Hệ phương trình tuyến tính và lớp các bài toán đặc biệt của hệ phương trinh tuyến tính

Trong đó lí thuyết về hệ phương trình tuyến tính và các kĩ năng giải các hệ phương trình tuyến tính là rất quan trọng, nó được hoàn thiện nhờ không gian véc tơ và định thức.. Đưa ra một

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Có thể nói đối với sinh viên khoa toán nói riêng và sinh viên học toán

nói chung Đại Số Tuyến Tính là một môn học rất quan trọng

Trong đó lí thuyết về hệ phương trình tuyến tính và các kĩ năng giải các

hệ phương trình tuyến tính là rất quan trọng, nó được hoàn thiện nhờ không gian véc tơ và định thức Nó có nhiều ứng dụng không những trong nhiều ngành toán học khác như: Đại số, Hình học, Giải tích, lý thuyết phương trình

vi phân, Phương trình đạo hàm riêng, Quy hoạch tuyến tính, và còn trong

nhiều lĩnh vực khoa học khác Chính vì lí do đó em đã chọn đề tài: “Hệ

phương trình tuyến tính và lớp các bài toán đặc biệt của hệ phương trình tuyến tính” để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu sâu hơn các kiến thức về hệ phương trình tuyến tính

Đưa ra một số dạng toán thường gặp của hệ phương trình tuyến tính và

hệ thống các ví dụ minh hoạ cho mỗi dạng toán

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức về hệ phương trình tuyến tính

Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết và một số dạng toán thường gặp về hệ phương trình tuyến tính

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày cơ sở lý thuyết về hệ phương trình tuyến tính

Đề xuất một số dạng toán thường gặp về hệ phương trình tuyến tính và

ví dụ minh họa

5 Các phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng các lý luận, các công cụ toán học

Hệ (1) được gọi là hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Hệ phương trình tuyến tính (1) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất nếu b1 b2 b m 0 hay:

x x X

x

và

1 2

m

b b b

Nếu coi mỗi cột cột của ma trận B như một véc tơ trong không gian k , chẳng hạn:

uuvj a a1 ,j 2j, ,a mj

uv b b1, 2, ,b m

Thì ta cũng có thể viết hệ (1) dưới dạng:

uuv1 1x uuv2x2 uuvn x n uv

Và gọi đó là dạng véc tơ của hệ (1)

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Hệ quả:

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (2) có nghiệm không tầm thường

khi và chỉ khi rankA n Nói riêng, nếu số ẩn nhiều hơn số phương trình thì

nó luôn có nghiêm không tầm thường

2.3 Định nghĩa

Cho 0 là một nghiệm nào đó (cố định) của hệ (1) Khi đó là nghiệm của hệ (1) khi và chỉ khi có dạng 0 , trong đó là một nghiệm của hệ phương trình thuần nhất liên kết (1)

2.4 Mệnh đề

Nếu biết nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (2) liên kết với hệ (1) và uv là một nghiệm nào đó của hệ (1) thì mọi nghiệm của (1) có dạng:

Từ công thức trên, một nghiêm cố định uv của hệ phương trình tuyến tính là nghiệm riêng, còn nghiệm v gọi là nghiệm tổng quát

Như vậy để giải một hệ phương trình tuyến tính, ta cần tìm một nghiệm riêng, và một hệ nghiệm cơ sở của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết

CHƯƠNG 3: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Cho L là mở rộng trường k Chứng minh rằng nếu hệ phương trình với

hệ số trên k có nghiệm trong L, thì nó cũng có nghiệm trong k

Khi đó từ giả thiết ta có: rankA rankB trên L Tuy nhiên ta có thể xác

định hạng của ma trận qua các định thức con, mà các định thức con đều thuộc

k nên nó không phụ thuộc vào việc mở rộng k

Nên ta có: rankA rankB trên k Theo định lí Kronerker-capelli ta suy

Chứng minh rằng hệ phương trình tuyến tính với m phương trình và

rankA m luôn có nghiệm

Đó có phải là điều kiện cần để mọi hệ phương trình tuyến tính như vậy luôn có nghiệm khi thay đổi tùy ý các hệ số tự do không?

Có ma trận liên kết và ma trận bổ sung lần lượt là:

k với ma trận biểu diễn A theo cặp cơ sở tự nhiên

Khi đó điều kiện để hệ phương trình với véc tơ hệ số tự do b có

nghiệm là b Im f Do đó ta phải có Imf km hay rankA dim(Im )f m

3.1.1.5 Ví dụ 5

Cho v1, ,v m ¡ n và xem ¡ n như không gian Euclide Hãy đặc trưng các véc tơ n

x R trực giao với tất cả các véc tơ trên Từ đó, hãy tính dimV trong

đó V là không gian con sinh bởi v1, ,v m

Vậy véc tơ x x1, ,x n ¡ n vuông góc với tất cả các véc tơ v1, ,v m khi

và chỉ khi véc tơ x có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

T 0

Ax (*) Trong đó A là ma trận có các dòng là các tọa độ của v i

Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có hạng của ma trận liên kết

nhỏ hơn số biến một đơn vị Chứng minh rằng hai nghiệm tùy ý của nó tỉ lệ

với nhau (tức véc tơ nghiệm này là bội của véc tơ nghiệm kia)

3.2 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer

Phương pháp Cramer là sử dụng định thức để giải hệ phương trình Xét một hệ n phương trình tuyến tính n ẩn:

Định lý: Cho hệ phương trình tuyến tính không suy biến, kí hiệu: D A 0

thì hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất được cho bởi công thức:

i i

D x D

Với D i là ma trận thu được từ ma trận A bằng cách thay cột i của A bằng cột hệ số tự do

Từ đó ta xây dựng cách giải hệ (1) bằng phương pháp dùng định thức như sau:

Nếu rankA rankB thì hệ (1) vô nghiệm

Nếu rankA rankB r, không làm mất tính tổng quát ta có định thức:

Mọi véc tơ dòng của ma trận bổ sung B đều là tổ hợp tuyến tính của r

véc tơ dòng đầu Vì thế mỗi nghiệm của hệ (3) cũng là nghiệm của mỗi phương trình từ thứ r 1 đến thứ m, do đó là nghiệm của hệ (1) Ngược lại mỗi nghiệm của hệ (1) cũng là nghiệm của hệ (3), vì thế chỉ cần giải hệ (3)

và gọi các ẩn: x r 1, ,x n là những ẩn tự do

Với mỗi bộ n r số (c r 1, ,c n) kn r các vế phải của r phương trình

này là những hằng số Vì định thức D 0 nên khi đó hệ (3) đã cho là hệ Cramer, ta tìm được giá trị duy nhất của x1, ,x r, chẳng hạn:

Nếu coi rằng c r 1, ,c n nhận giá trị tùy ý thì nghiệm c c1, 2, ,c c r, r 1 được gọi là nghiệm tổng quát, nếu cho mỗi c j ( j r 1, ,n) một giá trị trị xác định thì được gọi là một nghiệm riêng

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất n ẩn và n phương trình có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi nó suy biến

Do D 0 nên hệ có ngiệm duy nhất Ta có:

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là 1,1,1

Vậy hệ vô nghiệm

Suy ra: rankB 4

Vì rankA rankB nên hệ đã cho vô nghiệm

Vậy hệ đã cho vô nghiệm

b) Hệ đã cho có ma trân bổ sung và ma trận liên kết là:

Vì thế rankB 3 rankA Vậy hệ có nghiệm

Nên ta sẽ giải phương trình sau:

c) Hệ đã cho có ma trận liên kết và ma trận bổ sung lần lượt là:

3.3 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss

Nội dung của phương pháp Gauss là khử liên tiếp các ẩn của hệ phương trình và dựa trên các phép biến đổi sơ cấp của hệ phương trình

Giải hệ phương trình tuyến tính (1) gồm các bước sau:

''

0

Mỗi nghiệm của phương trình nhận được bằng cách gán cho: x r 1, , x n

những giá trị tùy ý thuộc trường k Sau đó ta thế lần lượt từ dưới lên trên và

Nếu cho c c3, 4 một giá trị cụ thể thì ta được một nghiệm riêng

Chẳng hạn: Với c3 0, c4 1 ta được một nghiệm riêng là: ( 1, 2,0,1)

Vậy hệ phương trình vô nghiệm

Nếu m 5, hệ đã cho tương đương với hệ:

Trường hợp này hệ có vô số nghiệm vì phụ thuộc vào x và 2 x5.

Ta biến đổi hệ trên về dạng:

Vì 0.x4 4( vô lí) Nên hệ này vô nghiệm

Vậy hệ đã cho vô nghiệm

Trường hợp 3: Nếu 1

3

m m

3

1

; 3

x

1 3

x x

m Kết luận:

* m 1: hệ đã cho có vô số nghiệm dạng:

3 2 0

x x x

5 3 0

x x x

Khi đó ta thu được nghiệm cơ bản là:

(3; 2;1; 0; 0), (5; 3; 0; 0;1)

Vậy nghiệm tổng quát là:

1 2 3 4 5

0

x x x x x

3.4 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng một số phương pháp khác Với các bài toán giải hệ phương trình, không cần phải sử dụng đến

thuật toán Gauss hay phương pháp dùng định thức ta cũng có thể giải bài toán đơn giản và dễ dàng hơn Tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể mà ta chọn cách giải sao cho ngắn gọn và đơn giản nhất để bài toán được giải quyết một cách chính xác nhất

0 0 0

Từ phương trình (1) và (2) suy ra: x1 0

Từ phương trình thứ 2 cộng cách quãng 2 phương trình ta được:

1 2 2 3 100 0

Từ (1) và (3) suy ra: x2 0

Thay x2 0 và x3 0 vào phương trình thứ 2 của hệ ta suy ra: x4 0

Cứ tiếp tục như vậy ta thu được: x5 x6 x7 x99 x100 0

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất 0, 0, , 0, 0

Chú ý:

Với bài toán trên ta cũng có thể giải bằng quy tắc Cramer nhưng phức tạp hơn, vì vậy ta có cách giải sử dụng phương pháp cộng tương ứng 2 vế của các phương trình nhưng không áp dụng với tất cả các phương trình trong hệ

Nhân hàng đầu tiên với (-1) rồi cộng vào các hàng còn lại ta được:

2001

(a 2001 ).(b a b) Vậy hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi: a b và a 2001.b

2

2

0 1

n

x x x

x

;

0 0 0

Xét P( ) là đa thức đặc trưng của ma trận A Ta có:

detA detA t det( A) ( 1) detn A detA

Do đó detA 0 Suy ra hệ phương trình có nghiệm không tầm thường Điều phải chứng minh

Lời giải

Cộng tất cả các phương trình của hệ vào ta được:

1 2 n 1

Tiếp theo trừ phương trình thứ k cho phương trình thứ ( k 1) (k n)

và trừ phương trình thứ n cho phương trình thứ nhất ta được:

PHẦN B: KẾT LUẬN

Việc tìm hiểu về hệ phương trình tuyến tính là một vấn đề tương đối khó, và hiểu được bản chất của mỗi vấn đề đặt ra lại càng khó hơn Do vậy, vấn đề này tiếp tục cần đến sự nghiên cứu của các bạn học sinh, sinh viên, sự hướng dẫn của các thầy cô và những ai quan tâm tới vấn đề này

Lần đầu tiên làm đề tài khóa luận Tuy đã rất cố gắng nhưng sai sót là điều khó có thể tránh khỏi Vì vậy, em rất mong nhận được sự chỉ bảo của các thầy cô giáo và sự đóng góp ý kiến của các bạn

Cuối cùng em xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy Nguyễn Văn Vạn đã

hướng dẫn và tạo điều kiện cho em hoàn thành khóa luận này

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua các ví dụ và bài tập, Nxb Đại Học

Quốc Gia Hà Nội

2 Nguyễn Duy Thuận, Bài tập đại số tuyến tính, Nxb Đại Học Sư Phạm

3 Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, Nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội,

2000

4 Phan Hồng Trường, Giáo trình đại số tuyến tính, Trường Đại Học Sư Phạm

Hà Nội 2