Hệ phương trình tuyến tính và ứng dụng

Đ I H C ĐẨăNẴNG TR NGăĐ I H CăS ăPH M BỐIăT NăTẨI H PH NGăTRỊNHăTUY NăTệNHăVẨă NG D NG Ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 LU NăVĔNăTH CăSƾăTOÁNăH C Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Hải Trung Đà Nẵng - 2020 M CL C M Đ U .1 Ch ngă1.ăKi n th c chu n b 1.1 Ma trận 1.2 Định th c .4 1.3 Hệ phương trình tuyến tính 11 Ch ngă2.ăM t s ng d ng c a h ph ngătrìnhătuy nătính .27 2.1 Hệ phương trình tuyến tính chương trình phổ thơng 27 2.2 Mơ hình cân thị trường .44 2.2.1 Thị trường loại hàng hóa 44 2.2.2 Thị trường hai loại hàng hóa 45 2.2.3 Thị trường nhiều loại hàng hóa 46 2.3 Mơ hình cân kinh tế vĩ mô 48 2.3.1 Mơ hình cân kinh tế đóng chưa tính thuế thu nhập 48 2.3.2 Mơ hình cân kinh tế đóng tính thuế thu nhập .50 2.4 Mơ hình IS – LM 51 2.5 Mơ hình đầu vào – đầu Leontief .53 K T LU N 59 Danh mục tài liệu tham khảo .60 M Đ U LỦădoăch năđề tƠi Hệ phương trình tuyến tính dạng tốn quen thuộc học sinh THPT hệ hai phương trình bậc hai ẩn, hệ ba phương trình bậc ba ẩn Cách giải hệ phương trình em biết, nhiên giải hệ có ch a tham số hệ mở rộng nhiều ẩn, nhiều phương trình em cịn nhiều lúng túng Đối với em sinh viên khoa Tốn nói riêng học tốn nói chung hệ phương trình tuyến tính phần quan trọng mơn Đại số tuyến tính Để giúp em hiểu kĩ phương pháp giải dạng toán thân có mong muốn tìm hiểu sâu ng dụng c a hệ phương trình tuyến tính số lĩnh vực kinh tế giải số tốn chương trình trung học phổ thơng, đồng thời gợi ý c a giáo viên hướng dẫn – TS Lê Hải Trung nên lựa chọn đề tài: “Hệ phương trình tuyến tính ứng dụng” cho luận văn thạc sĩ c a M cătiêuănghiênăc u - Hệ thống lại kiến th c Hệ phương trình tuyến tính - Nghiên c u hệ phương trình tuyến tính - ng dụng c a hệ phương trình tuyến tính Đ iăt ngănghiênăc u Kiến th c hệ phương trình tuyến tính Ph măviănghiênăc u Lý thuyết ng dụng c a hệ phương trình tuyến tính Ph ngăphápănghiênăc u - Nghiên c u sử dụng lý luận, cơng cụ tốn học - Nghiên c u tài liệu liên quan đến hệ phương trình tuyến tính ụănghƿaăkhoaăh căvƠăthực ti n c aăđề tƠi Đề tài cung cấp thông tin cần thiết để áp dụng vào giải tốn hệ phương trình tuyến tính Đề tài sử dụng để làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành tốn quan tâm đến hệ phương trình tuyến tính C uătrúcălu năvĕn Ngồi phần mở đầu, lời cam đoan, lời cảm ơn, phần kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung c a luận văn gồm hai chương: Chương I Kiến thức chuẩn bị Trình bày kiến th c ma trận, định th c, hệ phương trình tuyến phương pháp giải Chương II Một số ứng dụng hệ phương trình tuyến tính Trình bày ng dụng c a hệ phương trình tuyến tính chương trình tốn THPT lĩnh vực kinh tế CH NGăI KI N TH C CHU N B Các kiến thức chương tham khảo chủ yếu tài liệu  2 nhằm mục đích trang bị kiến thức sở để phục vụ cho chương sau 1.1.ăMaătr n Đ nhănghƿa 1.1 Một bảng số gồm có m hàng n cột  a11 a12  a 22 a A   21  a  m1 a m2 a1n   a 2n    a mn  gọi ma trận cỡ mn Kí hiệu: A   aij    mn Khi m = n ta gäi A lµ ma trËn vu«ng cÊp n 1  Víăd 1.1 A ma trận vuông cÊp 3; 7  a11  1; a12  7; a13  3; a212;a22 5;a23 4;a317;a32 3;a33 9 ; 1  B    ma trËn cét; C  1 3 ma trËn dßng 7  Đ nhă nghƿaă 1.2 Ma trận không ma trận mà tất phần tử chứa khơng Ma trận khơng kí hiệu Víăd ă1.2 ma trận khơng cấp  0 0  A   0 0  Đ nhănghƿaă1.3 (Ma trận nhau) Hai ma trận A B gọi chúng có cỡ phần tử vị trí nhau, tức là: , B  bij  A   aij  ;   mn   mn aij  bij, i, j Khi A B ta viết A = B Víăd ă1.3 Xét: 1   a 3 4   c    có nghĩa a  1, b  2,c  3,d  4 b d  Đ nhănghƿaă1.4 (Ma trận chuyển vị) Xét ma trận A   aij  Đổi hàng thành   mn cột, cột thành hàng ta ma trận gọi ma trận chuyển vị A, kí hiệu At Vậy có At   a ji    mn 1  t Víăd 1.4 A   ; A =   1  2 4 1.2 Định thức Xét ma trËn vuông cÊp n sau đây:  a11 a12 a1j   a 21 a 22 a j   A   ai1 aij   a a n2 a nj  n1 a1n   a 2n     ain    a nn   Ta ý đến phần tử aij , bỏ hàng i cột j ta thu ma trận n - hàng n - cột, t c ma trận vng cấp n – Ta kí hiệu Mij gọi ma trận ng phần tử aij Chẳng hạn, với: sản xuất đơn vị (tính giá trị tiền tệ, chẳng hạn triệu đồng) hàng hóa loại hai Cần có lượng đầu vào 0,3 triệu đồng hàng hóa loại một, 0,1 triệu đồng hàng hóa loại hai 0,3 triệu đồng hàng hóa loại ba b Tỉ phần chi phí c a ngành tổng phần tử c a cột ma trận A là: 0,2 0,2 0,2 0,6 Tỉ phần giá trị gia tăng( khoản lợi nhuận c a hoạt động sản xuất ) c a ngành tổng sản phẩm c a ngành 0,6 0, t c 40% c Ta có: 10 0, ;E B A 0, 0,1 0, 0,2 0, 0, 0,2 0, Theo phương pháp tìm ma trận nghịch đảo biết, ta tìm được: (E A) 0, 66 0, 0,24 0, 34 0, 62 0,24 0, 384 0,21 0,27 0, Ma trận tổng cầu là: X (E 0, 66 0, 0,24 10 0, 34 0, 62 0,24 0, 384 0,21 0,27 0, 6 A) B 24, 84 20, 68 10, 36 Víă d 2.28 Giả sử kinh tế có ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2, ngành Cho biết ma trận hệ số kĩ thuật: A 0, 0,1 0, 0, 0,1 0, 0, 0, 0, với giá trị cầu cuối sản phẩm c a ngành theo th tự 40, 40 110 (đơn vị: tỷ đồng) Hãy xác định giá trị tổng cầu c a ngành sản xuất 57  x1  L i gi i Ký hiệu X   x2  ma trận tổng cầu; với x1 giá trị tổng cầu c a x   3 ngành 1, x2 giá trị tổng cầu c a ngành 2, x3 giá trị tổng cầu c a ngành  40  Theo giả thiết ma trận cầu cuối c a B có dạng: B   40  110  Ta có: E A 0 0, 0, 0 0,1 (E A) 0,1 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,1 0, 41 0,15 0,16 0, 40 0, 0,15 0, 25 0,1 0, 0, 0, 0, , 0, 0,16 0,16 0, 40 Vậy ma trận tổng cầu xác định bởi: X x1 x2 x3 0, 41 0,15 0,16 0, 40 0, 0,15 0, 25 0,16 40 0,16 40 0, 40 110 Vậy giá trị tổng cầu c a ngành là: x1  200 (tỉ đồng), giá trị tổng cầu c a ngành là: giá trị tổng cầu c a ngành là: x2  200 (tỉ đồng), x3  300 (tỉ đồng) 58 200 200 300 K TăLU N Luận văn “Hệ phương trình tuyến tính ứng dụng” thu kết sau: Hệ thống lại kiến th c liên quan về: ma trận, định th c, hạng c a ma trận hệ phương trình tuyến tính Hệ thống lại phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính: phương pháp khử thơng thường, phương pháp Gauss –Jordan, phương pháp Cramer ng dụng kết c a hệ phương trình tuyến tính phân tích kinh tế: mơ hình kinh tế thị trường riêng, mơ hình kinh tế tổng qt, mơ hình ISLM, mơ hình kinh tế đầu vào – đầu Leontief ng dụng kết c a hệ phương trình tuyến tính để giải tốn chương trình tốn trung học phổ thơng Trong suốt thời gian thực luận văn, tác giả cố gắng, song luận văn tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý, bảo từ q thầy để luận văn hoàn thiện 59 DANH M CăTẨIăLI U THAM KH O TI NG VI T [1] Lê Đình Thúy Giáo trình Tốn cao cấp cho nhà kinh tế, phần I: Đại số tuyến tính (2012) Nhà xuất Đại học KTQD [2] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2008) Toán cao cấp tập Nhà xuất giáo dục [3] Ngô Việt Trung (2002) Giáo trình Đại số tuyến tính Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội TI NG ANH [4] Alpha C.Chiang (1995) Fundamental Methods of Mathematical Economics Third edition, Mc Graw–Hill, Inc [5] B Fine and G Rosenberger (1997) The fundamental theorem of algebra, Undergraduate Texts in Math-ematics, Springer-Verlag, New York [6] Spencer, John Ervine (1975) Exercises in Mathematical Economics and Econometrics 60 ... phương trình tuyến tính ứng dụng? ?? cho luận văn thạc sĩ c a M cătiêuănghiênăc u - Hệ thống lại kiến th c Hệ phương trình tuyến tính - Nghiên c u hệ phương trình tuyến tính - ng dụng c a hệ phương trình. .. c ma trận, định th c, hệ phương trình tuyến phương pháp giải Chương II Một số ứng dụng hệ phương trình tuyến tính Trình bày ng dụng c a hệ phương trình tuyến tính chương trình tốn THPT lĩnh vực... tƠi Hệ phương trình tuyến tính dạng toán quen thuộc học sinh THPT hệ hai phương trình bậc hai ẩn, hệ ba phương trình bậc ba ẩn Cách giải hệ phương trình em biết, nhiên giải hệ có ch a tham số hệ