Một phương pháp xấp xỉ trong giải bài toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính theo phương pháp nhánh cận và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH QUANG NGỌC MỘT PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ TRONG GIẢI BÀI TỐN QUY HOẠCH NGUN PHÂN TUYẾN TÍNH THEO PHƯƠNG PHÁP NHÁNH CẬN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH QUANG NGỌC MỘT PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ TRONG GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH NGUYÊN PHÂN TUYẾN TÍNH THEO PHƯƠNG PHÁP NHÁNH CẬN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN ANH TUẤN Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cam đoan iii Mở đầu 1 Bài tốn quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính thuật toán giải 1.1 1.2 Một số toán thực tế đưa toán quy hoạch phân tuyến tính quy hoạch nguyên phân tuyến tính 1.1.1 Bài tốn vận tải phân tuyến tính 1.1.2 Bài toán cực tiểu giá thành sản phẩm 1.1.3 Bài toán cực đại hiệu suất tiêu diệt mục tiêu địch Bài tốn quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính vài tính chất 1.2.1 1.2.2 Bài tốn quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính Một vài tính chất tốn quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính 1.3 Thuật tốn nón xoay xấp xỉ giải tốn quy hoạch phân tuyến tính 10 1.3.1 Khái niệm nón đơn hình tuyến tính 11 1.3.2 Khái niệm cạnh phương cạnh nón đơn hình 11 1.3.3 Khái niệm nón xoay M(r,s) sinh từ nón M 18 1.3.4 Dấu hiệu tối ưu (Điều kiện tối ưu): 22 ii 1.3.5 Thuật tốn nón xoay xấp xỉ giải tốn quy hoạch phân tuyến tính 23 1.4 Bảng lặp giải tốn quy hoạch phân tuyến tính thuật toán PTT 25 1.5 Thuật tốn nón xoay tìm nghiệm hệ bất phương trình tuyến tính 30 1.5.1 Thuật tốn nón xoay tìm nghiệm hệ bất phương trình tuyến tính với sở xuất phát từ gốc toạ độ đỉnh nón Rn+ 31 1.5.2 Bảng lặp tìm nghiệm hệ bất phương trình tuyến tính với sở xuất phát từ gốc toạ độ đỉnh nón Rn+ 32 Thuật toán nhánh cận xấp xỉ giải tốn quy hoạch ngun phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính ứng dụng 2.1 34 Bài toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính thuật tốn Land-Doig 34 2.1.1 Bài toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính 35 2.1.2 Thuật toán Land-Doig giải toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính 36 2.2 Thuật toán nhánh cận xấp xỉ giải toán quy hoạch nguyên tuyến tính 40 2.3 Minh họa ứng dụng thuật toán nhánh cận xấp xỉ ILF giải tốn quy hoạch ngun phân tuyến tính có số chiều nhỏ với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính 42 Kết luận Đề nghị 57 Tài liệu tham khảo 58 iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu Thái Nguyên, ngày 20 tháng 04 năm 2015 Học viên Đinh Quang Ngọc Mở đầu Nhiều toán thực tế kinh tế toán học, thường gặp lý thuyết trị chơi, cơng nghiệp hóa chất, cắt nguyên vật liệu, mạng vận tải định giá thành sản phẩm, dẫn đến phải giải tốn quy hoạch ngun phân tuyến tính Một phương pháp hiệu thường sử dụng để giải toán phương pháp nhánh cận Land-Doig Để giải tốn quy hoạch ngun phân tuyến tính thơng thường phải tiến hành giải toán quy hoạch phân tuyến tính tương ứng chưa có điều kiện nguyên biến với ràng buộc bổ sung dạng bất phương trình cho thành phần biến Rõ ràng sử dụng phương pháp nhánh cận để tìm cận tốt (đối với tốn min) cho tốn quy hoạch ngun ta thường phải giải toán tương ứng chưa có điều kiện nguyên với miền ràng buộc bổ sung thêm sau bước ràng buộc dạng bất phương trình thành phần chưa nguyên biến Các thuật toán giải toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ phương trình tuyến tính với biến khơng âm có nhiều thuật tốn giải tương tự thuật tốn đơn hình quy hoạch tuyến tính (xem [2], [8]) Tuy nhiên thực tế tốn thường có miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính Do việc sử dụng thuật toán giải trực tiếp toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính ưu việt hiệu (vì khơng phải thêm vào biến bù) ta phải giải chúng phương pháp mà miền ràng buộc đòi hỏi dạng tắc (tức miền ràng buộc hệ phương trình tuyến tính ràng buộc chính) Chính vậy, luận văn trình bày việc xây dựng thuật toán xấp xỉ giải toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính khai thác đặc thù riêng hàm mục tiêu có tính đơn điệu chứng minh tốn có lời giải có lời giải đạt biên miền chấp nhận, bước để tìm cận toán nguyên, phải giải tốn quy hoạch tuyến tính tương ứng chưa có điều kiện nguyên có số chiều n − (n số chiều toán) Như thuật toán hiệu giải tốn quy hoạch ngun tuyến tính dạng chuẩn có số chiều Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015 Đinh Quang Ngọc Học viên Cao học Toán K7A Chuyên ngành Toán ứng dụng Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Email: ngocdq.c3nguyenhue@gmail.com Chương Bài tốn quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính thuật tốn giải Như biết, nhiều toán thực tế kinh tế toán học, thường gặp lý thuyết trị chơi, cơng nghiệp hóa chất, cắt nguyên vật liệu, mạng vận tải định giá thành sản phẩm, có mơ hình tốn học dạng tốn quy hoạch ngun phân tuyến tính Vì nội dung chương giới thiệu số mơ hình thực tế có dạng tốn sau trình bày thuật tốn xấp xỉ giải tốn quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính, làm sở để xây dựng thuật toán giải toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính trình bày chương 1.1 Một số toán thực tế đưa toán quy hoạch phân tuyến tính quy hoạch nguyên phân tuyến tính Sau trình bày số mơ hình tốn thực tế có dạng tốn quy hoạch phân tuyến tính tốn quy hoạch nguyên phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính 1.1.1 Bài tốn vận tải phân tuyến tính Có m trạm phát (kho hàng gồm loại hàng như: ti vi, tủ lạnh, máy giặt, ) Ai (i = 1, 2, , m) Mỗi trạm Ai cung cấp tối đa đơn vị hàng Có n trạm thu (nơi có nhu cầu hàng) Bj (j = 1, 2, , n) Mỗi trạm thu Bj cần phải đáp ứng tối thiểu bj đơn vị hàng pij lợi nhuận (lãi suất) mà công ty vận tải thu vận chuyển đơn vị hàng từ trạm phát Ai đến trạm thu Bj , dij chi phí vận chuyển đơn vị hàng từ trạm phát Ai đến trạm thu Bj , Các lợi nhuận khác chi phí khác vận chuyển xác định số p0 d0 Gọi xij lượng hàng cần vận chuyển trạm phát Ai đến trạm thu Bi Ta có tốn quy hoạch ngun phân tuyến tính sau gọi tốn vận tải phân tuyến tính: Hàm mục tiêu: m P (x) Q (x) = = D(x) n pij xij + p0 i=1 j=1 m n (1.1) dij xij + d0 i=1 j=1 Chúng ta cần phải cực đại hóa (cực tiểu hóa) hàm mục tiêu với điều kiện ràng buộc sau: n xij (i = 1, 2, m) (1.2) xij bj (j = 1, 2, n) (1.3) j=1 m i=1 xij 1.1.2 0, nguyên, (i = 1, 2, , m) , (j = 1, 2, , n) (1.4) Bài toán cực tiểu giá thành sản phẩm Một loại sản phẩm sản xuất theo phương pháp Tj (j = 1, 2, , n) Gọi pj suất phương pháp Tj (tức số lượng sản phẩm sản xuất đơn vị thời gian), rj chi phí đơn vị thời gian phương pháp Tj , xj số đơn vị thời gian sản xuất theo phương pháp Tj Như giá thành sản phẩm n rj xj c(x) = j=1 n pj xj j=1 Bài toán đặt cần cực tiểu hàm c(x) với ràng buộc vật tư, vốn, lao động, kỹ thuật, 1.1.3 Bài toán cực đại hiệu suất tiêu diệt mục tiêu địch Một máy bay chiến đấu mang vũ khí với tải trọng M Trong kho vũ khí có n loại (bom, tên lửa, rốc két, ) Máy bay phải mang vũ khí đến đánh mục tiêu địch, trọng lượng đơn vị vũ khí loại j aj (j = 1, 2, , n) Xác suất tiêu diệt mục tiêu địch (trúng mục tiêu) đơn vị vũ khí loại j pj , số lượng vũ khí loại j có kho Nj Gọi xj số lượng vũ khí loại j mà máy bay cần mang Bài toán đặt máy bay cần mang loại vũ khí để hàm hiệu suất chiến đấu đạt cực đại: n pj xj P (x) = j=1 n xj j=1 Với ràng buộc n aj xj M j=1 xj Nj , nguyên, (j = 1, 2, , n) ... THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH QUANG NGỌC MỘT PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ TRONG GIẢI BÀI TỐN QUY HOẠCH NGUN PHÂN TUYẾN TÍNH THEO PHƯƠNG PHÁP NHÁNH CẬN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng. .. tuyến tính Một phương pháp hiệu thường sử dụng để giải tốn phương pháp nhánh cận Land-Doig Để giải toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính thơng thường phải tiến hành giải tốn quy hoạch phân tuyến tính. .. toán quy hoạch phân tuyến tính có nhiều, song thuật toán hầu hết cho lời giải chưa nguyên Vì xuất phương pháp cắt, phương pháp nhánh cận để giải toán quy hoạch nguyên, phương pháp thực để giải toán