Hệ phương trình tuyến tính và hình học tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG LÊ THỊ NGUYỆT NGA HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ HÌNH HỌC TUYẾN TÍNH Chun ngành : Phƣơng pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Đà Nẵng - Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: a Những nội dung luận văn thực hướng dẫn trực tiếp PGS TS Trần Đạo Dõng b Mọi tham khảo dùng luận văn trích dẫn rõ ràng trung thực tên tác giả, tên cơng trình, thời gian, địa điểm công bố c Mọi chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo hay gian trá tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm Tác giả luận văn Lê Thị Nguyệt Nga MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Cấu trúc luận văn CHƢƠNG HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.1 KHÔNG GIAN VECTƠ SỐ HỌC n - CHIỀU 1.1.1 Vectơ n - chiều phép toán 1.1.2 Không gian vectơ số học n – chiều 1.1.3 Tổ hợp tuyến tính – Hệ sinh 1.1.4 Sự phụ thuộc tuyến tính – Độc lập tuyến tính 1.1.5 Cơ sở số chiều không gian vectơ 1.1.6 Hạng hệ vectơ………….…………………… …………… 12 1.2 HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH…………………………… 17 1.2.1 Các khái niệm bản…………………………………………… 17 1.2.2 Dạng ma trận dạng vectơ hệ phƣơng trình tuyến tính 19 1.2.3 Điều kiện có nghiệm hệ phƣơng trình tuyến tính 21 1.2.4 Cấu trúc tập nghiệm hệ phƣơng trình tuyến tính 22 1.2.5 Phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình tuyến tính 25 CHƢƠNG HÌNH HỌC TUYẾN TÍNH 37 2.1 KHÔNG GIAN EUCLIDE CÁC BỘ SỐ THỰC n - CHIỀU 37 2.1.1 Không gian vectơ Euclide n 37 2.1.2 Không gian Euclide số thực n – chiều 43 2.1.3 Mục tiêu trực chuẩn không gian 2.1.4 Phẳng tuyến tính k - chiều n n k 44 n 45 2.1.5 Ý nghĩa hình học tập nghiệm hệ phƣơng trình tuyến tính 50 2.2 HÌNH HỌC TUYẾN TÍNH CÁC BỘ SỐ THỰC n – CHIỀU … 51 2.2.1 Sự vng góc phẳng…………………………………….51 2.2.2 Khoảng cách phẳng 55 2.2.3 Góc khơng gian n 66 2.3 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẲNG CỰ…… ………………………… 69 2.3.1 Các phép biến đổi trực giao 69 2.3.2 Các phép biến đổi đẳng cự……………………………………… 70 KẾT LUẬN………………………………………………………………… 75 TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nội dung giáo trình tốn trƣờng phổ thông tập hợp số, đa thức, phân thức, hàm số phƣơng trình, có phƣơng trình bậc Ở nghiên cứu cách giải hệ phƣơng trình bậc hai ẩn Một hƣớng mở rộng Tốn học phổ thơng tổng qt hóa hệ phƣơng trình bậc nhất, hệ phƣơng trình tuyến tính Ta thấy khơng đỏi hỏi điều kiện số phƣơng trình, số ẩn Lý thuyết quan trọng đƣợc hoàn thiện nhờ vào khái niệm không gian vectơ Hệ phƣơng trình tuyến tính cơng cụ hữu hiệu đại số tuyến tính có nhiều ứng dụng khơng lĩnh vực tốn học tin học nhƣ đại số, hình học, giải tích, lý thuyết phƣơng trình vi phân, phƣơng trình đạo hàm riêng, quy hoạch tuyến tính mà cịn nhiều lĩnh vực khoa học khác, đặc biệt kinh tế Thơng qua thuật tốn giải đa dạng, hệ phƣơng trình tuyến tính đƣợc ứng dụng để khảo sát đối tƣợng hình học khơng gian nhiều chiều Với mong muốn tìm hiểu thêm hệ phƣơng trình tuyến tính đƣợc gợi ý PGS TS Trần Đạo Dõng, chọn đề tài “Hệ phương trình tuyến tính hình học tuyến tính” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn Mục đích nghiên cứu Mục tiêu đề tài nhằm khảo sát hệ phƣơng trình tuyến tính, cấu trúc tập nghiệm thuật tốn giải tƣơng ứng Từ ứng dụng để khảo sát đối tƣợng hình học tính chất chúng khơng gian Euclide số thực n - chiều Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu * Đối tượng nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu đề tài hệ phƣơng trình tuyến tính tính chất hình học không gian Euclide số thực n - chiều * Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu đề tài khảo sát thuật toán giải, cấu trúc tập nghiệm hệ phƣơng trình tuyến tính đối tƣợng, tính chất hình học khơng gian Euclide số thực n - chiều Phƣơng pháp nghiên cứu - Tham khảo tài liệu liên quan đến nội dung nghiên cứu đề tài - Tổng quan tài liệu thể tƣờng minh kết đạt đƣợc luận văn - Trao đổi, thảo luận kết nghiên cứu buổi seminar với giáo viên hƣớng dẫn Ý nghĩa khoa học thực tiễn * Ý nghĩa khoa học - Tổng quan số kết liên quan đến hệ phƣơng trình tuyến tính - Góp phần làm rõ cấu trúc hình học tuyến tính thể không gian Euclide số thực n - chiều * Ý nghĩa thực tiễn Kết nghiên cứu làm tài liệu tham khảo cho việc khảo sát đối tƣợng hình học khơng gian Euclide số thực n - chiều thông qua công cụ hệ phƣơng trình tuyến tính Cấu trúc luận văn Luận văn bao gồm: Phần mở đầu Chƣơng Hệ phƣơng trình tuyến tính 1.1 Khơng gian vectơ số học n - chiều 1.2 Hệ phƣơng trình tuyến tính Chƣơng Hình học tuyến tính 2.1 Khơng gian Euclide số thực n - chiều 2.2 Hình học tuyến tính số thực n - chiều 2.3 Phép biến đổi đẳng cự Phần kết luận Tài liệu tham khảo Quyết định giao đề tài luận văn thạc sĩ (bản sao) CHƢƠNG HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức đại số tuyến tính không gian vectơ số học n - chiều, hệ phương trình tuyến tính có liên quan trực tiếp đến việc khảo sát chương Các kiến thức tham khảo tài liệu [3], [4], [7], [8], [9] 1.1 KHÔNG GIAN VECTƠ SỐ HỌC n - CHIỀU 1.1.1 Vectơ n - chiều phép toán Định nghĩa 1.1.1 Một vectơ n - chiều x n số thực có thứ tự x ( x1 , x2 , …, xn ) xi , i 1, n Hai vectơ n - chiều x ( x1 , x2 , …, xn ), y ( y1 , y2 , …, yn ) đƣợc gọi nhau, ký hiệu x y, xi yi , i 1, n Bộ n số không ( 0, 0, …, ) gọi vectơ không Tập hợp vectơ n - chiều đƣợc ký hiệu n n , ký hiệu n , Với x ( x1 , x2 , …, xn ), y ( y1 , y2 , …, yn ) , ta định nghĩa hai phép toán sau: - Phép cộng hai vectơ n - chiều: x y ( x1 y1, x2 y2 , , xn yn ) - Phép nhân số thực với vectơ n – chiều: x Khi đó, với x, y, z ( x1, n x2 , , xn ) , với số thực , kiểm tra trực tiếp hai phép toán thỏa mãn tính chất sau: 1) x 2) x y y y z x; x y z; , 3) 4) x 5) x x 8) 1.x (- x (- x1 , - x2 , …, - xn ) đƣợc gọi phần tử đối x ); x x x ; 6) 7) x; x x y x x; x y; x 1.1.2 Không gian vectơ số học n – chiều Định nghĩa 1.1.2 Tập hợp tất vectơ n – chiều n với hai phép toán cộng vectơ phép nhân số thực với vectơ có tính chất đặc trƣng đƣợc gọi không gian vectơ số học n – chiều Nhận xét 1.1.1 Trong tốn học đại, khái niệm khơng gian vectơ đƣợc hiểu theo nghĩa rộng Trong phạm vi luận văn thuật ngữ không gian vectơ đƣợc sử dụng để không gian vectơ n Định nghĩa 1.1.3 Một tập hợp không rỗng L gian vectơ không gian vectơ n y L; đƣợc gọi khơng L đóng kín phép cộng vectơ phép nhân vectơ với số, tức x n x L, x, y ta có: L Từ định nghĩa suy ra: - Mọi không gian vectơ L chứa vectơ không Hơn nữa, với vectơ x L , vectơ đối x L - Giao hai không gian vectơ n không gian vectơ n Tuy nhiên, hợp hai khơng gian vectơ nói chung khơng không gian vectơ - Không gian vectơ bé chứa hai không gian vectơ M N n đƣợc gọi tổng M N, ký hiệu M + N Hơn nữa, ta có M + N = { x + y ; x M, y N } 1.1.3 Tổ hợp tuyến tính – Hệ sinh Định nghĩa 1.1.4 Trong Vectơ x n cho hệ vectơ S = { n , , , m } đƣợc gọi tổ hợp tuyến tính hệ vectơ S (hay biểu thị tuyến tính qua S) nếu: x 1 m m , Ví dụ 1.1.1 Trong khơng gian vectơ , i 1, m i , xét vectơ: e1 (1, 0, 0), e2 (0, 1, 0), e3 (0, 0, 1) Ta có: x (2, 1, 1) = 2(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) + 1(0, 0, 1) 2.e1 1.e2 1.e3 Vậy x (2, 1, 1) tổ hợp tuyến tính hệ vectơ e1, e2 , e3 Định nghĩa 1.1.5 Trong cho hệ vectơ S { n , , , m } Tập hợp tất tổ hợp tuyến tính hệ vectơ S đƣợc gọi không gian sinh hệ vectơ S hay bao tuyến tính S Ký hiệu: Span(S) hay Span S n x :x 1 m m , i 1, m i Định lý 1.1.1 Nếu S hệ vectơ không gian vectơ Span(S) không gian vectơ n n Chứng minh (1) Span S Vì (0, 0, 0) Span S , Span S m (2) Span(S ) không gian Giả sử: x Khi x y Với : x 1 ( 1 m m 1 m m , y ) n : x, y 1 n n m n Span S m Span S a m m Span S 63 Do { n1 , n2 } trở thành sở phƣơng mặt phẳng Q (bù vng góc với phƣơng mặt phẳng P) Phƣơng trình tham số mặt phẳng Q: x1 x2 x3 x4 1 t1 t2 1 ; t1 , t2 Suy 2t2 (a) t1 t2 b t1 2t2 c d t1 t2 x1 t1 x2 x3 x4 Từ (a) (b) ta tính đƣợc t2 x1 t1 x2 x1 x2 Thay giá trị vào (c) (d) rút gọn ta đƣợc phƣơng trình tổng quát phẳng Q qua M bù vng góc với phƣơng P cho trƣớc là: 3x1 x2 x1 3x2 x3 13 x4 Hai phẳng P Q bù vng góc với có điểm chung nhất, điểm M có tọa độ nghiệm hệ phƣơng trình: x1 x1 x2 x2 x3 x3 3x1 x2 x1 3x2 x4 x4 x3 13 x4 Giải hệ phƣơng trình gồm phƣơng trình, ẩn số ta tìm đƣợc tọa độ M xác định 64 M0 Điểm M hình chiếu vng góc điểm M cho mặt phẳng P, nên ta có MM =(-1, -1, -1, 1) Vậy d M ; P MM 1 1 d) Khoảng cách từ điểm đến siêu phẳng Cho siêu phẳng P có phƣơng trình tổng quát (*) a1x1 a2 x2 an xn b với n ( a1 , a2 , , an ) vectơ pháp tuyến siêu phẳng P Ta kiểm tra đƣợc vectơ n ( a1 , a2 , , an ) vng góc với phƣơng phẳng P Xét I x10 xn0 n không nằm P gọi Q đƣờng phẳng qua I bù vng góc với P Gọi H P Khi khoảng cách d ( I ;( P)) Q IH Do vectơ IH phƣơng với n nên IH t.n ; t Phƣơng trình tham số đƣờng thẳng IH có dạng: x1 x10 a1 t xn xn0 an (**) Tọa độ H nghiệm hệ phƣơng trình (*) (**) Giải hệ thu đƣợc giá trị tham số t thay vào đẳng thức IH = |t| n ta thu đƣợc công thức 65 n xi0 b i d(I; P) = IH n i Ví dụ 2.2.8 Trong chuẩn là: A 0 , B 31 cho tứ diện ABCD Các đỉnh có tọa độ trực , C 1 , D Tính chiều cao tứ diện hạ từ đỉnh D tới mặt ABC Giải Chiều cao tứ diện hạ từ đỉnh D tới mặt ABC khoảng cách từ điểm D tới mặt phẳng ABC Với tọa độ trực chuẩn điểm A, B, C ta xác định đƣợc phƣơng trình tổng quát mặt phẳng ABC là: x1 3x2 x3 Suy 2 d D, ABC 1 11 11 11 Vậy tứ diện ABCD có chiều cao DH hạ từ đỉnh D tới mặt phẳng ABC là: DH Ví dụ 2.2.9 Trong không gian A1 a1 , A2 11 11 n cho siêu phẳng qua điểm: a2 , …, An 0 an Tính khoảng cách từ gốc tọa độ tới siêu phẳng Giải 66 Phƣơng trình tổng quát siêu phẳng P qua điểm A1 , A2 , …, An cho có dạng: x1 a1 1 x2 xn a2 an Khoảng cách từ gốc tọa độ tới siêu phẳng P là: d a12 a2 an n 2.2.3 Góc khơng gian a) Góc hai đường thẳng Trong không gian d = A tV ; t d ' = B sW; s n cho hai đƣờng thẳng d d ' xác định bởi: ;V n đƣờng thẳng qua A có phƣơng v ;W n đƣờng thẳng qua B có phƣơng w Góc hai đƣờng thẳng số cho: v.w v.w cos Nhận xét 2.2.3 Nhìn vào định nghĩa nêu ta thấy góc hai đƣờng thẳng d d’ khơng phụ thuộc vào việc chọn phƣơng d d ' Ngồi ra, d song song d ' d ' 0, trƣờng hợp d vng góc với b) Góc hai siêu phẳng Trong khơng gian n cho hai siêu phẳng P Q Gọi d d ' lần lƣợt đƣờng thẳng bù trực giao với P Q Khi góc hai đƣờng thẳng d d ' đƣợc gọi góc hai siêu phẳng P Q c) Góc đường thẳng siêu phẳng 67 n Trong không gian cho đƣờng thẳng d siêu phẳng P Nếu d vng góc với P ta nói góc đƣờng thẳng d siêu phẳng P góc vng Nếu d khơng vng góc với P ta xét đƣờng thẳng d ' bù vng góc với P gọi góc hai đƣờng thẳng d d ' Khi góc đƣờng thẳng d siêu phẳng P đƣợc xác định góc mà Nhận xét 2.2.4 Đối với mục tiêu trực chuẩn, đƣờng thẳng d có phƣơng v mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến n ta có: sin sin v.n v.n cos 2 Do đó, cos sin v, n v n2 d) Ví dụ áp dụng Ví dụ 2.2.10 Tìm góc hai đƣờng thẳng Euclide với : x1 4t x2 3t : x1 3t x2 t khơng gian Giải Đƣờng thẳng có phƣơng u1 = (4, -3) Đƣờng thẳng có phƣơng u2 = (-3, 1) Góc hai đƣởng thẳng Cos( , ) = Cos( u1 , u2 ) = đƣợc tính nhƣ sau: 42 3 Ví dụ 2.2.11 Trong khơng gian Euclide phƣơng trình tổng qt: x1 x2 31 15 10 10 cho mặt phẳng P có x3 đƣờng thẳng có phƣơng 68 x1 trình tham số x2 x3 t 2t Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua A 2t nằm mặt phẳng P hợp với 1 góc 450 Giải Giả sử đƣờng thẳng d cần tìm có phƣơng u = (a, b, c) với ( a b2 c2 ) Mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến n = (1, -1, 1) Đƣờng thẳng Do d có phƣơng u = (1, 2, 2) n Suy ra, u.n = hay a – b + c = P nên u Vì góc d (1) hợp với góc 450 nên Cos 450 = Cos(u, u ) a 2b 2c 2 Suy a b2 a2 c2 b2 c2 4 a 2b 2c (2) Thay (1) vào (2), ta có: a2 ( a c) a2 c2 ac c 15ac 7c 2 a 2(a c) 2c 3a 4c c(15a 7c) Suy c = 15a + 7c = x1 Với c = chọn a = b = 1, ta đƣợc đƣờng thẳng d: t x2 x3 1 t 69 Với 15a + 7c = 0, chọn a = 7, c = -15, b = -8, ta đƣợc đƣờng thẳng d: x1 7t x2 8t x3 15t 2.3 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẲNG CỰ 2.3.1 Các phép biến đổi trực giao Định nghĩa 2.3.1 Ánh xạ trực giao n n : n đƣợc gọi phép biến đổi bảo tồn tích vơ hƣớng Định lý 2.3.1 Nếu : n phép biến đổi trực giao n biến sở trực chuẩn thành sở trực chuẩn Chứng minh bảo tồn tích vơ hƣớng nên bảo tồn vng góc độ dài Do vectơ Suy biến sở trực chuẩn thành sở trực chuẩn Hệ 2.3.1 Giả sử ei 1, n , ei ' 1, n sở trực chuẩn tồn phép biến đổi trực giao n : n n Khi cho (ei ) ei '; i 1, n Định nghĩa 2.3.2 Cho ei 1, n sở ei ' 1, n n : sở trực chuẩn ei 1, n qua n n phép biến đổi trực giao Gọi ei ' 1, n Khi ma trận chuyển sở đƣợc gọi ma trận Định lý 2.3.2 Nếu ánh xạ ei : n n 1, n n n 1, n thành sở phép biến đổi trực giao Chứng minh : ei bảo tồn độ dài vectơ Cho sở trực chuẩn ảnh phép biến đổi trực giao 70 Khi x ( y) x y, x, y Suy x ( x) x.x, x n n Khi ( x) Do bảo toàn độ dài vectơ x , suy ( x) Hệ 2.3.2 Nếu ánh ánh xạ ngƣợc x x, n phép biến đổi trực giao song phép biến đổi trực giao Hệ 2.3.3 Hợp hai phép biến đổi trực giao phép biến đổi trực giao Nhận xét 2.3.1 a) Cho phép biến đổi trực giao chuẩn ei 1, n gọi A ma trận n : n Ta lấy sở trực sở trực chuẩn Khi đó, A ma trận trực giao, tức tA A = I, với tA ma trận chuyển vị A b) Nếu A ma trận trực giao det A Phép biến đổi trực giao đƣợc gọi biến đổi trực giao loại det A = +1 gọi biến đổi trực giao loại det A = -1 Hệ 2.3.4 Biểu thức tọa độ phép biến đổi trực giao A* x , ( x) A ma trận trực giao cấp n, x , độ vectơ x vectơ ( x) n có dạng: ( x) lần lƣợt ma trận cột tọa sở trực chuẩn chọn 2.3.2 Các phép biến đổi đẳng cự Định nghĩa 2.3.3 Ánh xạ f : đẳng cự M, N n n n n đƣợc gọi phép biến đổi f bảo toàn khoảng cách điểm, nghĩa ta có d ( f (M ), f ( N )) d (M , N ) Từ định nghĩa ta suy kết sau 71 Định lý 2.3.3 Ánh xạ f : n phép biến đổi đẳng cự n tồn phép biến đổi trực giao liên kết f) cho n M, N n : (đƣợc gọi ánh xạ n ta có MN f M f N Chứng minh " M, N " Giả sử tồn phép biến đổi trực giao n n : n cho ta có MN f M f N Do ánh xạ liên kết f phép biến đổi trực giao nên M, N ta có: d ( f (M ), f ( N )) " " Giả sử f : f (M ) f ( N ) n (MN ) MN d (M , N ) phép biến đổi đẳng cự, tức ánh xạ n thỏa điều kiện d ( f (M ), f ( N )) d (M , N ) Chọn điểm I n : MN xét ánh xạ: n n ' IM Với vectơ x n M, N IM , y d M,N ( IM ) f ( I ) f ( M ) n IN ta có d f (M ), f ( N ) f (M ) f ( N ) f (I ) f ( N ) f (I ) f ( N ) IN IM 2 f ( I ) f (M ) IN f ( I ) f (M ) f ( I ) f ( N ) f ( I ) f ( M ) IM n , 72 Nhƣng MN 2 IN IM Từ suy Do x IN IM 2IN IM x y với x, y y n phép biến đổi trực giao thỏa điều kiện f M f N MN Nhận xét 2.3.2 a) Phép biến đổi đẳng cự f : n song ánh ánh xạ n ngƣợc phép biến đổi đẳng cự Suy tập hợp phép biến đổi đẳng cự n lập thành nhóm đƣợc gọi nhóm biến đổi đẳng cự (hay nhóm phép dời) n b) Các phép biến đổi đẳng cự bảo tồn số chiều phẳng, tính vng góc phẳng, khoảng cách góc phẳng Từ đó, hình học Euclide khơng gian n cịn đƣợc gọi hình học nhóm biến đổi đẳng cự (hay nhóm phép dời) n Ngồi ra, phép biến đổi đẳng cự cịn có tính chất sau Định lý 2.3.4 Phép biến đổi đẳng cự f : n n biến mục tiêu trực chuẩn thành mục tiêu trực chuẩn Chứng minh Cho phép biến đổi đẳng cự f : tồn phép biến đổi trực giao : n n f M f N Do n n Khi theo Định lý 2.3.3 cho M, N n ta có MN phép biến đổi trực giao nên suy biến sở trực chuẩn thành sở trực chuẩn Gọi O, Ei 1, n mục tiêu trực chuẩn sở trực chuẩn không gian vectơ n n Khi OEi 1, n 73 biến sở trực chuẩn OEi Theo trên, nên f biến mục tiêu trực chuẩn O, Ei 1, n thành sở trực chuẩn 1, n thành mục tiêu trực chuẩn Định nghĩa 2.3.4 (Phân loại biến đổi đẳng cự) Cho f : n trực chuẩn n n biến đổi đẳng cự O, Ei 1, n mục tiêu Khi ma trận A phép biến đổi trực giao liên kết với f sở trực chuẩn tƣơng ứng đƣợc gọi ma trận f mục tiêu trực chuẩn O, Ei 1, n Biến đổi đẳng cự f tuyến tính n đƣợc gọi phép dời thuận biến đổi f biến đổi trực giao loại 1, tức det A = +1 gọi phép dời nghịch (hay phép phản chiếu) biến đổi trực giao loại 2, tức det A = -1 Ví dụ 2.3.1 Trong không gian n với hệ mục tiêu trực chuẩn cho vectơ v = ( v1 , v2 , …, ) Hãy viết phƣơng trình phép tịnh tiến theo vectơ v cho tìm ảnh điểm M qua phép tịnh tiến Chứng tỏ phép tịnh tiến n phép dời hình thuận Giải Gọi t phép tịnh tiến theo vectơ v = ( v1 , v2 , …, ) không gian n Với A, B hai điểm tùy ý n ta có A' t ( A), B ' t ( B) Theo định nghĩa ta có AA' v, BB ' v Do ta suy ra: AB Vậy d A, B AA' A' B ' B ' B v A' B ' v A' B ' d A ', B ' t phép đẳng cự có tính chất bảo tồn khoảng cách hai điểm n Phép tuyến tính liên kết với 74 phép tịnh tiến t phép đồng khơng gian có: AB t ( A).t ( B) Giả sử điểm M A' B ' n n với vectơ AB ta AB giả sử M ' t (M ) ( x1 ', x2 ', …, xn ' ), ta có phƣơng trình phép tịnh tiến là: vi với i 1, n xi ' xi Nhƣ ma trận phép tịnh tiến t ma trận đơn vị, từ ta suy phép tịnh tiến phép dời hình thuận Ví dụ 2.3.2 Trong khơng gian x12 phƣơng trình a x2 b2 với hệ tọa độ trực chuẩn cho elip có với a b Viết phƣơng trình phép đẳng cự biến elip thành Giải x12 Elip có phƣơng trình a x2 b2 với a b có hai trục đối xứng Ox1 , Ox Từ suy có hai phép đẳng cự biến elip thành xác định bởi: Phép đối xứng qua trục Ox1 : x1 ' x2 ' x1 x2 Phép đối xứng qua trục Ox : x1 ' x1 x2 ' x2 Các phép dời hình phép dời hình nghịch 75 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu “ Hệ phƣơng trình tuyến tính hình học tuyến tính”, luận văn hồn thành đạt đƣợc mục tiêu nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau: Tổng quan hệ thống cách đầy đủ hệ phƣơng trình tuyến tính, cấu trúc tập nghiệm phƣơng pháp giải tƣơng ứng Hệ phƣơng trình tuyến tính đƣợc xem xét cách tổng quát thông qua lý thuyết không gian vectơ, cụ thể không gian vectơ số học n – chiều Từ cho thấy ý nghĩa quan trọng hệ phƣơng trình tuyến tính ứng dụng để khảo sát đối tƣợng hình học Trình bày khơng gian vectơ Euclide số thực n - chiều, phẳng tuyến tính k – chiều khơng gian n1 , ý nghĩa hình học tập nghiệm hệ phƣơng trình tuyến tính Từ ứng dụng để khảo sát hình học tuyến tính số thực n – chiều (hình học Euclide khơng gian n ) thể qua khái niệm vng góc phẳng, khoảng cách phẳng, số đo góc, … Luận văn cịn trình bày phép biến đổi đẳng cự không gian n1 , phép biến đổi đƣợc khảo sát thông qua phép biến đổi trực giao không gian n Với khảo sát đƣợc, luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho thân tiếp tục sâu nghiên cứu sau hy vọng nguồn tƣ liệu tốt cho quan tâm nghiên cứu hệ phƣơng trình tuyến tính hình học tuyến tính Trong điều kiện thời gian khuôn khổ luận văn nên chƣa nghiên cứu sâu hình học đồng dạng siêu mặt bậc hai, 76 siêu cầu không gian Euclide số thực n – chiều Đó hƣớng phát triển luận văn Trong q trình làm luận văn, mặt dù có nhiều cố gắng, song điều kiện khách quan lực có hạn thân nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận đƣợc góp ý chân thành quý thầy bạn đọc để tiếp tục tìm hiểu, nghiên cứu phát triển luận văn sau này./ 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Văn Nhƣ Cƣơng Tạ Mân (2001), Hình học Affine hình học Euclide, Nhà Xuất Giáo dục Hà nội [2] Trần Đạo Dõng Đoàn Thế Hiếu (2000), Tọa độ Descartes không gian, Tài liệu Bồi dƣỡng giáo viên, trƣờng ĐHSP Đại học Huế [3] Trần Văn Hạo - Hoàng Kỳ (2005), Bài tập đại số, NXB Giáo dục [4] Trần Trọng Huệ (2007), Đại số tuyến tính Hình học giải tích, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Mộng Hy (1997), Hình học cao cấp, Nhà Xuất Giáo dục Hà Nội [6] Nguyễn Mộng Hy (2009), Bài tập hình học cao cấp, Nhà Xuất Giáo dục Hà nội [7] Lê Đình Thúy (2005), Đại số tuyến tính, NXB Thống kê Hà Nội TIẾNG ANH [8] James S Cook (2009), Lecture Notes for Linear Algebra, Liberty University [9] Jim Hefferon (2012), Linear Algebra, Saint Michael’s College, USA ... nghiệm hệ (1.2.1) 1.2.4 Cấu trúc tập nghiệm hệ phƣơng trình tuyến tính a) Hệ phương trình tuyến tính Định lý 1.2.2 Giả sử hệ phƣơng trình tuyến tính n aik xk 0, i 1, m (1.2.4) k có hạng ma trận hệ. .. nghiệm hệ phƣơng trình Khi đó, nghiệm ( , , , n ) hệ biểu diễn tuyến tính qua hệ nghiệm { u1 , u2 , , un k } b) Hệ phương trình tuyến tính tổng qt Xét hệ phƣơng trình tuyến tính: n aik xk bi... tính 1.1 Không gian vectơ số học n - chiều 1.2 Hệ phƣơng trình tuyến tính Chƣơng Hình học tuyến tính 2.1 Không gian Euclide số thực n - chiều 2.2 Hình học tuyến tính số thực n - chiều 2.3 Phép