Hệ phương trình tuyến tính

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN  NGUYỄN THỊ HUỆ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành : Giải tích HÀ NỘI, 2012 Nguyễn Thị Huệ Lớp K34A Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN  NGUYỄN THỊ HUỆ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành : Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN VĂN HÙNG HÀ NỘI, 2012 Nguyễn Thị Huệ Lớp K34A Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Lời cảm ơn Sau thời gian miệt mài nghiên cứu giúp đỡ thầy cô giáo bạn sinh viên đến khóa luận em hoàn thành Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến Sĩ Nguyễn Văn Hùng hướng dẫn giúp đỡ em tận tình trình chuẩn bị hoàn thành khóa luận Em xin trân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho em có hội để tập dượt với việc nghiên cứu khoa học Đồng thời em xin trân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy cô tổ giải tích, động viên giúp đỡ, đóng góp ý kiến bạn bè dành cho em trình học tập hoàn thành khóa luận Vì lần em làm quen với công việc nghiên cứu kiến thức thân hạn chế nên tránh khỏi thiếu sót Em mong đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Em xin trân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Huệ Nguyễn Thị Huệ Lớp K34A Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Lời cam đoan Em xin cam đoan khóa luận công trình nghiên cứu riêng em Trong nghiên cứu, em kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Những kết nêu khóa luận chưa công bố công trình khác Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Huệ Nguyễn Thị Huệ Lớp K34A Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Mục lục Lời cảm ơn……………………………………………………………………1 Lời cam đoan…………………………………………………………………2 Mở đầu……………………………………………………………………… Nội dung Chương 1: Một số kiến thức bản………………………………………….6 1.1 Số gần sai số………………………………………………… 1.2 Chữ số có nghĩa, chữ số chắc………………………………………… 1.3 Sai số tính toán………………………… ………………………….… 1.4 Bài toán ngược toán tham số………………………………… 12 Chương 2: Lý thuyết hệ phương trình tuyến tính……………………… 13 2.1 Các dạng biểu diễn hệ phương trình tuyến tính…………………………13 2.2 Một số khái niệm……………………………………………………… 14 2.3 Nghiệm điều kiện tồn nghiệm……………………… ………….14 2.4 Hệ n phương trình n ẩn…………………………………………………15 2.5 Phân tích sai số………………………………………………………….17 2.6 Chuẩn ma trận chuẩn củavec tơ…………………………………19 Chương 3: Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính……… ….20 3.1 Phương pháp trực tiếp giải hệ phương trình tuyến tính………………20 3.1.1 Phương pháp Gauss………………………………………………… 20 3.1.2 Phương pháp Cholesky……………………………………………….27 3.1.3 Phương pháp trực giao hóa………………………………………… 31 3.2 Phương pháp gián tiếp giải hệ phương trình tuyến tính… ………… 34 3.2.1 Phương pháp lặp đơn………………………………………… …… 34 3.2.2 Phương pháp Jacobi………………………………………………… 40 3.2.3 Phương pháp Seidel………………………………………………… 42 3.2.4 Phương pháp Gauss-Seidel…………………………………… …….45 Chương 4: Bài tập áp dụng………………………………………………… 48 Kết luận…………………………………………………… ………………63 Tài liệu tham khảo………………………………………………………… 64 Nguyễn Thị Huệ Lớp K34A Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Các toán ứng dụng kinh tế kĩ thuật thường không đẹp giải theo phương pháp tính Người ta cần phương pháp giải có tính chất thuật giải kết gần sai số phải “đủ nhỏ” (thường hội tụ 0) Cho dù phương pháp đòi hỏi lượng phép tính lớn, với máy tính toán dễ dàng giải Một ngành học nghiên cứu phương pháp giải tích số Phương pháp giải tích số có ý nghĩa lớn đại số tuyến tính, đặc biệt việc giải hệ phương trình tuyến tính Khi số phương trình lớn phương pháp truyền thống nhiều gặp khó khăn, giải cách xác mà đưa lời giải gần cho toán Chính em chọn đề tài “ Hệ phương trình tuyến tính” với nội dung chủ yếu tìm phương pháp giải gần hệ n phương trình tuyến tính n ẩn để làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu kiến thức hệ phương trình tuyến tính -Làm rõ phương pháp giải gần hệ phương trình tuyến tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: kiến thức hệ phương trình tuyến tính Phạm vi nghiên cứu: kiến thức sai số; phương pháp giải trực tiếp; gián tiếp hệ phương trình tuyến tính Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày lý thuyết hệ phương trình tuyến tính - Đề xuất phương pháp giải gần hệ phương trình tuyến tính Nguyễn Thị Huệ Lớp K34A Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sử dụng lí luận, công cụ toán học Nghiên cứu sách tham khảo, tài liệu liên quan Nghiên cứu lí luận, tổng hợp, đánh giá Cấu trúc khóa luận Gồm phần: Phần I: Mở đầu Phần II: Nội dung Gồm chương Chương 1: Một số kiến thức Chương 2: Lý thuyết hệ phương trình tuyến tính Chương 3: Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính Chương 4: Bài tập áp dụng Nguyễn Thị Huệ Lớp K34A Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán NỘI DUNG Chương 1: Một số kiến thức 1.1 Số gần sai số 1.1.1 Định nghĩa Trong thực tế tính toán ta thường số a* mà biết số đủ gần a Ta nói a số gần a* , a không sai khác a* nhiều Đại lượng   a*  a gọi sai số thực a Do a* nên  ta tìm số a  cho a*  a  a (1.1) hay a  a  a*  a  a Số a thỏa mãn (1.1) gọi sai số tuyệt đối a Tỉ số  a  a gọi sai số tương đối a a Ví dụ 1.1.1 Cho số a*   ; a  3.14 3.14  a*  3.15 ; a  0.01 3.14  a *  3.142 ; a  0.002 Trong phép đo nói chung sai số tuyệt đối nhỏ tốt Ví dụ 1.1.2 Đo độ dài hai đoạn thẳng AB, CD ta a  10cm b  1cm ; với a  b  0.01 Khi ta có  a  0,1%  b  1% hay  b  10 a Hiển nhiên phép đo a xác phép đo b a  b Như độ xác phép đo phản ánh qua sai số tương đối 1.1.2 Sai số thu gọn Xét số thập phân a biểu diễn dạng a  (  p 10 p   p1.10 p 1    p q 10 p q ) Nguyễn Thị Huệ Lớp K34A Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Trong   i  ;  p > ; p   i  p  q  Nếu p  q  a số nguyên  Nếu   p  q  a số thập phân có phần lẻ gồm p  q chữ số  Nếu p  q    a số thập phân vô hạn Ví dụ 1.1.2.1 2403   103   102   101   100 Ta thấy p  q  nên 2403 số nguyên Ví dụ 1.1.2.2 25.134   101   10   10 1   10 2   10 3 Ta thấy p  q   nên a  25.134 số thập phân có phần lẻ gồm chữ số  Thu gọn a vứt bỏ số chữ số bên phải a để số ngắn gọn đảm bảo độ xác cần thiết  Quy tắc thu gọn Giả sử : a   (  p 10 p    j 10 j    p q 10 pq ) Giả sử ta muốn giữ lại đến hàng thứ j, gọi phần bỏ M Khi ta số thu gọn : a  (  p 10 p   p 1.10 p 1    j 10 j )   j Trong  j     j  0  M  0.5  10 j  0.5  10 j   M  10 j  Nếu M  0.5  10 j  j   j  j chẵn  j   j 1  j lẻ tính toán với số chẵn tiện Ví dụ 1.1.2.3  3.141592 Nguyễn Thị Huệ 3.14159 3.1416 3.142 3.14 3.1 Lớp K34A Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán  Giả sử sai số thu gọn a a Ta có a  a  a a *  a  a *  a  a  a  a *  a  a  a  a   a Từ đánh giá ta có nhận xét : Khi thu gọn số a sai số tuyệt đối a với a* lớn sai số tuyệt đối a a* 1.2 Chữ số có nghĩa, chữ số 1.2.1 Chữ số có nghĩa Chữ số có nghĩa chữ số khác chữ số kẹp hai chữ số có nghĩa đại diện cho hàng giữ lại Ví dụ 1.2.1  = 0.000870190 Bốn chữ số chữ số nghĩa, toàn chữ số lại chữ số có nghĩa 1.2.2 Chữ số Xét số : a   (  p 10 p    j 10 j    pq 10 p q ) Chữ số  j gọi chữ số a    10i Với  số cho trước Tham số  chọn để chữ số vốn sau thu gọn chữ số Ví dụ 1.2.2 a  1.70134 ;  a  0.001  10 3 Khi a   100   101   102   103   104   105 Chọn   a có bốn chữ số 1; 7; 0; lại hai chữ số không 3; Chọn   0.5 a có ba chữ số 1; 7; 1; 3; ba chữ số không Ta xét việc chọn  Giả sử a viết dạng : Nguyễn Thị Huệ 10 Lớp K34A Khóa luận tốt nghiệp 2 x1  3x1 4 x   x1     Khoa Toán  x2  x2  3x3  x3   2  11x2  x3   x2  x2 3x2  1.5 x3  6.5 x3  x3   8  1  x1  x2  x2     1.5 x3  1.3x3   1.6  2.9 x3  5.8  x1   x2 x    1  T Kết luận : Hệ phương trình có nghiệm x  1;  1;  b) 3 x1 5 x   2 x1 4 x1  x2  x3  x4  x2  x3   x2  x3  x4   x2  x3  x4  2.5  x1       1.33333 x2 x2  x1 x    x3  x4  1.498306  1.02099 x4   13.5  x3  0,80488 x3 x3  0.66667 x4  0.31707 x4  0.017074 x4 x4     1.66667 0.37805 2.50429 1.498306  2.52576  1.99921 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm x  (1.498306; 1.02099; 2.52576; 1.99921) T Bài Nguyễn Thị Huệ 51 Lớp K34A Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán a) Ta thấy ma trận A đối xứng, ta tìm ma trận B a12 a  0.088 ; b13  13   0.228 ; b11 b11 b11  a11  2.5 ; b12  b22  a22  b122  2.90038 ; b23  b33  a33   b132  b232   3.88677 ; a23  b12 b13   0.14480 ; b22 0.228   2.5 0.088  Ma trận B   2.90038 0.14480  ;  0 3.88677   Giải BT y  b  2.5 y1   0.088 y1  2.90038 y2 0.228 y  0.14480 y   y1   y2 y   3.88677 y3  12.34  10.63  21.75  4.0360  3.51527  6.01641 Giải Bx  y 2.5 x1  0.088 x2  2.90038 x2     x1   x2 x   0.228 x3  0.14480 x3  4.9360  3.51527 3.88677 x3  6.01641  2.07019  1.28928  1.54792 Hệ phương trình có nghiệm x   2.07019, 1.28928, 1.54792  T b) Ta thấy ma trận hệ số A hệ đối xứng, ta tìm ma trận B Nguyễn Thị Huệ 52 Lớp K34A Khóa luận tốt nghiệp b11  b14  b22  a11  ; b12  Khoa Toán a12 a  ; b13  13   ; b11 b11 a14 a  ; b15  15   ; b11 b11 a22  b122  i ; b23  a23  b12 b13 i ;  b22 b24  a24  b12 b14 i ;  b22 b25  a25  b12 b15 3i ; b33   b22 b34  a34   b13 b14  b23 b24  9i ;  b33 b35  a35   b13.b15  b23 b25  7i  b33 b44  b45  b55  a44   b142  b243  b342   a33  (b132  b232 )  2i ; 33 a45   b14 b15  b24 b25  b34 b35  27  b44 33 a55   b152  b252  b352  b452   1  0 i   0 Ta có ma trận B    0   0   Nguyễn Thị Huệ 2 i 2i i 9i 33 0 53 i 11 2  3i   7i   5  27  3  i 3  11  Lớp K34A Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Giải BT y  b  y1   y1  i y2  i y2 2 y1    i  y2   3i  y2 2 y1    y1   y2    y3    y4   y5  0.5  39i 10  0.5  5.4  2i y3  9i y3  33 y4  7i y3  27 y4 33  5.0  7.5  3i y5 11  3.3 339i 100 279  20 33  0.9226115i  Giải Bx  y  x1  3x2   i x2           Nguyễn Thị Huệ   x3 i x3 2i x3  x5 3i x5  0.5 39i 10  i x4   9i x4  7i x5  339i 100 33 x4  27 x5 33  279 20 33 i x5 11 54   0,922615i Lớp K34A Khóa luận tốt nghiệp  x1 x   x3 x   x5 Khoa Toán  7.29997  3.06665  6.73333  0.59999  1.76667 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm x   7.29997;  3.06665;  6.73333; 0.59999;  1.76667  T Bài Hệ phương trình cho tương đương với:  x1   x1 2 x   a1   a3   x2  x2   x2  x3 x3    x3    1; 1; 1;  1 ; a2  1; 2;  1;  ;   2; 1; 1; 1 ; a4   0; 0; 0; 1      1 1  Ta có: u1  a1  1; 1; 1;  1  v1   ; ; ; ; 2 2        3  u2  a2  a2 , v1 v1   ; ; ;  2 2 2  3    v2   ; ; ; ; 2 5 5          11 2 16  u3  a3  a3 , v1 v1  a3 , v2 v2   ; ; ;   10 10 10 10   2 16   11  v3   ; ; ; ; 430 430 430   430            u4  a4  a4 , v1 v1  a4 , v2 v2  a4 , v3 v3  9 15    ; ; ;   43 86 43 86  Nguyễn Thị Huệ 55 Lớp K34A Khóa luận tốt nghiệp  x1  x3  Khoa Toán 9 15 :   ; x2  :  ; 43 86 86 86 :  43 86 T 4  Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm x   2; ;  3  Bài a) Hệ phương trình tương đương với 10 x1  10 x2 10 x   x1   x2 x   2.4 x1  2.2 x1  1.3 x1  0.5 x2  0.9 x2  0.2 x2  2.4 x3  4.4 x3  4.2 x3  0.24 x1  0.22 x1  0.05 x2  0.09 x2  0.24 x3  0.44 x3  0.19  0.97  0.13x1  0.02 x2  0.42 x3  0.14  1.9  9.7  1.4 Hay x  Bx  g  0.24 0.05 0.24   0.19    Trong B   0.22 0.09 0.44  ; g   0.97   0.13 0.02 0.42   0.14      B   max  0.54; 0.75; 0.57   0.75  Vậy điều kiện phép lặp hội tụ nghiệm thỏa mãn Xét dãy phép lặp: x( n )  Bx( n1)  g Ta có bảng sau: k x1( k ) x2( k ) x3( k ) 0 0 0.19 0.97  0.14 0.2207 1.0703  0.1915 0.2354 1.0988  0.2118 0.2424 1.1088  0.2196 Nguyễn Thị Huệ 56 Lớp K34A Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán 0.2554 1.1124  0.2226 0.2467 1.1138  0.2237 0.2472 1.1143  0.2243 0.2474 1.1145  0.2243 0.2475 1.1145  0.2243 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm gần T đúng: x   0.2475; 1.1145;  0.2243 b) Hệ phương trình đưa dạng : 10 x1 10 x   10 x3 20 x4  x1 x    x3  x4  0.9 x1  1.2 x2  1.2 x1  1.2 x2  2.1x3  1.5 x3  0.9 x4  2.5 x4    2.1x1  1.5 x2  0.9 x1  2.5 x2  0.2 x3  1.3x3  1.3x  1.1x4  10.3  24.3   0.09 x1 0.12 x1   0.12 x2 0.12 x2  0.21x1  0.15 x2  0.045 x1  0.125 x2   0.21x3 0.15 x3  0.02 x3  0.065 x3   7.0 5.3 0.09 x4 0.25 x4  0.13x  0.055 x4   0.70 0.53  1.03  1.215 T Chọn x (0)   0.7; 0.53; 1.03; 1.215  Ta có bảng sau: k x1( k ) x2( k ) x3( k ) x4( k ) 0.7 0.53 1.03 1.215 1.026250 0.09215 0.960150 1.046475 0.914509 0.236451 1.114851 1.129696 0.981859 0.161715 1.062015 1.091997 0.952341 0.196115 1.091213 1.112533 0.967106 0.178932 1.077769 1.103951 0.960119 0.186927 1.084294 1.108075 0.963449 0.183120 1.081222 1.103416 Nguyễn Thị Huệ 57 Lớp K34A Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán 0.961628 0.185602 1.083036 1.107201 0.962812 0.183867 1.081826 1.103779 10 0.961935 0.184677 1.082755 1.104316 11 0.962354 0.184778 1.082986 1.104085 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm gần x  T  0.962354; 0.184778; 1.082986; 1.104085  Bài Hệ phương trình đưa dạng :  x1 x    x3  x4  x1  0.1x1  0.1x2  x2  0.2 x3  0.1x3  0.3 x4  0.2 x4   0.5  0.1x1  0.15 x1  0.15 x2  0.1x2  x3  0.05 x3  0.05 x4  x4  0.5  0.75 Hay x  Bx  g 0  0.1 B    0.1   0.15 B 0.1 0.2 0.3     0.5  0,1 0.2   ; g    0.5  0.15 0.05     0.1 0.05   0.75   max  0.35; 0.35; 0.35; 0.55   0.55  T Chọn x (0)   0; 0.5;  0.5; 0.75 ta có bảng sau: k x1( k ) x2( k ) x3( k ) x4( k ) 0 0.5 0.5 0.75 0.375 0.3 0.5375 0.725 0.355 0.26375 0.54625 0.690625 0.3428125 0.27175 0.54053125 0.6976875 0.3445875 0.272128125 0.540159375 0.69863437 0.344693718 0.271892625 0.540369796 0.69810703 Nguyễn Thị Huệ 58 Lớp K34A Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán 0.344695331 0.271872242 0.540347914 0.69812407 Đánh giá sai số : x (6)  x (*)  B  B x (1)  x (0)  1 B  (6) B g 1 0.55(6)   0.75  0.04613 0.45 Bài a) Hệ phương trình đưa dạng :  x1   x2 x   x1  0.1x1  0.1x1  0.1x2  x2  0.1x2  0.1x3  0.1x3  x3  1.2  1.2  1.2 0.1 0.1 0 1.2   0.1 ; g  1.2  ; Hay x  Bx  g với B   0.1  0.1 0.1  1.2      Ta thấy B   m ax 0.2; 0.2; 0.2  0.2  thỏa mãn điều kiện hội tụ 0 0   Phân tích B  B1  B2 với B1   0.1  0.1 0.1     0.1 0.1 B2   0 0.1 0 0   Ta có x( k 1)  B1 x( k 1)  B2 x( k )  g  x1( k 1)  Hay  x2( k 1)  x ( k 1)   0.1x2( k )   0.1x1( k 1)  0.1x1( k 1)  0.1x3( k )  0.1x3( k )  0.1x2( k 1)  1.2  1.2  1.2 Chọn x (0)  1.2; 1.2; 1.2  T Ta có bảng sau: k Nguyễn Thị Huệ x1( k ) x2( k ) 59 x3( k ) Lớp K34A Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán 1.2 1.2 1.2 0.96 0.984 1.0056 1.00104 0.999336 1.00128 1.00007016 0.9999967 0.999962 Kết luận : Hệ phương trình có nghiệm gần x = ( 1.00007016; 0.999967; 0.999924) T b) Đưa hệ phương trình dạng  x1 x    x3  x4  x1( k 1)  ( k 1)  x2  ( k 1)  x3  x4( k 1)  x1  0.25 x1  0.25 x2  x2  0.1x3  0.575 x3  0.15 x4  0.15 x4  1.2625  0.3705  0.0425 x1  0.53 x2  x3  0.1x4  1.2975  0.09 x1  0.06 x2  0.525 x3  x4  0.912  0.25 x2( k )  0.25 x1( k 1)  0.0425 x1( k 1)  0.1x3( k )  0.575 x3( k )  0.53 x2( k 1)  0.15 x4( k )  0.15 x4( k )  0.1x4( k )  1.2625  0.09 x1( k 1)  0.06 x2( k 1)  0.525 x3( k 1)  0.912  0.3705  1.2975 Ta có bảng sau k x1( k ) x2( k ) x3( k ) x4( k ) 1.2625 0.3705  1.2975  0.912 1.362175  0.85290  0.812152  1.40980 1.179530  0.6028399  0.887145  1.447738 1.240236  0.666828  0.852017  1.43092 1.225229  0.640355  0.867092  1.4907 1.231563  0.651829  0.860465  1.435475 1.228818  0.646793  0.863377  1.437059 Kết luận: Hệ có nghiệm gần x = ( 1.228818;  0.646793;  0.863377;  1.437059) T Nguyễn Thị Huệ 60 Lớp K34A Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Bài 7: Nhận xét: Hệ phương trình với ma trận đường chéo trội nên phương pháp Gauss-Seidel hội tụ Hệ phương trình đưa dạng:   x1  x    x3    x4  x   x1 1 x1 1  x1 23  x1 35  x1   x2   x2     x2 23 x2 35 x2 72 x3 x3   x3     x3 x3 72 x4 x4 x4 23  x4  x4 36 x5  x5 12  x5 23  x5 35   0x      Hay x  Bx  g ; 1      1    Trong B     23  23    35  35  1   72 72  1     1    12  1    23 23     35    36   Phân tích B  B1  B2 B1 ma trận tam giác dưới; B2 ma trận tam giác Do ta có phép lặp đơn: x ( k 1)  B1 x ( k 1)  B2 x ( k )  g Nguyễn Thị Huệ 61 Lớp K34A Khóa luận tốt nghiệp  ( k 1)  x1   x ( k 1)   ( k 1)  x3   ( k 1)  x4   x ( k 1)       Khoa Toán (k ) x2  x1( k 1)  x1( k 1) 23 ( k 1) x1 35 ( k 1) x1      (k ) x3 (k ) x3 ( k 1) x2 23 ( k 1) x2 35 ( k 1) x2 72      (k ) x4 (k ) x4 (k ) x4 23 ( k 1) x3 ( k 1) x3 72 (k ) x5 (k )  x5 12 (k )  x5 23 (k )  x5 35 ( k 1)  x4 36       T Chọn x (0)   3; 6; 2;  2;   Ta có bảng sau k x1( k ) x2( k ) x3( k ) x4( k ) x5( k ) 2 2 4.83333 0.94927  1.45942  1.64295 3.96000 5.24551 0.82238  1.43137  1.60619 4.03056 5.28946 0.806941  1.42165  1.59793 4.03664 5.29386 0.80494  1.42083  1.59723 4.03741 5.29454 0.80469  1.42071  1.59715 4.03752 5.29462 0.80466  1.42070  1.59713 4.03753 5.29462 0.80466  1.42926  1.59737 Kết luận: Hệ có nghiệm gần x   4.03753; Nguyễn Thị Huệ T 5.29462; 0.80466;  1.42926;  1.59737  62 Lớp K34A Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Kết luận Trên toàn đề tài “ Hệ phương trình tuyến tính” Đối chiếu với mục đích nghiên cứu đề tài hoàn thành nhiệm vụ đặt Đề tài nghiên cứu lý thuyết hệ phương trình tuyến tính phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính mà trọng tâm phương pháp giải gần Từ thấy sức mạnh ngành toán học Giải tích số, Tin học sống Từ sở lý thuyết đến cách tiếp cận với phương pháp giải xếp theo trình tự hợp lí Mặc dù có nhiều cố gắng tìm tòi, nghiên cứu khả thời gian có hạn nên đề tài không tránh khỏi thiếu xót Vì em mong bảo, đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên để đề tài hoàn chỉnh Nguyễn Thị Huệ 63 Lớp K34A Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Huệ Tài liệu tham khảo Phạm Kỳ Anh (2005) Giải tích số - NXB Đại học Quốc Gia Hà TS.Phan Đăng Cầu, TS.Phan Thị Hà, Phương pháp số- NXB Nội Học Viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông Nguyễn Minh Chương (chủ biên), Nguyễn Văn Khải, Khất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường, Giải tích số - NXB Giáo Dục Tạ Văn Đĩnh, Phương pháp tính – NXB Giáo Dục Phan Hồng Trường (2001) Đại số tuyến tính- NXB Đại học sư phạm Hà Nội Nguyễn Thị Huệ 64 Lớp K34A Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Huệ Khoa Toán 65 Lớp K34A [...]... về hệ phương trình tuyến tính 2.1 Các dạng biểu diễn hệ phương trình tuyến tính 2.1.1 Dạng tổng quát Xét hệ m phương trình bậc nhất đối với n ẩn x1 ; x2 ; x3 ; ; xn Nguyễn Thị Huệ 14 Lớp K34A Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán  a11 x1  a12 x2   a x  a x   21 1 22 2   am1 x1  am 2 x2   a1n xn  b1  a2 n xn  b2  amn xn  bm (2.1.1) Hệ này được gọi là một hệ phương trình tuyến. .. 1 i  n Chương 3: Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính Nhiều vấn đề của khoa học kĩ thuật, kinh tế môi trường quy về việc giải hệ phương trình tuyến tính (2.4.1.2) Ax = b Về phương diện lí thuyết hệ có thể giải được trọn vẹn nhờ lí thuyết ma trận và định thức Tuy nhiên trong trường hợp ma trận A không suy biến, nếu giải hệ bằng phương pháp Cramer thì số phép tính rất lớn Nhằm khắc phục... phép tính rất lớn Nhằm khắc phục hạn chế đó, trong chương này chúng ta xét một số phương pháp thực tế giải hệ phương trình (2.4.1.2) với đặc điểm chung là khối lượng tính toán được giảm nhẹ 3.1 Phương pháp trực tiếp giải hệ phương trình tuyến tính 3.1.1 Phương pháp Gauss 3.1.1.1 Nội dung phương pháp: Gồm hai quá trình  Quá trình thuận Biến đổi A về dạng ma trận tam giác trên Nguyễn Thị Huệ 21 Lớp K34A... gọi là nghiệm của hệ (2.1.1) nếu ta thay các ẩn x j bởi các số c j , ( j  1, n ) vào tất cả các phương trình của hệ ta được các đẳng thức đúng Hai hệ phương trình tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm 2.3.2 Định lí về sự tồn tại nghiệm Định lí (Croncke-capelly) Điều kiện cần và đủ để một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là hệ đó có hạng của ma trận mở rộng bằng hạng của ma trận hệ số Chứng minh... :  6 ; x2  21 42 42 42 7 42 T Kết luận : Hệ phương trình có nghiệm là x   6;  2;  1 3.2 Phương pháp gián tiếp giải hệ phương trình tuyến tính 3.2.1 Phương pháp lặp đơn 3.2.1.1 Nội dung phương pháp  Biến đổi hệ về dạng tương đương x  Bx  g (3.2.1.1) Bắt đầu với x (0) nào đó, nếu dãy x( n1)  Bx( n )  g hội tụ về x * khi n  thì x * là nghiệm của hệ aij ( k 1) b xj  i aii i j a ii Với... Nhận xét  Phương pháp trực giao hóa đơn giản, dễ lập trình nhưng kém chính xác hơn phương pháp Gauss Do công thức (3.1.3.1) không ổn định sai số nhỏ n có thể làm cho hệ vectơ vi i 1 không còn trực giao nữa  Khối lượng tính toán : - Số phép nhân : n3  n 2 2n3  n2  n - Số phép cộng : 2 - Số phép chia : n ; số phép khai căn bậc hai n 3.1.3.3 Ví dụ Giải hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp... Điều này có nghĩa là ta đã thêm vào hệ A vectơ b là tổ hợp tuyến tính của hệ A được hệ A  rank(A) = rank( A ) () Giả sử rank(A) = rank( A )  rank (A) = rank(B)  dimU = dimW Vì U  W  U  W  Do đó b  U Vì thế tồn tại bộ n số :  c1 ; c2 ; c3 ; ; cn  sao cho r ur ur ur b  c1.a1  c2 a2   cn an 2.4 Hệ n phương trình n ẩn 2.4.1 Các dạng của hệ gồm n phương trình n ẩn số Dạng tổng quát:  a11... niệm Hệ phương trình tuyến tính (2.1.1) được gọi là :  Thuần nhất nếu tất cả các bi  0 ( i  1, m )  Không thuần nhất nếu có ít nhất một bi  0 ( i  1, m )  Tương thích nếu hệ có ít nhất một nghiệm, tức là tồn tại một bộ giá trị của x1 ; x2 ; x3 ; ; xn mà khi thay vào sẽ có một đồng nhất thức  Hệ không tương thích nếu không có một nghiệm nào  Hệ xác định nếu hệ chỉ có một nghiệm duy nhất  Hệ. ..  2.86599 x4  1 1 0 2 1 T Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm x  1; 0; 2;  1 3.1.1.4 Ứng dụng 3.1.1.4.1 Tính định thức Nguyễn Thị Huệ 26 Lớp K34A Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán  a11 a Cho ma trận A   21    an1 a12 a1n  a2 n    ann  a22 an 2 Cần tính det( A )= ? Ta có thể sử dụng phương pháp Gauss như đã trình bày để tính Nội dung của phương pháp Biến đổi ma trận A về ma trận... phép tính của phương pháp Gauss Nguyễn Thị Huệ 24 Lớp K34A Khóa luận tốt nghiệp - Phép nhân : Khoa Toán n(n  1) n(n  1)(2n  5) ; phép chia : 6 2 - Phép cộng, phép trừ : n(n  1)(2n  5) 6 4n3  9n2  7n - Tổng số phép tính: Sn = 6  Với phương pháp Gauss được trình bày ở trên - Phương pháp Gauss là phương pháp giải đúng, nhưng thực tế vẫn xảy ra sai số quy tròn Hơn nữa các tính toán trên máy tính ... số; phương pháp giải trực tiếp; gián tiếp hệ phương trình tuyến tính Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày lý thuyết hệ phương trình tuyến tính - Đề xuất phương pháp giải gần hệ phương trình tuyến tính. .. “ Hệ phương trình tuyến tính với nội dung chủ yếu tìm phương pháp giải gần hệ n phương trình tuyến tính n ẩn để làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu kiến thức hệ phương trình. .. thức hệ phương trình tuyến tính -Làm rõ phương pháp giải gần hệ phương trình tuyến tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: kiến thức hệ phương trình tuyến tính Phạm vi nghiên cứu: