Một số phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân

Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng LI CM N hon thnh bn khúa lun tt nghip ny, trc ht em xin chõn thnh cm n cỏc thy cụ giỏo khoa Toỏn, cỏc thy cụ t gii tớch ó to iu kin, giỳp em thi gian va qua c bit, em xin by t lũng bit n chõn thnh v sõu sc nht ti Tin s Nguyn Vn Hựng ó tn tỡnh hng dn, ch bo cho em sut quỏ trỡnh nghiờn cu khúa lun Em xin chõn thnh cm n H Ni, ngy 25 thỏng nm 2013 Sinh viờn Trn Hng Hnh Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng LI CAM OAN Em xin cam oan khúa lun ny l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng em Trong nghiờn cu, em ó k tha nhng thnh qu nghiờn cu ca cỏc nh khoa hc, nh nghiờn cu vi s trõn trng v bit n Nhng kt qu nờu khúa lun cha c cụng b trờn bt kỡ cụng trỡnh no khỏc H Ni, ngy 25 thỏng nm 2013 Sinh viờn Trn Hng Hnh Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng MC LC LI NểI U Chng 1: CC KIN THC CHUN B Đ1 S GN NG V SAI S Khỏi nim v s gn ỳng, sai s tuyt i, sai s tng i Sai s tớnh toỏn Bi toỏn ngc ca bi toỏn sai s Đ2 SAI PHN nh ngha v tớnh cht Mt s cụng thc ni suy s dng sai phõn 10 Đ3 PHNG TRèNH VI PHN THNG 12 Mt s khỏi nim 12 Mt s phng trỡnh vi phõn ó bit cỏch gii 12 nh lớ Pica Lindolov (nh lớ tn ti v nht nghim) 14 Phng trỡnh vi phõn cp cha gii i vi o hm 16 Cỏch gii mt s phng trỡnh vi phõn cp cao 18 Chng 2: MT S PHNG PHP GII GN NG PHNG TRèNH VI PHN 24 Đ1 PHNG PHP EULER V EULER CI TIN 24 Phng phỏp Euler 24 Phng phỏp Euler ci tin 26 Đ2 PHNG PHP RUNGE KUTTA 29 Trng hp m = 31 Trng hp m = 31 Trng hp m = 33 Trng hp m = 35 Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng Phng phỏp Runge Kutta cú th ỏp dng gii mt h phng trỡnh vi phõn cp hay mt phng trỡnh vi phõn cp cao 39 Chng 3: BI TP P DNG 41 KT LUN 53 TI LIU THAM KHO 54 Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng LI NểI U Thot u, toỏn hc c phỏt sinh nhu cu gii quyt cỏc bi toỏn cú ngun gc thc tin Cựng vi s phỏt trin ca ni ti toỏn hc v cỏc ngnh khoa hc khỏc, toỏn hc chia thnh hai lnh vc: toỏn hc lớ thuyt v toỏn hc ng dng Trong lnh vc toỏn hc ng dng thng gp rt nhiu bi toỏn liờn quan ti phng trỡnh vi phõn thng Vỡ vy, nghiờn cu phng trỡnh vi phõn thng úng mt vai trũ quan trng lớ thuyt toỏn hc Chỳng ta bit rng ch cú mt s ớt cỏc phng trỡnh vi phõn thng l cú th tỡm c nghim chớnh xỏc, ú phn ln cỏc phng trỡnh vi phõn thng ny sinh t cỏc bi toỏn thc tin u khụng tỡm c nghim chớnh xỏc Do dú, mt s t l tỡm cỏc phng phỏp xỏc nh nghim gn ỳng ca phng trỡnh vi phõn thng Xut phỏt t nhu cu thc tin ú, cỏc nh toỏn hc ó tỡm nhiu phng phỏp gii gn ỳng phng trỡnh vi phõn thng Trong cỏc phng phỏp ú, ngi ta ó phõn lm nhúm: nhúm th nht gi l cỏc phng phỏp gii tớch cho phộp tỡm nghim gn ỳng di dng biu thc gii tớch, nhúm th hai gi l cỏc phng phỏp s cho phộp tỡm nghim di dng bng L mt sinh viờn khoa Toỏn, khuụn kh mt bn khúa lun, em xin c trỡnh by nhng hiu bit ca mỡnh v mt s phng phỏp s gii gn ỳng phng trỡnh vi phõn thng c s hng dn tn tỡnh ca Tin s Nguyn Vn Hựng cựng vi lũng nhit tỡnh say mờ nghiờn cu khoa hc, em ó chn ti: Mt s phng phỏp gii gn ỳng phng trỡnh vi phõn Em ó i sõu nghiờn cu hai phng phỏp s: phng phỏp Euler v Euler ci tin, phng phỏp Runge Kutta Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng Ni dung bn khúa lun gm ba chng Chng 1: Cỏc kin thc chun b Chng 2: Mt s phng phỏp gii gn ỳng phng trỡnh vi phõn Chng 3: Bi ỏp dng Do thi gian v nng lc cú hn nờn khúa lun ca em cũn nhiu thiu sút, kớnh mong nhn c ý kin úng gúp ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn sinh viờn H Ni, ngy 25 thỏng nm 2013 Sinh viờn Trn Hng Hnh Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng Chng CC KIN THC CHUN B Đ1 S GN NG V SAI S Khỏi nim v s gn ỳng, sai s tuyt i, sai s tng i a, S gn ỳng, sai s tuyt i, sai s tng i Trong thc t tớnh toỏn, ta thng khụng bit s ỳng a * m ch bit s gn ỳng ca a * l a i lng a * a c gi l sai s thc s ca a Do khụng bit a * nờn cng khụng bit, nhng ta cú th tỡm c a cho a * a a ; (1.1) S a nh nht tha (1.1) c gi l sai s tuyt i ca a T s a a c gi l sai s tng i ca a a Vớ d Gi s a 3,14 ; a * Do 3,14 a * 3,15 3,14 0,01 nờn a 0,01 Mt khỏc 3,14 a * 3,142 3,14 0,002 nờn a 0,002 Trong phộp o núi chung, sai s tuyt i cng nh thỡ cng tt Vớ d o di hai on thng AB, CD ta c a 10 cm v b cm, vi a b 0,01 Khi ú, ta cú a b 0,01 0,1%; 10 0,01 1% hay b 10 a Hin nhiờn rng phộp o a chớnh xỏc hn phộp o b mc dự a b Vy chớnh xỏc ca phộp o phn ỏnh qua sai s tng i Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng b, S thu gn cỏc s, sai s thu gn Xột s thp phõn a c biu din di dng a p 10 p p 10 p p s 10 p s ú i 9, i Z , i l nhng s nguyờn Nu p s thỡ a l s nguyờn Nu p s m, (m 0) thỡ a cú phn l gm m ch s Nu s thỡ a l s thp phõn vụ hn Chng hn a 597,36 5.10 9.101 7.10 3.10 6.10 õy p 2, s 4, 5, 9, 7, 3, , ta thy p s nờn a 597,36 l s thp phõn cú phn l gm hai ch s *) Thu gn a l vt b i mt s cỏc ch s hng bờn phi biu din ca a c mt s gn ỳng a gn hn, nhng m bo chớnh xỏc cn thit *) Quy tc thu gn Gi s a p 10 p j 10 j p s 10 p s v ta gi li n s hng th j Gi phn vt b i l , ta t a p 10 p j 10 j j 10 j ú j 0,5.10 j 10 j j j j 0,5.10 Nu 0,5.10 j thỡ j j nu j l chn v j j nu j l vỡ tớnh toỏn vi s chn tin hn Vớ d 3,141592 3,14159 3,1416 3,142 3,14 3,1 Sai s thu gn a l mi s tha iu kin a a a Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng Vỡ a p 10 p j 10 j cũn a p 10 p j 10 j j 10 j nờn a a j j 10 j 0,5.10 j Sau thu gn, sai s tuyt i tng lờn a * a a * a a a a a c, Ch s chc Ch s cú ngha l mi ch s khỏc v c nu nú kp gia hai ch s cú ngha hoc nú i din cho hng c gi li Vớ d a 0,0030140 Ba ch s u khụng cú ngha Mi ch s cú ngha i ca a p 10p p1 10p1 ps 10ps gi l ch s chc, nu a .10 i ú l tham s cho trc Tham s c chn mt ch s ó chc sau thu gn l ch s chc Gi s ch s chc cui cựng ca a trc thu gn l i i v cỏc ch s trc nú chc, phi cú a a .10 i Suy .10 i 0,5.10 i .10 i hay Ta s gi ch s chc theo ngha hp (rng) nu 0,5 ( 1) Khi vit s gn ỳng, ch nờn gi li mt, hai ch s khụng chc tớnh toỏn sai s ch tỏc ng n cỏc ch s khụng chc m thụi Sai s tớnh toỏn Trong tớnh toỏn, ta thng gp loi sai s sau: + Sai s gi thit mụ hỡnh húa, lý tng húa bi toỏn thc t Sai s ny khụng loi tr c Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng + Sai s phng phỏp cỏc bi toỏn thng gp rt phc tp, khụng th gii ỳng c m phi s dng cỏc phng phỏp gn ỳng Sai s ny s c nghiờn cu cho tng phng phỏp c th + Sai s cỏc s liu cỏc s liu thng thu c bng thc nghim ú cú sai s + Sai s tớnh toỏn cỏc s ó cú sai s, cũn thờm sai s thu gn nờn tớnh toỏn s xut hin sai s tớnh toỏn Gi s ta phi tớnh i lng y theo cụng thc y f ( x1 , , x n ) Gi x * ( x1* , , x n* ); y * f ( x * ) l cỏc giỏ tr ỳng Gi s ta khụng bit cỏc giỏ tr ỳng ny, ta ch bit cỏc giỏ tr gn ỳng l x ( x1 , , xn ) ; y f ( x) Gi s xi (i 1, , n); xi (i 1, , n) l cỏc sai s tuyt i v sai s tng i tng ng ca cỏc i s Khi ú: sai s ca hm s y f ( x1 , , x n ) c gi l sai s tớnh toỏn Gi s hm f l hm s kh vi liờn tc theo tt c cỏc bin xi thỡ y y y * f ( x1 , , x n ) f ( x1* , , x n* ) n f x' ( x1 , , xn ) xi xi* i i vi x = ( x1 ,, x n ) v x l im nm gia x v x * Vỡ f kh vi liờn tc, xi xi xi* khỏ nờn n y f x' ( x) xi ; vi x ( x1 , , x n ) i Vy y i y n ln f ( x) xi i x i y v ụi cú th vit y ln y ; Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán (1.2) (1.2' ) Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng Trong ú k1 hf ( x0 , y0 , z0 ); l1 hg ( x0 , y0 , z0 ) h k l h k l k hf x0 , y0 , z0 ; l2 hg x0 , y0 , z 2 2 2 h k l h k l k3 hf x0 , y0 , z0 ; l3 hg x0 , y0 , z 2 2 2 k hf ( x0 h, y0 k3 , z0 l3 ); l4 hg ( x0 h, y0 k , z l3 ) Vớ d Gii gn ỳng h phng trỡnh 2y x y ' z z' y zx vi iu kin ban u y (0,5) z (0,5) ; ti x 0,6 ; h 0,1 Gii t f f ( x, y , z ) 2y x 2y ; g g ( x, y , z ) z zx p dng ( 2.29) , ta cú bng sau i x y z k hf 0,5 1 0,15 0,13333 0,15002 0,13301 0,55 1,075 1,06667 0,15 0,13299 0,55 1,075 1,0665 0,15002 0,133 0,6 1,15002 1,133 0,15005 0,13272 0,6 1,15002 1,13301 l hg y z Vy y1 1,15002 ; z1 1,13301 Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán 40 Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng Chng BI TP P DNG Bi Bng phng phỏp Euler tỡm nghim gn ỳng ca cỏc phng trỡnh sau a, y ' y 1; y (0) ; h 0,1; x [0;0,5] b, y ' x y ; y (0) ; h 0,2 ; x [0;1] y c, y ' ; y (1) 1; h 0,1; x [1;0,5] x d, y ' y sin x ; y (0) 1; h 0,1; x [0;0,5] e, y ' x y ; y (1) ; h 0,1; x [1;2] 2x Bi lm a, p dng cụng thc ( 2.3) , ta cú bng sau f i hf ( xi , y i ) y ( xi ) e x i i xi yi f ( xi , y i ) 0 0,1 0,1 0,1 1,1 0,11 0,1052 0,2 0,21 1,21 0,121 0,2214 0,3 0,331 1,331 0,1331 0,3499 0,4 0,4641 1,4641 0,1464 0,4918 0,5 0,6105 1,6105 0,1611 0,6487 b, Ta cú bng sau f i hf ( xi , yi ) y( xi ) xi2 2xi i xi yi f ( xi , y i ) 0 -2 -0,4 0,2 -0,4 -1,56 -0,312 -0,36 Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán 41 Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 0,4 -0,712 -1,128 -0,2256 -0,64 0,6 -0,9376 -0,7024 -0,1405 -0,84 0,8 -1,0781 -0,2819 -0,0564 -0,96 -1,1345 0,1345 0,0269 -1 c, Ta cú bng sau f i hf ( xi , y i ) y ( xi ) xi i xi yi f ( xi , y i ) -1 -1 -1 -0,1 -1 -0,9 -1,1 -1,2222 -0,1222 -1,1111 -0,8 -1,2222 -1,5278 -0,1528 -1,25 -0,7 -1,375 -1,9643 -0,1964 -1,4286 -0,6 -1,5714 -2,619 -0,2619 -1,6667 -0,5 -1,8333 -3,6666 -0,3667 -2 d, Ta cú bng sau y ( xi ) cos xi yi f ( xi , y i ) f i hf ( xi , y i ) 0 1 0,1 0,0998 0,01 1,005 0,2 1,01 0,2027 0,0203 1,0203 0,3 1,0303 0,3137 0,0314 1,0468 0,4 1,0617 0,439 0,0439 1,0857 0,5 1,1056 0,5860 0,0586 1,1395 i xi e, Ta cú bng sau i xi yi f ( xi , y i ) f i hf ( xi , y i ) y ( xi ) xi xi 1,5 0,15 Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán 42 Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 1,1 2,15 1,4773 0,1477 2,1488 1,2 2,2977 1,4574 0,1457 2,2954 1,3 2,4434 1,4398 0,144 2,4402 1,4 2,5874 1,4241 0,1424 2,5832 1,5 2,7298 1,4099 0,141 2,7247 1,6 2,8708 1,3971 0,1397 2,8649 1,7 3,0105 1,3854 0,1385 3,004 1,8 3,149 1,3747 0,1375 3,1416 1,9 3,2865 1,3649 0,1365 3,2784 10 3,423 1,3558 0,1356 3,4142 Bi Bng phng phỏp Euler ci tin, gii gn ỳng cỏc phng trỡnh sau a, y ' y ; y ( 1) 0,5 ; h 0,1; x [ 1;0,5] x b, y ' y 2x ; y (0) 1; h 0,1; x [0;1] y c, y ' xy y ; y (0) 1; h 0,1; x [0;0,5] d , y ' y ; y (0) 1; h 0,1; x [0;0,5] Bi lm a, p dng cụng thc ( 2.5) , ta cú bng sau 1 x i xi y i*1 f ( xi , yi*1 ) yi f xi , y i -1 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 -0,9 0,525 0,2763 0,5263 0,277 0,5263 -0,8 0,554 0,3078 0,5555 0,3086 0,5556 Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán y 43 Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng -0,7 0,5864 0,3449 0,5882 0,346 0,5882 -0,6 0,6228 0,3893 0,625 0,391 0,625 -0,5 0,6641 0,4427 0,6667 0,4445 0,6667 b, Ta cú bng sau i xi y i*1 f ( xi , y i*1 ) yi f ( xi , y i ) y 2x 0 1 1 1 0,1 1,1 0,9182 1,096 0,9135 1,0954 0,2 1,1874 0,8505 1,1842 0,8464 1,1832 0,3 1,2688 0,796 1,2663 0,7925 1,265 0,4 1,3456 0,7511 1,3435 0,748 1,3416 0,5 1,4183 0,7132 1,4166 0,7107 1,4142 0,6 1,4877 0,6811 1,4862 0,6788 1,4832 0,7 1,5541 0,6533 1,5528 0,6512 1,5492 0,8 1,618 0,6291 1,6168 0,6272 1,6125 0,9 1,6795 0,6077 1,6785 0,6061 1,6733 10 1,7391 0,5891 1,7383 0,5878 1,7321 c, Ta cú bng sau 1 x i xi y i*1 f ( xi , yi*1 ) yi f ( xi , y i ) 0 1 1 1 0,1 1,1 1,221 1,1111 1,2346 1,1111 0,2 1,2346 1,5394 1,2498 1,5622 1,25 0,3 1,4060 1,9991 1,4279 2,0396 1,4286 0,4 1,6319 2,6971 1,6647 2,7732 1,6667 0,5 1,9420 3,8277 1,9947 3,9841 Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán y 44 Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng d, Ta cú bng sau 1 x i xi y i*1 f ( xi , y i*1 ) yi f xi , yi 0 -1 -1 -1 0,1 -0,9 0,81 -0,9095 0,8272 -0,9091 0,2 -0,8268 0,6836 -0,834 0,6956 -0,8333 0,3 -0,7644 0,5843 -0,77 0,5929 -0,7692 0,4 -0,7107 0,5051 -0,7175 0,5114 -0,7143 0,5 -0,664 0,4409 -0,6675 0,4456 -0,6667 y Bi Bng cụng thc Runge Kutta vi chớnh xỏc 0(h ) , gii gn ỳng cỏc bi toỏn sau a, y ' y cos x ; y (0) 1; h 0,1; x [0;0,3] b, y ' x y ; y (0) 1; h 0,1; x [0;0,5] c, y ' xy ; y (0) 1; h 0,2 ; x [0;1] d , y ' x y ; y (0) ; h 0,2 ; x [0;1] e, y ' y x ; y (0) ; h 0,1; x [0;0,5] Bi lm a, Ta cú bng tớnh sau i x y k hf ( x, y ) y 0,1 0,105 0,05 1,05 0,1049 0,05 1,0525 0,1051 0,1 1,1051 0,11 0,1 1,105 0,11 Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán 0,1148 45 Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 0,15 1,16 0,1147 0,15 1,16240 0,1149 0,2 1,2199 0,1196 0,2 1,2198 0,1195 0,25 1,2796 0,124 0,25 1,2818 0,1242 0,3 1,344 0,1284 0,3 1,3439 0,1284 0,1284 0,1241 Cỏc giỏ tr gn ỳng nhn c y0 ; y1 1,105 ; y2 1,2198 ; y3 1,3439 b, Ta cú bng sau i x y k hf ( x, y ) y -1 -0,2 -0,2211 0,05 -1,1 -0,2198 0,05 -1,1099 -0,2217 0,1 -1,2217 -0,2433 0,1 -1,2211 -0,2432 0,15 -1,3427 -0,2663 0,15 -1,3543 -0,2686 0,2 -1,4897 -0,2939 0,2 -1,4889 -0,2938 0,25 -1,6358 -0,3209 0,25 -1,6494 -0,3236 0,3 -1,8125 -0,3535 0,3 -1,8116 -0,3533 0,35 -1,9883 -0,3854 Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán -0,2678 -0,3227 -0,3876 46 Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 0,35 -2,0043 -0,3886 0,4 -2,2002 -0,424 0,4 -2,1992 -0,4238 0,45 -2,4111 -0,462 0,45 -2,4302 -0,4658 0,5 -2,665 -0,508 0,5 -2,6638 -0,5078 -0,4646 -0,5078 Cỏc giỏ tr gn ỳng nhn c y0 1; y1 1,2211; y2 1,4889; y3 1,8116; y4 2,1992; y5 2,6638 c, Ta cú bng sau i x y k hf ( x, y ) y 0,0067 0,1 0,0067 0,1 1,0034 0,0067 0,2 1,0067 0,0134 0,2 1,0067 0,0134 0,3 1,0134 0,0203 0,3 1,0169 0,0203 0,4 1,027 0,0274 0,4 1,027 0,0274 0,5 1,0407 0,0347 0,5 1,0444 0,0348 0,6 1,0618 0,0425 0,6 1,0618 0,0425 0,7 1,0831 0,0505 Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán 0,0203 0,0348 0,0507 47 Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 0,7 1,0871 0,0507 0,8 1,1125 0,0593 0,8 1,1125 0,0593 0,9 1,1422 0,0685 0,9 1,1468 0,0688 1,1813 0,0788 1,1813 0,0788 0,0688 0,0788 Cỏc giỏ tr gn ỳng nhn c y0 1; y1 1,0067 ; y2 1,027 ; y3 1,0618 ; y4 1,1125 ; y5 1,1813 d, Ta cú bng sau i x y 0 0,1 0,002 0,1 0,001 0,002 0,2 0,002 0,008 0,2 0,0027 0,008 0,3 0,0067 0,018 0,3 0,0117 0,018 0,4 0,0207 0,0321 0,4 0,0214 0,0321 0,5 0,0375 0,0503 0,5 0,0466 0,0504 0,6 0,0718 0,073 0,6 0,0725 0,0365 0,7 0,0908 0,0996 0,7 0,1223 0,101 Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán k hf ( x, y ) y 0,0027 0,0187 0,0511 0,0953 48 Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 0,8 0,1735 0,134 0,8 0,1678 0,1336 0,9 0,2346 0,173 0,9 0,2543 0,1749 0,3427 0,2235 0,3433 0,2236 0,1755 0,2236 Cỏc giỏ tr gn ỳng nhn c y0 ; y1 0,0027 ; y2 0,0214 ; y3 0,0725 ; y4 0,1678 ; y5 0,3433 e, Ta cú bng sau i x y k hf ( x, y ) y 0 0,0202 0,05 0,0224 0,05 0,0112 0,0224 0,1 0,0224 0,0317 0.1 0,0202 0,0317 0,15 0,0361 0,0389 0,15 0,0397 0,0389 0,2 0,0591 0,0451 0,2 0,0589 0,0451 0,25 0,0815 0,0507 0,25 0,0843 0,0507 0,3 0,1096 0,056 0,3 0,1096 0,056 0,35 0,1376 0,0611 0,35 0,1402 0,0611 0,4 0,1707 0,0662 Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán 0,0387 0,0507 0,0611 49 Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 0,4 0,1707 0,0662 0,45 0,2038 0,0712 0,45 0,2419 0,0729 0,5 0,2436 0,0766 0,5 0,2425 0,0766 0,0718 0,0766 Cỏc giỏ tr gn ỳng nhn c y0 ; y1 0,0202 ; y2 0,0589 ; y3 0,1096 ; y4 0,1707 ; y5 0,2425 Bi Gii bi toỏn y" xy' x ; y (0) ; y ' (0) ; h 0,1 ; x [0;0,5] Bi lm t y ' z Bi toỏn trờn tng ng vi vic gii h phng trỡnh cp sau y' z vi iu kin ban u y (0) 1; z (0) z ' xz x T giỏ tr ( y , z ) (1,1) mun tớnh tip cỏc giỏ tr ( y i , z i ) , ta phi tớnh y i , z i Nghim s tỡm on [0;0,5] vi h 0,1 t f f ( x, y, z ) z ; g g ( x, y, z ) xz x , ta cú bng sau i x y z k hf l hg y z 1 0,1 0,0998 -0,0053 0,05 1,05 0,1 -0,0053 0,05 1,05 0,9974 0,0997 -0,0052 0,1 1,0997 0,9948 0,0995 -0,0109 0,1 1,0998 0,9947 0,0995 -0,0109 0,0987 -0,0171 0,15 1,1496 0,9893 0,0989 -0,0171 0,15 1,1493 0,9862 0,0986 -0,017 Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán 50 Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 0,2 1,1984 0,9777 0,0978 -0,0236 0,2 1,1985 0,9776 0,0978 -0,0236 0,25 1,2474 0,9658 0,0966 -0,0304 0,25 1,2468 0,9624 0,0962 -0,0303 0,3 1,2947 0,9473 0,0947 -0,0374 0,3 1,2949 0,9472 0,0947 -0,0374 0,35 1,3423 0,9285 0,0929 -0,0447 0,35 1,3414 0,9249 0,0925 -0,0446 0,4 1,3874 0,9026 0,0903 -0,0521 0,4 1,3875 0,9025 0,0903 -0,0521 0,45 1,4327 0,8765 0,0877 -0,0597 0,45 1,4314 0,8727 0,0873 -0,0595 0,5 1,4748 0,843 0,0843 -0,0672 0,5 1,4749 0,8429 0,0843 -0,0671 0,0964 -0,0304 0,0926 -0,0447 0,0874 -0,0596 0,0843 -0,0671 Cỏc giỏ tr gn ỳng nhn c y0 y1 1,0998 y2 1,1985 ; ; ; z0 z1 0,9947 z2 0,9776 y3 1,2949 y4 1,3875 y5 1,4749 ; ; z , 9472 z , 9025 z , 8429 Bi t gii Bi Bng phng phỏp Euler gii cỏc bi toỏn sau a, y ' y ; y (0) 1; h 0,1; x [0;1] b, y ' x y ; y (0) ; h 0,1; x [0;0,5] Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán 51 Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng Bi Bng phng phỏp Euler ci tin gii cỏc bi toỏn sau a, y ' sin x cos y ; y (0) ; h 0,1; x [0;0,5] b, y ' x y ; y (1) ; h 0,1; x [ 1;0] Bi Bng cụng thc Runge Kutta vi chớnh xỏc 0(h ) , gii gn ỳng cỏc bi toỏn sau a, y ' sin x cos y ; y (0) ; h 0,2 ; x [0;1] b, y ' x y ; y (0) ; h 0,1; x [0;0,5] Bi Gii bi toỏn a, y" xy' y ; y (0) ; y ' (0) 1; h 0,2 ; x [0;1] b, y"0,2 y '10 sin y ; y (0) 0,3 ; y ' (0) ; h 0,1; x [0;0,5] Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán 52 Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng KT LUN Ngy nay, toỏn hc ng dng ang dn c ph cp mt cỏch rng rói nhiu lnh vc khoa hc v phng trỡnh vi phõn theo hng ú cng ngy cng c ng dng rng rói Do ú, ỏp ng c nhu cu ca thc tin thỡ cỏc phng phỏp gii gn ỳng phng trỡnh vi phõn thng phi ngy cng c ti u húa v mt tớnh toỏn v v mt chớnh xỏc Trong khúa lun tt nghip ny, ngoi phn kin thc v s gn ỳng v sai s, sai phõn, phng trỡnh vi phõn thng, em ó nờu hai phng phỏp thụng dng cỏc phng phỏp gii gn ỳng phng trỡnh vi phõn ú l: phng phỏp Euler v Euler ci tin; phng phỏp Runge Kutta, v cui cựng l mt s bi minh vic s dng hai phng phỏp ny Cỏc phng phỏp gii gn ỳng phng trỡnh vi phõn rt phong phỳ nờn em ch cp n hai phng phỏp nh trờn Ngay c i vi hai phng phỏp c cp, nng lc ca bn thõn cú hn v vi khuụn kh ca mt bn khúa lun nờn em cng khụng th i sõu v rng hn Do ú, khúa lun cũn nhiu hn ch, thiu sút Em rt mong nhn c nhng ý kin úng gúp ca cỏc thy cụ giỏo v bn c Cui cựng, em xin trõn trng cm n Tin s Nguyn Vn Hựng ó tn tỡnh hng dn giỳp em hon thnh ti ny Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán 53 Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng TI LIU THAM KHO Phm K Anh, Gii tớch s, Nxb HQG H Ni, 1996 Nguyn Minh Chng, Nguyn Vn Khi, Khut Vn Ninh, Nguyn Vn Tun, Nguyn Tng, Gii tớch s, Nxb GD, 2000 Phan Vn Hp, Lờ ỡnh Thnh, Phng phỏp tớnh v cỏc thut toỏn, Nxb GD, 2000 Phan Vn Hp, Cỏc phng phỏp gn ỳng, H & THCN, 1981 Phan Vn Hp, Hong c Nguyờn, Lờ ỡnh Thnh, Phng phỏp tớnh, phn bi tp, KH & KTHN, 1996 Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán 54 [...]... (1.4) khi ( x, y ) chy khp D, vi mi c R 2 Mt s phng trỡnh vi phõn ó bit cỏch gii a, Phng trỡnh vi phõn cú bin s phõn li dy f ( x ) y f ( x)dx c dx dy dy f ( y) xc dx f ( y) M 1 ( x) N 1 ( y ) dx M 2 ( x ) N 2 ( y )dy 0 M 1 ( x) N ( y) dx 2 dy 0 M 2 ( x) N1 ( y) ( M 2 ( x).N 1 ( y ) 0) b, Phng trỡnh vi phõn cp 1 thun nht y y' f Gi thit hm s xỏc nh vi mi x 0 x Trần Hồng Hạnh K35G... thun nht y y' f Gi thit hm s xỏc nh vi mi x 0 x Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán 12 Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng gii phng trỡnh ny ta t u y , sau ú a v vic gii x phng trỡnh vi phõn cú bin s phõn li c, Phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh cp 1 Dng tng quỏt: y ' P( x) y Q( x) +) Q ( x ) 0 thỡ gi l phng trỡnh tuyn tớnh khụng thun nht cp 1 +) Q( x) 0 thỡ gi l phng trỡnh tuyn tớnh thun nht... trỡnh Lagrange vi ( y ' ) y ' Gi thit hm l hm phi tuyn tớnh (khụng tuyn tớnh) t y ' p , ta cú phng trỡnh y xp ( p) ; (1.16) Vi phõn hai v theo p, ta cú Dy pdx x ' ( p ) dp Thay dy y ' dx pdx pdx pdx x ' ( p ) dp x ' ( p ) dp 0 ; (1.17) dp 0 p c T (1.17) x ' ( p ) 0 p ( x) y cx (c) Thay vo (1.16) y x ( x) ( x ) 5 Cỏch gii mt s phng trỡnh vi phõn cp cao... ( n 1) i vi bin z x, z, z ' , , z ( n1) 0 Gi s phng trỡnh ny cú nghim tng quỏt y' 1 ( x, c1 , , c n 1 ) y dy dy y1 ( x, c1 , , c n 1 ) 1 ( x, c1 , , c n 1 ) dx dx y z 1 ( x, c1 , , c n 1 ) Vy y c n e 1dx ; cn 0 Nu k 0 thỡ y 0 l nghim ca (1.26) ng vi c n 0 Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán 23 Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng Chng 2 MT S PHNG PHP GII GN NG PHNG TRèNH VI PHN Đ1... ( x ) ; x x sup ( x ) ( x ) L.a.sup ( x ) ( x ) x x (1 La).sup ( x ) ( x ) 0 x (1 La) 0 sup ( x ) ( x ) 0 x ( x ) ( x ) 0 ; x Vy (x) l duy nht 4 Phng trỡnh vi phõn cp 1 cha gii ra i vi o hm Dng phng trỡnh: F ( x, y, y ' ) 0 ; (1.8) Trng hp 1: phng trỡnh (1.8) gii c theo y y ( x, y ' ) ; t y ' p y ( x, p ) dy (1.9) dx dp x p Vỡ dy y ' dx pdx thỡ phng trỡnh... n f ( xn th) yn yn 1 yn 2 y0 1! 2! n! f ( n1) ( ) n 1 h t (t 1) (t n) (n 1)! Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán 11 Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng Đ3 PHNG TRèNH VI PHN THNG 1 Mt s khỏi nim Phng trỡnh vi phõn thng bc n l mt h thc cú dng F ( x, y, y ' , y" , , y ( n ) ) 0 ; (1.4) Trong ú x l bin c lp, y l hm s cn tỡm y ' , y" , , y ( n ) l cỏc o hm ca hm s y (y l hm s ca x) Cp ca... ( n ) f ( x) vi f (x) liờn tc trờn [a, b] thỡ ta cú x dy y ' dx dy ( n 1) (n) y dx y ( n 1) y dx x0 Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán x (n) f ( x)dx c 1 x0 18 Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng Tng t x x y ( n 2 ) x y f ( x)dx x0 x0 x0 c1 ( x x0 ) ( n1) cn1 ( x x0 ) cn (n 1)! + Trng hp 2: Biu din x, y ( n ) theo tham s t x (t ) (n) y (t ) l hm kh vi liờn tc; l... dy dy y (n) dz d ( n 1) z z, , , ( n 1) dy dy thay vo phng trỡnh u, ta c phng trỡnh vi phõn cp ( n 1) : dz d ( n 1) z y, z, , , ( n 1) 0 dy dy Gi s phng trỡnh ny cú nghim tng quỏt z y, c1 , , c n 1 ; dx dy dy x c' y, c1 , , c n 1 y, c1 , , cn 1 *) Phng trỡnh thun nht i vi hm phi tỡm v cỏc o hm ca nú Dng phng trỡnh: F x, y, y ' , , y ( n ) 0 ; Trần Hồng Hạnh K35G... nht i vi cỏc bin t y, y ' , , y ( n ) , tc k sao cho F x, ty, ty ' , , ty ( n ) t k F x, y, y ' , , y ( n ) ; t , (t N ) Cỏch gii t y ' yz y" ( yz )' y ' z yz ' y ( z 2 z ' ) y ' ' ' y ( z 2 z ' ) y ' z 2 z ' y 2 zz ' z" 2 yz z 2 z ' y 2 zz ' z" yz 3 z"3 zz ' y ( n ) y z , z ' , , z ( n 1) thay vo phng trỡnh u y ( k ) F x,1, z , z ' z 2 , , z , z ' , , z ( n 1) 0 ; Vi y ... thun nht cp 1 +) 0, 1 : ta chia c hai v ca phng trỡnh cho y Sau ú, t z y 1 v a v phng trỡnh tuyn tớnh khụng thun nht e, Phng trỡnh vi phõn ton phn Dng tng quỏt: P ( x, y ) dx Q( x, y ) dy 0 ; (1.5) Trong ú P ( x, y ), Q ( x, y ) l cỏc hm s liờn tc cựng vi cỏc o hm riờng trờn min n liờn D v tha món Qx' ( x, y ) Py' ( x, y ) trờn D Nu D R 2 , gi s ( x0 , y 0 ) D thỡ tớch phõn tng quỏt ca ... trỡnh vi phõn cp hay mt phng trỡnh vi phõn cp cao gii h, nu ta dựng kớ hiu vect thỡ cỏc cụng thc tớnh yi hon ton ging nh trng hp mt phng trỡnh Vi mt phng trỡnh vi phõn cp cao, ta ch vic bin... PHNG TRèNH VI PHN THNG 12 Mt s khỏi nim 12 Mt s phng trỡnh vi phõn ó bit cỏch gii 12 nh lớ Pica Lindolov (nh lớ tn ti v nht nghim) 14 Phng trỡnh vi phõn cp cha gii i vi o hm... sinh vi n khoa Toỏn, khuụn kh mt bn khúa lun, em xin c trỡnh by nhng hiu bit ca mỡnh v mt s phng phỏp s gii gn ỳng phng trỡnh vi phõn thng c s hng dn tn tỡnh ca Tin s Nguyn Vn Hựng cựng vi lũng