Một phương pháp xấp xỉ ngoài giải bài toán quy hoạch tuyến tính với hàm mục tiêu có hệ số không âm và ứng dụng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ HỒNG HẠNH MỘT PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ NGOÀI GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VỚI HÀM MỤC TIÊU CÓ HỆ SỐ KHÔNG ÂM VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ HỒNG HẠNH MỘT PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ NGOÀI GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VỚI HÀM MỤC TIÊU CÓ HỆ SỐ KHÔNG ÂM VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN ANH TUẤN THÁI NGUYÊN– 2014 i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận đƣợc sự động viên đóng góp nhiệt tình từ các thầy cô giáo của trƣờng Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo. Đặc biệt tôi gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Anh Tuấn là ngƣời thầy đã đề xuất các hƣớng nghiên cứu, động viên thƣờng xuyên và tận tâm chỉ bảo nghiêm túc về chuyên môn trong suốt thời gian qua để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình, bạn bè và ngƣời thân đã động viên khuyến khích và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 08 năm 2014 Tác giả ii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC ii MỞ ĐẦU iv Chƣơng 1 1 PHƢƠNG PHÁP NÓN XOAY VÀ THUẬT TOÁN NÓN XOAY TUYẾN TÍNH GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VỚI HÀM MỤC TIÊU CÓ HỆ SỐ KHÔNG ÂM 1 1.1. Bài toán quy hoạch tuyến tính 1 1.2. Khái niệm về nón đơn hình tuyến tính, cạnh và phƣơng của nón và Nón – min (nón cực tiểu) 2 1.2.1. Khái niệm về nón đơn hình tuyến tính 2 1.2.2. Khái niệm về cạnh của nón đơn hình 2 1.2.3. Khái niệm nón xoay M(r,s) sinh ra từ nón M 5 1.2.4. §Þnh nghÜa Nón – min (Nón cực tiểu) 7 1.3. Phƣơng pháp nón xoay tuyến tính 8 1.3.1. Thuật toán nón xoay tuyến tính 9 1.3.2. Bảng lặp giải bài toán quy hoạch tuyến tính bởi thuật toán nón xoay tuyến tính và ví dụ minh hoạ 12 1.4. Thuật toán nón xoay giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với hàm mục tiêu có hệ số không âm 17 1.4.1. Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với hàm mục tiêu có hệ số không âm 17 1.4.2 Xây dựng nón – min (nón cực tiểu) xuất phát 18 1.4.3. Thuật toán nón xoay tuyến tính LD giải bài toán quy hoạch tuyến tính với hàm mục tiêu có hệ số không âm 18 iii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1.4.4. Giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với hàm mục tiêu có hệ số không âm bằng thuật toán nón xoay LD dƣới dạng bảng nón xoay thu gọn và các ví dụ minh hoạ 19 1.4.5. Minh hoạ hình học thuật toán nón xoay tuyến tính LD 20 Chƣơng 2 26 ỨNG DỤNG THUẬT TOÁN NÓN XOAY LD GIẢI MỘT VÀI LỚP BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH THƢỜNG GẶP 26 2.1. Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn có tổng các biến bị chặn trên 26 2.1.1. Bài toán 26 2.1.2. Ví dụ minh họa 33 2.2. Thuật toán nón xoay LD giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc khi biết một cơ sở đối ngẫu 36 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 iv Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Bài toán quy hoạch tuyến tính có hai dạng cơ bản là dạng chuẩn và dạng chính tắc, hai dạng này có quan hệ mật thiết với nhau. Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn là bài toán có miền ràng buộc là một hệ bất phương trình tuyến tính với các biến không âm, còn bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc là bài toán quy hoạch có miền ràng buộc là một hệ phương trình tuyến tính với các biến của nó có dấu không âm. Thuật toán đơn hình và đơn hình đối ngẫu do George Dantzig và Lemke đề xuất vào những năm 1947 và 1954 đã giải bài toán quy hoạch tuyến tính ở dạng chính tắc. Nhiều bài toán quy hoạch tuyến tính trên thực tế thường bắt đầu ở dạng chuẩn tắc, do vậy luận văn này trình bày phương pháp nón xoay giải trực tiếp bài toán quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến tính, từ đó xây dựng thuật toán nón xoay tuyến tính giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với hàm mục tiêu có hệ số không âm và một vài ứng dụng của nó. Luận văn gồm 2 chương: Chương 1 trình bày phương pháp nón xoay và thuật toán nón xoay tuyến tính giải bài toán quy hoạch tuyến tính với hàm mục tiêu có hệ số không âm với cơ sở xuất phát ban đầu là gốc tọa độ O(0,0,…,0). Chương 2 trình bày ứng dụng của thuật toán nón xoay tuyến tính trình bày trong chương 1 giải cho hai lớp bài toán quy hoạch tuyến tính thường gặp sau khi đã đưa hai lớp bài toán này về dạng bài toán quy hoạch tuyến tính với hàm mục tiêu có hệ số không âm. Các thuật toán nón xoay trình bày trong luận văn này được xây dựng chi tiết, các bước của thuật toán được trình bày sao cho chúng ta có thể dễ dàng lập trình chuyển sang các chương trình trên máy tính bằng các ngôn ngữ như Pascal, C, Java, Luận văn này hoàn thành dựa trên các tài liệu [5]. [6], và các tài liệu có trong phần tài liệu tham khảo. Tác giả v Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Bùi Thị Hồng Hạnh 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Chƣơng 1 PHƢƠNG PHÁP NÓN XOAY VÀ THUẬT TOÁN NÓN XOAY TUYẾN TÍNH GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VỚI HÀM MỤC TIÊU CÓ HỆ SỐ KHÔNG ÂM Nội dung chƣơng này, chúng tôi trình bày một phƣơng pháp giải bài toán quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phƣơng trình tuyến tính thuộc lƣợc đồ xấp xỉ ngoài (vì nó xuất phát giải từ đỉnh của một nón đơn hình tuyến tính ngoài miền chấp nhận đƣợc) gọi là thuật toán nón xoay tuyến tính [5]. Từ đó trình bày một trƣờng hợp riêng biến thể của nó giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn khi hàm mục tiêu có các hệ số không âm, đây là lớp bài toán thƣờng hay gặp trong thực tế. 1.1. Bài toán quy hoạch tuyến tính XÐt bài toán quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phƣơng trinh tuyến tính sau: 1 ( ) , . min () : : , 0, 1,2, , n ii i ni Li f x C x c x L x P x A x b i mR x n R , A i là véc tơ dòng và A i n R , m n, A i (a i1 , a i2 , , a in ) ≠ O(0,…,0) , C(c 1 , c 2 ,…, c n ), b i 1 R , i=1, 2, , m. Hạng của hệ A i (i=1, 2, …, m) bằng n, giả thiết này rất bình thƣờng bởi miền ràng buộc P L của bài toán quy hoạch tuyến tính nói chung bao giờ cũng có ràng buộc về dấu của biến x. 2 S húa bi Trung tõm Hc liu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1.2. Khỏi nim v nún n hỡnh tuyn tớnh, cnh v phng ca nún v Nún min (nún cc tiu) 1.2.1. Khỏi nim v nún n hỡnh tuyn tớnh Xột tp M đ-ợc xác định từ n ràng buộc tuyến tính nào đó của P L , cụ thể là: M:={x n R : <A i , x>+ b i 0 i I} (1.1) trong đó I:= 12 , , , n i i i {1, 2, , m}, /I/ = n ( õy /I/ l s o hay l s phn t ca tp I) và A i vi i I là một h độc lập tuyến tính. Tp M gi l nún n hỡnh tuyn tớnh ca h rng buc P L với đỉnh x M là nghiệm (đ-ợc xác định) tho món hệ sau: <A i , x>+ b i = 0, i I (1.2) H vộc t A i với i I c gi l c s ca nún M, hay cũn gi l c s ca nh x M . Tp I gi l tp ch s ca c s ca nún M. 1.2.2. Khỏi nim v cnh ca nún n hỡnh Vi mi i I, tp hp cỏc im x R n tha món h: <A r , x>+ b r = 0, r I\{i} (1.3) gi l ng thng i ca nún M. Tp cỏc im x tho món h: , 0, \ ,0 r r i i A x b r I i A x b gi l cnh i ca nún M. Vi mi i (i I), Véc tơ i M z (i I), xác định bởi h: , 0, , ,1 ri M ii M A z r I r i Az (1.4) gi l vộc t ch phng ca cnh i ca nún M. 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Đỉnh x M của nón M có thể xác định từ (1.2), trong trƣờng hợp biết hệ véc tơ chỉ phƣơng i M z (i I) thì chúng ta có thể sử dụng công thức sau: . Mi iM iI x b z (1.5) [...]... là một lời giải của bài toán (L), 2 Nếu J+(xk) , ta chn ch s a vo c s theo mt trong hai cỏch sau: Ta chn sk l mt ch sụ tu ý thuc J+(xk) hoc ta chn sk=min{j:j J+(xk)} (gi l quy tc chn min) hoc sk = max{j: j J+(xk) (gi l quy tc chn max) và xác định: I sk : i (1.19) I sk : i i I sk : Ask , zk i I k : Ask , zk 0 0 ; iskk 1, iskk 2 , , iskk qk , (1.20) 2.1 Nếu I sk = thì dừng lại, suy ra bài toán (L) không. .. thúc sau một số hữu hạn b-ớc lặp (không xảy ra xoay vòng) Điều này đ-ợc chứng minh bởi định lý sau Định lý 1.6 Gii bi toỏn (L) theo thuật toán nún xoay vi ch s chn a vo c s l sk = min{j: j J+(xk)} (hoc sk = max{j: j s tng ng l rk(sk)= min{v: v J+(xk)}) v ch s chn a ra khi c V sk } (hoc tng ng l rk(sk)= max{v: v V sk }) s kết thúc sau một số hữu hạn b-ớc lặp và cho ta lời giải của bài toán (L), hoặc... M0 là nón - min của bài toán (L) vi tp 0 0 ch s c s l I0:={ i10 , i2 , , in }, x0 = x M0 là đỉnh của M0 và các véc tơ chỉ ph-ơng i i ca cỏc cnh i ca nún M0 l z0 = z M 0 (i I0) B-ớc k ( k=0, 1, 2, ) Giả sử Mk là nón - min của bài toán (L) (đã đ-ợc xây dựng), vi tập chỉ số c s , đỉnh và các véc tơ chỉ ph-ơng ca cỏc cnh ca nún Mk t-ơng i k k i ứng là Ik:= i1k , i2 , , in ; xk = x M k và zk = z M k Xác... i t-ơng ứng là Ik:= i1k , i2 , , in ; xk = x M k và zk = z M k Xác định tập J+(xk) theo (1.6): J ( x k ) : 1 Nếu J+(xk) = 2 Nếu J+(xk) 1,2, , m : A j , x k j bj 0 thì dừng lại xk chính là một lời giải của bài toán (M), , ta chn ch s a vo c s theo mt trong hai cỏch sau: Ta chn sk l mt ch sụ tu ý thuc J+(xk) hoc ta chn sk=min{j:j J+(xk)} (gi l quy tc chn min) hoc sk = max{j: j J+(xk) (gi l quy tc chn... r ,s ) c xỏc nh bi (1.15) 1.2.4 Định nghĩa Nún min (Nún cc tiu) Nón đơn hình tuyến tính M với đỉnh là xM đ-ợc gọi là nón - min của hm f(x)= ca bi toỏn (L) nếu f(xM) f(x) , x M Ta nói M là một nón - min của bài toán (L) khi M l mt nún min ca hm mc tiờu f ca bi toỏn (L) Gi s M l mt nún n hỡnh xỏc nh t h (1.1) nh l xM, với véc tơ ch i phng ca cnh i l zM (i I), xác định bởi (1.4), ta cú nh lý sau... dng cú b 1.3 di õy v do ú dễ thấy nón xoay Mk+1 đ-ợc xây dựng (trong thut toỏn) sinh ra t nún-min Mk vẫn là một nón - min của bài toán (L) 2) Sự lựa chọn ch s a vo sk = min{j: j J+(xk)} v ch s a ra rk = min{v: v Vks } sẽ làm cho thuận toán đề nghị trên kết thúc sau một số hữu hạn b-ớc lặp (không xảy ra xoay vòng) Điều này đ-ợc chng minh bởi định lý 1.6 di õy 3) Cụng thc (1.23) gi l cụng thc xoay c... toán (L), hoặc phát hiện ra miền ràng buộc PL của bài toán (L) là rỗng Chng minh nh lý ny cú th tỡm thy trong [5] nh lý ny vn ỳng khi gii bi toỏn quy hoch gn li-gn lừm theo thut toỏn nún-min ó c chng minh trong [6] Nm 1977 RG Bland ó xut quy tc trỏnh xoay vũng tng t nh trờn cho vic gii bi toỏn quy hoch tuyn tớnh dng chớnh tc 1.3.2 Bng lp gii bi toỏn quy hoch tuyn tớnh bi thut toỏn nún xoay tuyn tớnh... sk = max{j: j J+(xk) (gi l quy tc chn max) và xác định: I sk : i i I k : Ask , zk 0 ; I sk : i i I sk : Ask , zk 0 iskk 1, iskk 2 , , iskk qk , 18 S húa bi Trung tõm Hc liu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 2.1 Nếu I sk = thì dừng lại, suy ra bài toán (L) không có ph-ơng án 2.2 Nếu I sk : v C , zk v Ask , zk V sk :={ v I sk : Gọi min{ sk i I i C , zk }} i Ask , zk và chn ch s a ra khi c s theo mt trong hai... J+(xM):= {j {1, 2, , m}: + bj > 0} (1.6) Rõ ràng khi J+(xM) = thì xM chính là một điểm chấp nhận của bài toán (L) Chúng ta giả sử J+(xM) Với mỗi s i Is := {i I: < As, z M > 0} I: i I0 := {i I: < As, z M > = 0} } J+(xM), chúng ta ký hiệu nh- sau: i1, i2 , , in I: (1.7) i1, i2 , , in (1.8) Ta thy: I = I0 I s Với mỗi i i Is thì đ-ờng thẳng x=xM+ z M sẽ giao vi siêu phẳng + bs=0 xi = xM... M(r,s) xỏc nh t (1.12) cng là một nón - min ca hm mc tiờu bài toán (L) Chứng minh (xem [5]) nh x M ( r ,s ) ca nún xoay M(r,s) cũn cú th xỏc nh cụng thc sau õy khi bit cỏc vộc t ch phng cỏc cnh ca nún xoay M(r,s): x M ( r ,s ) i bi zM ( r ,s ) (1.18) i I ( r ,s ) Phần d-ới đây chúng ta sẽ xõy dng thut toỏn nún xoay gii bi toỏn (L) da vo cơ sở lý thuyt trỡnh by cỏc phn trờn và định lý 1.5 1.3 Phng phỏp . toán nón xoay giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với hàm mục tiêu có hệ số không âm 17 1.4.1. Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với hàm mục tiêu có hệ số không âm 17 1.4.2. THỊ HỒNG HẠNH MỘT PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ NGOÀI GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VỚI HÀM MỤC TIÊU CÓ HỆ SỐ KHÔNG ÂM VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 . chuẩn với hàm mục tiêu có hệ số không âm và một vài ứng dụng của nó. Luận văn gồm 2 chương: Chương 1 trình bày phương pháp nón xoay và thuật toán nón xoay tuyến tính giải bài toán quy hoạch tuyến