Một số phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo Nguyễn Văn Hùng tận tình hướng dẫn giúp đỡ suốt thời gian thực khóa luận Xin chân thành cảm ơn thầy, cô tổ Giải tích-Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ hoàn thành khóa luận Xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè tạo điều kiện thuận lợi cho trình thực khóa luận Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Nguyễn Thị Ngọc Nguyễn Thị Ngọc Lớp K32C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khoá luận công trình nghiên cứu riêng Trong nghiên cứu, kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với chân trọng biết ơn Những kết nêu khoá luận chưa công bố công trình khác Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Nguyễn Thị Ngọc Nguyễn Thị Ngọc Lớp K32C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán MỤC LỤC Nội dung Lời cảm ơn Lời cam đoan Lời nói đầu Chương 1: Một số kiến thức 1.1 Số gần sai số 1.2 Hệ phương trình tuyến tính 13 1.3 Phân tích sai số 15 Chương 2: Một số phương pháp giải gần hệ phương trình tuyến tính 17 2.1 Phương pháp Gauss 17 2.2 Phương pháp Cholesky 25 2.3 Phương pháp trực giao hóa 29 2.4 Phương pháp lặp đơn 32 2.5 Phương pháp Jacobi 37 2.6 Phương pháp Seidel 41 2.7 Phương pháp Gauss-Seidel 46 Chương 3: Bài tập áp dụng 49 Kết luận Tài liệu tham khảo Nguyễn Thị Ngọc Lớp K32C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán LỜI NÓI ĐẦU Toán học môn khoa học bắt nguồn từ nhu cầu giải toán có nguồn gốc thực tiễn quay trở lại phục vụ thực tiễn Cùng với thời gian tiến loài người toán học ngày phát triển chia thành hai lĩnh vực toán học lý thuyết toán học ứng dụng Nói đến toán học ứng dụng phải kể đến Giải tích số-môn học nghiên cứu phương pháp giải gần toán thực tế mô hình hoá ngôn ngữ toán học Để có lời giải cho toán cần phải có kiện toán, xây dựng mô hình toán, tìm thuật toán hiệu Và cuối xây dựng chương trình máy tính cho tiết kiệm thời gian nhớ Tuy nhiên thời gian sử lý số liệu không tránh khỏi sai số dù nhỏ ảnh hưởng trực tiếp đến trình tính toán Chính phải sử dụng thuật toán hữu hiệu để giảm thiểu sai số đồng thời thuận lợi cho công việc lập trình tiết kiệm số lượng phép tính thời gian tính toán Phương pháp số có ý nghĩa lớn đại số tuyến tính, đặc biệt việc giải hệ phương trình tuyến tính Khi số phương trình lớn phương pháp truyền thống nhiều gặp khó khăn, giải cách xác mà đưa lời giải gần cho toán Các nhà toán học tìm nhiều phương pháp để giải gần hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính có dạng tổng quát hệ gồm m phương trình n ẩn Trong khuôn khổ khoá luận em xin trình bày mảng nhỏ hệ n phương trình, n ẩn Nguyễn Thị Ngọc Lớp K32C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Với lòng yêu thích toán học, đam mê nghiên cứu khoa học em định chọn đề tài cho là: “Một số phương pháp giải gần hệ phương trình tuyến tính” Có nhiều phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học thời gian nghiên cứu nên khuôn khổ khoá luận em xin trình bày số vấn đề sau: Chương 1: Một số kiến thức sai số, làm tròn số, số gần đúng, hệ phương trình tuyến tính, tập nghiệm hệ phương trình, số điều kiện ma trận, phân tích sai số Chương 2: Một số phương pháp giải gần hệ phường trình tuyến tính Chương gồm phương pháp giải gần hệ phương trình tuyến tính gồm phương pháp trực tiếp phương pháp lặp trình bày theo thứ tự: sở lý thuyết, thuật toán, ứng dụng đánh giá sai số (nếu có) Chương 3: Bài tập áp dụng Nguyễn Thị Ngọc Lớp K32C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán CHƢƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Số gần sai số 1.1.1 Định nghĩa * Trong thực tế tính toán ta thường số a mà biết * số đủ gần a Ta nói a số gần a , a không sai khác a * nhiều * Đại lượng   a  a gọi sai số thực a * Do a nên  ta tìm số a  cho a*  a  a (1.1) Hay a  a  a*  a Số ∆ a thoả mãn (1.1) gọi sai số tuyệt đối a Tỉ số  a  a gọi sai số tương đối a a Ví dụ 1.1.1.1 Cho số a*   ; a  3.14 3.14  a  3.15; a  0.01 3.14  a*  3.142; a  0.002 Trong phép đo nói chung sai số tuyệt đối nhỏ tốt Ví dụ 1.1.1 Đo độ dài hai đoạn đường ta được: a  100m; a  0.5m b  6km; b  20m a  0.5 20  ; b   100 200 6000 300 Nguyễn Thị Ngọc Lớp K32C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Nhận xét: Từ ví dụ ta thấy phép đo b xác phép a a  b Như độ xác phép đo phản ánh qua sai số tương đối 1.1.2 Sai số thu gọn Xét số thập phân a biểu diễn dạng: a     p10 p   p 110 p 1    p q 10 p q  Trong đó:  i  9;  p  0; p   i  p  q  Nếu p  q  a số nguyên  Nếu -   p  q  a số thập phân có phần lẻ gồm p  q chữ số  Nếu p  q   a số thập phân vô hạn Ví dụ 1.1.2.1 4087   103   102   101   100 Ta thấy: p  q  nên a =4083 số nguyên Ví dụ 1.1.2.2 31.8783   101  1 100   101   102   103   104 Ta thấy : p  q = 4 nên a =31.8783 số thập phân có phần lẻ gồm chữ số  Thu gọn a vứt bỏ số chữ số bên phải a để số ngắn gọn đảm bảo độ xác cần thiết  Quy tắc thu gọn Giả sử: a    p10 p   j 110 j 1    j 10 j    p q10 p q  Nguyễn Thị Ngọc Lớp K32C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Giả sử ta muốn giữ lại đến hàng thứ j, gọi phần bỏ M Khi ta số thu gọn là:  a   p 10 p   p 110 p 1    j 10 j   j   M  0.5 10 j   Trong đó:  j   j j  j 1  0.5 10  M  10  Nếu M=0.5  10j  j   j  j chẵn  j   j 1  j lẻ tính toán với số chẵn tiện Ví dụ 1.1.2.3   3.141592654  3.14159265  3.1415926  3.141592  3.14159  3.1415  3.141  3.14  3.1   Giả sử số thu gọn a a Ta có a  a  a a*  a  a*  a  a  a  a*  a  a  a  a  a Từ đánh giá ta có nhận xét: Khi thu gọn số a sai số tuyệt đối * * a với a lớn sai số tuyệt đối a a 1.1.3 Chữ số có nghĩa, chữ số 1.1.3.1 Chữ số có nghĩa Chữ số có nghĩa chữ số khác chữ số kẹp hai chữ số có nghĩa đại diện cho hàng giữ lại Ví dụ 1.1.3.1   0.000870190 Bốn chữ số vị trí chữ số nghĩa, toàn chữ số lại chữ số có nghĩa 1.1.3.2 Chữ số p p 1 p q Xét số a     p10   p 110    p q10  Nguyễn Thị Ngọc Lớp K32C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Chữ số  j gọi chữ số a    10i Với  số cho trước Tham số  chọn để chữ số vốn sau thu gọn chữ số Ví dụ 1.1.3.2 a  1.70134 a  0.001  103 Khi đó: a   100   101   102   103   104   105 Chọn   a có bốn chữ số 1,7,0,1 lại hai chữ số không 3,4 Nếu chọn   a có ba chữ số 1,7,0 ba chữ số 1,3,4 không Ta xét việc chọn  Giả sử a viết dạng: a     p10 p   p110 p1    pq10 pq  Ta chọn  cho sau thu gọn đến bậc (i+1) i 1 Muốn phải có: a  a    10i 1   10i  0.5  10i 1    10i 1    10    Trong thực tế người ta chọn     Nếu   người ta nói chữ số theo nghĩa rộng,   người ta nói chữ số theo nghĩa hẹp Nguyễn Thị Ngọc Lớp K32C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Lưu ý: Khi viết số gần ta nên giữ lại hai chữ số không để tính toán sai số tác động đến chữ số không mà 1.1.4 Sai số tính toán Giả sử ta phải tính đại lượng y theo công thức: y  f  x1 , x2 , , xn    * * * * * * Gọi x   x1 , x2 , , xn  ; y  f x giá trị Giả sử ta giá trị này, mà ta biết giá trị x   x1, x2 , , xn  ; y  f  x  * * giá trị gần x y Giả sử xi ; xi (với i=1,2, ,n) sai số tuyệt đối tương đối đối số Khi sai số hàm y  f  x1, x2 , , xn  gọi sai số tính toán Giả sử f  x1, x2 , , xn  hàm số khả vi liên tục thì: y  y  y*  f  x1 , x2 , , xn   f  x1* , x2* , , xn*  n       f x'i x1 , x2 , , xn xi  xi* Với x  x1 , x2 , , xn điểm nằm x x * Vì f khả vi liên tục xi  xi  x * i n ' bé nên y   f xi  x  xi với x   x1, x2 , , xn  i 1 y n     ln f  x  xi y Vậy: y i 1 xi viết (1.1.4)  y   ln y 1.1.4.1 Sai số phép toán cộng, trừ: n Nếu y   xi yx' i  với i=1,…,n i 1 Nguyễn Thị Ngọc 10 Lớp K32C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán   Lấy xấp xỉ ban đầu: x   0, 0, 0 Kết ghi bảng sau: k x1 k  x2 k  x3 k  0 0 0.25 1.0659 -0.2414 0.2561 1.1207 -0.2227 0.2466 1.1139 -0.2245 0.2472 1.1145 -0.2246 Nghiệm xấp xỉ hệ là: x   0.2472;1.1145; 0.2246 Ta thấy giải hệ phương trình, phương pháp lặp đơn hội tụ qua bước lặp, phương pháp Seidel hội tụ qua bước lặp 2.6.6 Nhận xét - Phương pháp Seidel hội tụ tốt phương pháp lặp đơn - Phương pháp Seidel tiết kiệm nhớ, thành phần vừa tính huy động để tính thành phần - Có thể nêu ví dụ phương pháp Seidel hội tụ phương pháp lặp đơn phân kì ngược lại - Do  n , , ,  tương đương nên phương pháp Seidel hội tụ B  B  2.7 Phƣơng pháp Gauss-Seidel 2.7.1 Cơ sở lý thuyết Xét phương trình (2.1) với ma trận đường chéo trội ta viết (2.1) dạng: aii xi   aij x j   aij x j  bi j i Nguyễn Thị Ngọc j i 46 Lớp K32C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán aij a b   ij  i aii j i a j i a ii ii Hay: xi   (2.7.1) Vì ma trận A chéo trội nên ma trận B   bij i , j 1 , đó: n i  j  0  bij   aij  a  ii i  j  Thoả mãn B   Như phương pháp Gauss-Seidel áp dụng cho phương trình (2.7.1) hội tụ xi k 1   j i aij aii xjk 1   j i aij aii x jk   bi aii 2.7.2 Sơ đồ tính toán Cho hệ phương trình Ax  b Ấn định sai số  ,   aij a b x j   ij x j  i aii j i a j i a ii ii Đưa (2.1) dạng : xi   Chọn x 0 tuỳ ý aij  k 1 a b x j   ij xjk   i aii j i a j i a ii ii Tính: xi k 1   Cho đến x   x k k 1  Kết luận nghiệm x*  x k , với sai số x k  x*  B  1 B Ví dụ 2.7.1 Giải hệ phương trình Ax  b với liệu: Nguyễn Thị Ngọc 47 Lớp K32C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán 10 1  12      A   10  , b  13   2 10  14      Lời giải Ta có hệ phương trình: 10 x1  x2  x3  12  2 x1  10 x2  x3  13 2 x  x  10 x  14   x1  0.1x2  0.1x3  1.2   x2  0.2 x1  0.1x3  1.3  x  0.2 x  0.2 x  1.4  Phương pháp Gauss-Seidel cho (2.7.1) có dạng:  x1 k 1  0.1x2 k   0.1x3 k   1.2   k 1  k 1 k   x2  0.2 x1  0.1x3  1.3   k 1  k 1  k 1  x3  0.2 x1  0.2 x2  1.4 Chọn xấp xỉ ban đầu: x 0  1.2;0;0  Kết ghi bảng sau: k x1 k  x2 k  x3 k  1.2 0 1.2 1.06 0.948 …… …… …… ……… ……… …… 1.0000 1.0000 1.0000 Nguyễn Thị Ngọc 48 Lớp K32C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Kết luận: Nghiệm hệ phương trình x*  1;1;1 CHƢƠNG 3: BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss 8 x1  3x2  x3  20  a) 4 x1  11x2  x3  33 6 x  3x  12 x  36  2.0 x1  1.0 x2  0.1x3  1.0 x4  2.7 0.4 x  0.5 x  4.0 x  8.5 x  21.9  b) 0.3x  1.0 x  1.0 x  5.2 x  3.9  1.0 x1  0.2 x2  2.5 x3  1.0 x4  9.9 Bài 2: Giải hệ phương trình sau phương pháp Cholesky với số liệu cho đây: 4.25 x1  1.48 x2  0.73x3  1.44  a) 1.48 x1  1.73x2  1.85 x3  2.73 0.73x  1.85 x  1.93x  0.64  1.00 x1  0.42 x2  0.54 x3  0.66 x4 0.42 x  1.00 x  0.32 x  0.44 x  b)  0.54 x1  0.32 x2  1.00 x3  0.22 x4  0.66 x1  0.44 x2  0.22 x3  1.00 x4  0.3  0.5  0.7  0.9 Bài 3: Giải hệ phương trình sau phương pháp lặp đơn 10 x1  x2  x3  10  a)  x1  10 x2  x3  12  x  x  10 x   Nguyễn Thị Ngọc 49 Lớp K32C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán 20.9 x1  1.2 x2  2.1x3  0.9 x4  21.7 1.2 x  21.2 x  1.5 x  2.5 x  27.4  b) 2.1x  1.5 x  19.8 x  1.3x  28.76 với   103  0.9 x1  2.5 x2  1.3x3  32.1x4  49.72 Bài 4: Giải hệ phương trình sau phương pháp Jacobi 4 x  0.24 x  0.08 x  3  0.09 x  x  0.15 x  với   10 0.04 x  0.08 x  x  20  Bài 5: Giải hệ phương trình sau phương pháp Seidel  x1  x2  x3  x4   2 x  10 x  3x  x  18    x3  x4    x1   x1  x2  3x3  10 x4  18  Bài 6: Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss-Seidel 10 x1  x2  x3  x4  2 x  10 x  x  x  23   2 x1  x2  10 x3  x4  12  x1  x2  20 x4  40 Bài 7: Giải hệ phương trình sau phương pháp trực giao hoá  x1  x2  x3    x1  x2  x3  2 x  x  x  1  Đáp án hƣớng dẫn giải tập: Bài 1: a) Hệ cho tương đương với hệ phương trình sau: Nguyễn Thị Ngọc 50 Lớp K32C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán  x1  0.375 x2  0.25 x3  2.5   12.5 x2  x3  23  5.25 x 10.5 x  21   x1  0.375 x2  0.25 x3  2.5  x2  0.16 x3  1.84   11.34 x3  11.34   x1  0.375 x2  0.25 x3  2.5  x2  0.16 x3  1.84   x3    x1    x2   x 1  Kết luận: Vậy nghiệm hệ là: x   3;2;1 b) Tương tự ta đưa hệ dạng:  x1  0.5 x2  0.05 x3  0.5 x4  1.35  x2  13.40 x3  29.00 x4  71.20   x3  1.72298 x4  4.72298    1.11998 x4  1.11998  Kết luận: Nghiệm hệ là: x  1.0000;2.0000;3.0000; 1.0000  Bài 2: a) Ta thấy ma trận A đối xứng, tìm ma trận B b11  a11  2.0615; b12  a12 1.48   0.7179 b11 2.0615 b13  a13  0.3541; b22  a22  b122  1.1021 b11 b23   a23  b12b13   1.4479; b33  a33  b132  b232   0.5396i b22 Nguyễn Thị Ngọc 51 Lớp K32C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán b21  b31  b32  Giải hệ By=b ta có: 2.0615 y1  1.44    0.7179 y1  1.1021y2  2.73  0.3541y  1.4479 y  0.5396iy  0.64   y1  0.6985   y2  2.9321  y  6.2232i  Giải hệ BTx=y ta có: 2.0615 x1  0.7179 x2  0.3541x3  0.6985  1.1021x2  1.4479 x3  2.9321   0.5396ix3  6.2232i   x1  2.0301   x2  12.4910  x  11.5329  Kết luận: Nghiệm hệ là: x   2.0301; 12.4910; 11.5329 b) Tương tự ta thấy A ma trận đối xứng, tìm ma trận B 1 0 T B  0  0 0.42 0.54 0.66  0.9075 0.1027 0.1794  0.8354  0.1853   0 0.7056  Giải hệ By=b ta đươc: y1  0.3   0.42 y1  0.9075 y2  0.5   0.54 y1  0.1027 y2  0.8354 y3  0.7   0.66 y1  0.1794 y2  0.1853 y3  0.7056 y4  0.9 Nguyễn Thị Ngọc 52 Lớp K32C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán  y1  0.3  y  0.4121    y3  0.5933   y4  1.0459 Giải hệ BTx=b ta được:  x1  0.42 x2  0.54 x3  0.66 x4  0.3 0.9075 x  0.1027 x  0.1794 x  0.4121   0.8354 x3  0.1853x4  0.5933   0.7056 x4  1.0459   x1  1.2576  x  0.0435    x3  1.0390   x4  1.4823 Kết luận: Nghiệm hệ x   1.2576;0.0435;1.0390;1.4823 Bài a) Hệ cho tương đương với hệ phương trình sau:  x1  0.2 x2  0.1x3    x2  0.1x1  0.2 x3  1.2  x  0.1x  0.1x  0.8    0.2  0.1 B   0.1 0.2   0.1  0.1    Ta có B   0.3  Theo định lý (2.4) ta có phép lặp đơn x k 1  Bx k   g Chon x     0;0;0  ta thu kết bảng sau: k Nguyễn Thị Ngọc x1 x2 53 x3 Lớp K32C Khóa luận tốt nghiệp 0.68 0.754 0.733 0.7383 0.73688 0.737250 Khoa Toán 1.2 0.94 1.016 0.997 1.0021 1.00077 1.00112 0.8 0.58 0.638 0.623 0.627 0.62596 0.626235 b) Đưa hệ dạng:  x   21.70  1.2 x2  2.1x3  0.4 x4   20.9   x   27.40  1.2 x  1.5 x  2.5 x   21.2   x   28.76  2.1x  1.5 x  1.3 x   19.8   x4   49.72  0.9 x1  2.5 x2  1.3x3  32.1  Chọn x   1.04;1.30;1.45;1.55 x5   0.7999;0.9999;1.1999;1.3999  Kết luận: Nghiệm gần hệ là: x   0.7999;0.9999;1.1999;1.3999 xấp xỉ nghiệm x*   0.8;1.0;1.2;1.4 Bài 0.24  0.08   8  A   0.09  0.15  ; b     0.04  0.08   20      Kiểm tra tính chéo trội ma trận A Ta đưa hệ cho dạng x=Bx+g: Trong đó: Nguyễn Thị Ngọc 54 Lớp K32C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán  0.06 0.02   2 B   0.03 0.05  ; g     0.01 0.02 5      B  0.08; g  10 n 1 B Ta có g  1 B Suy 0.08n1 10  103 0.92 n3 Theo định lý (2.4) ta có dãy phép lặp sau: x k 1  Bx k   g Chọn x(0)   0;0;0 ta thu kết sau: k x1 2.28 2.299 2.291812 x2 3.31 3.1826 3.183283 x3 5.02 5.0434 5.040662 Kết luận: Nghiệm xấp xỉ hệ là: x=(2.291812;3.18283;5.050662 Bài Đưa hệ dạng:  x1  0.2 x2  0.2 x3  0.4 x4  1.6  x  0.2 x  0.3x  0.4 x  1.8   1.8  x3  0.4 x1  0.2 x4    x4  0.1x1  0.5 x2  0.3x3  1.8 Từ ta có: Nguyễn Thị Ngọc 55 Lớp K32C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán   0.2 0.2  0.4   1.6   0.2  0.3 0.4   1.8     B ; g   0.4 0   0.2 1.8       0.1  0.5 0.3   1.8  Kiểm tra điều kiện: B   Phân tích B  B1  B2 đó: 0   0.2 0 B1    0.4 0   0.1  0.5 0.3 0   0.2 0.2  0.4   0  0  0.3 0.4 ; ; B2   0 0 0 0.2     0 0  0 Do có phép lặp đơn: x k 1  B1 x k 1  B2 x k   g Chọn xấp xỉ ban đầu: x    0;0;0;0 ta thu kết bảng sau: x1 k 0 1.6 1.6 0.9396 0.98236 1.003314 0.998908 1.000270 Kết luận: Nghiệm hệ là: x2 x3 x4 0 -1.8 1.8 1.8 1.58 1.52 1.626 -1.41768 1.74936 3.12761 -0.87729 2.032578 2.94665 -1.030451 1.988005 3.011958 -0.948787 2.002829 2.975133 -1.010741 1.994919 3.003873 x  1.000270; 1.010741;1.994919;3.003873 Bài Hệ cho tương đương với hệ phương trình sau: Nguyễn Thị Ngọc 56 Lớp K32C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán  x1  0.1x2  0.1x3  0.2 x4  0.8  x  0.2 x  0.1x  0.5 x  2.3    x3   0.2 x1  0.2 x2  0.1x4  1.2  2  x4  0.05 x1  0.05 x2 Ta có phép lặp đơn sau:  x1 k 1   k 1  x2   k 1  x3  x k 1   0.1x2 k   0.1x3 k   0.2 x4 k   0.8  0.2 x1 k 1  0.1x3 k   0.5x4 k   2.3   0.2 x1 k 1  0.2 x2 k 1  0.1x4 k   1.2  0.05 x1 k 1  0.05 x2 k 1 2 Chọn xấp xỉ ban đầu x(0)   0.8;0.85;0.9;1.5 ta thu kết bảng sau: x1 x2 x3 x4 k 0.8 0.85 0.9 -1.5 0.925 1.275 0.91 -1.9825 0.978 1.02215 0.99822 -1.99779 0.99752 1.001777 0.999919 -1.99979 0.999788 1.00016 0.999990 -1.999982 Kết luận: Nghiệm hệ là: x   0.999788;1.00016;0.999990; 1.999982 Bài     Ta đặt a1  1,1,1,1 ; a2  1,2, 1,0 ;a3   2,1,1,1 ;a4   0,0,0,1 ;     1 1  Ta có: u1  a1  1,1,1, 1  v1   ; ; ;  2 2        3    3  u2  a2  a2 , v1 v1   ; ; ;   v2   ; ; ;  2 2 2 2 5 5            11 2 16  u3  a3   a3 , v1 v1  a3 , v2 v2    ; ; ;     10 10 10 10   Nguyễn Thị Ngọc    57 Lớp K32C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán   11 2 16   v3   ; ; ;   430 430 430 430              180 150 120 90  u4  a4   a4 , v1 v1  a4 , v2 v2  a4 , v3 v3    ; ; ;    860 860 860 860   x1       180 90 150 90 120 90 :  2; x2  :  ; x3  :  ; 860 860 860 860 860 860 4  Kết luận: Nghiệm hệ phương trình là: x   2; ;  3  Nguyễn Thị Ngọc 58 Lớp K32C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán KẾT LUẬN Trên toàn đề tài: “Một số phương pháp giải gần hệ phương trình tuyến tính” Đối chiếu với mục đích nghiên cứu, đề tài hoàn thành nhiệm vụ đặt - Đề tài nghiên cứu phương pháp giải gần hệ phương trình tuyến tính Đưa hai nhóm phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp trực tiếp phương pháp lặp Chỉ tính ưu việt phương pháp lặp Từ sở lý thuyết đến cách tiếp cận với phương pháp giải, xếp theo trình tự hợp lý - Mặc dù có nhiều cố gắng tìm tòi nghiên cứu khả thời gian có hạn nên đề tài không tránh khỏi thiếu xót Vì em mong bảo, đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên để đề tài hoàn chỉnh Nguyễn Thị Ngọc 59 Lớp K32C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Kỳ Anh(2005), Giải tích số- NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Minh Chương (Chủ biên), Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường, Giải tích số-NXB Giáo Dục Tạ Văn Đĩnh, Phương pháp tính-NXB Giáo Dục Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Nguyễn Anh Kiệt, Tạ Mân, Nguyễn Doãn Tuấn, Đại số tuyến tính hình học giải tích-NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Đình (Chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh-Toán học cao cấp-NXB Giáo Dục Nguyễn Đình (Chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh-Bài tập toán học cao cấp-NXB Giáo Dục Nguyễn Thị Ngọc 60 Lớp K32C [...]... được tính chính xác đến 0.1m3 Ta có: V =  R2h, nên có: Vậy   1.2 V V V   R 2 =R2h, =2  Rh, h R  0.1 0,1  0.03 ; R   0.001 ; h  0,1  0, 003 3 4  3 3.6 2 3. 4 Hệ phƣơng trình đại số tuyến tính 1.2.1 Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính Một hệ phương trình tuyến tính tổng quát là hệ có m phương trình n ẩn Ở đây ta chỉ xét những hệ n phương trình , n ẩn Nghĩa là chỉ xét hệ. .. sai số của vế phải Từ đó suy ra rằng với ma trận A điều kiện xấu thì nghiệm của nó thay đổi nhiều so với những thay đổi nhỏ ở hệ số và số hạng tự do Như vậy, vấn đề giải hệ phương trình tuyến tính bằng số với ma trận điều kiện xấu và vế phải cho gần đúng là một bài toán khó của toán học tính toán Nguyễn Thị Ngọc 16 Lớp K32C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán CHƢƠNG 2: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ... HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Cho hệ phương trình tuyến tính Ax  b (2.1) Giả thiết detA  0 hệ có nghiệm duy nhất Ta có thể tìm nghiệm của hệ (2.1) theo phương pháp Cramer hoặc sử dụng ma trân nghịch đảo nhưng những cách này đòi hỏi phép tính khá lớn và không thuận lợi khi ma trận A điều kiện xấu Nhằm khắc phục hạn chế đó trong chương này chúng ta xét một số phương pháp thực tế giải hệ phương trình (2.1)... tưởng của phương pháp Gauss là đưa hệ phương trình (2.1) về dạng tam giác trên, khi đó nghiệm tìm được nhờ quá trình thế ngược Quá trình đưa hệ phương trình (2.1) về một hệ tương đương dạng tam giác trên được gọi là quá trình xuôi Như vậy phương pháp Gauss được thực hiện theo 2 quá trình sau đây: Quá trình xuôi: đưa hệ (2.1) về dạng tam giác nhờ phép biến đổi tương đương Quá trình ngược: Tìm từ hệ tam... nhỏ, và các số liệu ban đầu là đúng Tuy nhiên, do phải thực hiện một số phép tính tương đối là lớn nên có nguy cơ tích lũy sai số, nhất là đối với trường hợp số liệu ban đầu không thật chính xác - Nhóm phương pháp gián tiếp (phương pháp lặp) thường được áp dụng cho lớp các bài toán có kích cỡ lớn, số liệu ban đầu có sai số 2.1 Phƣơng pháp Gausss 2.1.1 Cơ sở lý thuyết Cho hệ phương trình tuyến tính Ax ... điểm là khối lượng tính toán được giảm nhẹ Trong số các phương pháp đó có thể chia ra làm 2 nhóm lớn là: - Nhóm phương pháp trực tiếp: phương pháp Gauss, trực giao hoá Hilbert-Schmidt, Cholesky - Nhóm phương pháp gián tiếp: lặp đơn, Jacobi, phương pháp Seidel và Gauss-Seidel Đặc điểm: - Nhóm phương pháp trực tiếp là sau một số hữu hạn phép tính sẽ cho ta kết quả, vì vậy nhóm phương pháp này thường được... ta có: x4  2 3 b Qúa trình ngược: tìm x3 , x2 , x1 2 3 8 x2  3 x3  x1   2 3  2 8 2 2  ; ; ;  3 3 3 3  Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là: x   2.1.3 Nhận xét - Phương pháp Gauss là phương pháp trực tiếp thường sử dụng để giải hệ tuyến tính có kích cỡ nhỏ, các số liệu cho đúng - Khối lượng tính toán của phương pháp Gauss: n n 2  6n  1  3 Trong đó: Số phép tính nhân, chia ở bước... đồ tính toán Ax  b 1 Cho hệ phương trình tuyến tính: (2.1) 2 Ấn định sai số cho phép  ,   0 3.Đưa hệ Ax  b về hệ tương đương x  Bx  g (2.4.1) 4.Kiểm tra điều kiện B  1 (2.4.2) 5.Chọn x0 tùy ý 6 .Tính xk 1  Bxk  g , k=0,1,2,… (2.4.3) Cho tới khi xk  xk 1   thì dừng quá trình tính toán 7 Kết luận nghiệm x*  xk với sai số xk  x*  B  1 B Ví dụ 2.4.1: Giải hệ phương trình sau bằng phương. .. - Phương pháp Cholesky thường áp dụng cho hệ chuẩn tắc nhận được khi sử lý bằng phương pháp bình phương tối thiểu Khi đó ma trận A của hệ là đối xứng, xác định dương và hệ (2.1) được giải duy nhất - Khối lượng tính toán: Số phép nhân là: 1 3 n  9n2  2n   6 Số phép cộng là: 1 3 n  6n 2  7 n   6 Số phép chia là n và số phép khai căn là n 2.3 Phƣơng pháp trực giao 2.3.1 Cơ sở lý thuyết Giải hệ. .. Gauss Nguyên nhân là do quá trình trực giao hóa Hilber- Schmidt theo công thức (2.3.2) không ổn định Sai số nhỏ có thể làm hệ vectơ vi i 1 không còn n trực giao nữa 2.4 Phƣơng pháp lặp đơn 2.4.1 Cơ sở lí thuyết Nguyễn Thị Ngọc 32 Lớp K32C Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Để giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính (2.1), ta áp dụng phương pháp lặp đơn mà bản chất của phương pháp là vận dụng nguyên lý ... sai số Chương 2: Một số phương pháp giải gần hệ phường trình tuyến tính Chương gồm phương pháp giải gần hệ phương trình tuyến tính gồm phương pháp trực tiếp phương pháp lặp trình bày theo thứ...  3.6 3. Hệ phƣơng trình đại số tuyến tính 1.2.1 Dạng tổng quát hệ phương trình tuyến tính Một hệ phương trình tuyến tính tổng quát hệ có m phương trình n ẩn Ở ta xét hệ n phương trình , n ẩn... 1: Một số kiến thức 1.1 Số gần sai số 1.2 Hệ phương trình tuyến tính 13 1.3 Phân tích sai số 15 Chương 2: Một số phương pháp giải gần hệ phương trình tuyến