dụng
Chúng ta đã biết việc giải bài toán quy hoạch tuyến tính tương đương với việc tìm một nghiệm của hệ bất phương trình tuyến tính. Vậy nếu chúng ta có được một thuật tốn hiệu quả để tìm được một nghiệm của hệ bất phương trình tuyến tính thì có nghĩa là chúng ta đã có được một thuật tốn hiệu quả để giải bài tốn quy hoạch tuyến tính. Để minh chứng cho điều này, sau đây chúng ta sẽ thấy một biến dạng của phương pháp nón xoay giải bài tốn quy hoạch tuyến tính trình bày ở chương 2 đã cho chúng ta một thuật tốn tìm nghiệm chấp nhận của hệ bất phương trình tuyến tính và từ đó ta có thể ứng dụng nó giải đồng thời hai bài tốn quy hoạch tuyến tính gốc và đối ngẫu bất kỳ với cơ sở xuất phát ban đầu từ gốc toạ độ.
Rõ ràng khi hàm mục tiêu của bài tốn quy hoạch tuyến tính có hệ số của hàm mục tiêu là vectơ C = 0, thì f(x) =< C, x >≡ 0,∀x ∈ Rn, vậy mọi nón đơn hình bất kỳ trong Rn đều có thể coi là nón - min của hàm mục tiêu bài tốn (L) trong chương 2. Do đó trong trường hợp này
thuật tốn nón xoay tuyến tính đề nghị trong chương 2, trở thành một thuật tốn tìm một điểm chấp nhận của miền ràng buộcPL của bài tốn
(L). Hay nói cách khác, chúng ta có được một thuật tốn tìm nghiệm
chấp nhận của hệ bất phương trình tuyến tính. Nếu hệ bất phương trình có ít nhất một nghiệm chấp nhận tức là có ít nhất một điểm thuộc Rn
thoả mãn tất cả các bất phương trình của hệ thì ta nói rằng hệ bất phương trình là có lời giải. Bây giờ chúng ta sẽ xét hệ bất phương trình tuyến tính sau đây:
Q := ( x ≥0 < Ci, x > +di ≤ 0, i= 1, ..., N Trong đó x, Ci ∈ Rn, x(x1, x2, ..., xn), Ci(ci1, ci2, ..., cin) là các vectơ dòng bất kỳ, với i = 1,2, ..., N(N ≥1).
Chúng ta viết lại hệ bất phương trình tuyến tính Q ở dạng sau:
Q∗ := {x ∈ Rn :< Ai, x > +bi ≤ 0, i = 1,2, ..., m}
trong đó:
m = N +n;
Ai = −Ei(i = 1, ..., n);bi = 0(i = 1, ..., n);
An+i = Ci(i = 1, ..., N);bn+i = di(i = 1, ..., N)
3.1 Thuật tốn nón xoay tìm nghiệm chấp nhận