HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH và ỨNG DỤNG

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG Giảng viên: Nguyễn Hữu Thịnh Toán cao cấp TOA105 04/10/2020 Giảng viên: Nguyễn Hữu Thịnh (Trường đại học Ngoại thương) Chương: 04/10/2020 / 26 Mơ hình cân thị trường n hàng hố có liên quan I Mơ hình cân thị trường n hàng hố có liên quan Giả sử thị trường đóng có n hàng hóa, giá mặt hàng thay đổi ảnh hưởng tới lượng cung (QSi ) lượng cầu (QDi ) thân mặt hàng đó, mà ảnh hưởng đến giá lượng cung, lượng cầu mặt hàng lại Người ta thường biểu diễn phụ thuộc lượng cung lượng cầu vào giá mặt hàng hoá bời hàm cung hàm cầu sau : QSi = Si (P1 , , Pn ) QDi = Di (P1 , , Pn ) với i = i, n, Pi giá mặt hàng i Giảng viên: Nguyễn Hữu Thịnh (Trường đại học Ngoại thương) Chương: 04/10/2020 / 26 Chúng ta giả thiết : QSi QDi hàm tuyến tính với n biến Pi Mơ hình cân QSi = QDi , ∀i = 1, n Như hệ phương trình gồm n phương trình n biến Pi Sau giải hệ giá cân thị trường lượng cung cầu cân : P = (P1 , , Pn ) Q = (Q1 , , Qn ) Giảng viên: Nguyễn Hữu Thịnh (Trường đại học Ngoại thương) Chương: 04/10/2020 / 26 Example Ví dụ : Cho biết hàm cung, hàm cầu thị trường hai loại hàng hoá sau : QS1 = −2 + 3P1 ; QS2 = −1 + 2P2 ; QD1 = − P1 + P2 QD2 = 11 + P1 + P2 Với QS1 , QS2 lượng cung hàng hóa ; QD1 , QD2 lượng cầu hàng hóa ; P1 , P2 giá hàng hóa Khi thị trường cân bằng, thiết lập hệ phương trình với ẩn số P1 , P2 Xác định giá lượng cân hai mặt hàng ? Giảng viên: Nguyễn Hữu Thịnh (Trường đại học Ngoại thương) Chương: 04/10/2020 / 26 Lời giải : Khi thị trường cân bằng, ta thiết lập hệ phương trình sau : QS1 QS2 ⇔ 4P1 − P2 −P1 + P2 −2 + 3P1 −1 + 2P2 = QD1 ⇔ = QD2 = 10 ⇔ = 12 P1 P2 = = = − P1 + P2 = 11 + P1 + P2 22 58 Vậy giá cân : P1 = 3, P2 = lượng cầu cân Q1 = −2 + 22 Q2 = −1 + 58 Giảng viên: Nguyễn Hữu Thịnh (Trường đại học Ngoại thương) Chương: 04/10/2020 / 26 Example Ví dụ : Cho hàm cầu hàm cung thị trường hàng hóa : QS1 = −2 + P1 ; QS2 = −2 + aP2 ; QD1 = 18 − 3P1 + P2 QD2 = 12 + P1 − 2P2 a Xác định giá lượng cân cho hàng hóa theo a ? b Khi a tăng giá cân hàng hóa thay đổi ? Giảng viên: Nguyễn Hữu Thịnh (Trường đại học Ngoại thương) Chương: 04/10/2020 / 26 Mơ hình cân đối liên ngành (Mơ hình Input-Output Leontief) Mơ hình cân đối liên ngành Trong kinh tế đại , việc sản xuất hàng hóa(sản phẩm) phải sử dụng sản phẩm hàng hóa khác cấu sản xuất Việc xác định tổng cầu : cầu từ phía nhà sản xuất cầu cuối từ bên sử dụng sản phẩm để tiêu dùng xuất Giảng viên: Nguyễn Hữu Thịnh (Trường đại học Ngoại thương) Chương: 04/10/2020 / 26 Giả sử, kinh tế có n ngành sản xuất : ngành 1, ngành 2, ngành 3, , ngành n Để thuận tiện cho việc tính chi phí yếu tố sản xuất, người ta biểu diễn loại hàng hóa dạng giá trị (quy tiền tệ) Với i = 1, 2, n j = 1, 2, , m, ta ký hiệu : xi tổng giá trị sản phẩm ngành i (Tổng cầu) aij tổng giá trị sản phẩm ngành i sử dụng để sản xuất đơn vị sản phẩm ngành j (Hệ số kỹ thuật) xij tổng giá trị sản phẩm mà ngành i sử dụng để sản xuất xj đơn vị sản phẩm ngành j bi tổng giá trị sản phẩm ngành i dành cho tiêu dùng xuất (cầu cuối) Giảng viên: Nguyễn Hữu Thịnh (Trường đại học Ngoại thương) Chương: 04/10/2020 / 26 Ngành Ngành Ngành Ngành n Tổng cầu x1 x2 xn Cầu trung Ngành Ngành x11 x12 x21 x22 xn1 xn2 gian Ngành n x1n x2n xn Cầu cuối cù b1 b2 bn Dễ thấy : xij = aij xj Mơ hình cân đối liên ngành dẫn đến n phương trình sau : xi = xi1 + xi2 + · · · + xin + bi Giảng viên: Nguyễn Hữu Thịnh (Trường đại học Ngoại thương) Chương: 04/10/2020 / 26 Viết dạng hệ phương trình :  x1 = a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn + b1    x = a x + a x + · · · + a x + b 21 22 2n n     xn = an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn + bn Giảng viên: Nguyễn Hữu Thịnh (Trường đại học Ngoại thương) Chương: 04/10/2020 10 / 26 Example Quan hệ trao đổi ngành : ngành : công nghiệp, ngành : nông lâm ngư nghiệp, ngành : dịch vụ cầu hàng hóa cho bảng : Ngành Tổng cầu Ngành Ngành Ngành 160 150 180 Ngành 20 20 40 Cầu trung gian Ngành Ngành n 30 63 45 54 30 45 Hãy tính ma trận hệ số chi phí trực tiếp Giảng viên: Nguyễn Hữu Thịnh (Trường đại học Ngoại thương) Chương: 04/10/2020 12 / 26 Lời giải :   a11 a12 a13 Ma trận hệ số chi phí trực tiếp A có dạng a21 a22 a23  a31 a32 a33 x1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + b1 Các hệ số tính sau : a11 = ; 20 x11 = = 0, 125 x1 160 x12 30 = = 0, x2 150 x13 63 = = = 0, 35 x3 180 a12 = a13 Giảng viên: Nguyễn Hữu Thịnh (Trường đại học Ngoại thương) Chương: 04/10/2020 13 / 26 a21 = ; 20 x21 = = 0, 125 x1 160 x22 45 = = 0, x2 150 x23 54 = = 0, = x3 180 a22 = a23 Giảng viên: Nguyễn Hữu Thịnh (Trường đại học Ngoại thương) Chương: 04/10/2020 14 / 26 a31 = ; 40 x31 = = 0, 25 x1 160 x32 30 = = 0, x2 150 x33 45 = = 0, 25 = x3 180 a32 = a33 Giảng viên: Nguyễn Hữu Thịnh (Trường đại học Ngoại thương) Chương: 04/10/2020 15 / 26 Ta ma trận hệ số trực tiếp   0, 125 0, 0, 35 A = 0, 125 0, 0,  0, 25 0, 0, 25 Giảng viên: Nguyễn Hữu Thịnh (Trường đại học Ngoại thương) Chương: 04/10/2020 16 / 26 Example   0, 0, 0, Cho ma trận hệ số kỹ thuật A = 0, 0, 0, 3 ma trận cầu 0, 0, 0,   120  cuối B = 150 200 Hãy xác định ma trận tổng cầu ? Giảng viên: Nguyễn Hữu Thịnh (Trường đại học Ngoại thương) Chương: 04/10/2020 17 / 26 Ta cần tìm nghiệm X = (E − A)−1 B   0, −0, −0, E − A = −0, 0, −0, 3 ⇒ Det(E − A) = 0, 329 −0, −0, 0,   0, 52 0, 32 0, 25 1  0, 25 0, 66 0, 31 ⇒ (E − A)−1 = A= Det(E − A) 0, 329 0, 32 0, 45 0, 66 Như ma trận tổng cầu :      0, 52 0, 32 0, 25 120 487, 5380  0, 25 0, 66 0, 31 150 = 580, 5471 X = (E −A)−1 B = 0, 329 0, 32 0, 45 0, 66 200 723, 1003 Giảng viên: Nguyễn Hữu Thịnh (Trường đại học Ngoại thương) Chương: 04/10/2020 18 / 26 MƠ HÌNH CÂN BẰNG THU NHẬP QUỐC DÂN Mơ hình cân thu nhập quốc dân vi mơ đơn giản : Y : tổng thu nhập quốc dân E : tổng chi tiêu theo kế hoạch quốc gia Mơ hình cân Y = E Trong tổng chi tiêu chi tiêu : Chi tiêu phủ : G Mức đầu tư vào nên kinh tế : I Mức tiêu dùng hộ gia đình : C Giả sử chi tiêu phủ đầu tư vào kinh tế cố định với giá trị G0 I0 , Mức chi tiêu tiêu dùng hộ gia đình phụ thuộc tuyến tính vào thu nhập quốc dân có dạng : C = a.Y + b (0 < a < 1; b > 0) Giảng viên: Nguyễn Hữu Thịnh (Trường đại học Ngoại thương) Chương: 04/10/2020 19 / 26 Hệ phương trình cho cân thu nhập quốc dân :   Y = G0 + I0 + C  C = aY + b Y − C = G0 + I0 ⇔  G = G0 aY − C = −b    I = I0 Nghiệm hệ : Y = C= G0 +I0 +b 1−a a(G0 +I0 )+b 1−a Giảng viên: Nguyễn Hữu Thịnh (Trường đại học Ngoại thương) Chương: 04/10/2020 20 / 26 Example Trong mơ hình cân thu nhập quốc dân đơn giản mức chi tiêu hộ gia đình cho C = 0, 65Y + 1500 ; chi tiêu phủ chi tiêu đầu tư G0 = 4200 I0 = 2100 Tính thu nhập quốc dân mức chi tiêu cân (đơn vị : nghìn tỉ VNĐ) Giảng viên: Nguyễn Hữu Thịnh (Trường đại học Ngoại thương) Chương: 04/10/2020 21 / 26 Lời giải : Hệ phương trình  Y =    C =  G=    I = cho cân thu nhập quốc dân : G0 + I0 + C aY + b ⇔ G0 I0 Y = C= Giảng viên: Nguyễn Hữu Thịnh (Trường đại học Ngoại thương) Chương: 4200+2100+1500 = 1−0,65 0,65(4200+2100)+b = 1−0,65 04/10/2020 22 / 26 Mơ hình cân thu nhập quốc dân dạng vi mơ : Xét mơ hình cân thu chi công ty chu kỳ : Gọi Y tổng doanh thu tổng chi phí C , mơ hình cân : Y = C Giả sử tổng chi phí từ khâu từ đầu sản xuất đến khâu cuối phân thành loại chi phí : • G : Chi phí trả lương cho cán bộ, nhân viên • C : Chi phí quảng cáo • I : Chi phí đầu vào Cố định G0 , I0 , chi phí quảng cáo đại lượng phụ thuộc dạng : C = aY + b(0 < a < 1; b > 0) Bên cạnh đó, cơng ty phải chịu thuế t, (0 < t < 1) , đặt Yd doanh thu sau thuế : Yd = Y − t.Y = (1 − t)Y Giảng viên: Nguyễn Hữu Thịnh (Trường đại học Ngoại thương) Chương: 04/10/2020 23 / 26 Hệ phương trình cân :  Yd = G0 + I0 + C    C = aY + b d ⇒  G = G    I = I0 (1 − t)Y − C = G0 + I0 a(1 − t)Y − C = −b Nghiệm hệ phương trình : Y = C = G0 +I0 +b (1−a)(1−t) a(G0 +I0 )+b 1−a Giảng viên: Nguyễn Hữu Thịnh (Trường đại học Ngoại thương) Chương: 04/10/2020 24 / 26 Example Xét mô hình doanh thu chi phí cho quảng cáo công ty : Y = G0 + I0 + C C = 0, 25Yd + 10 Yd = (1 − t)Y xác định mức doanh thu chi phí cho quảng cáo dạng cân : biết G0 = 150; I0 = 450 t = 15% (đơn vị tính triệu USD) Giảng viên: Nguyễn Hữu Thịnh (Trường đại học Ngoại thương) Chương: 04/10/2020 25 / 26 Ta có Mơ hình cân doanh thu chi phí cho quảng cáo dẫn : Y = G0 + I0 + C ⇒ C = 0, 25Yd + 10 Y = C = Giảng viên: Nguyễn Hữu Thịnh (Trường đại học Ngoại thương) Chương: G0 +I0 +b (1−a)(1−t) a(G0 +I0 )+b 1−a ⇒ Y = C= 04/10/2020 26 / 26 ... 26 Chúng ta giả thiết : QSi QDi hàm tuyến tính với n biến Pi Mơ hình cân QSi = QDi , ∀i = 1, n Như hệ phương trình gồm n phương trình n biến Pi Sau giải hệ giá cân thị trường lượng cung cầu... Chương: 04/10/2020 23 / 26 Hệ phương trình cân :  Yd = G0 + I0 + C    C = aY + b d ⇒  G = G    I = I0 (1 − t)Y − C = G0 + I0 a(1 − t)Y − C = −b Nghiệm hệ phương trình : Y = C = G0 +I0 +b... Mức đầu tư vào nên kinh tế : I Mức tiêu dùng hộ gia đình : C Giả sử chi tiêu phủ đầu tư vào kinh tế cố định với giá trị G0 I0 , Mức chi tiêu tiêu dùng hộ gia đình phụ thuộc tuyến tính vào thu nhập