Hệ phương trình tuyến tính và lớp các bài toán đặc biệt của hệ phương trinh tuyến tính

MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Có thể nói sinh viên khoa toán nói riêng sinh viên học toán nói chung Đại Số Tuyến Tính môn học quan trọng Trong lí thuyết hệ phương trình tuyến tính kĩ giải hệ phương trình tuyến tính quan trọng, hoàn thiện nhờ không gian véc tơ định thức Nó có nhiều ứng dụng nhiều ngành toán học khác như: Đại số, Hình học, Giải tích, lý thuyết phương trình vi phân, Phương trình đạo hàm riêng, Quy hoạch tuyến tính, nhiều lĩnh vực khoa học khác Chính lí em chọn đề tài: “Hệ phƣơng trình tuyến tính lớp toán đặc biệt hệ phƣơng trình tuyến tính” để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu sâu kiến thức hệ phương trình tuyến tính Đưa số dạng toán thường gặp hệ phương trình tuyến tính hệ thống ví dụ minh hoạ cho dạng toán Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức hệ phương trình tuyến tính Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết số dạng toán thường gặp hệ phương trình tuyến tính Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày sở lý thuyết hệ phương trình tuyến tính Đề xuất số dạng toán thường gặp hệ phương trình tuyến tính ví dụ minh họa Các phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu sử dụng lý luận, công cụ toán học Nghiên cứu tài liệu liên quan PHẦN A: NỘI DUNG CHƢƠNG 1: ĐỊNH NGHĨA VỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.1 Định nghĩa Một hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình bậc n ẩn có dạng sau: a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 am1 x1 am x2 amn xn bm Trong đó: số aij hệ số, số bi gọi hệ số tự x1 , x2 , , xn ẩn, ( aij , b j k ) Hệ (1) gọi hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính (1) gọi hệ phương trình tuyến tính b1 b2 bm hay: a11 x1 a12 x2 a1n xn a21 x1 a22 x2 a2 n xn am1 x1 am x2 amn xn Ta gọi hệ (2) hệ phương trình tuyến tính liên kết với hệ (1) Một nghiệm hệ (1) n số c1 , c2 , , cn x1 c1 , x2 c2 , , xn k cho thay cn đẳng thức hệ (1) đẳng thức Hệ (2) luôn có nghiệm, chẳng hạn (0,0,…,0) nghiệm hệ Ta gọi nghiệm (0,0,…,0) nghiệm tầm thường k n 1.2 Định nghĩa Ta có ma trận: a11 a12 a1n a21 a22 a2 n am1 am amn A ma trận hệ số ( ma trận liên kết) (1) (2), ma trận : a11 a12 a21 a22 am1 am B a1n a2 n amn b1 b2 bm Là ma trận bổ sung hệ (1) hay ma trận hệ số mở rộng (1) Đặt: x1 x2 X xn b1 b Thì ta viết gọn hệ (1) dạng: AX b Và hệ (2) viết dạng: AX Véc tơ b gọi véc tơ hệ số tự 1.3 Định nghĩa Ta viết gọn hệ (1) dạng: n aij x j bi , i j 1, 2, , m b2 bm Nếu coi cột cột ma trận B véc tơ không gian k m , chẳng hạn: uuv j uv a1 j , a2 j , , amj b1 , b2 , , bm Thì ta viết hệ (1) dạng: uuv uuv uuv n xn x1 x2 uv Và gọi dạng véc tơ hệ (1) CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN NGHIỆM CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2.1 Định lý (Kronerker-capelli) Hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm hạng ma trận A hạng ma trận bổ sung B, nghĩa là: rankA rankB Hệ quả: Hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm khi: n rankA rankB 2.2 Định lý Tập hợp tất nghiệm hệ phương trình tuyến tính (2) không gian không gian vecto k n có số chiều n rankA Mỗi sở không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính (2) gọi hệ nghiệm Hệ quả: Hệ phương trình tuyến tính (2) có nghiệm không tầm thường rankA n Nói riêng, số ẩn nhiều số phương trình có nghiêm không tầm thường 2.3 Định nghĩa Cho nghiệm (cố định) hệ (1) Khi nghiệm hệ (1) có dạng , là nghiệm hệ phương trình liên kết (1) 2.4 Mệnh đề Nếu biết nghiệm tổng quát hệ phương trình tuyến tính (2) liên kết với hệ (1) uv nghiệm hệ (1) nghiệm (1) có dạng: v uv uv uuv = + t1 + t2 +…+ tr uuv r với t1,t2 , , tr k Từ công thức trên, nghiêm cố định tính nghiệm riêng, nghiệm v uv hệ phương trình tuyến gọi nghiệm tổng quát Như để giải hệ phương trình tuyến tính, ta cần tìm nghiệm riêng, hệ nghiệm sở hệ phương trình tuyến tính liên kết 2.5 Chú ý Khi hệ phương trình có vô hạn nghiệm, dù giải phương pháp Gauss hay đưa sử dụng qui tắc Cramer, ta có nhiều cách chọn biến tự Khi giải hệ phương trình tuyến tính nhất, ta có nhiều cách chọn hệ nghiệm Ngoài hai phương pháp trên, tùy thuộc vào đặc thù hệ phương trình, ta có nhiều cách khác để đơn giản lời giải, chẳng hạn: khử biến (rút từ phương trình thay vào tất phương trình lại ), cộng hai vế phương trình lại với nhau,… CHƢƠNG 3: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3.1 Bài tập không gian nghiệm hệ phƣơng trình tuyến tính 3.1.1 Một số ví dụ 3.1.1.1 Ví dụ Chứng minh hệ phương trình: Ax b Có nghiệm, A M (m, n; k ) nghiệm v hệ phương trình tuyến tính nhất: AT y Có tính chất: v1b1 vmbm Lời giải Ta quy ước véc tơ theo cột Ta có: v1b1 vmbm bT v vT b Theo giả thiết hệ phương trình Ax b có nghiệm có u để : Au b Khi đó: bT v T Au v uT AT u Ngược lại, ta kí hiệu v1 , , vs k m nghiệm hệ phương trình tuyến tính AT y Khi s m rankAT r m r , đó: rankA Gọi B ma trận gồm dòng tọa độ v j Khi AT v j với j có nghĩa cột A nghiệm hệ phương trình: Bz Không gian nghiệm hệ có chiều bằng: m rankB m s m (m r ) r rankA Điều chứng tỏ cột A sinh không gian nghiệm hệ Bz Điều kiện vTj b với j có nghĩa b nghiệm hệ Bz Khi b biểu diễn tuyến tính qua cột A Điều tương đương với việc hệ Ax b có nghiệm Vậy ta có điều phải chứng minh 3.1.1.2 Ví dụ Cho L mở rộng trường k Chứng minh hệ phương trình với hệ số k có nghiệm L, có nghiệm k Lời giải Xét hệ phương trình tuyến tính L: a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 am1 x1 am x2 amn xn bm Hệ cho có ma trận liên kết bổ sung là: A a11 a12 a1n a21 a22 a2 n am1 am amn B a11 a12 a21 a22 am1 am a1n a2 n amn b1 b2 bm Khi từ giả thiết ta có: rankA rankB L Tuy nhiên ta xác định hạng ma trận qua định thức con, mà định thức thuộc k nên không phụ thuộc vào việc mở rộng k Nên ta có: rankA rankB k Theo định lí Kronerker-capelli ta suy hệ có nghiệm k Vậy ta có điều phải chứng minh 3.1.1.3 Ví dụ Hãy xét xem hệ phương trình: ax by cx dy e f Có nghiệm Lời giải Ta có: a b c d ad cb * Nếu ad cb , tức hạng ma trận liên kết 2, hệ có nghiệm * Nếu ad cb bốn số khác để hệ có nghiệm ta phải có: af ce bf de Trường hợp a b c d để hệ có nghiệm ta phải có: e f 3.1.1.4 Ví dụ Chứng minh hệ phương trình tuyến tính với m phương trình rankA m có nghiệm Đó có phải điều kiện cần để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm thay đổi tùy ý hệ số tự không? Lời giải Xét hệ phương trình tuyến tính trường k : a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 am1 x1 am x2 amn xn bm Có ma trận liên kết ma trận bổ sung là: A a11 a12 a1n a21 a22 a2 n am1 am amn a11 a12 a21 a22 am1 am B a1n a2 n amn b1 b2 bm Và hạng ma trận số véc tơ dòng độc lập tuyến tính cực đại Ta có: m m rankA rankB Do đó: rankA rankB Đây điều kiện cần, ta kí hiệu f ánh xạ tuyến tính từ k n vào k m với ma trận biểu diễn A theo cặp sở tự nhiên Khi điều kiện để hệ phương trình với véc tơ hệ số tự b có nghiệm b Im f Do ta phải có Im f k m hay rankA dim(Im f ) m 3.1.1.5 Ví dụ Cho v1 , , vm ¡ n xem ¡ n không gian Euclide Hãy đặc trưng véc tơ x R n trực giao với tất véc tơ Từ đó, tính dimV V không gian sinh v1 , , vm Lời giải Đặt: vi ai1 , , ain x x1 , , xn ¡ ¡ n i 1, , m n Khi véc tơ x trực giao với tất véc tơ vi i 1, , m nếu: vi x i 1, , m ai1 x1 ain xn 10 , i 1, , m Trường hợp hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào x2 x5 Ta biến đổi hệ dạng: x1 x3 x4 x4 x4 1 x2 x5 x5 x5 Giải từ lên ta có: x4 x3 x1 x5 1 x5 x2 x5 Vậy trường hợp nghiệm hệ là: x1 x2 x3 x4 x5 2a a 4b 2b b 5b Với a, b tùy ý 3.3.1.3 Ví dụ Giải biện luận hệ phương trình sau phương pháp Gauss: x1 x1 x1 mx1 x2 x2 mx2 x2 x3 mx3 x3 x3 mx4 x4 x4 x4 1 1 x1 x1 x1 mx1 x2 x2 mx2 x2 x3 mx3 x3 x3 mx4 x4 x4 x4 1 1 Lời giải Ta có: 26 x1 x2 x3 (m 1) x3 (m 1) x2 (1 m) x2 x1 (1 m) x3 x2 (m 1) x2 x3 (m 1) x3 (1 m) x3 (1 m) x2 x1 x2 (m 1) x2 x3 (m 1) x3 mx4 (1 m) x4 (1 m) x4 (1 m2 ) x4 0 m mx4 (1 m) x4 (1 m) x4 (1 m ) x4 0 m mx4 (1 m) x4 (1 m) x4 (3 2m m2 ) x4 0 m Chú ý rằng: 2m m2 (1 m)(m 3) Bởi ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu m đó: x1 x2 x3 x4 Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào tham số x2 , x3 , x4 Nghiệm là: x1 a b c x2 a x3 b x4 c Với a, b, c tùy ý Trường hợp 2: Nếu m x1 , hệ trở thành: x2 x2 x3 x3 3x4 x4 x4 0.x4 Vì 0.x4 ( vô lí) Nên hệ vô nghiệm Vậy hệ cho vô nghiệm 27 0 Trường hợp 3: Nếu m m Ta có hệ phương trình là: x1 x2 (m 1) x2 x3 (m 1) x3 mx4 (1 m) x4 (1 m) x4 (3 2m m2 ) x4 0 m Vậy hệ cho có nghiệm là: m 2m m x4 x3 m ; x2 m x1 m Kết luận: * m : hệ cho có vô số nghiệm dạng: (1 a b c); a; b; c * m * : hệ phương trình vô nghiệm m : hệ có nghiệm là: m x1 x2 x3 x4 m 3.3.1.4 Ví dụ Tìm nghiệm tổng quát hệ nghiệm hệ: x1 x1 x1 x1 3x2 x2 x2 x2 3x3 x3 x3 x3 Lời giải Ta có: 28 x4 3x4 x4 x4 x5 x5 x5 10 x5 0 0 x1 x1 x1 x1 x1 3x2 x2 x2 x2 3x3 x3 x3 x3 3x2 x2 x4 3x4 x4 x4 3x3 x3 x4 x4 x4 x5 x5 x5 10 x5 x5 3x5 0 0 0 Ta chọn x1 , x2 x4 làm sở x3 x5 làm ẩn tự Ta có hệ sau: x1 3x2 x2 x4 x4 x4 3x3 x3 x5 3x5 Giải hệ ta thu nghiệm tổng quát là: x1 3x3 x5 x2 x3 3x5 x4 Cho x3 1, x5 ta được: x1 3x2 x2 x4 x4 x4 x1 x4 x4 x4 x4 x1 x2 Cho x3 0, x5 , ta được: x1 3x2 x2 Khi ta thu nghiệm là: (3; 2;1;0;0), (5; 3;0;0;1) Vậy nghiệm tổng quát là: 29 x2 x4 x1 x2 với , x3 x4 ¡ x5 3.3.2 Bài tập đề nghị Bài 1: Giải hệ phương trình sau phương pháp khử Gauss: a) x1 x2 x3 x4 4 x1 3x2 x3 x4 x1 x2 3x3 x4 12 3x1 3x2 x3 x4 x1 x1 x2 x2 x2 b) c) 3x 6x 9x x3 x3 x3 4y 8y 12 y x4 x4 x4 z 2z 3z x5 x5 2t 6t 10t Bài 2: Giải biện luận theo tham số a) x1 3x2 x3 x4 x1 x2 3x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 12 x2 x3 x4 ( b) 1) x1 x1 x1 ( x2 1) x2 x2 ( hệ phương trình sau: x3 x3 1) x3 30 3 3 Bài 3: Tìm nghiệm tổng quát nghiệm riêng hệ phương trình sau: a) x1 3x1 x1 x2 x2 x2 3x3 x3 x3 x4 x4 x4 b) x1 3x1 3x1 x1 x2 x2 x2 x2 x3 x3 x3 x3 x4 x4 x4 3x4 3x5 x5 2 x5 Bài 4: Tìm hệ nghiệm nghiệm tổng quát hệ phương trình tuyến tính nhất: x1 x1 x1 3x1 x2 3x2 x2 x2 x3 x3 x3 x3 x4 x4 x4 x4 x5 x5 x5 x5 0 0 31 3.4 Giải hệ phƣơng trình tuyến tính số phƣơng pháp khác Với toán giải hệ phương trình, không cần phải sử dụng đến thuật toán Gauss hay phương pháp dùng định thức ta giải toán đơn giản dễ dàng Tùy thuộc vào toán cụ thể mà ta chọn cách giải cho ngắn gọn đơn giản để toán giải cách xác 3.4.1 Một số ví dụ 3.4.1.1 Ví dụ Giải hệ phương trình sau: x1 x2 x3 x2 x3 x4 x98 x99 x100 x99 x100 x1 x100 x1 x2 0 Lời giải Cộng vế từ phương trình thứ đến phương trình thứ 100 ta được: 3( x1 x2 x1 x3 x4 x100 ) x2 x100 (1) Từ phương trình cộng cách quãng phương trình ta được: x1 x2 x3 x100 (2) Từ phương trình (1) (2) suy ra: x1 Từ phương trình thứ cộng cách quãng phương trình ta được: x1 x2 x3 x100 (3) Từ (1) (3) suy ra: x2 Thay x1 x2 vào phương trình hệ ta suy ra: x3 32 Thay x2 x3 vào phương trình thứ hệ ta suy ra: x4 Cứ tiếp tục ta thu được: x5 x6 x7 x99 x100 Vậy hệ cho có nghiệm 0, 0, , 0, Chú ý: Với toán ta giải quy tắc Cramer phức tạp hơn, ta có cách giải sử dụng phương pháp cộng tương ứng vế phương trình không áp dụng với tất phương trình hệ mà áp dụng với số phương trình mà ta chọn 3.4.1.2 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: x1 x2 x2 xn xn xn xn xn a 2004 a x1 20052 a x1 xn 2005n 1 Lời giải Ta cộng thêm biểu thức x1 x2 xi vào vế phương trình thứ i ( i ) hệ cho ( i 2, n ) Ta có: x1 x2 xi a 2004 xi xn a x1 x2 xi 2005i x1 x2 xi a ( x1 x2 xi )(1 ) i 2005 2005i 1) x1 x2 xi a 2005i 2005 ( ) 2005i 2004 Vậy với i 2, n xi ( x1 x2 xi ) ( x1 x2 xi ) 33 a 2005i 2005 a 2005i 2005 ( ) ( ) 2005i 2004 2005i 2004 a 2005i Lấy phương trình thứ trừ phương trình thứ hai hệ ta được: Vậy: xi a ( i 1, n ) 2005i Chú ý: Với ví dụ ta việc chọn biểu thức cộng vào vế phương trình mà ta chọn, sau thực số phép biến đổi ta giải phương trình 3.4.1.3 Ví dụ Giải hệ phương trình: ax1 bx1 bx1 bx1 bx2 ax bx2 bx2 bx3 bx3 bx3 bx3 bx2001 bx2001 ax 2001 bx001 bx2002 bx2002 bx2002 bx2002 2001 2002 Tìm điều kiện với a, b để hệ cho có nghiệm Lời giải Kí hiệu D định thức hệ phương trình: D a b b b b a b b b b a b b b b b 2002.2002 Cộng tất cột với cột ta được: 1 (a 2001b) 1 b a b b 34 b b a b b b b a Nhân hàng với (-1) cộng vào hàng lại ta được: (a 2001.b).(a b) 2001 Vậy hệ cho có nghiệm khi: a b a 2001.b 3.4.1.4 Ví dụ Giải hệ phương trình: x1 a11 x1 a12 x2 a1n xn x2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn xn an1 x1 an x2 ann xn (1) Lời giải Hệ cho tương đương với hệ: a11 a12 a1n x1 a22 a21 an1 an a2 n ann x2 xn 0 Đặt: A a11 a21 an1 a12 a22 an a1n a2 n ann x1 ; x x2 xn ; Thì hệ viết dạng: (A I ) x (*) Trong I ma trận cấp n Xét P( ) đa thức đặc trưng ma trận A Ta có: 35 0 P( ) a11 a21 an1 a21 a22 an a1n a2 n ann Nếu P( ) có nghiệm hữu tỉ nghiệm phải nguyên Suy ra: P( ) Hệ (1) có ma trận với định thức khác nên hệ cho có nghiệm tầm thường Vậy hệ cho có nghiệm là: (0, 0, , 0) 3.4.1.5 Ví dụ Chứng minh a hệ: ax (b 1) x cx (d 1) x (1 b) y ay (1 d ) y cy cz (d 1) z az (1 b) z (1 d )t ct (b 1)t at a b c d Luôn có nghiệm với b, c, d ¡ Lời giải Hệ cho tương đương với: a b c d b a d c c d a b d c b a x y z t a b c d Đặt: a A b c d b a d c c d a b d c b a Ta có: A At m.I với m a (1 b)2 c (1 d )2 36 Vì a nên: A m2 a (1 b)2 c (1 d ) 2 0, với b, c, d ¡ Vậy hệ có nghiệm với b, c, d ¡ 3.4.1.6 Ví dụ Cho hệ phương trình: Với aij a11 x1 a12 x2 a1n xn a21 x1 a22 x2 a2 n xn an1 x1 an x2 ann xn a ji n lẻ Chứng minh hệ có nghiệm không tầm thường Lời giải Đặt: a11 a21 an1 A Do: aij A a12 a22 an a1n a2 n ann i, j 1, n a ji At hay At A Ta có: det A det At det( A) ( 1)n det A det A Do det A Suy hệ phương trình có nghiệm không tầm thường Điều phải chứng minh 3.4.1.7 Ví dụ Giải hệ phương trình: x1 x2 xn x2 x3 x1 3x3 3x4 3x2 37 nxn nx1 nxn 1 n Lời giải Cộng tất phương trình hệ vào ta được: x1 x2 xn Tiếp theo trừ phương trình thứ k cho phương trình thứ ( k 1) ( k n ) trừ phương trình thứ n cho phương trình thứ ta được: ( x1 x2 xn ) nxk x1 x2 xn n xk Và: k (k 1) n ( x1 x2 xn ) nxn ( k 1, n ) n n n n xn 3.4.2 Bài tập tự giải Bài 1: Giải hệ phương trình: x1 x2 x3 x4 x5 x5 x1 x2 x3 x4 x2 x3 x4 x5 x6 x6 1 1 1 Bài 2: Giải biện luận hệ phương trình sau: a) ax bx cx dz by ay dy cy cz dz az bz dt ct bt at p q r s b) x x x x y y y y z z z z t t t t a b c d 38 PHẦN B: KẾT LUẬN Việc tìm hiểu hệ phương trình tuyến tính vấn đề tương đối khó, hiểu chất vấn đề đặt lại khó Do vậy, vấn đề tiếp tục cần đến nghiên cứu bạn học sinh, sinh viên, hướng dẫn thầy cô quan tâm tới vấn đề Lần làm đề tài khóa luận Tuy cố gắng sai sót điều khó tránh khỏi Vì vậy, em mong nhận bảo thầy cô giáo đóng góp ý kiến bạn Cuối em xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy Nguyễn Văn Vạn hướng dẫn tạo điều kiện cho em hoàn thành khóa luận 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, Nxb Đại Học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Duy Thuận, Bài tập đại số tuyến tính, Nxb Đại Học Sư Phạm Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, Nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2000 Phan Hồng Trường, Giáo trình đại số tuyến tính, Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 40 [...]... tiếp các ẩn của hệ phương trình và dựa trên các phép biến đổi sơ cấp của hệ phương trình Giải hệ phương trình tuyến tính (1) gồm các bước sau: Bước 1: Giả sử aij 0 ( nếu không chỉ việc đổi chỗ các phương trình rồi đánh số lại) 1a Ta có thể coi a11 0 , chia cả hai vế của phương trình thứ nhất cho a11 , ta khử được x1 ra khỏi các phương trình ngoại trừ phương trình đầu 1b Sau đó ta nhân phương trình. .. cả các véc tơ v1 , , vm khi và chỉ khi véc tơ x có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: AxT 0 (*) Trong đó A là ma trận có các dòng là các tọa độ của vi Ta có: dim V rank v1 , , vm rankA rank v1 , , vm dimV Hơn nữa V rankA là không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (*) Ta được: dimV n rankA n dimV 3.1.2 Bài tập đề nghị Bài 1: Cho hệ phương trình tuyến tính. .. x5 x5 x5 0 0 0 0 31 3.4 Giải hệ phƣơng trình tuyến tính bằng một số phƣơng pháp khác Với các bài toán giải hệ phương trình, không cần phải sử dụng đến thuật toán Gauss hay phương pháp dùng định thức ta cũng có thể giải bài toán đơn giản và dễ dàng hơn Tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể mà ta chọn cách giải sao cho ngắn gọn và đơn giản nhất để bài toán được giải quyết một cách chính xác nhất 3.4.1 Một... hàng 12 3.2 Giải hệ phƣơng trình tuyến tính bằng phƣơng pháp Cramer Phương pháp Cramer là sử dụng định thức để giải hệ phương trình Xét một hệ n phương trình tuyến tính n ẩn: a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn Trong đó định thức: A a11 a2 a21 a22 ar1 ar 2 a1n a2 n arr 0 Định nghĩa: Ta nói hệ phương trình tuyến tính n ẩn và n phương trình là không suy... x1 ( x2 1) x2 x2 ( các hệ phương trình sau: x3 x3 1) x3 30 2 3 4 3 3 3 2 3 Bài 3: Tìm nghiệm tổng quát và một nghiệm riêng của các hệ phương trình sau: a) 2 x1 3x1 9 x1 7 x2 5 x2 4 x2 3x3 2 x3 x3 x4 2 x4 7 x4 6 4 2 b) 6 x1 3x1 3x1 9 x1 4 x2 2 x2 2 x2 6 x2 5 x3 4 x3 2 x3 x3 2 x4 x4 x4 3x4 3x5 2 x5 1 3 7 2 2 x5 Bài 4: Tìm hệ nghiệm cơ bản và nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: 6... 1 Giải hệ phương trình sau: x1 x2 x3 0 x2 x3 x4 0 x98 x99 x100 x99 x100 x1 x100 x1 x2 0 0 0 Lời giải Cộng từng vế từ phương trình thứ nhất đến phương trình thứ 100 ta được: 3( x1 x2 x1 x3 x4 x100 ) 0 x2 x100 0 (1) Từ phương trình đầu tiên cộng cách quãng 2 phương trình ta được: 2 x1 x2 x3 x100 0 (2) Từ phương trình (1) và (2) suy ra: x1 0 Từ phương trình thứ 2 cộng cách quãng 2 phương trình ta... d 21 Bài 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp định thức: a) x1 3 x1 3 x1 2 x1 2 x1 b) 2x 4x 8x 3x 4 x2 2y 3y 5y 3y 5 x2 7 x2 4 x2 2 x3 x3 3x3 3x3 5 x3 z z 3z 2z t 2 2t 3 4t 6 2t 3 4 9 15 13 11 Bài 3: Tìm nghiệm tổng quát và nghiệm riêng của hệ phương trình: 2 x 3t 5 z 7t 1 4 x 6 y 2 z 3t 2 2 x 3 y 11z 15t 1 22 3.3 Giải hệ phƣơng trình tuyến tính bằng phƣơng pháp Gauss Nội dung của phương. .. 0 (3) Từ (1) và (3) suy ra: x2 0 Thay x1 0 và x2 0 vào phương trình đầu tiên của hệ ta suy ra: x3 0 32 Thay x2 0 và x3 0 vào phương trình thứ 2 của hệ ta suy ra: x4 0 Cứ tiếp tục như vậy ta thu được: x5 x6 x7 x99 x100 0 Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất 0, 0, , 0, 0 Chú ý: Với bài toán trên ta cũng có thể giải bằng quy tắc Cramer nhưng phức tạp hơn, vì vậy ta có cách giải sử dụng phương pháp cộng... dụng phương pháp cộng tương ứng 2 vế của các phương trình nhưng không áp dụng với tất cả các phương trình trong hệ mà chỉ áp dụng với một số phương trình mà ta sẽ chọn 3.4.1.2 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: x1 x2 x2 xn 1 xn xn 1 xn xn a 2004 a x1 20052 1 a x1 xn 2005n 1 1 Lời giải Ta cộng thêm biểu thức x1 x2 xi 1 vào cả 2 vế phương trình thứ i ( i 2 ) của hệ đã cho ( i 2, n ) Ta có: x1 x2 ... mất tính tổng quát xét hệ phương trình gồm r phương trình đầu: a11 x1 a12 x2 a1r xr a1r 1 xr a21 x1 a22 x2 a2 r xr a2 r 1 xr ar1 x1 ar 2 x2 arr xr arr 1 xr a1n xn 1 b1 a2 n xn 1 arn xn 1 b2 (3) br Mọi véc tơ dòng của ma trận bổ sung B đều là tổ hợp tuyến tính của r véc tơ dòng đầu Vì thế mỗi nghiệm của hệ (3) cũng là nghiệm của mỗi phương trình từ thứ r 1 đến thứ m , do đó là nghiệm của hệ (1) ... Trong đó: số aij hệ số, số bi gọi hệ số tự x1 , x2 , , xn ẩn, ( aij , b j k ) Hệ (1) gọi hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính (1) gọi hệ phương trình tuyến tính b1 b2 bm... cố định tính nghiệm riêng, nghiệm v uv hệ phương trình tuyến gọi nghiệm tổng quát Như để giải hệ phương trình tuyến tính, ta cần tìm nghiệm riêng, hệ nghiệm sở hệ phương trình tuyến tính liên... sở không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính (2) gọi hệ nghiệm Hệ quả: Hệ phương trình tuyến tính (2) có nghiệm không tầm thường rankA n Nói riêng, số ẩn nhiều số phương trình có nghiêm không