toán tử Mˆ + , Mˆ , Nˆ tạo thành đại số kín nên ta đưa toán tử Sˆ dạng chuẩn sau: ( ( ) ) ( ) ( ) = f (τ ) Mˆ + exp g (τ ) Nˆ exp h(τ ) Mˆ F (τ ) (A5.1) exp −τ ( Mˆ + + Mˆ + Nˆ ) exp = Ở cần xác định hàm số f (τ ), g (τ ), h(τ ) với điều kiện biên là: = f (0) 0,= g (0) 0,= h(0) (A5.2) Bước một: Lấy đạo hàm hai vế (A5.1) sau nhân hai vế với toán tử ngược Sˆ −1 , ta được: ( ) ( ) ) exp ( g (τ ) Nˆ ) Mˆ exp ( − g (τ ) Nˆ ) exp ( − f (τ )Mˆ ) , exp ( − h(τ) Mˆ ) exp ( − g ( τ) Nˆ ) exp ( − f ( τ) Mˆ ) Nˆ ) f ′(τ ) Mˆ + + g ′(τ ) exp f (τ ) Mˆ + Nˆ exp − f (τ ) Mˆ + −( Mˆ + + Mˆ += ( + h′(τ ) exp f (τ ) Mˆ + với Sˆ (τ ).Sˆ −1 (τ ) = hay Sˆ −= + (A5.3) + Bước hai: Ta sử dụng công thức : ( ) ( ) 1 exp Xˆ Yˆ exp − Xˆ =Yˆ +  Xˆ , Yˆ  +  Xˆ ,  Xˆ , Yˆ   +  Xˆ ,  Xˆ ,  Xˆ , Yˆ    +  3!    2!  Lần lượt tính số hạng (A5.3), ta : ( ) ( ) exp ( g (τ ) Nˆ ) Mˆ exp ( − g (τ ) Nˆ ) = , Mˆ e ( ) g ′(τ ) exp f (τ ) Mˆ + Nˆ exp − f (τ ) Mˆ + =g ′(τ ) Nˆ − f (τ ) Mˆ + , −4 g (τ ) ( ) ( ) ( ) ( h′(τ ) exp f (τ ) Mˆ + exp g (τ ) Nˆ Mˆ exp − g (τ ) Nˆ exp − f (τ ) Mˆ + ( ) ) = e −4 g (τ ) h′(τ ) Mˆ − f (τ ) Nˆ + f (τ ) Mˆ + Thay số hạng vừa tính vào (A5.3), ta được: −( Mˆ + + Mˆ += Nˆ ) f ′(τ ) Mˆ + + g ′(τ ) Nˆ − g ′(τ ) f (τ ) Mˆ + + e −4 g (τ ) h′(τ ) Mˆ − 2e −4 g (τ ) h′(τ ) f (τ ) Nˆ + 4e −4 g (τ ) h′(τ ) f (τ ) Mˆ + Bước ba: Đồng hệ số trước toán tử Mˆ + , Mˆ , Nˆ ta thu hệ phương trình vi phân để xác định hàm số f (τ ), g (τ ), h(τ ) : 57  f ′(τ ) − g ′(τ ) f (τ ) + 4e −4 g (τ ) h′(τ ) f (τ ) = −1  −4 g (τ ) h′(τ ) f (τ ) + g ′(τ ) = −1 −2e e −4 g (τ ) h′(τ ) = −1  (A5.4) Giải hệ (A2.4) phương pháp ta :   f ′(τ ) = − (1 + f (τ ) )   g ′(τ ) =−1 − f (τ )  −1 h′(τ ) = −4 g (τ ) e  f '(τ ) = − (1 + f (τ ) ) ⇒ Ta có f '(τ ) (1 + f (τ ) ) (A5.5) = −1 (A5.6) Giải phương trình vi phân cấp (A5.6) cách lấy tích phân bất định hai vế kết hợp với điều kiện biên f (0) = ta : −τ f (τ) = 2τ + (A5.7) Thay (A5.7) vào hệ (A5.5), ta được: −1 g ′(τ) = = ⇒ g (τ) =− ln 2τ + + C2 2τ + Áp dụng điều kiện biên g (0) =0 ⇒ C2 =0 ⇒ g (τ ) =− ln 2τ + −1 =  Ta có: = h′(τ) e Mà  −4 − ln τ+1    e −1 = ln τ+1 −1 ( 2τ + 1) ⇒= h(τ) + C3 ( 2τ + 1) 1 1 −τ h(0) = + C3 ⇒ C3 =− ⇒ h(τ) = − = 2 ( 2τ + 1) 2τ + { (A5.8) (A5.9) (A5.10) } Dạng chuẩn toán tử Sˆ = exp −τ ( Mˆ + + Mˆ + Nˆ ) là:  −τ ˆ +     −τ ˆ  = Sˆ exp  M  exp  − ln 2τ + Nˆ  exp  M   2τ +     2τ +  58 (A5.11) Phụ lục 6: Tìm hàm sóng sở cho toán exciton Nghiệm bậc không: Hˆ ψ n(0) = En(0) ψ n(0) (A6.1) Trước hết, ta chọn hàm sóng dao động tử điều hòa (vì hàm chắn nghiệm riêng toán tử trung hòa nên nghiệm riêng Hˆ ) nx , n y = Cnx ny ( aˆ + ) nx ( ) (ω , ω ) , bˆ + ny x (A6.2) y nx , n y số nguyên dương trạng thái chân không định nghĩa: = aˆ (ω x , ω y ) 0,= bˆ (ω x , ω y ) ; điều kiện chuẩn hóa 0 = Như nghiệm riêng pt Schrödinger ta viết dạng tổ hợp tuyến tính vectơ sóng trên: = ψ = Cnx n y n x , n y ∑ nx , n y ∑ Cnxny ( aˆ + ) nx , n y nx ( ) (ω , ω ) bˆ + ny x y (A6.3) Nhận xét: tổng số mũ hai toán tử aˆ + , bˆ + nx + n y (*) Mặt khác toán tử Lˆ z đại lượng bảo toàn nên hàm riêng phương trình Schrödinger phải đồng thời hàm riêng toán tử này: Lˆ z ψ = m ψ , ( ) Lˆ z i bˆ + aˆ − aˆ + bˆ với= 59 (A6.4) Ta có: = Lˆ z ψ ∑ Ci ( bˆ aˆ − aˆ bˆ ) ( aˆ ) + + nx + + ny x nx , n y ( ) nx −1 = ∑ Ci  nx ( aˆ + ) bˆ +   nx , n y (bˆ ) (ω ,ω ) − n y ( aˆ n y +1 y ) ( ) + nx +1 bˆ + n y −1 (A6.5)  ω ,ω  ( x y ) Nhận xét: tổng số mũ hai toán tử aˆ + , bˆ + nx + n y (**) Như vậy, từ hai nhận xét (*) (**), kết hợp với công thức khai triển nhị thức Newton, ta chọn dạng hàm sóng sở sau: ( = ψ C c1aˆ + + c2 bˆ + ) (ω x , ω y ) nx + n y (A6.6) Xét trường hợp:  m = : Lˆ z ψ = 0 → ψ = → nx + n y = m =  m ≠ 0: ( )( Lψ = iC bˆ + aˆ − aˆ +bˆ c1aˆ + + c2bˆ + = C nx + n y ∑ k =0 ic1k −1c2 nx + n y − k −1 ) nx + n y (nx + n y )! k c12 (nx + n y − k ) − c2 k  aˆ + ) bˆ + ( k !(n + n − k )! ( ) x nx + n y − k y Nhận xét: Để thu dạng vế phải (A6.6), ta cần có điều kiện: c12 = −c2 , ta chọn c1 = c2 = i , ta có: VT = ( nx + n y ) C nx + n y ∑ i nx + n y − k (nx + n y )! k !(nx + n y k =0 ( aˆ ) ( bˆ ) − k )! + k + nx + n y − k ( = (nx + n y )C aˆ + + ibˆ + ) Mặt khác, nx , n y ≥ nên dạng nghiệm ta vừa chọn thỏa cho trường hợp m ≥ , đó: m = nx + n y : ( = µ Cm aˆ + + ibˆ + ) m (A6.7) ( ) − nx + n y , Đối với trường hợp m < , ta cần điều chỉnh cho hợp lý hơn: m = ta chọn c1 = 1, c2 = −i : 60 nx + n y −(nx + n y )C VT = nx + n y ∑ ( −i ) nx + n y − k (nx + n y )! k !(nx + n y k =0 ( = µ − Cm aˆ + − ibˆ + ) ( aˆ ) ( bˆ ) − k )! + k + nx + n y − k −m (A6.8) Tính tác dụng toán tử lên µ µ − , sau chuẩn hóa hàm sóng Từ ta chọn hàm sóng có dạng: ( ( C [(aˆ + ) + (bˆ + ) ]k aˆ + + ibˆ +  km k, m =  Ckm [(aˆ + ) + (bˆ + ) ]k aˆ + − ibˆ +  2 ) ) m m ≥ (A6.9) −m 61 m < Phụ lục 7: Các thành phần ma trận toán tử Hamilton Ta có hàm sóng sở cho toán exciton sau: ( k , m =Ckm [(aˆ + ) + (bˆ + ) ]k aˆ + + {m} ibˆ + ) m (A7.1) Tác dụng toán tử lên hàm sóng: Nˆ k , m = ( 2k + m + 1) k , m , (A7.2) Mˆ k , m = k ( k + m ) k − 1, m , (A7.3) = Mˆ j k , m j Mˆ + k , m= ( ) k !( k + m )! ( k − j )!( k + m − j )! ( k + 1) ( k + m + 1) k − j, m , k + 1, m , ( k + i )!( k + m + i )! i = Mˆ + k , m 2i (A7.4) k !( k + m )! (A7.5) k + i, m (A7.6) ∗ Tính thành phần ma trận toán tử S : Sˆ  −τ  ∑   =i ( i !)  2τ +  ∞ 2i ( ) Mˆ + i ( 2τ + 1) Nˆ /2 ∞ ∞ 1  −τ  Mˆ i + ∑∑   =i 0=j i ! j !  2τ +  i+ j ( ) Mˆ + i j ≠i ( 2τ + 1) Nˆ /2 Sˆ= Sˆ1 + Sˆ2 Từ biểu thức (A7.2), (A7.4) (A7.6), ta tính thành phần Sˆ1 ∞  −τ  ˆ S1 k , m = ∑   i = ( i !)  2τ +  2i ( Mˆ )  −τ  i =∑  2  i = ( i !)  2τ +  2i k Sˆ1= k, m k ( 2τ + 1) −2τ ) ( ∑ ( i !) i =0 x 2i ( k − 2i + m +1) 2i + i ( 2τ + 1) Nˆ /2 Mˆ i k , m ( k + i )!( k + m + i )! k !( k + m )! ( k + i )!( k + m + i )! k !( k + m )! k !( k + m )! k + i, m , ( k − i )!( k + m − i )! ( 2τ + 1)( k + m +1) Tương tự, ta tính thành phần Sˆ2 : 62 k, m (A7.7) Mˆ j , = Sˆ2 k , m k k 1 ∑∑ i ! j ! ( −2τ ) k !( k + m )!( k + i − j )!( k + m + i − j )! i+ j (k − j )!( k + m − j )! =i 0=j j ≠i x ( 2τ + 1) ( k +i − j + m +1) (A7.8) k + i − j, m ∗ Tính thành phần ma trận toán tử Hamilton: ∞ 2ω ∞  −τ  ω γ2 ˆ γ ˆ Hˆ = Nˆ + N + Lz − Z ∑ 16ω π ∫0 ( i !)2  2τ +  2i ( Mˆ ) + i ( 2τ + 1) Nˆ /2 dτ Mˆ i τ Ta có: ˆ k, m m, k S= k ∑ ( i !) i =0 −2τ ) ( 2i k !( k + m )! ( k − i )!( k + m − i )! ( 2τ + 1)( k + m +1) , ∞ k k !( k + m )! ( −2τ ) dτ dτ ˆ m, k ∫ S1 k, m = ∑ ∫ k + m +1) ( τ τ i = ( i !) ( k − i ) !( k + m − i ) ! ( 2τ + 1) ∞ 2i Tính thành phần ma trận H kk + ω γ  γ H kk =  +  ( 2k + m + 1) + m  8ω  −Z 2τ ⇒ dt= Đặt t= k !( k + m )! ( −2τ ) ∑ ∫ π i =0 ( i !) ( k − i )!( k + m − i )! ( 2τ + 1)( k + m +1) 2ω k ∞ 2i dτ 2τ (A7.9) dτ , biểu thức (A7.9) viết lại sau: 2τ k k !( k + m )! ω γ  γ H kk =  + k + m + + m − Z ω I (22ik + m +1) , ( ) ∑  2 i = ( i !) ( k − i ) !( k + m − i ) !  8ω  với I q = p p ,q >0 p q∈ + ( −t ) dt = p π ∫0 ( t + 1) ∞ q π (−1) q (2 p − 2q − 3)!!(2q − 1)!! p −1 ( p − 1)! Tính thành phần ma trận H k ,k + s 63 m, k + s Sˆ2 k , m = k +s k !( k + m )!( k + i − j )!( k + m + i − j )! k 1 i+ j ( −2τ ) ∑∑ =i s =j i ! j ! (k − j )!( k + m − j )! ( 2τ + 1) k !( k + m )!( k + s )!( k + m + s )! j ≠i = k +s ∑ i !(i − s)! ( −2τ ) 2i − s (k + s − i )!( k + m + s − i )! i=s ( 2τ + 1)( ( k +i − j + m +1) k + s + m +1) δ s ,i − j Toán tử Vˆ : ∞  ω γ2  ˆ 2ω ∞ ∞  −τ  + ˆ ˆ V = − + ∑∑  M +M −Z π ∫0=i 0=j i ! j !  2τ +   16ω  ( ) i+ j ( Mˆ ) + i≠ j  ω γ2  ˆ ˆ+ m, k + s  − +  M +M  16ω  ( −Z 2ω ∞ ∞  −τ  ∑∑ ∫ π 0=i 0=j i ! j !  2τ +  ∞ i+ j ( ) Mˆ + ( π ∞ k +s ( −2τ ) 2i − s ∫ ∑ i !(i − s)! i=s ( i  ω γ2  = − +  k ( k + m )δ k + s ,k −1 +  16ω  −Z dτ Mˆ j τ ) i≠ j 2ω ( 2τ + 1) Nˆ /2 m, k + s V k , m H= H= k ,k + s k + s ,k = i ( 2τ + 1) Nˆ /2 dτ Mˆ j k, m τ ( k + 1) ( k + m + 1)δ k + s ,k +1 k !( k + m )!( k + s )!( k + m + s )! (k + s − i )!( k + m + s − i )!  ω γ2  H k ,k + s = − +  k ( k + m )δ s ,−1 +  16ω  ( k + 1) ( k + m + 1)δ s ,1 k !( k + m )!( k + s )!( k + m + s )! −Z ω ∑ (k + s − i )!( k + m + s − i )! π i = s i !(i − s )! k +s 64 ∞ ( 2τ + 1) ( k + s + m +1) dτ τ ) ( −2τ ) ∫ ( 2τ + 1)( ) 2i − s k + s + m +1) dτ 2τ (A7.10) TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Hoàng Dũng (1999), “Nhập môn học luợng tử-Tập 1” Nhà xuất Giáo dục [2] Hoàng Đỗ Ngọc Trầm (2008), “Phương pháp toán tử giải phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều từ trường với cường độ bất kỳ”, Luận văn thạc sĩ Khoa Vật lý trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh [3] Hoàng Đỗ Ngọc Trầm, Lê Văn Hoàng (2012), “Tham số tự với hội tụ phương pháp toán tử FK”, Tạp chí khoa học Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, số 33, tr 94 -106 [4] Lê Quý Giang (2012), “Phương pháp toán tử giải phương trình Schrödinger cho exciton âm hai chiều”, Luận văn thạc sĩ Khoa Vật lý trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh [5] Lê Văn Hoàng (2007), “Phổ lượng trạng thái exciton khí điện tử hai chiều tạo hệ nhiều lớp GaAs/GaAsAl từ trường đều”, Đề tài nghiên cứu khoa học công nghệ cấp B.2005.23.72 [6] Phan Thị Cẩm Nhung (2006), “Bài toán exciton hai chiều bán dẫn nhiều lớp GaAs/AlGaAs đặt từ trường”, Luận văn tốt nghiệp Khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh [7] Trương Mạnh Tuấn (2010), “Phương pháp toán tử cho toán exciton hai chiều”, Luận văn tốt nghiệp Khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh [8] Vũ Thị Lan Anh (2012), “Trạng thái liên kết electron lỗ trống bán dẫn hai chiều”, Luận văn tốt nghiệp Khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh 65 Tiếng Anh [9] Edelstein W (1989), “Two-dimensional excitons in magnetic fields”, Physica B 39,p 7697-7704 [10] Hoang Do Ngoc Tram, Pham Dang Lan, Le Van Hoang (2013), “Exact numerical solutions of the Schrödinger equation for a two-dimensional exciton in a constant magnetic field of arbitrary strength”, Physica B 1300559R1 [11] Lampert M A (1958), “Mobile and immobile effective-mass-particle complexes in nonmetallic solids”, Physical Review Letters 1, p 450-453 [12] Lozovik Y E., Korbakov I L., Ovchinnikov I V (2003), “Nonlinear optical phenomena in coherent phase of 2D exciton system”, Solid Stase Com 126, p 269 [13] Paquet D., Rice T M and Ueda K (1985), “Two-dimensional electron-hole fluid in a strong perpendicular magnetic field: Exciton Bose condensate or maximum density two-dimensional droplett”, Physical Review B 32, p 5208-5221 [14] Rashba E I (1984), “The prediction of excitons”, Uspekhi Fizicheskikh Nauk 144, p 347-357 [15] Soylu A., Boztosun I (2008), “Asymptotic iteration method solution of the energy spectrum of two-dimensional screened donor in a magnetic field”, Physical E 40, p 443- 448 [16] Villalba V M and Pino R (2002), “Energy spectrum of a two-dimensional screened donor in a constant magnetic field of arbitrary strength”, Physica B 315, p 289-296 [17] Zakharchenya B P (1994), “Discovery of excitons”, Uspekhi Fizicheskikh Nauk 164, p 345-356 [18] Zhu J L., Cheng Y., and Xiong J J (1990), “Quantum levels and Zeeman splitting for two-dimensional hydrogenic donor states in a magnetic field”, Physica B 41, p 10792-10798 66 [...]... yếu đến từ trường mạnh 20 Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ FK Trong chương này tơi giới thiệu sơ lược về phương pháp tốn tử Các bước giải một bài tốn bằng phương pháp tốn tử được thể hiện qua bài tốn đơn giản là dao động tử điều hòa Khi áp dụng phương pháp tốn tử FK cho bài tốn hệ phân tử, ngun tử chúng ta cũng cần lưu ý một số vấn đề như: tốn tử Hamilton chứa biến động lực ở mẫu, dạng chuẩn của tốn tử, cách... nhiên, phương pháp tốn tử cho bài tốn ngun tử, phân tử cũng gặp phải một số vấn đề khó khăn như: thế tương tác Coulomb chưa biến động lực ở mẫu, dạng chuẩn của tốn tử, xây dựng bộ hàm sóng cơ sở, cách chọn tham số ω Từ đó mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới về phương pháp tốn tử Chương 3: Phương pháp tốn tử FK giải bài tốn exciton 2D trong từ trường đều Đây là phần trọng tâm của luận văn, tơi áp dụng phương. .. áp dụng phương pháp tốn tử FK thì sơ đồ vòng lặp được mặc định sử dụng mặc dù chưa có tun bố nào về sự so sánh giữa hai sơ đồ Trong luận văn này tơi sẽ sử dụng sơ đồ vòng lặp để giải bài tốn exciton trung hòa hai chiều trong từ trường 29 2.2 Phương pháp tốn tử FK cho bài tốn hệ ngun tử, phân tử `Khi áp dụng phương pháp tốn tử FK để giải một bài tốn hệ ngun tử, phân tử cụ thể cần lưu ý một số vấn đề... trọng tâm của luận văn, tơi áp dụng phương pháp tốn tử kết hợp với phép biến đổi Laplace giải bài tốn exciton 2D trong từ trường đều Kết quả là nghiệm số chính xác cho bài tốn, xác định được năng lượng của exciton ở trạng thái cơ bản và một số trạng thái kích thích trong từ trường với cường độ bất kỳ Các kết quả tính tốn được đưa ra với độ chính xác đến hai chữ số thập phân đối với trạng thái cơ bản và... tham số tự do để tốc độ hội tụ của bài tốn là tối ưu 2.1 Giới thiệu về phương pháp tốn tử và các bước giải Những ý tưởng đầu tiên về phương pháp tốn tử xuất hiện vào những năm 1979 Phương pháp tốn tử FK được ứng dụng thành cơng cho nhiều bài tốn khác nhau trong vật lý ngun tử, vật lý chất rắn và lý truyết trường [2], [5] Qua các nghiên cứu và ứng dụng vào một số bài tốn cụ thể, phương pháp tốn tử FK. .. thấy nghiệm thu được có tốc độ hội tụ cao Như vậy, ta thấy phương pháp tốn tử FK cho ta nghiệm chính xác bằng số với giá trị tham số nhiễu loạn bất kì Đối với bài tốn dao động tử phi điều hòa, sơ đồ vòng lặp cho kết quả hội tụ về nghiệm chính xác nhanh hơn dùng thuyết nhiễu loạn để tính bổ chính năng luợng và tài ngun tính tốn cho mỗi bậc vòng lặp ít hơn so với mỗi bậc nhiễu loạn Từ truớc đến nay, trong. .. vạch dạng giống như ngun tử Hydro đã được phát hiện trong các bán dẫn có vùng cấm rộng như CdS, HgI 2 , CdI 2 , CuO 2 , [2] 15 Hình 1.6 Thực nghiệm chứng tỏ sự tồn tại của exciton [2] 1.2 Phương trình Schrưdinger cho exciton hai chiều trong từ trường 1.2.1 Tốn tử Hamilton của exciton trong từ trường Tốn tử Hamilton cho điện tử và lỗ trống trong từ trường: 1  ˆ e   1 * 2 2  pe − Ae  + me ωc re... cho kết quả hội tụ với giá trị λ = 0.01 Với λ rất nhỏ λ = 0.03 lý thuyết nhiễu loạn đã cho kết quả phân kì Phương pháp tốn tử ứng với các giá trị λ khác nhau vẫn cho kết quả hội tụ Bằng phương pháp tốn tử, ta tìm được nghiệm chính xác cho giá trị λ bất kì, khơng chỉ trạng thái cơ bản mà cho cả các trạng thái kích thích n Nghiệm chính xác và hội tụ đến 10 chữ số thập phân sau dấu phẩy Mặc dù tham số. .. tham số tự do Tham số này được đưa vào khi biểu diễn các biến số động lực qua các tốn tử sinh hủy Chúng ta gọi là tham số tự do vì thực chất tốn tử Hamilton của hệ khơng phụ thuộc vào sự chọn lựa tham số này Tuy nhiên, tham số tự do ω đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong phương pháp tốn tử FK do độ chính xác của nghiệm gần đúng phụ thuộc vào việc chọn lựa ω Ngồi ra khi tính chuỗi các bổ chính vào nghiệm. .. phát hiện ra exciton, khái niệm, phân loại và tính chất của exciton Sau đó xây dựng lại phương trình Schrưdinger cho exciton trung hòa hai chiều trong từ trường 1.1 Exciton 1.1.1 Lịch sử Năm 1907, phổ hấp thụ đầu tiên của exciton đã được Becquerel tìm thấy trong thực nghiệm ở tinh thể khí hiếm, và vào năm 1929 do Obreimov và De Haas tìm ra trong tinh thể phân tử [13] Năm 1931, khái niệm exciton được ... biến đổi Laplace cho tốn exciton 2D từ trường thực đề tài: Phương pháp tốn tử FK tìm nghiệm số xác cho tốn exciton 2D từ trường đều Mục tiêu luận văn áp dụng phương pháp tốn tử FK kết hợp với... phương pháp tốn tử bước giải 21 2.2 Phương pháp tốn tử FK cho tốn hệ ngun tử, phân tử .30 Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ FK 35 GIẢI BÀI TỐN EXCITON 2D 35 TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU... tinh vi xác hơn, nhiều phương pháp giải tốn lượng tử tìm ra; kết lý thuyết ngày tiến gần đến kết thực nghiệm Một phương pháp cho phép tìm nghiệm số xác phương pháp tốn tử Phương pháp tốn tử nhóm