Xấp xỉ không điểm chung của hai toán tử kiểu đơn điệu và ứng dụng

Xấp xỉ không điểm chung hai toán tử kiểu đơn điệu ứng dụng Tổng quan Ngoài nước Bài toán xác định không điểm toán tử accretive hay toán tử đơn điệu có nhiều ý nghĩa quan trọng nhiều lĩnh vực khác nhau, khoa học vật lí, tối ưu hóa, toán kinh tế, toán tài chính… Ở đây, ta quan tâm đến toán sau: Xác định phần tử cho: (1) toán tử m-accretive hay đơn điệu cực đại đa trị, tương ứng xác định không gian Banach Chú ý không gian Hilbert toán tử m-accretive gọi toán tử đơn điệu cực đại Một phương pháp tiếng để giải toán (1) phương pháp điểm gần kề đề xuất nghiên cứu Rockaffelar [10] vào năm 1976 Ông xây dựng dãy lặp sau: (2) toán tử đơn điệu cực đại không gian Hilbert với toán tử giải phần tử Rockaffelar chứng minh tính hội tụ yếu thuật toán (2) nghiệm toán (1), dãy số dương thỏa mãn điều kiện dãy sai số tính toán bước lặp thỏa mãn điều kiện Năm 1991, Guler [3] đưa ví dụ thuật toán điểm gần kề (2) không hội tụ mạnh không gian Hilbert vô hạn chiều Một ví dụ Bauschke, Matousková Reich [1] vào năm 2006 thuật toán điểm gần kề hội tụ yếu không hội tụ theo chuẩn Do đó, vấn đề nghiên cứu phương pháp cải tiến thuật toán điểm gần kề (2) nhằm thu hội tụ mạnh nhiều nhà toán học giới quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn như: Kamimura Takahashi [5], Lehdili Moudafi [6], O Nevanline S Reich [9], H K Xu [13] … Trong năm gần đây, xuất phát từ số mô hình toán thực tế tối ưu hóa vật lý, toán tìm không điểm tổng hai toán tử đơn điệu cực đại hay toán tìm không điểm chung hai toán tử kiểu đơn điệu tổng quát toán tìm không điểm chung họ hữu hạn toán tử kiểu đơn điệu, thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới, chẳng hạn: L Hu, L Liu [7] , Y Qing, S Y Cho X Qin [10], Zegeye Shahzed [15] … Năm 2005, H H Bauschke, P L Combettes S Reich [2] đề xuất kết hợp phương pháp điểm gần kề phương pháp lặp luân phiên cho toán xác định không điểm hai toán tử đơn điệu cực đại không gian Hilbert Tuy nhiên, họ thu hội tụ yếu Vấn đề tiếp tục nghiên cứu cho lớp toán tử kiểu đơn điệu cải tiến kết nhằm thu hội tụ mạnh cách kết hợp với phương pháp hiệu chỉnh Bài toán tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân tập lồi đóng không gian Banach (đặc biệt tập điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn) đóng vai trò quan trọng giải tích phi tuyến, vấn đề chủ đề nhiều nhà toán học giới quan tâm nghiên cứu Một kết bật lĩnh vực kết Yamada (xem [14]) năm 2001 cho toán tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert phương pháp lai đường dốc Tuy nhiên, nhược điểm phương pháp đòi hỏi tính giao hoán ánh xạ không giãn Điều khắc phục số tác giả (xem [16], [21]), nhiên kết nghiên cứu không gian Hilbert Cho đến nay, kết lĩnh vực không gian Banach chưa phổ biến nhiều vấn đề tiếp tục nghiên cứu Tài liệu tham khảo [1] H H Bauschke, E Matousková, S Reich, Projection and proximal point methods: convergence results and counterexamples, Nonl Anal., 56 (2004), 715-738 [2] H H Bauschke, P L Combettes, and S Reich, The asymptotic behavior of the composition of two resolvents, Nonl Anal., 60, n (2005), 283-301 [3] O Guler, On the convergence of the proximal point algorithm for convex minimization, SIAM Jour Contr Optim., 29 (1991), 403-419 [4] J S Jung, Strong convergence of viscosity approximation methods for finding zeros of accretive operators in Banach spaces, Nonl Anal., 72 (2010), 449-459 [5] S Kamimura and W Takahashi, Strong convergence of a proximal-type algoritm in Banach spaces, SIAM Jour Contr Optim., 13, n (2002), 938-945 [6] N Lehdili and A Moudafi, Combining the proximal algorithm and Tikhonov regularization, Optim., 37, n (1996), 239-252 [7] L Hu, L Liu, A new iterative algorithm for common solutions of a finite family of accretive operators, Nonl Anal., 70 (2009), 2344-2351 [8] A.Moudafi, M Oliny, Convergence of a splitting inertial proximal method for monotone operators, Journal of Computational and Applied Mathematics 155 (2003), 447-454 [9] O Nevanlinna and S Reich, Strong convergence of contraction semigroups and of iterative methods for accretive operators in Banach spaces, Israel J Math., 32 (1979), 44-58 [10] Y Qing, S Y Cho, X Qin, Convergence of iterative sequences for common zero points of a family of m-accretive mappings in Banach spaces, Fixed Point Theory and Applications Volume 2011, Article ID 216173, 12 pages [11] R T Rockaffelar, Monotone operators and proximal point algorithm, SIAM J Contr Optim., 12 (1976), 887-897 [11] D R Sahu et al., Iterative methods for triple hierarchical variational inequalities and common fixed point problems, Fixed Point Theory and Applications 2014, 2014: 244 [13] H.-K Xu, A regularization method for the proximal point algorithm, J Glob Optim., 36, n (2006), 115-125 [14] I Yamada, The Hybrid Steepest Descent Method for the Variational Inequality Problem Over the Intersection of Fixed Point Sets of Nonexpansive Mappings, Inherently Parallel Algorithms in Feasibility and Optimization and their Applications, 8, pp 473-504, 2001 [15] H Zegeye, N Shahzad, Strong convergence theorems for a common zero of a fi nite family of m-accretive mappings, Nonl Anal., 66 (2007), 1161-1169 [16] Haiyun Zhou, PeiyuanWang, A Simpler Explicit Iterative Algorithm for a Class of Variational Inequalities in Hilbert Spaces, J Optim Theory Appl., Vol 161, n (2014), pp 716-727 Trong nước Một số nhà toán học nước nghiên cứu toán xác định không điểm toán tử kiểu đơn điệu, toán bất đẳng thức biến phân toán liên quan nhóm nghiên cứu GS TSKH Phạm Kỳ Anh, GS TSKH Lê Dũng Mưu, GS TS Nguyễn Bường,…Trong đó, có số kết nghiên cứu GS TS Phạm Kỳ Anh cộng toán tìm không điểm chung họ hữu hạn toán tử m-j-đơn điệu, hay ngược đơn điệu mạnh,…(xem [1623]) Nhóm nghiên cứu Toán ứng dụng Đại học Thái Nguyên (TS Nguyễn Thị Thu Thủy, TS Trương Minh Tuyên, TS Lâm Thùy Dương, TS Nguyễn Đình Dũng, ThS NCS Phạm Thanh Hiếu, ThS NSC Nguyễn Thanh Hường, ThS NCS Bùi Việt Hương, ThS NCS Nguyễn Song Hà,…) có số kết nghiên cứu toán xác định không điểm toán tử kiểu đơn điệu, toán bất đẳng thức biến phân số toán liên quan (xem Mục 10.3) Hiện chủ đề liên quan đến lớp toán thu hút nghiên cứu nhiều người làm toán nước theo hướng khác Như việc nghiên cứu vấn đề đặt đề tài cần thiết thời Tài liệu tham khảo [17] P K Anh, C V Chung, Parallel regularized Newton method for nonlinear ill-posed equations, Numerical Algorithms, Vol 58, n (2011), 379-398 [18] P K Anh, N Buong and D V Hieu, Parallel methods for regularizing systems of equations involving accretive operators, Applicable Analysis, Vol 93, n 10 (2014), 2136-2157 [19] P K A and D V Hieu, Parallel Hybrid Iterative Methods for Variational Inequalities, quilibrium Problems, and Common Fixed Point Problems, Vietnam J Math Accepted, 2014 [120] N Buong, Strong convergence theorem of an iterative method for variational inequalities and fixed point problems in Hilbert spaces, Applied Mathematics and Computation, 217 (2010), 322-329 [21] N Buong , Strong convergence of a method for variational inequality problems and fixed point problems of a nonexpansive semigroup in Hilbert spaces, J Appl Math & Informatics Vol 29 (2011), n 1-2, 61-74 [22] N Buong and L.T Duong, An Explicit Iterative Algorithm for a Class of Variational Inequalities in Hilbert Spaces, J Optim Theory Appl., 151 (2011), 513-524 [23] N T T Thuy, An Iterative Method for Equilibrium, Variational Inequality, and Fixed Point Problems for a Nonexpansive Semigroup in Hilbert Spaces, Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society, Vol 38, n (2015), 113-130 [24] N T T Thuy, Regularization methods and iterative methods for variational inequality with accretive operator, Acta Math Vietnam, DOI 10.1007/s40306-015-0123-2 Tính cấp thiết Bài toán xác định không điểm toán tử accretive không gian Banach hay toán xác định không điểm toán tử đơn điệu cực đại có nhiều ý nghĩa quan trong nhiều lĩnh vực khác Toán kinh tế, tối ưu hóa, toán liên quan đến vật lí Chẳng hạn như, cho hàm lồi thường nửa liên tục từ không gian Banach vào trường số thực Khi đó, ta biết vi phân toán tử đa trị đơn điệu cực đại (chú ý khái niệm toán tử đơn điệu cực đại không gian Hilbert trùng với khái niệm toán tử accretive) nghiệm phương trình bao hàm nghiệm toán cực tiểu phiếm hàm lồi toán xác định không điểm toán tử đơn điệu cực đại hay toán xác định không điểm toán tử accretive thực đóng vai trò quan trong lĩnh vực tối ưu hóa Ngoài ta, biết ánh xạ không giãn không gian Banach với toán tử đồng toán tử accretive Do đó, toán xác định điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Banach tương đương với toán xác định không điểm chung họ hữu hạn toán tử accretive Một phương pháp tiếng để giải toán xác định không điểm toán tử đơn điệu cực đại phương pháp điểm gần kề đề xuất nghiên cứu Martinet cho toán cực tiểu phiếm hàm lồi sau mở rộng Rockafellar Tuy nhiên, với phương pháp người ta thu hội tụ yếu Để thu hội tụ mạnh, nhiều cải tiến phương pháp điểm gần kề đề xuất, số phải kể đến phương pháp prox-Tikhonov đề xuất Lehdili Moudafi năm 1996 (Combining the proximal algorithm and Tikhonov regularization, Optim., 37, N 3, 239-252 (1996)) sau mở rộng H K Xu năm 2006 (A regularization method for the proximal point algorithm, J Glob Optim., 36, N 1, 115-125 (2006)), Song Yang năm 2009 (A note on a paper: A regularization method for the proximal point algorithm, J Glob Optim., 43, N 1, 171-174 (2009)) số phương pháp dựa kết hợp phương pháp điểm gần kề với phương pháp CQ hay phương pháp lặp Halpern… Trong thời gian gần đây, xuất phát từ số toán tối ưu hay mô hình toán vật lý, toán xác định không điểm tổng hai toán tử đơn điệu cực đại hay toán xác định không điểm chung hai toán tử đơn điệu đề xuất nghiên cứu nhiều nhà toán học tiếng Một phương pháp giải lớp toán đề xuất H H Bauschke, P L Combettes S Reich (The asymptotic behavior of the composition of two resolvents, Nonlinear Anal., 60, No 2, 283-301 (2005)) dựa phương pháp chiếu luân phiên đề xuất nghiên cứu von Neumann năm 1930, nhiên họ thu hội tụ yếu mà không hội tụ mạnh Cho đến chưa có cải tiến cho phương pháp H H Bauschke, P L Combettes S Reich nhằm thu hội tụ mạnh dãy lặp Do vấn đề mở tiếp tục nghiên cứu mở rộng cho lớp toán khác, toán bất đẳng thức biến phân, toán cân bằng… Như nói toán xác định không điểm họ hữu hạn toán tử kiểu đơn điệu nói chung hay toán xác định không điểm chung hai toán tử kiểu đơn điệu nói riêng có nhiều ứng dụng quan trong lĩnh vực toán học ứng dụng Chính vậy, đề xuất thực nghiên cứu đề tài “Xấp xỉ không điểm chung hai toán tử kiểu đơn điệu ứng dụng” Mục tiêu - Đề xuất phương pháp xấp xỉ không điểm chung hai toán tử kiểu đơn điệu mở rộng cho trường hợp hữu hạn toán tử; - Đề xuất phương pháp xấp xỉ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung ánh xạ không giãn hay tập không điểm chung toán tử kiểu đơn điệu; - Nghiên cứu ứng dụng kết thu cho số lớp toán quan trọng, như: Bài toán tối ưu không ràng buộc, toán bất đẳng thức biến phân, toán cân bằng; - Xây dựng số mô hình toán cụ thể thử nghiệm số kết lý thuyết thu đó, nhằm khẳng định tính ưu việt khả ứng dụng tốt phương pháp Nội dung - Sơ lược số nghiên cứu công bố toán xác định không điểm toán tử kiểu đơn điệu toán bất đẳng thức biến phân; - Nghiên cứu kết hợp phương pháp prox-Tikhonov phương pháp chiếu luân phiên cho toán xác định không điểm chung hai toán tử kiểu đơn điệu; - Nghiên cứu kết hợp phương pháp lặp Halpern với phương pháp điểm gần kề cho toán xác định không điểm chung hai toán tử kiểu đơn điệu; - Nghiên cứu số phương pháp lai ghép giải toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn hay tập không điểm chung họ hữu hạn toán tử kiểu đơn điệu; - Đưa số ứng dụng kết cho toán tối ưu không ràng buộc, toán bất đẳng thức biến phân toán cân Tải file Xấp xỉ không điểm chung hai toán tử kiểu đơn điệu ứng dụng PP nghiên cứu - Tra cứu tài liệu để có hiểu biết toán xác định không điểm toán tử kiểu đơn điệu toán bất đẳng thức biến phân; - Thực chạy số nhằm dự đoán kết tiến hành chứng minh tính đắn phương pháp; - Thực tính toán số ngôn ngữ Matlab nhằm minh họa cho tính đắn hữu hiệu kết thu Hiệu KTXH - Đưa số kết mới, có giá trị khoa học lĩnh vực phương trình toán tử bất đẳng thức biến phân; - Nâng cao lực nghiên cứu khoa học cho chủ nhiệm đề tài nhóm nghiên cứu cán giảng dạy toán học Đại học Thái Nguyên; - Phục vụ công tác đào tạo đại học sau đại học Đại học Thái Nguyên, mở rộng hợp tác nghiên cứu với tổ chức nước ĐV sử dụng ... vực toán học ứng dụng Chính vậy, đề xuất thực nghiên cứu đề tài Xấp xỉ không điểm chung hai toán tử kiểu đơn điệu ứng dụng Mục tiêu - Đề xuất phương pháp xấp xỉ không điểm chung hai toán tử kiểu. .. biến phân, toán cân bằng… Như nói toán xác định không điểm họ hữu hạn toán tử kiểu đơn điệu nói chung hay toán xác định không điểm chung hai toán tử kiểu đơn điệu nói riêng có nhiều ứng dụng quan... cho toán xác định không điểm chung hai toán tử kiểu đơn điệu; - Nghiên cứu kết hợp phương pháp lặp Halpern với phương pháp điểm gần kề cho toán xác định không điểm chung hai toán tử kiểu đơn điệu;