Một phương pháp xấp xỉ trong giải bài toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính theo phương pháp nhánh cận và ứng dụng

61.2.2 Một vài tính chất của bài toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến tính 71.3 Thuật toán nón xoay xấp xỉ trong giải bài toán quy hoạch phân tu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐINH QUANG NGỌC

MỘT PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ TRONG GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH NGUYÊN PHÂN TUYẾN TÍNH THEO PHƯƠNG PHÁP NHÁNH CẬN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐINH QUANG NGỌC

MỘT PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ TRONG GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH NGUYÊN PHÂN TUYẾN TÍNH THEO PHƯƠNG PHÁP NHÁNH CẬN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN ANH TUẤN

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

1 Bài toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất

1.1 Một số bài toán thực tế đưa về bài toán quy hoạch phân tuyến

tính và quy hoạch nguyên phân tuyến tính 31.1.1 Bài toán vận tải phân tuyến tính 41.1.2 Bài toán cực tiểu giá thành sản phẩm 41.1.3 Bài toán cực đại hiệu suất tiêu diệt mục tiêu địch 51.2 Bài toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc là hệ

bất phương trình tuyến tính và một vài tính chất của nó 61.2.1 Bài toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc

là hệ bất phương trình tuyến tính 61.2.2 Một vài tính chất của bài toán quy hoạch phân tuyến

tính với miền ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến tính 71.3 Thuật toán nón xoay xấp xỉ trong giải bài toán quy hoạch phân

tuyến tính 101.3.1 Khái niệm về nón đơn hình tuyến tính 111.3.2 Khái niệm về cạnh và phương của cạnh của nón đơn hình 111.3.3 Khái niệm nón xoay M(r,s) sinh ra từ nón M 181.3.4 Dấu hiệu tối ưu (Điều kiện tối ưu): 22

1.3.5 Thuật toán nón xoay xấp xỉ trong giải bài toán quy

hoạch phân tuyến tính 231.4 Bảng lặp giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính bởi thuật toán

PTT 251.5 Thuật toán nón xoay tìm một nghiệm của hệ bất phương trình

tuyến tính 301.5.1 Thuật toán nón xoay tìm một nghiệm của hệ bất phương

trình tuyến tính với cơ sở xuất phát từ gốc toạ độ là đỉnhcủa nón Rn

+ 311.5.2 Bảng lặp tìm một nghiệm của hệ bất phương trình tuyến

tính với cơ sở xuất phát từ gốc toạ độ là đỉnh của nón Rn

+ 32

2 Thuật toán nhánh cận xấp xỉ trong giải bài toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến

2.1 Bài toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính với miền ràng buộc

là hệ bất phương trình tuyến tính và thuật toán Land-Doig 342.1.1 Bài toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính 352.1.2 Thuật toán Land-Doig giải bài toán quy hoạch nguyên

phân tuyến tính 362.2 Thuật toán nhánh cận xấp xỉ trong giải bài toán quy hoạch

nguyên tuyến tính 402.3 Minh họa ứng dụng thuật toán nhánh cận xấp xỉ trong ILF giải

bài toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính có số chiều nhỏ với

miền ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến tính 42

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 04 năm 2015

Học viên

Đinh Quang Ngọc

Mở đầu

Nhiều bài toán thực tế trong kinh tế cũng như trong toán học, thường gặptrong lý thuyết trò chơi, trong công nghiệp hóa chất, trong cắt nguyên vật liệu,trong mạng vận tải và trong định giá thành sản phẩm, dẫn đến chúng taphải đi giải các bài toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính Một phương pháphiệu quả thường sử dụng để giải bài toán này đó là phương pháp nhánh cậnLand-Doig

Để giải bài toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính thông thường là chúng taphải tiến hành giải các bài toán quy hoạch phân tuyến tính tương ứng khi chưa

có điều kiện nguyên của biến với các ràng buộc bổ sung dạng bất phương trìnhcho các thành phần của biến Rõ ràng khi sử dụng phương pháp nhánh cận để đitìm các cận dưới tốt hơn (đối với bài toán min) cho bài toán quy hoạch nguyênthì ta thường phải giải các bài toán tương ứng khi chưa có điều kiện nguyênvới miền ràng buộc được bổ sung thêm sau mỗi bước một ràng buộc dạng bấtphương trình đối với thành phần chưa nguyên của biến

Các thuật toán giải bài toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính với miền ràngbuộc là hệ phương trình tuyến tính với các biến không âm đã có nhiều thuật toángiải tương tự như thuật toán đơn hình trong quy hoạch tuyến tính (xem [2], [8]).Tuy nhiên trên thực tế bài toán thường có miền ràng buộc là hệ bất phương trìnhtuyến tính Do đó việc sử dụng các thuật toán giải trực tiếp bài toán quy hoạchphân tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến tính là khá ưuviệt và hiệu quả hơn (vì không phải thêm vào các biến bù) khi ta phải đi giảichúng bởi các phương pháp mà miền ràng buộc đòi hỏi ở dạng chính tắc (tức

là miền ràng buộc là hệ phương trình tuyến tính đối với các ràng buộc chính).Chính vì vậy, luận văn này trình bày việc xây dựng một thuật toán xấp xỉ trong

giải bài toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bấtphương trình tuyến tính và khai thác đặc thù riêng của hàm mục tiêu có tính đơnđiệu chứng minh bài toán nếu có lời giải thì nó có lời giải đạt ở biên của miềnchấp nhận, do đó trong mỗi bước để tìm các cận dưới đúng của bài toán nguyên,chúng ta chỉ phải đi giải các bài toán quy hoạch tuyến tính tương ứng khi chưa

có điều kiện nguyên có số chiều là n − 1 (n là số chiều của bài toán) Như vậythuật toán sẽ hiệu quả khi giải bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính dạng chuẩn

Chương 1

Bài toán quy hoạch phân tuyến tính với miền

ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến tính và thuật toán giải

Như chúng ta đã biết, nhiều bài toán thực tế trong kinh tế cũng như trongtoán học, thường gặp trong lý thuyết trò chơi, trong công nghiệp hóa chất, trongcắt nguyên vật liệu, trong mạng vận tải và trong định giá thành sản phẩm, đều có mô hình toán học dạng các bài toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính

Vì vậy nội dung của chương này sẽ giới thiệu một số mô hình thực tế có dạngbài toán này và sau đó trình bày thuật toán xấp xỉ trong giải bài toán quy hoạchphân tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến tính, làm cơ sở

để xây dựng thuật toán giải bài toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính với miềnràng buộc là hệ bất phương trình tuyến tính trình bày trong chương 2

1.1 Một số bài toán thực tế đưa về bài toán quy hoạch phân

tuyến tính và quy hoạch nguyên phân tuyến tính

Sau đây chúng ta trình bày một số mô hình bài toán thực tế có dạng bài toánquy hoạch phân tuyến tính và bài toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính vớimiền ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến tính

1.1.1 Bài toán vận tải phân tuyến tính

Có m trạm phát (kho hàng gồm các loại hàng như: ti vi, tủ lạnh, máy giặt, ) Ai(i = 1, 2, , m) Mỗi trạm Aicó thể cung cấp tối đa ai đơn vị hàng Có

ntrạm thu (nơi có nhu cầu về hàng) Bj(j = 1, 2, , n) Mỗi trạm thu Bj cầnphải được đáp ứng tối thiểu bj đơn vị hàng pij là lợi nhuận (lãi suất) mà công tyvận tải thu được khi vận chuyển một đơn vị hàng từ trạm phát Ai đến trạm thu

Bj, dij là chi phí vận chuyển một đơn vị hàng từ trạm phát Ai đến trạm thu Bj,Các lợi nhuận khác và các chi phí khác ngoài vận chuyển được xác định bằngcác hằng số p0 và d0 Gọi xij là lượng hàng cần vận chuyển trạm phát Ai đếntrạm thu Bi Ta có bài toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính sau đây gọi là bàitoán vận tải phân tuyến tính:

1.1.2 Bài toán cực tiểu giá thành sản phẩm

Một loại sản phẩm được sản xuất theo các phương pháp Tj(j = 1, 2, , n).Gọi pj là năng suất của phương pháp Tj (tức là số lượng sản phẩm được sản

xuất trong mỗi đơn vị thời gian), rj là chi phí trong một đơn vị thời gian đối vớiphương pháp Tj, xj là số đơn vị thời gian sản xuất theo phương pháp Tj Nhưvậy giá thành một sản phẩm là

1.1.3 Bài toán cực đại hiệu suất tiêu diệt mục tiêu địch

Một máy bay chiến đấu mang vũ khí với tải trọng là M Trong kho vũ khí

có n loại (bom, tên lửa, rốc két, ) Máy bay phải mang vũ khí đến đánh mộtmục tiêu của địch, trọng lượng mỗi đơn vị vũ khí loại j là aj (j = 1, 2, , n).Xác suất tiêu diệt mục tiêu địch (trúng mục tiêu) của một đơn vị vũ khí loại j

là pj, số lượng vũ khí loại j có trong kho là Nj Gọi xj là số lượng vũ khí loại j

mà máy bay cần mang Bài toán đặt ra là máy bay cần mang mỗi loại vũ khí làbao nhiêu để hàm hiệu suất chiến đấu dưới đây đạt cực đại:

1.2 Bài toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc

là hệ bất phương trình tuyến tính và một vài tính chất của nó

Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày bài toán quy hoạch phân tuyến tínhvới miền ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến tính và một và tính chất cầnthiết cho việc xây dựng thuật toán giải bài toán này khi nó có điều kiện nguyên,những tính chất đề cập ở đây là tính đơn điệu của hàm mục tiêu của bài toán trênđoạn thẳng và tính đạt trên biên của ràng buộc bổ sung vào bài toán trong trườnghợp tái tối ưu hóa, tính chất này rất quan trọng vì sự khẳng định này sẽ làm chochúng ta khi đi tìm cận dưới đúng của các bài toán quy hoạch phân tuyến tínhtương ứng (chưa có điều kiện nguyên) sẽ khá hiệu quả, cụ thể là chúng ta khigiải các bài toán này để tìm cận dưới đúng chỉ phải giải các bài toán quy hoạchphân tuyến tính có số chiều là n − 1

1.2.1 Bài toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc là

là các vectơ dòng bi ∈ R1 Hạng của hệ Ai(i = 1, 2, , m) bằng n, (m > n),giả thiết này rất bình thường bởi miền ràng buộc P của bài toán quy hoạch phântuyến tính bao giờ cũng có ràng buộc về dấu của biến x Giả thiết P là một đa

diện và L2(x) 6= 0trên P và không mất tính tổng quát giả sử L2(x) > 0trên P ,

vì nếu L2(x) < 0trên P thì ta có thể viết f(x) = L1(x)

1.2.2 Một vài tính chất của bài toán quy hoạch phân tuyến tính

với miền ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến tính

Với các giả thiết của bài toán ở trên chúng ta phát biểu các tính chất của bàitoán này dưới dạng các định lí

Tính đơn điệu của hàm mục tiêu bài toán LFP

Định lí 1.1 Hàm f (x) = L1(x)

L2(x) là hàm đơn điệu trên mỗi đoạn thẳng nằm

trọn trong D, trừ ra tại những điểm {x ∈ D|L2(x) = 0} hàm f (x) không xác

Tính tái tối ưu hóa của bài toán LFP

Xét bài toán qui hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phươngtrình tuyến tính sau:

n, giả thiết này rất bình thường bởi vì miền ràng buộc PT của bài toán quy hoạchtuyến tính thông thường có ràng buộc về dấu của biến x

Giả sử chúng ta đã biết một lời giải của bài toán (T ) là

và các vectơ chỉ phương của các cạnh của nón M∗ là zi

M∗, ∀i ∈ I∗ Bây giờ tathêm vào miền ràng buộc PT của bài toán (T ) ràng buộc sau:

< AN +1, x > +bN +1 6 0 (1.5)Khi đó nếu xM∗ thoả mãn (1.5) thì nó cũng là một lời giải của bài toán (T ) cóthêm ràng buộc bổ sung (1.5), nếu ngược lại mà

< AN +1, xM∗ > +bN +1 > 0 (1.6)Thì chúng ta gọi bài toán sau đây là bài toán tái tối ưu hoá của bài toán (T ):(T∗)

Rõ ràng để giải bài toán (T∗)mà sử dụng phương pháp đơn hình thì chúng ta

sẽ không khai thác được thông tin về việc đã biết lời giải của bài toán (T ) Cònnếu chúng ta sử dụng phương pháp nón xoay xấp xỉ trong P T T trình bày trongmục 1.3 dưới đây để giải bài toán (T∗) thì sẽ khai thác được thông tin (1.5) và(1.6) nói trên Đồng thời chúng ta sẽ đề ra một quy tắc ưu tiên chọn chỉ số đưa

ra khỏi cơ sở một cách hợp lý làm cho thuật toán P T T trở nên hiệu quả hơn khigiải bài toán tái tối ưu hoá (T∗)

Định lý tái tối ưu hoá:

Nếu xM∗ là một lời giải của bài toán (T ), nhưng nó không phải là phương

án của bài toán (T∗) và bài toán (T∗) có phương án, thì bài toán (T∗) luôn có

phương án tối ưu x∗ thoả mãn:

< AN +1, x∗ > +bN +1 = 0

Chứng minh. Ta thấy PT ⊃ PT∗ và do xM∗ là một lời giải của (T ) nên:

f (xM∗) 6 f (x), ∀x ∈ PT ⇒ f (xM ∗) 6 f (x), ∀x ∈ PT ∗

Điều này có nghĩa là trên miền PT ∗ hàm mục tiêu bài toán (T∗) bị chặn dưới

và nó có phương án thì nó phải có phương án tối ưu Giả sử x1 là một phương

án tối ưu của bài toán(T∗), vậy dễ thấy:

⇒ f (xM∗) 6 f (x1)i) Nếu < AN +1, x1 > +bN +1 = 0 thì ta có ngay điều phải chứng minh

x(α1) = α1xM∗ + (1 − α1)x1 (1.8)

Dễ dàng kiểm tra thấy:

< AN +1, x(α1) > +bN +1 = 0 (1.9)Lại từ (1.6), (1.7) dễ dàng thấy α1 ∈ (0, 1)và vì xM∗, x1tương ứng là phương

án của các bài toán (T ) và (T∗)nên ta có:

< Ai, x(α1) > +bi = α1[< Ai, xM∗ > +bi]+(1−α1)[< Ai, x1 > +bi] 6 0,

∀i = 1, 2, , N

Hay

< Ai, x(α1) > +bi 6 0, ∀i = 1, 2, , N (1.10)Vậy từ (1.9) và (1.10) suy ra x(α1)là một phương án của bài toán (T∗)Mặt khác

do tính đơn điệu của hàm phân tuyến tính nên ta có:

1.3 Thuật toán nón xoay xấp xỉ trong giải bài toán quy

hoạch phân tuyến tính

Chúng ta đã biết đối với bài toán quy hoạch phân tuyến tính (Linear-fractionalprogramming) dạng “chính tắc” với các ràng buộc chính là hệ phương trình

tuyến tính trong Rn, thì khi biết một phương án cực biên chấp nhận được của nóchúng ta có thể giải bài toán bằng thuật toán tương tự như thuật toán đơn hình(xem [2] , [8]) Sau đây chúng ta từ khái niệm nón xoay tuyến tính trình bày trong[5], xây dựng một thuật toán xấp xỉ trong giải trực tiếp bài toán quy hoạch phântuyến tính dạng chuẩn với các ràng buộc chính là hệ bất phương trình tuyến tínhtrong Rn Rõ ràng việc giải trực tiếp bài toán quy hoạch với các ràng buộc chínhcủa miền chấp nhận được là hệ bất phương trình tuyến tính có những ưu điểm

là giải bài toán khi các ràng buộc chính của miền chấp nhận được là hệ phươngtrình tuyến tính, bởi vì như vậy số chiều bài toán không tăng lên do phải thêmvào các biến bù

1.3.1 Khái niệm về nón đơn hình tuyến tính

Xét tập M xác định từ n ràng buộc tuyến tính của P , cụ thể là:

M := {x ∈ Rn :< Ai, x > +bi 6 0, i ∈ IM} (1.12)trong đó IM := {i1, i2, , in} ⊂ {1, 2, , m}, |IM| = n(ở đây |IM|là số đo hay

1.3.2 Khái niệm về cạnh và phương của cạnh của nón đơn hình

Với mỗi i ∈ IM, tập hợp các điểm x ∈ Rn thỏa mãn hệ:

< Ar, x > +br = 0, ∀r ∈ IM\ {i} (1.14)

gọi là đường thẳng i của nón M.

Với mỗi i(i ∈ IM), vectơ zi

gọi là vectơ chỉ phương của cạnh i của nón M

Đỉnh xM của nón M có thể xác định từ (1.13), trong trường hợp biết hệvectơ chỉ phương zi

M(i ∈ IM)thì chúng ta có thể sử dụng công thức sau:

i∈I M

Định lí 1.2 Nếu xM là đỉnh của nón đơn hình M được xác định từ (1.13), và

hệ vectơ chỉ phương zMi (i ∈ IM) của cạnh i của nón M xác định từ (1.15) thì

M (i ∈ IM)thì

M với i ∈ IM là một hệ phụ thuộc tuyến tính Khi đó sẽ tồn tại mộttrong n vectơ của hệ được biểu diễn tuyến tính qua các vectơ còn lại như sau:

Mặt khác vì x là một điểm của nón đơn hình M, từ (1.18) và (1.15) ta suy ra vớimỗi r ∈ IM:

Từ định lí này, chúng ta có thể định nghĩa khác về nón đơn hình M như sau:

Định nghĩa 1.1 Cho trước một điểm xM và n vectơ độc lập tuyến tính z1

M, z2

M, , zn

M, zM2 , , zMn gọi là các vectơ chỉ phươngcủa n cạnh của nón đơn hình M Và chúng ta nói rằng nón đơn hình M đượcxác định hay là được sinh ra từ hệ gốc cơ sở xM, zM1 , zM2 , , zMn Giả sử M

là một nón đơn hình tuyến tính xác định bởi (1.12), đỉnh là xM Nó được gọi lànón không thoái hóa của miền ràng buộc P nếu

< Ai, xM > +bi 6= 0, ∀i = {1, 2, , m} \IM (1.19)Nếu xM ∈ P tức là:

< Ai, xM > +bi 6 0, ∀i = {1, 2, , m}

thì nón đơn hình tuyến tính M gọi là nón đơn hình tuyến tính chấp nhận đượccủa P hay còn gọi là nón đơn hình chấp nhận được của P Vậy nếu nón đơnhình chấp nhận được của P là không thoái hóa thì ta có

< Ai, xM > +bi < 0, ∀i = {1, 2, , m} \IM (1.20)

Bài toán quy hoạch phân tuyến tính (LF P ), gọi là không thoái hóa nếu tất cảcác đỉnh của các nón đơn hình chấp nhận được của P là không thoái hóa Từnay về sau ta giả thiết bài toán (LF P ) là bài toán không thoái hóa Giả sử M làmột nón đơn hình chấp nhận được của P nó được xác định bởi (1.12) Ta gọi:

Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng, giả sử ngược lại tồn tại j0 ∈ JM,

∀i ∈ IM ta có: JM(i) = ∅ ⇔< Aj0, zMi >= 0, từ đây suy ra Aj0 = O(0, 0, , 0)

vì hệ vectơ chỉ phương của các cạnh của nón đơn hình M là một hệ độc lập tuyếntính (theo giả thiết), điều này mâu thuẫn với Aj0 6= O(0, 0, , 0)

Định lí 1.6 Nếu m > n, thì ∀i ∈ IM bao giờ cũng tồn tại j ∈ JM(i) sao cho

M là nghiệm của (1.15) nên ta có: ∀j ∈ IM và j 6= r thì

0 6 αsi 6 αji, ∀j ∈ JM+(i) (1.27)

Định lí 1.7 Nếu xM là một điểm chấp nhận được của P thì ∀i ∈ IM, ∀s ∈ S(i)

điểm xsl = xM + αsi.zMi cũng là một điểm chấp nhận được của P

M(i)thì

< Aj, xsi > +bj =< Aj, xM + αsi.zMi > +bj

< Aj, xsi > +bj 6 0, ∀j = 1, 2, , m Điều này chứng tỏ xsi là một điểmchấp nhận được của P

1.3.3 Khái niệm nón xoay M(r,s) sinh ra từ nón M

Giả sử M là một nón đơn hình tuyến tính của P xác định bởi (1.12), khi đóvới mỗi r ∈ IM, và với mỗi s ∈ J(xM)và s ∈ JM(r) ta gọi

xM (r,s) = xsr = xM + αsr.zMr (1.36)trong đó αs

Điều này mâu thuẫn với < As, zMr >6= 0 (vì s ∈ JM(r))

Bổ đề này cho ta thấy nón xoay M (r, s) vẫn là một nón đơn hình

Các vectơ chỉ phương zi

M (r,s), i ∈ IM (r, s)của nón xoay mới M (r, s) đượcxác định từ (1.15) với tập chỉ số cơ sở mới IM (r, s), hoặc xác định từ một trongcác công thức đơn giản dưới đây theo các zi

M, zMr (xác định từ (1.15)) với i, rthuộc IM là tập chỉ số của cơ sở cũ:

Bổ đề 1.2 Giả sử M là nón đơn hình xác định bởi:

M := x ∈ Rn :< Ai, x > +bi 6 0, i ∈ IM với các vectơ chỉ phương zi

M của các cạnh xác định theo (1.7), ∀i ∈ IM đường thẳng x = xM + αi.zMi cắt siêu phẳng < As, x > +bs = 0 tại các giao điểm xsi xác định theo (1.a), (1.b) Khi

đó nón xoay mới M (r, s) có đỉnh là xM (r,s) = xsr xác định từ (1.36) với cơ sở tương ứng là IM (r, s) = (IM ∪ {s} \ {r}) và các vectơ chỉ phương của các

cạnh tương ứng là zM (r,s)i được xác định bởi (1.37).

Chứng minh. Ta có với mỗi i ∈ IM thì:

r

M >=< Aj, zMi > −α

s r

αis < A

j, zMr >= 0Vậy < Aj, zM (r,s)i >= 0, ∀j ∈ IM (r,s), j 6= i

Còn < Ai, zM (r,s)i >=< Ai, zMi > −α

s r

αsi < A

i, zMr >=< Ai, zMi >= −1Tóm lại ta có:

1.3.4 Dấu hiệu tối ưu (Điều kiện tối ưu):

Giả sử bài toán (LF P ) là không thoái hóa và M là một nón đơn hình tuyếntính không thoái hóa và chấp nhận được của P xác định bởi (1.12), với tập chỉ

số cơ sở là IM, đỉnh là xM, các vectơ chỉ phương của các cạnh i của nón M là

zMi (i ∈ IM) Do M nón là một nón không thoái hóa nên với ∀ε > 0 đủ nhỏ thìcác điểm xi(ε) = xM + ε.zMi ∈ P, ∀i ∈ IM, ta xét hiệu:

∆i =< A0, zMi > L2(xM)− < C0, zMi > L1(xM) (1.46)

Vì ε > 0; [< C0, xsi > +d0] > α > 0; [< C0, xM > +d0] > α > 0 nên ta

có hai khả năng:

f xi(ε)
− f xM
> 0 ⇔ ∆i > 0, tức zi là một hướng không giảm của f

f (xi(ε)) − f (xM) < 0 ⇔ ∆i < 0, tức zi là một hướng giảm của f

Vậy từ kết quả trên ta có các kết luận sau về điều kiện tối ưu:

1) Nếu ∆i > 0, ∀i ∈ IM thì dọc theo tất cả các cạnh của nón M, hàm mụctiêu của bài toán (LF P ) đều không giảm, vậy xM là một lời giải của bài toán.2) Nếu tồn tại ít nhất một ∆i < 0 thì dọc theo cạnh i này của nón M, hàmmục tiêu của bài toán (LF P ) sẽ giảm thực sự Từ những kết luận này ta xâydựng thuật toán giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính với ý tưởng như sau:Giả sử biết một nón đơn hình chấp nhận được M của bài toán (LF P ), ta kiểmtra điều kiện tối ưu nêu trên, nếu thỏa mãn thì xM là lời giải của bài toán (LF P )

Ngược lại, ta chuyển đến một nón xoay đơn hình M (r, s) mới từ nón cũ M, vàlặp lại quá trình kiểm tra điều kiện tối ưu với nón xoay mới này tương tự nhưđối với nón xoay M, và giá trị của hàm mục tiêu tại đỉnh của nón mới được cảitiến tốt hơn thực sự Quá trình này thực hiện sau một số hữu hạn bước lặp ta sẽnhận được lời giải của bài toán (LF P )

1.3.5 Thuật toán nón xoay xấp xỉ trong giải bài toán quy hoạch

phân tuyến tính

Thuật toán PTT:

Bước chuẩn bị (bước 0):

Giả sử ta đã biết M0 là một nón đơn hình chấp nhận được của bài toán(LF P )với tập chỉ số cơ sở là I0 := i0

1, i02, , i0n , x0 = xM0 là đỉnh của M0 vàcác vectơ chỉ phương của các cạnh i của nón M0 là zi

1, ik2, , ikn ; xk = xMk và zi

k = zMi k

Từ (1.38), tính ∆k

i =< A0, zki > L2(xk)− < C0, zki > L1(xk), ∀i ∈ IkGọi I−

số lớn nhất) trong chúng (ta gọi là quy tắc chọn min hoặc max).

Xây dựng nón xoay Mk+1 = Mk(rk, sk)sinh ra từ nón Mk (xem mục 1.3.3)với tập chỉ số cơ sở Ik+1 = (Ik ∪ {sk}) \ {rk}, các vectơ chỉ phương zi

k+1 xácđịnh theo (1.37)

Vì miền ràng buộc P compact khác rỗng và không thoái hóa nên thuật toántrên sẽ kết thúc sau hữu hạn bước lặp, và ta dễ dàng có định lí sau:

Định lí 1.9 Với mọi bước lặp k ta luôn có αs k

r k > 0

Một số chú ý:

1) Công thức (1.37) gọi là công thức xoay cơ sở và phần tử < Ask, zrk

k >được gọi là phần tử xoay, nó là trung tâm để đổi các vectơ chỉ phương zi

k của hệ

cơ sở cũ sang hệ cơ sở mới zi

k+1

2) Trong trường hợp khi L2(x) ≡ 1 (tức C0 ≡ O (0, 0, , 0) và d0 = 1 )thì thuật toán giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính trên sẽ trở thành một thuậttoán giải trực tiếp bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với điều kiện tối ưusuy ra từ mục 1.3.4 đơn giản và ngắn gọn là ∆k

i =< A0, zki >> 0, ∀i ∈ Ik

3) Trong trường hợp bài toán P bị thoái hóa, tức là αs k

r k = 0 thì thuật toánvẫn thực hiện sau hữu hạn bước lặp bởi quy tắc chọn chỉ số đưa ra và đưa vàotheo quy tắc chọn min hoặc max

1.4 Bảng lặp giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính bởi

thuật toán PTT

Để thuận tiện cho tính toán, tại mỗi bước lặp k = 0, 1, 2, , ta lập bảng dướiđây để giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính (LF P ) gọi là bảng lặp nón xoaythu gọn và trong trường hợp đặc biệt khi hàm phân tuyến là hàm tuyến tính thìbảng lặp nón xoay sẽ cho ta giải trực tiếp bài toán quy hoạch tuyến tính dạngchuẩn

Ví dụ 1.1 Giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính sau: