Một số phương pháp giải phương trình vi phân

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng M U Lý chn ti Cng nh cỏc mụn khoa hc khỏc, phng trỡnh vi phõn xut hin trờn c s phỏt trin ca khoa hc, k thut v nhng yờu cu ũi hi ca thc t c bit phng trỡnh vi phõn cú rt nhiu ng dng c hc, vt lý v sinh hc Do ú vic hc v nghiờn cu phng trỡnh vi phõn l mt vic lm cú ý ngha ht sc quan trng Mc dự s xut hin ca phng trỡnh vi phõn cỏc trng trung hc ph thụng l cha nhiu v tng minh Nhng cỏc em cng ó bt u c lm quen dn vi nhng phng trỡnh vi phõn thụng qua mt s phng trỡnh o hm n gin : Vớ d: Chng minh cỏc hm s sau tho h thc tng ng ó cho y x tho h thc y x y e4 x y y 2e A sin( t x tho h thc y ) Bcos( t y ú a, b, ( y 1) y 13 y 12 y ) tho h thc ; l nhng hng s Trong vt lý phng trỡnh vi phõn cng xut hin thụng qua cỏc bi toỏn tc, gia tc nh vic tớnh o hm cp 1,cp Trong tng lai lý thuyt v nhng kin thc c bn v phng trỡnh vi phõn s c a vo ging dy nhiu hn chng trỡnh trung hc ph thụng Chớnh s phong phỳ a dng cỏc phng phỏp gii mt phng trỡnh vi phõn trờn c s lý thuyt phng trỡnh vi phõn v lý thuyt n nh nghim phng trỡnh vi phõn ó thu hỳt v lm em yờu thớch mụn hc ny Mt phng trỡnh vi phõn cú nhiu cỏch gii SVTH: Trần Thị Th-ơng Lớp K33A Khóa luận tốt nghiệp GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng Mt phng trỡnh vi phõn cú th lm ngi gii gp nhiu rc ri s la chn phng phỏp gii phự hp Võng ú li chớnh l nhng lý thu hỳt v khin em quyt nh chn ti Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vi phõn lm ti khoỏ lun ca mỡnh Em hi vng rng mỡnh s a c mt ti liu tham kho chi tit y v h thng v Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vi phõn SVTH: Trần Thị Th-ơng Lớp K33A Khóa luận tốt nghiệp GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng NI DUNG CHNG 1: PHNG TRèNH VI PHN CP MT 1.1 Phng trỡnh vi phõn cp dng tng quỏt f(x, y, y) v cỏc trng hp c bit ca nú 1.1.1 Cỏc khỏi nim c bn 1.1.1.1 nh ngha phng trỡnh vi phõn cp 1: Phng trỡnh vi phõn cp mt l phng trỡnh cú dng: F ( x, y, y ) Trong ú x l bin s c lp, y l hm phi tỡm, y l o hm ca hm phi tỡm dx dy T phng trỡnh F ( x, y, y ) f ( x, y ) (1.1.1.1) 1.1.1.2 Nghim tng quỏt Gi s D l mt khụng gian R2 ú cỏc iu kin ca nh lý v s tn ti v nht nghim ca phng trỡnh (1.1.1.1) c tho Hm s y y ( x, c) c gi l nghim tng quỏt ca phng trỡnh (1.1.1.1) nu nú tho hai iu kin sau T phng trỡnh y y ( x, c) ta gii c nht i vi c tc l: c = ( x, y ) Cụng thc y y ( x, c) tho phng trỡnh (1.1.1.1) vi c = const 1.1.1.3 Nghim riờng Hm s y y ( x) c gi l nghim riờng ca phng trỡnh vi phõn (1.1.1.1) nu ti mi im ca nú iu kin nht nghim ca bi toỏn Cauchy c tho SVTH: Trần Thị Th-ơng Lớp K33A Khóa luận tốt nghiệp GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng 1.1.1.4 Nghim k d Nghim k d ca phng trỡnh vi phõn l nghim ti mi im ca nú khụng tho iu kin nht nghim ca bi toỏn Cụsi 1.1.1.5 Tớch phõn tng quỏt gii phng trỡnh (1.1.1.1) nhiu ta khụng tỡm c nghim tng quỏt di dng y y ( x) C m ta ch tỡm c mt biu thc cú dng ( x, y, C ) Biu thc ny c gi l tớch phõn tng quỏt ca phng trỡnh vi phõn ó cho Chỳ ý: Trong thc t ngi ta thng ng nht hai khỏi nim nghim ca phng trỡnh vi phõn v tớch phõn ca phng trỡnh vi phõn Do ú nhiu bi toỏn yờu cu hóy tớch phõn phng trỡnh vi phõn sau ? tc l tỡm tớch phõn tng quỏt ca phng trỡnh vi phõn? 1.1.2 Phng trỡnh vi phõn cp mt tng quỏt 1.1.2.1 nh ngha L phng trỡnh cú dng tng quỏt: F ( x, y, y ) 1.1.2.2 Phng phỏp: Ta biu din x, y, y theo tham s nh sau: x y y (u , v) (u , v) (u , v) Khi ú phng trỡnh F ( x, y, y ) tr thnh phng trỡnh F ( (u, v); (u, v); (u, v) ) Ta cú dy u du u, v y dx v dv (u, v) u du v dv dv du u u SVTH: Trần Thị Th-ơng u f (u, v) u Lớp K33A Khóa luận tốt nghiệp Phng trỡnh GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng dv du f (u , v) l phng trỡnh ó gii o hm Tớch phõn hai v (nu cú th) ta c nghim tng quỏt: v x u, (u, C ) y u, (u, C ) (u, C ) õy l nghim tng quỏt ca phng trỡnh F ( x, y, y ) di dng tham s 1.1.3 Cỏc trng hp c bit ca phng trỡnh vi phõn cp mt dng tng quỏt F(x, y, y)=0 1.1.3.1 Phng trỡnh vi phõn cú bin s phõn ly dy dx 1.1.3.1.1 Phng trỡnh dng f ( x) (1.1.3.1) * Phng phỏp gii: T phng trỡnh (1.1.3.1) dy f ( x) dx y f ( x) dx * Vớ d minh ha: Gii phng trỡnh Gii: Phng trỡnh (1.1.3.2) dy dy dx f ( x) dx C sin x (1.1.3.2) dy sin xdx dy y sin xdx cos x C cos x C Vy phng trỡnh (1.1.3.2) cú nghim tng quỏt l: y 1.1.3.1.2 Phng trỡnh dng dy dx cos x C f ( y) (1.1.3.3) * Phng phỏp gii Phng trỡnh (1.1.3.3) SVTH: Trần Thị Th-ơng dy f ( y) dy f ( y) dx dx x C Lớp K33A Khóa luận tốt nghiệp GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng dy dx * Vớ d minh ha: Gii phng trỡnh: y3 (1.1.3.4) Gii: Trng hp 1: y l nghim kỡ d ca phng trỡnh (1.1.3.4) dy y3 dx y x C Trng hp 2: y ú phng trỡnh (1.1.3.4) y Vy phng trỡnh (1.1.3.4) cú nghim l: y 1.1.3.1.3 Phng trỡnh dng dy dx x C 0 f ( x).g ( y ) (1.1.3.5) * Phng phỏp gii: T phng trỡnh (1.1.3.5) dy g ( y) dy g ( y) f ( x)dx dy dx * Vớ d minh ha: Gii phng trỡnh y 2e f ( x)dx 2x (1.1.3.6) Gii: Trng hp 1: y l nghim ca phng trỡnh (1.1.3.6) Trng hp 2: y dy y2 Phng trỡnh (1.1.3.6) y e e 2x 2x dx C Vy nghim ca phng trỡnh (1.1.3.6) l: SVTH: Trần Thị Th-ơng y 1 e y 2x C Lớp K33A Khóa luận tốt nghiệp GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng 1.1.3.1.4 Phng trỡnh bin s phõn ly * nh ngha: Phng trỡnh bin s phõn ly l phng trỡnh cú dng (1.1.3.7) X ( x)dx Y ( y )dy * Phng phỏp gii: Nguyờn hm hai v ca phng trỡnh (1.1.3.7) ta c X ( x)dx Y ( y)dy C T ú suy nghim tng quỏt ca phng trỡnh (1.1.3.7) Chỳ ý: Phng trỡnh bin s phõn ly khụng cú nghim kỡ d * Vớ d minh ha: Gii phng trỡnh: x2dx ( y 1)dy (1.1.3.8) Gii: Nguyờn hm hai v ca phng trỡnh (1.1.3.8) ta c: x 2dx x3 Vy x3 y2 ( y 1)dy y2 y C (C const ) y C l nghim tng quỏt ca phng trỡnh (1.1.3.8) 1.1.3.1.5 Phng trỡnh cú bin s phõn ly c * nh ngha: Phng trỡnh cú bin s phõn ly c l phng trỡnh cú dng: M1 ( x) N1 ( y)dx M ( x) N ( y)dy (1.1.3.9) * Phng phỏp gii Nu N1 ( y).M ( x) Chia c hai v ca phng trỡnh (1.1.3.9) cho N1 ( y).M ( x) ta c: M1 (x)N1 (y) dx N1 (y).M (x) M1 (x) dx M (x) SVTH: Trần Thị Th-ơng M (x)N (y) dy N1 (y).M (x) N (y) dy N1 (y) Lớp K33A Khóa luận tốt nghiệp GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng M1 (x) dx M (x) N (y) dy N1 (y) T õy suy nghim phi tỡm ca phng trỡnh (1.1.3.9) * Vớ d minh ha: Gii phng trỡnh: x(1 y )dx y(1 x2 )dy (1.1.3.10) Gii: Ta thy N1 ( y).M ( x) (1 y )(1 x2 ) x, y Chia c hai v ca phng trỡnh (1.1.3.10) cho (1 y )(1 x2 ) ta c: x y dx dy x y2 x dx x2 y dy y2 (1 y )(1 x2 ) C l tớch phõn tng quỏt ca phng trỡnh Vy phng trỡnh cú tớch phõn tng quỏt l: (1 y )(1 x2 ) C 1.1.3.2 Phng trỡnh vi phõn cp mt khụng cha hm phi tỡm 1.1.3.2.1 nh ngha: L phng trỡnh cú dng: (1.1.3.11) F ( x, y ) 1.1.3.2.2 Phng phỏp gii: * Trng hp 1: T phng trỡnh (1.1.3.11) ta gii c y Tht vy ú (1.1.3.11) Vy y y f ( x) y f ( x)dx C f ( x)dx C l nghim ca phng trỡnh (1.1.3.11) Vớ d minh ha: Gii phng trỡnh: y Gii: Phng trỡnh (1.1.3.12) dy y SVTH: Trần Thị Th-ơng y x x3 (1.1.3.12) x x3 x x3 dx 2 x x C y x x3 dx C Lớp K33A Khóa luận tốt nghiệp GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng Vy nghim tng quỏt ca phng trỡnh (1.1.3.12) l: x y x C * Trng hp 2: Nu t phng trỡnh (1.1.3.11) ta gii c x Tht vy ú ta cú (1.1.3.11) x (y ) t y = p (p- tham s) dy pdx p ( p)dp y p ( p )dp C Vy nghim tng quỏt ca phng trỡnh (1.1.3.11) l: x ( p) y p ( p)dp C Vớ d minh ha: Gii phng trỡnh: e y y (1.1.3.13) x Gii: Phng trỡnh (1.1.3.13) t y p Ta cú dy dy x ep pdx x ey y p (p- tham s) pd (e p dy p(e p 1)dp pe pe p dp p(e p 1)dp dy y p) (1.1.3.14) p e p p2 C (1.1.3.15) x ep Kt hp (1.1.3.14) v (1.1.3.15) ta cú y pe p p ep p2 l nghim ca C phng trỡnh (1.1.3.13) di dng tham s * Trng hp 3: Nu t phng trỡnh (1.1.3.11) ta gii c x v y qua tham s t SVTH: Trần Thị Th-ơng Lớp K33A Khóa luận tốt nghiệp x Tht vy : Ta t y GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng x (t ) (t ) (t ) y (1.1.3.16) (t ) (t )dt C Ta cú (1.1.3.16) chớnh l nghim ca phng trỡnh (1.1.3.11) di dng tham s Vớ d minh ha: Gii phng trỡnh: x3 y 3xy (1.1.3.17) Gii: t y tx thay vo phng trỡnh ta biu bin c: 3t x ;y t3 Ta cú y 3t t3 y dx 3t 6t dt t (1 t )2 2(1 t ) t3 C Vy nghim tng quỏt ca phng trỡnh (1.1.3.17) di dng tham s l: 3t t3 x y 2(1 t ) t3 C 1.1.3.3 Phng trỡnh khụng cha bin s c lp 1.1.3.3.1 nh ngha: L phng trỡnh cú dng (1.1.3.18) F ( y, y ) 1.1.3.3.2 Phng phỏp: * Trng hp 1: T phng trỡnh (1.1.3.18) ta gii c y Tht vy ú (1.1.3.18) y f ( y) dy dx f ( y) dy f ( y) dx f ( y) dy f ( y) x C l nghim tng quỏt ca phng trỡnh (1.1.3.18) Chỳ ý : Khi f ( y0 ) SVTH: Trần Thị Th-ơng y y0 l nghim ca (1.1.3.18) 10 Lớp K33A Khóa luận tốt nghiệp yj e yj e jx jx GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng cos j x, y j xe sin j x, y j xe jx jx cos sin j j x, , y j x, , y j x s 1e s x s 1e s jx jx cos sin j j x x T ú suy nghim tng quỏt ca phng trỡnh (3.2.1) 3.2.1.3 Cỏc vớ d minh Vớ d 1: Gii phng trỡnh: y 5y (3.2.3) 2y Gii: Xột phng trỡnh c trng: 2k 5k (3.2.4) 2 k1 Phng trỡnh (3.2.4) cú hai nghim phõn bit: k2 y1 e y2 x e l hai 2x nghim c bn ca phng trỡnh (3.2.3) Vy y C1e x C2e x l nghim tng quỏt cu phng trỡnh (3.2.3) Vớ d 2: Gii phng trỡnh: y 4y 5y (3.2.5) 2y Gii: Xột phng trỡnh c trng: k 4k 5k k ú k =1 l nghim bi ú k phng trỡnh (3.2.5) cú cỏc nghim c bn l: y1 e x ; y2 xe x ; y3 e2 x Vy nghim tng quỏt ca phng trỡnh (3.2.5) l: y C1e x C2 xe x C3e2 x Vớ d 3: Gii phng trỡnh: y (5) y(4) 2y 4y Gii: Xột phng trỡnh c trng k Trong ú k y 2k 2y (3.2.6) 2k 4k k k4 2k k k2 k 0 k k i i u l nhng nghim bi Suy phng trỡnh (3.2.6) cú cỏc nghim c bn l: SVTH: Trần Thị Th-ơng 62 Lớp K33A Khóa luận tốt nghiệp GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng y1 e2 x ; y2 cos x; y3 x cos x; y4 sin( x); y5 x sin( x) Vy nghim tng quỏt ca phng trỡnh (3.2.6) l: y C1e2 x C2 cos x C3 x cos x C4 sin x C5 x sin x 3.2.2 Phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh khụng thun nht vi h s hng s: 3.2.2.1 nh ngha: L phng trỡnh cú dng y(n) + an-1 y(n-1) + + a1y + a0y = f(x) (3.2.7) ( = const) 3.2.2.2 Phng phỏp gii Xột phng trỡnh: y( n) an y ( n 1) a0 y (ai= const) (3.2.1) Xột phng trỡnh c trng ca (3.2.1) l: kn an 1k n a0 (3.2.2) Ta d dng tỡm c nghim tng quỏt ca (3.2.1) ú tỡm c nghim tng quỏt ca (3.2.7) ta phi tỡm c mt nghim riờng y* ca phng trỡnh (3.2.7) nh sau: * Trng hp 1: Nu f(x) cú dng f ( x) e x Pn ( x) Nu dng: y* khụng l nghim c trng ca phng trỡnh (3.2.2) thỡ y* cú e x Pn ( x) ; ú Pn ( x ) l a thc bc n Nu cú dng: y* l nghim bi s ( s ) ca phng trỡnh c trng (3.2.2) thỡ y* x s e x Pn ( x) * Trng hp 2: Nu f(x) cú dng: f ( x) e x ( Pn ( x)cos x Qn ( x)sin x) Nu cú dng: y* Nu i khụng l nghim ca phng trỡnh c trng (3.2.2) thỡ y* e x ( Pn ( x)cos x Qn ( x ) sin x ) i l nghim bi (s y* cú dng: y* x s e x 1) ca phng trỡnh c trng (3.2.2) thỡ Pn ( x)cos ( x ) Qn (x )sin (x ) SVTH: Trần Thị Th-ơng 63 Lớp K33A Khóa luận tốt nghiệp GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng 3.2.2.3 Cỏc vớ d minh Vớ d 1: Gii phng trỡnh: y y ( x 5)e2 x 5y Gii: Xột phng trỡnh tuyn tớnh thun nht l: y Xột phng trỡnh c trng: k 5y 5k (3.2.8) (3.2.9) 6y k k y1 e3 x y2 e2 x l hai nghim c bn ca phng trỡnh (3.2.9) Suy y C1e3 x C2e2 x l nghim tng quỏt ca phng trỡnh (3.2.9) l nghim (bi 1) ca phng trỡnh c Ta thy f ( x) ( x 5)e x trng Do ú ta cú y* xe2 x ( A.x B) l mt nghim riờng ca phng trỡnh (3.2.8) y* y* e2 x A.x e2 x Ax2 (2 A 2B) x B (8 A 4B) x A 4B Thay y* , y* , y* vo phng trỡnh (3.2.8) ta c: e2 x Ax 5e x A.x (8 A B) x A B (2 A B) x B xe2 x ( A.x B) e2 x ( x 5) x 2A 2A B x 2A ng nht thc ta cú : 2A B A B x 6) l mt nghim riờng ca phng trỡnh (3.2.8) Vy nghim tng quỏt ca phng trỡnh (3.2.8) l: Vy y* xe2 x ( y C1e3 x Vớ d 2: Gii phng trỡnh: y C2e2 x 4y e2 x ( x x) y ( x 1)e2 x cos x (3.2.10) Gii: SVTH: Trần Thị Th-ơng 64 Lớp K33A Khóa luận tốt nghiệp GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng Xột phng trỡnh tuyn tớnh thun nht: y 4y 3y 4k k k Xột phng trỡnh c trng: k (3.2.11) y1 y2 ex e 3x l hai nghim c bn ca phng trỡnh (3.2.11) y C1e x C2e3 x l nghim tng quỏt ca phng trỡnh (3.2.11) Gi s y * l mt nghim riờng ca phng trỡnh (3.2.10) i khụng l nghim ca phng trỡnh Ta thy f ( x) ( x 1)e x cos x c trng Do ú y * cú dng y* y* e2 x Ax 2B y* e2 x e2 x ( A.x B)cos x (Cx D)sin x A Cx D)cos x (2Cx 2D C A.x B)sin x (3 Ax 4Cx 3B A D 2C )cos x (3Cx Ax 3D 4C B A)sin x Thay y* ; y* ; y* vo phng trỡnh (3.2.10) ta c: e2 x Ax 2Cx A B D cos x Cx Ax D 2C B sin x ( x 1)e2 x cos x A ng nht thc ta cú: A 2A C D 2C B 2A 2C 2D 2B B C D y* e2 x ( 11 x )cos x ( x 25 5 11 25 25 )sin x 25 Vy nghim tng quỏt ca phng trỡnh (3.2.10) l: y C1e x C2e3 x SVTH: Trần Thị Th-ơng e2 x ( 11 x )cos x ( x 25 65 )sin x 25 Lớp K33A Khóa luận tốt nghiệp GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng 3.2.3 Mt s phng trỡnh tuyn tớnh cp n a c v phng trỡnh tuyn tớnh vi h s hng 3.2.3.1 a phng trỡnh tuyn tớnh thun nht cp n v phng trỡnh tuyn tớnh vi h s hng bng phộp th bin s c lp Nh vy thụng qua phng phỏp trờn chỳng ta ó bit cỏch gii v tỡm nghim tng quỏt ca phng trỡnh tuyn tớnh thun nht vi h s hng s Nhng vi phng trỡnh tuyn tớnh thun nht (cp n) vi h s l hm s bin thiờn thỡ khụng cú cỏch gii tng quỏt, thm l cỏc phng trỡnh cp Tuy vy mt s trng hp ta cú th gii c nhng phng trỡnh tuyn tớnh thun nht vi h s l hm s bin thiờn bng cỏch a v phng trỡnh tuyn tớnh thun nht vi h s hng s nh phộp th bin c lp nh sau: * Phng phỏp gii: Xột phng trỡnh: y( n) a1 ( x) y ( n 1) an ( x) y (3.2.12) Thc hin phộp th bin c lp nh sau: t t ( x) ( ( x ) l hm kh vi mt s ln cn thit) dy dx dy dt dt dx dy ( x) dt d2y dx d dy dt dt dt ( x) dx Ta cú d2y dt ( x) dy dt ( x) dny dx n dny dt n ( x) n dy dt (n) ( x) Thay cỏc biu thc trờn vo phng trỡnh (3.2.12) ta c dny dt n ( x) n dny dt n SVTH: Trần Thị Th-ơng an ( x) y ( an ( x) ( x) n 66 y ( x) n 0) (3.2.13) Lớp K33A Khóa luận tốt nghiệp GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng Gi s (3.2.13) l phng trỡnh tuyn tớnh vi h s hng s Vy thỡ an ( x) ( x) an ( x) phi l hng s Do ú ta t n ( x) ( x) C n an ( x) hay t C n (C const ) Cn n ( x) C n an ( x) dx C1 an ( x) dx Phng phỏp trờn c gi l phộp th bin c lp Túm li ta cú th a phng trỡnh (3.2.12) v phng trỡnh tuyn tớnh vi h s hng nh phộp th bin c lp t tha món: t C n ( x) Nhng phộp th ú phi an ( x) dx Trong thc t thỡ khụng phi lỳc no ta cng a phng trỡnh (3.2.12) v phng trỡnh tuyn tớnh vi h s hng nh phộp th bin c lp Di õy s ch hai dng phng trỡnh m ta cú th a v phng trỡnh vi h s hng s 3.2.3.2 Phng trỡnh tuyn tớnh le 3.2.3.2.1 nh ngha: Phng trỡnh tuyn tớnh le l phng trỡnh cú dng xn y ( n) a1xn y ( n 1) an 1xy an y const , i 1, n (3.2.14) 3.2.3.2.2 Phng phỏp gii * Phng phỏp giỏn tip Trng hp 1: x = l nghim kỡ d ca phng trỡnh Trng hp 2: x > Khi ú nghim ca phng trỡnh (3.2.14) tn ti v xỏc nh nht Ta i tỡm nghim tng quỏt ca (3.2.14) Phng trỡnh (3.2.14) y (n) a1 ( n y x 1) an y xn an y xn (3.2.15) Phng trỡnh (3.2.15) l phng trỡnh tuyn tớnh thun nht vi h s l hm s ta gii bng phng phỏp phộp th bin c lp SVTH: Trần Thị Th-ơng 67 Lớp K33A Khóa luận tốt nghiệp GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng Tc l t t C t n a n n an dx xn n n a n an dx , chn C xn n xn dx x dx t ln x hay x et (3.2.16) Khi ú ta cú: dy dy t e dx dt d2y d2y dx dt dy e dt 2t (3.2.17) dny dx n dny dy n ( 1) ( n 1) e dt n dt nt Thay (3.2.16), (3.2.17) vo phng trỡnh (3.2.14) ta c: dny dt n d n 1y b1 n bn y dt bi const , i 1, n (3.2.18) Phng trỡnh (3.2.18) l phng trỡnh tuyn tớnh thun nht vi h s hng s ta ó bit cỏch gii Tỡm nghim tng quỏt ca (3.2.18) ri thay t = lnx ta c nghim tng quỏt ca phng trỡnh le (3.2.14) Trng hp 3: x < ta lm tng t nh trờn ta thay t x ln x , suy ra: et Vớ d minh ha: Gii phng trỡnh: x2 y 3xy (3.2.19) 4y Gii: t x e t dy dx dy t d y e ; dt dx SVTH: Trần Thị Th-ơng d2y dt 68 dy e dt 2t Lớp K33A Khóa luận tốt nghiệp GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng Thay vo phng trỡnh (3.2.19) ta cú: e 2t d2y dt d2y dt Xột phng trỡnh c trng k 4k 4 dy e dt dy dt 2t 3et dy e dt t 4y 4y k (3.2.20) (k = l nghim bi hai) te2t l hai nghim c bn ca phng trỡnh (3.2.20) y1 e2t ; y2 C2te2t l nghim tng quỏt ca phng trỡnh (3.2.20) y C1e2t Vy y C1x2 C2 x ln x l nghim tng quỏt ca phng trỡnh (3.2.19) * Phng phỏp trc tip Xột phng trỡnh: xn y ( n) a1xn y ( n 1) an 1xy Ta tỡm nghim di dng y Ta cú: y ( k ) (3.2.14) an y x ( 1)( 2) (k 1) x ( 1)( 2) (n 1) x k k 1, k Do ú y(n) y ( n 1) ( 1)( 2) n x n n y ( y x 1) x Thay vo phng trỡnh (3.2.14) ta c: ( 1)( 2) ( (n 1)) a1 ( ( 1)( 2) ( n 2) an an x t: P( ) ( 1)( 2) ( (n 1)) a1 ( ( ( Khi ú (3.2.14) tr thnh P( ) x v ch P( ) Hay 1)( 2) n 2) an Suy y an x l nghim ca (3.2.14) l nghim ca phng trỡnh P( ) Tht vy: P( ) SVTH: Trần Thị Th-ơng 69 Lớp K33A Khóa luận tốt nghiệp GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng ( 1)( 2) ( (n 1) a1 ( ( 1)( 2) ( n 2) an an phng trỡnh ny c gi l phng trỡnh c trng tng ng vi phng trỡnh le Trng hp 1: ; ; ; R, n i , i j Khi ú cỏc nghim riờng c j lp tuyn tớnh ca phng trỡnh le ln lt l: y1 y C1x C2 x Cn x Trng hp 2: Nu n , , , n x , y2 x , , yn x n l nghim tng quỏt ca phng trỡnh le C; i j ; i j Vi mi i ta s cú hai nghim thc ca phng trỡnh le l: x a cos b ln x ; x asin b ln x Trng hp 3: Nu nghim i R l nghim bi k (k ) thỡ ta cú k nghim thc c lp tuyn tớnh l: x i , x i ln x, x i (ln x)2 , , x i (ln x)k Trng hp 4: Nu nghim i C l nghim bi k (k ) thỡ ta cú 2k nghim thc ca phng trỡnh le l: x a ln x m m cos b ln x ; x a ln x sin b ln x m 0, k * Cỏc vớ d: Vớ d 1: Gii phng trỡnh: x2 y xy 3y (3.2.21) Gii: t y x y x y ( 1) x thay vo phng trỡnh (3.2.21) ta c: x2 ( 1) x x x 3x chia c hai v cho x ta c: ( 1) 3 Vy nghim tng quỏt ca phng trỡnh (3.2.21) l: y C1x Vớ d 2: Gii phng trỡnh: x2 y xy 4y C2 x3 (3.2.22) Gii: SVTH: Trần Thị Th-ơng 70 Lớp K33A Khóa luận tốt nghiệp t y x GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng y x y ( 1) x thay vo phng trỡnh (3.2.22) ta c: x2 ( 1) x x x 4x Chia c hai v cho x ta c: ( 1) 4 2i Vy nghim tng quỏt ca phng trỡnh (3.2.22) l: hay y C1 cosln x2 C2 sin ln x y C1 cos2ln x C2 sin 2ln x Vớ d 3: Gii phng trỡnh : x3 y xy (3.2.23) y Gii: t y x y x y ( 1) x Thay vo phng trỡnh (3.2.23) ta cú: x3 ( y ( 1)( 2) x 1)( 2) x x x x Chia c hai v ca phng trỡnh cho x ta c : Vỡ 3 ( 1)3 1 l nghim bi 3, ú nghim tng quỏt ca phng trỡnh (3.2.23) l: y C1x C2 x ln x C3 x ln x Chỳ ý: Phng trỡnh dng: (ax b)n y ( n) a1 (ax b)n y ( n 1) an (ax b) y an y Trong ú a, b, a1, an l cỏc hng s Tng t nh trờn ta cng a phng trỡnh ny v phng trỡnh tuyn tớnh vi h s hng s bng phộp th ax b et Vớ d minh ha: Gii phng trỡnh: ( x 1)2 y Gii: t x et dy dx SVTH: Trần Thị Th-ơng 2( x 1) y dy t d y e ; dt dx 71 2y d2y dt (3.2.24) dy e dt 2t thay vo phng Lớp K33A Khóa luận tốt nghiệp GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng d2y trỡnh (3.2.24) ta c: dt dy dt 2y Xột phng trỡnh c trng k 3k k k y1 et y1 x y2 e 2t y2 ( x 1)2 Vy nghim tng quỏt ca phng trỡnh (3.2.24) l: y C1 ( x 1) C2 ( x 1)2 3.2.3.3 Phng trỡnh Trờbsep 3.2.3.3.1 nh ngha: L phng trỡnh cú dng: x y n2 y xy (3.2.25) 3.2.3.3.2 Phng phỏp gii: l nghim kỡ d ca phng trỡnh Trng hp 1: Vi x Trng hp 2: Vi x nghim ca phng trỡnh (3.2.25) tn ti v nht Di õy ta i tỡm nghim ca (3.2.25) trờn khong 1;1 nh sau: S dng phng phỏp phộp th bin c lp ta cú: t t C n2 dx ; chn C x2 n n n2 dx arccos x hay x=cos t x2 y dy dx dy dt dt dx y d2y dx Khi ú t dt dy dt sin t dy sin t dt sin t d2y dt sin t dy cos t dt sin t Thay vo phng trỡnh (3.2.25) ta c d2y dt SVTH: Trần Thị Th-ơng n2 y (3.2.26) 72 Lớp K33A Khóa luận tốt nghiệp GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng Phng trỡnh (3.2.26) l phng trỡnh tuyn tớnh thun nht vi h s hng, ú nghim ca (3.2.26) l: y = C1 cos nt + C2 sin nt Vy nghim tng quỏt ca (3.2.25) l: y = C1 cos (n.arccosx) + C2 sin (n.arccosx) Chỳ ý : Nu n=1 thỡ phng trỡnh (3.2.25) cú nghim tng quỏt l: y = C1x + C2 x Vớ d minh Gii phng trỡnh x2 y xy (3.2.27) 4y Gii: Trng hp 1: Vi x l nghim kỡ d ca phng trỡnh Trng hp 2: Vi x nghim ca phng trỡnh (3.2.27) tn ti v nht Di õy ta i tỡm nghim ca (3.2.27) trờn khong 1; nh sau: S dng phng phỏp phộp th bin c lp ta cú: t t C Khi ú t dx ; chn C x2 dx arccos x hay x=cos t x2 y dy dx dy dt dt dx dy dt y d2y dx dt d2y dt sin t d2y dt sin t SVTH: Trần Thị Th-ơng sin t dy sin t dt dy cos t dt sin t sin t sin t dy cos t dt sin t 73 Lớp K33A Khóa luận tốt nghiệp GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng d2y Thay vo phng trỡnh (3.2.27) ta c: dt 4y (3.2.28) Phng trỡnh (3.2.28) l phng trỡnh tuyn tớnh thun nht vi h s hng Gii phng trỡnh (3.2.28) suy nghim tng quỏt ca (3.2.28) l: y = C1 cos 2t + C2 sin 2t Vy nghim tng quỏt ca (3.2.27) l: y = C1 cos (2.arccosx) + C2 sin (2.arccosx) SVTH: Trần Thị Th-ơng 74 Lớp K33A Khóa luận tốt nghiệp GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng KT LUN ti Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vi phõn cú vai trũ quan trng quỏ trỡnh phõn loi v gii cỏc phng trỡnh vi phõn Khúa lun gm cú phn Chng 1: Phng trỡnh vi phõn cp mt Chng 2: Mt s phng trỡnh vi phõn cp cao cú th gii c bng phng phỏp h cp Chng 3: Phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh (cp n) T ú a mt s phng phỏp gii phng trỡnh vi phõn v nhng vớ d minh cho nhng phng phỏp ú, cng nh thy c mi liờn h gia cỏc phng phỏp gii Qua ú em mong mun a mt cỏch nhỡn h thng v khoa hc cỏc phng phỏp gii phng trỡnh vi phõn Tuy nhiờn kin thc cú hn nờn nhng trỡnh by khúa lun khụng trỏnh nhng thiu sút Vỡ vy em rt mong nhn c nhng ý kin úng gúp ca cỏc thy cụ v cỏc bn sinh viờn em hon thnh tt khúa lun ca mỡnh H Ni, ngy thỏng nm 2011 Sinh viờn thc hin Trn Th Thng SVTH: Trần Thị Th-ơng 75 Lớp K33A Khóa luận tốt nghiệp GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng TI LIU THAM KHO Hong Hu ng, Vừ c Tụn , Nguyn Th Hon (1970), Phng trỡnh vi phõn (tp 1, 2), NXB i Hc v Trung hc chuyờn nghip, H Ni Hong Hu ng (1970), Lý thuyt phng trỡnh vi phõn, NXB i Hc v Trung hc chuyờn nghip, H Ni Nguyn Th Hon, Phm Thu (2000), C s phng trỡnh vi phõn v lý thuyt n nh, NXB Giỏo dc, H Ni Nguyn Th Hon, Trn Vn Nhung (1979), Bi phng trỡnh vi phõn, NXB i hc v Trung hc chuyờn nghip, H Ni V Tun, Phan c Thnh, Ngụ Xuõn Sn (1977), Gii tớch toỏn hc (tp 3), NXB Giỏo dc, H Ni SVTH: Trần Thị Th-ơng 76 Lớp K33A [...]... phng trỡnh vi phõn ton phn Vớ d minh ha: Gii phng trỡnh: x 2 3ln y ydx xdy (1.3.7) x dy 0 y (1.3.8) Gii: T phng trỡnh (1.3.7) x2 3ln y dx Phng trỡnh (1.3.8) khụng phi l phng trỡnh vi phõn ton phn Ta i tỡm tha s tớch phõn Ta thy M y N x N 4 x do ú 1 x4 ( x) Nhõn c hai v ca phng trỡnh (1.3.8) vi vi phõn ton phn: 1 x2 3ln y dx x4 1 ta c phng trỡnh x4 1 dy 0 x3 y p dng cụng thc nghim ca phng trỡnh vi phõn... 1.3.1 nh ngha: Phng trỡnh vi phõn dng M(x,y)dx + N(x,y) dy = 0 (1.3.1) c gi l phng trỡnh vi phõn ton phn nu tn ti mt hm U(x,y) sao cho dU(x,y) = M(x,y) dx + N(x,y) dy Trong ú U(x,y) kh vi M(x,y), N(x,y) liờn tc cú cỏc o hm riờng M M ; trong mt min n liờn G no ú y x SVTH: Trần Thị Th-ơng 31 Lớp K33A Khóa luận tốt nghiệp GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng Nh vy (1.3.1) l phng trỡnh vi phõn ton phn trong min... 1.2 Phng trỡnh vi phõn thun nht 1.2.1 Phng trỡnh vi phõn thun nht (cp 1) 1.2.1.1 nh ngha 1: nh ngha hm thun nht Hm f(x,y) c gi l hm thun nht bc k nu vi f( tx, ty) = tk f(x,y) t ta cú: (hm f( tx, ty) xỏc nh) (1.2.1) Nu t > 0 thỡ ta núi rng f(x,y) l hm thun nht dng v ngc li 1 y khi ú (1.2.1) tr thnh f (1, ) x x t t 1 f ( x, y ) xk f ( x, y ) y x k f (1, ) x 1.2.1.2 nh ngha 2: Phng trỡnh vi phõn thun nht... li phng trỡnh (1.3.4) ta c phng trỡnh vi phõn ton phn Vớ d minh ha: Gii phng trỡnh: x(ln y 2ln x 1)dy 2 ydx (1.3.10) Gii: Khi x 0 khi ú phng trỡnh (1.3.10) tr thnh: y 2 dx (ln y 2ln x 1) dy x 0 (1.3.11) Phng trỡnh (1.3.11) khụng phi l phng trỡnh vi phõn ton phn Ta i tỡm tha s tớch phõn Ta thy: M y N x M 2 do ú y ( y) 1 y2 Nhõn c hai v ca phng trỡnh (1.3.11) vi vi phõn ton phn: 2 dx xy 1 (ln y 2ln x... phõn tng quỏt ca phng trỡnh (1.3.1) ta cú dU(x,y)=0 Bi toỏn t ra l khi no thỡ (1.3.1) l phng trỡnh vi phõn ton phn ? Nu (1.3.1) l phng trỡnh vi phõn ton phn thỡ tỡm tớch phõn tng quỏt ca nú nh th no? tr li c 2 cõu hi trờn ta i tỡm hiu nh lý sau õy 1.3.2 nh lý iu kin cn v phng trỡnh (1.3.1) l phng trỡnh vi phõn ton phn l: riờng M y M Trong ú M(x,y), N(x,y) liờn tc cú cỏc o hm x M M ; liờn tc trong... phõn Xột phng trỡnh (1.3.1) nhiu khi phng trỡnh vi phõn khụng phi l phng trỡnh vi phõn ton phn vỡ khụng tha món nh lý Nhng cú th tn ti hm s ( x, y ) sao cho: ( x, y ) M(x,y)dx + ( x, y ) N(x,y) dy = 0 Khi ú (1.3.4) ( x, y ) c gi l tha s tớch phõn 1.3.5 Cỏch tỡm tha s tớch phõn Gi s ( x, y ) l tha s tớch phõn ca phng trỡnh (1.3.1) (1.3.4) l phng trỡnh vi phõn ton phn thỡ: ( ;M ) y M y M y M N ( ;N)... e (1.3.4) ta c phng trỡnh vi phõn ton phn Vớ d minh ha: Gii phng trỡnh: y3dx 2( x2 xy 2 )dy 0 (1.3.13) Gii: M y N x 3y2; M y 4x 2 y2 N x 4x 5 y2 Ta thy tha s tớch phõn khụng ph thuc vo x hoc y Tuy vy nu ta chn x 2 y thỡ d dng kim tra c rng M y N x N x M 1 x2 y 1 do ú ( x, y ) 1 1 x2 y y Nhõn c hai v ca phng trỡnh (1.3.13) vi y2 1 phõn ton phn: 2 dx 2 x y 1 ta c phng trỡnh vi x2 y y dy 0 Gii phng trỡnh... p3 Lớp K33A Khóa luận tốt nghiệp GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng 1.1.3.11 Phng trỡnh Clerụ 1.1.3.11.1 nh ngha Phng trỡnh Clerụ l phng trỡnh cú dng: y xy (1.1.3.67) (y ) 1.1.3.11.2 Phng phỏp t p p Vi y khi ú ta cú p dp dx Vi x p dp ( p) dx x 0 dy dx x dp dx x p = C ( C=const) ( p) 0 p ( x) y ( p) dp dx dp dx x 0 dp ( p) dx 0 y Cx ( p) l nghim ca (1.1.3.67) ( x) y ( x).x ( p) 0 ( ( x)) l nghim ca phng trỡnh... Trong ú f * Trng hp 2: Nu c2 c12 t x x1 h y y1 k h, k 0 const Ly vi phõn 2 v ta cú: dx dx1 dy dx dy1 dx1 Thay vo phng trỡnh (1.2.6) ta cú dy1 dx1 f a( x1 h) b( y1 k ) c a1 ( x1 h) b1 ( y1 k ) c1 dy1 dx1 f a.x1 b y1 ah bk c a.x1 b y1 a1h b1k c1 (1.2.7) ah bk c 0 thỡ (1.2.6) l phng trỡnh thun nht a1h b1k c1 0 Nu Do ú ta suy ra cỏch chn h, k nh vic gii h phng trỡnh sau: a1h b1k ah bk c1 c trong ú a b a1 b1... t 2k 2 x2 y 2 m k 1 Vi k x 2 dy xdz c: xdz ( z 2 6 t 2 k 2 x 2 y 2 t m (6 x 2 y 2 ) m k 1 2 t k 1 (6 x 2 y 2 ) k 1 0 m k 1 z x 1 ỏp dng phộp th y y k 1 m k 1 zx z x2 x2 y zx z dz x z dx thay vo phng trỡnh (1.2.19) ta x2 z 6)dx 0 (1.2.20) zdx dy Tớch phõn phng trỡnh (1.2.20) ta c nghim z 2 3Cx 5 1 Cx 5 Vy nghim tng quỏt ca phng trỡnh (1.2.19) l: y 2 3Cx5 x(1 Cx5 ) 1.3 Phng trỡnh vi phõn ton phn 1.3.1 ... phng trỡnh vi phõn ó cho Chỳ ý: Trong thc t ngi ta thng ng nht hai khỏi nim nghim ca phng trỡnh vi phõn v tớch phõn ca phng trỡnh vi phõn Do ú nhiu bi toỏn yờu cu hóy tớch phõn phng trỡnh vi phõn... x, c) ta gii c nht i vi c tc l: c = ( x, y ) Cụng thc y y ( x, c) tho phng trỡnh (1.1.1.1) vi c = const 1.1.1.3 Nghim riờng Hm s y y ( x) c gi l nghim riờng ca phng trỡnh vi phõn (1.1.1.1) nu... phng phỏp gii phng trỡnh vi phõn SVTH: Trần Thị Th-ơng Lớp K33A Khóa luận tốt nghiệp GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng NI DUNG CHNG 1: PHNG TRèNH VI PHN CP MT 1.1 Phng trỡnh vi phõn cp dng tng quỏt f(x,