một phương pháp xấp xỉ ngoài tìm nghiệm của hệ bất phương trình tuyến tính và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ HỒNG MỘT PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ NGOÀI TÌM NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Vũ Thị Hồng MỘT PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ NGOÀI TÌM NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN ANH TUẤN Thái Nguyên - 2014 i Mục lục Bảng ký hiệu vi Mở đầu 1 1 Một số khái niệm cơ bản và một số bài toán thực tế đưa về bài toán tìm nghiệm chấp nhận của hệ bất phương trình tuyến tính 4 1.1 Một số khái niệm cơ bản về tập lồi . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Một số khái niệm cơ bản liên quan đến hàm số tuyến tính 7 1.3 Khái niệm về miền ràng buộc tuyến tính không bị chặn, phương vô hạn chấp nhận được và hướng tăng, giảm của hàm gần lồi - gần lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Một số mô hình thực tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.1 Bài toán cái túi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.2 Bài toán lập kế hoạch sản xuất (Cực đại tổng lãi suất ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.3 Bài toán mua (thuê) máy bay tối ưu . . . . . . . 14 1.5 Dạng chuẩn và dạng chính tắc của bài toán quy hoạch tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.1 Dạng chuẩn và dạng chính tắc . . . . . . . . . . 15 1.5.2 Đưa bài toán quy hoạch tuyến tính về dạng chuẩn và dạng chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 ii 1.6 Giới thiệu một số phương pháp giải bài toán quy hoạch tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6.1 Giới thiệu phương pháp đơn hình . . . . . . . . . 17 1.6.2 Giới thiệu phương pháp Kamarkar (Điểm trong) 21 2 Quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn và phương pháp nón xoay [1] 23 2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tổng quát . . 23 2.2 Khái niệm về nón tuyến tính, cạnh của nón và Nón - min 24 2.2.1 Khái niệm về nón đơn hình tuyến tính . . . . . . 24 2.2.2 Khái niệm về cạnh của nón đơn hình . . . . . . . 24 2.2.3 Khái niệm về nón xoay M(r,s) sinh ra từ nón M . 27 2.2.4 Định nghĩa Nón – min (Nón cực tiểu) . . . . . . 29 2.3 Phương pháp nón xoay tuyến tính . . . . . . . . . . . . 33 2.3.1 Thuật toán nón xoay tuyến tính . . . . . . . . . 35 2.3.2 Bảng lặp giải bài toán qui hoạch tuyến tính bởi thuật toán nón xoay tuyến tính và ví dụ minh hoạ 37 3 Thuật toán nón xoay cho hệ bất phương trình tuyến tính và ứng dụng 46 3.1 Thuật toán nón xoay tìm nghiệm chấp nhận của hệ bất phương trình tuyến tính với cơ sở xuất phát từ gốc toạ độ là đỉnh của nón R n + . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2 Bảng lặp nón xoay tìm nghiệm chấp nhận của hệ bất phương trình tuyến tính với cơ sở xuất phát từ gốc toạ độ là đỉnh của nón R n + . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3 Các ví dụ minh hoạ cho thuật toán BPT . . . . . . . . 50 iii 3.4 Giải bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chuẩn từ việc tìm nghiệm chấp nhận của hệ bất phương trình tuyến tính đối ngẫu bởi thuật toán nón xoay bất phương trình (BPT) với cơ sở xuất phát từ gốc toạ độ và ví dụ minh hoạ 56 3.4.1 Đưa bài toán qui hoạch tuyến tính về bài toán tìm nghiệm chấp nhận của hệ bất phương trình tuyến tính với cơ sở xuất phát từ gốc toạ độ . . . . . . 56 3.4.2 Hệ bất phương trình tuyến tính đối ngẫu đối xứng 58 3.4.3 Ví dụ minh hoạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.5 Thuật toán nón xoay BPT giải ví dụ Klee-Minty . . . . 62 3.6 Vài nét về độ phức tạp tính toán của thuật toán BPT và kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Tài liệu tham khảo 71 iv Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Anh Tuấn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về sự tận tâm và nhiệt tình của Thầy trong suốt quá trình tác giả thực hiện luận văn. Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo sư, Phó Giáo sư tại Viện Toán học, các Thầy Cô trong Đại học Thái Nguyên, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu và công tác của bản thân. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy Cô. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học và Quan hệ quốc tế, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường. Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu. Tác giả Vũ Thị Hồng Bảng ký hiệu ———————————————————————————— v —– vi Bảng ký hiệu φ Tập rỗng 1 Mở đầu Như chúng ta đã biết nhiều bài toán trong lĩnh vực toán học và vật lý như: Lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết xử lý số liệu và hình ảnh, ảnh y học, . . . đã dẫn đến việc giải quyết bài toán tìm nghiệm chấp nhận của các bất đẳng thức lồi, cụ thể là tìm một điểm x ∗ trong C, với C là giao của hữu hạn các tập lồi đóng C i trong không gian Hilbert. Bài toán này đã được giải bằng thuật toán hiệu quả là phương pháp chiếu trực giao liên tiếp lên các tập lồi đóng và trong trường hợp riêng khi tất cả các C i đều là các nửa không gian Affine trong R n thì ta thu được thuật toán xấp xỉ tìm nghiệm chấp nhận của một hệ bất phương trình tuyến tính (xem[13]). Trong việc giải bài toán quy hoạch tuyến tính bằng thuật toán đơn hình và các thuật toán điểm trong thì đầu tiên chúng ta đều phải giả thiết là biết trước một điểm chấp nhận được của bài toán. Để có được một điểm như vậy chúng ta phải đi giải một bài toán quy hoạch tuyến tính khác hay một bài toán tương đương khác. Chính vì vậy, luận văn này đề nghị một thuật toán trực tiếp tìm nghiệm chấp nhận của một hệ bất phương trình tuyến tính, nói cụ thể chính xác hơn là tìm một điểm cực biên (nếu có) của một hệ ràng buộc ở dạng các bất phương trình tuyến tính. Thuật toán ở đây là một cải tiến trực tiếp từ thuật toán nón xoay tuyến tính giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn trình bày trong cuốn sách “Quy hoạch tuyến tính với phương pháp nón xoay”[1]. 2 Thuật toán kết thúc sau hữu hạn bước lặp với điểm xuất phát ban đầu của thuật toán là từ gốc tọa độ của R n . Việc có được một thuật toán tìm nghiệm chấp nhận của hệ bất phương trình tuyến tính thì điều đó có nghĩa là chúng ta có được một thuật toán giải bài toán quy hoạch tuyến tính. Như vậy mối quan hệ giữa bài toán quy hoạch tuyến tính và bài toán tìm nghiệm chấp nhận của hệ bất phương trình tuyến tính rất gần nhau. Do đó, trong luận văn chương đầu trình bày những bài toán liên quan tới quy hoạch tuyến tinh dạng chuẩn, chương cuối của luận văn trình bày việc đưa bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn bất kỳ về bài toán tìm một nghiệm chấp nhận của hệ bất phương trình dựa trên cơ sở của lý thuyết đối ngẫu trong quy hoạch tuyến tính. Luận văn gồm 3 chương: Chương 1 trình bày một số khái niệm cơ bản liên quan tới hàm gần lồi-gần lõm làm cơ sở khoa học để xây dựng thuật toán nón xoay tuyến tính theo lược đồ xấp xỉ ngoài giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tổng quát, sau một số hữu hạn bước lặp cho ta lời giải của bài toán hoặc phát hiện ra miền ràng buộc của bài toán không có phương án chấp nhận được. Chương 2 trình bày phương pháp nón xoay giải trực tiếp bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn. Chương 3 với nội dung cải tiến thuật toán nón xoay tuyến tính giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn trình bày trong chương 2 trở thành một thuật toán tìm nghiệm chấp nhận được của một hệ bất phương trình tuyến tính với cơ sở xuất phát từ gốc tọa độ và các ví dụ minh họa. Sau đó dựa trên cặp bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu đối xứng đưa việc giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn bất kỳ về việc giải bài toán tìm nghiệm chấp nhận của một hệ bất phương trình tuyến tính đối ngẫu và ứng dụng nó giải ví dụ Klee-minty với số [...]... bằng hai bất phương trình tuyến tính nên một tập lồi đa diện cũng là tập nghiệm của một hệ các phương trình và bất phương trình tuyến tính : ai , x = bi , i = 1, , p , ai , x ≤ bi , i = p + 1, , m Hạng của hệ bất phương tuyến tính (1.1) được định nghĩa bằng hạng của ma trận A Nếu hạng của hệ này bằng m thì ta nói hệ độc lập tuyến tính Một tập lồi đa diện có thể không bị chặn (không giới nội) Một tập...3 chiều của bài toán là n bất kỳ vẫn tìm được lời giải của bài toán sau 2 bước lặp ngắn gọn Thuật toán xấp xỉ ngoài bất phương trình (BPT) tìm nghiệm chấp nhận của hệ bất phương trình tuyến tính đề nghị trong luận văn này được xây dựng chi tiết, các bước của thuật toán được trình bày sao cho chúng ta có thể dễ dàng lập trình chuyển sang các chương trình trên máy tính bằng các ngôn ngữ... hoạch tuyến tính 1.1 Một số khái niệm cơ bản về tập lồi Định nghĩa 1.1.1 Một tập lồi mà là giao của một số hữu hạn nửa không gian đóng gọi là tập lồi đa diện Nói cách khác, đó là tập nghiệm của một hệ hữu hạn các bất phương trình tuyến tính: ai , x ≤ bi , i = 1, , m(ai ∈ Rn , bi ∈ R) (1.1) nghĩa là tập các x nghiệm đúng Ax ≤ b với A là một ma trận cấp mxn và b ∈ Rm 5 Vì một phương trình tuyến tính. .. lồi-gần lõm ứng dụng vào quy hoạch tuyến tính ([1]) có thể áp dụng đối với hàm tuyến tính Chính vì vậy, trước khi trình bày bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn và thuật toán nón xoay giải nó, chúng ta nhắc lại một số khái niệm, định nghĩa, các định lý, hệ quả và các tính chất cơ bản của hàm gần lồi - gần lõm đã trình bày trong sách “Quy hoạch gần lồi - gần lõm ứng dụng vào quy hoạch tuyến tính ([1])... cuốn sách “Quy hoạch tuyến tính với phương pháp nón xoay” [1] và trên các sách, tài liệu có trong phần tài liệu tham khảo 4 Chương 1 Một số khái niệm cơ bản và một số bài toán thực tế đưa về bài toán tìm nghiệm chấp nhận của hệ bất phương trình tuyến tính Trong chương này, tôi trình bày một số khái niệm về bài toán tối ưu tổng quát và một số mô hình bài toán thực tế, cũng như một số khái niệm liên... một hướng không giảm của hàm f , khi và chỉ khi f (0) ≤ f (αz), ∀α ∈ Rl và α > 0 1.4 Một số mô hình thực tế Dưới đây là một vài bài toán quy hoạch tuyến tính thiết lập từ thực tế quen thuộc có thể đưa về bài toán tìm nghiệm chấp nhận của hệ bất phương trình tuyến tính dựa trên một số định lý đối ngẫu trong quy hoạch tuyến tính 1.4.1 Bài toán cái túi Một người du lịch muốn đem một cái túi nặng không... là một hướng tăng của hàm f , ∀x ∈ Rn , tức là f (x) < f (x + αz), ∀α > 0, ∀x ∈ Rn Và ta gọi z là một hướng giảm của hàm f Hệ quả 1.3.14 f : Rn → Rl là một hàm gần lồi - gần lõm, z = 0 là một hướng tăng của hàm f , khi và chỉ khi f (0) < f (αz), ∀α > 0 Hệ quả 1.3.15 f : Rn → Rl là một hàm gần lồi - gần lõm, và f (x) > f (y) thì z = x − y là một hướng tăng của hàm f và z = y − x là một hướng giảm của. .. hay là số phần tử của tập I ) và Ai với i ∈ I là một hệ độc lập tuyến tính Tập M gọi là nón đơn hình tuyến tính của hệ ràng buộc PL với đỉnh xM là nghiệm (được xác định) thoả mãn hệ sau: Ai , x + bi = 0, ∀i ∈ I (2.2) Hệ véc tơ Ai với i ∈ I được gọi là cơ sở của nón M , hay cũn gọi là cơ sở của đỉnh xM Tập I gọi là tập chỉ số của cơ sở của nón M 2.2.2 Khái niệm về cạnh của nón đơn hình Với mỗi i ∈... 0 xác định bởi hệ bất phương trình tuyến tính (1.1) Khi đó mỗi bất phương trình (1.1) gọi là một ràng buộc của D Ta nói điểm x0 ∈ D thoả mãn chặt ràng buộc i nếu ai , x0 = bi Với mỗi x ∈ D ký hiệu I(x) = {i : ai , x = bi } là tập chỉ số của những ràng buộc thoả mãn chặt tại x Ký hiệu I0 = {i : ai , x = bi } với mọi x ∈ D Tính chất đặc trưng của các diện (nói riêng, các đỉnh và cạnh) của D được cho... = 0 là một hướng không đổi của hàm f , khi và chỉ khi f (0) = f (αz), ∀α ∈ Rl và α = 0 Từ Tính chất 1.3.3 và Hệ quả 1.3.16 ta có thể chứng minh dễ dàng hệ quả sau: 13 Hệ quả 1.3.18 Nếu x = y mà f (x) = f (y) thì ∀α ∈ Rl và α = 0 chúng ta có z = α(x − y) là hướng không đổi của hàm f và f (u) = f (u + α(x − y)), ∀u ∈ Rn , ∀α ∈ Rl Hệ quả 1.3.19 f : Rn → Rl là một hàm gần lồi - gần lõm, z = 0 là một hướng . một phương trình tuyến tính có thể biểu diễn tương đương bằng hai bất phương trình tuyến tính nên một tập lồi đa diện cũng là tập nghiệm của một hệ các phương trình và bất phương trình tuyến tính. nón xoay tuyến tính và ví dụ minh hoạ 37 3 Thuật toán nón xoay cho hệ bất phương trình tuyến tính và ứng dụng 46 3.1 Thuật toán nón xoay tìm nghiệm chấp nhận của hệ bất phương trình tuyến tính với. HỒNG MỘT PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ NGOÀI TÌM NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Vũ Thị Hồng MỘT