Một số phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến

Lí do chọn đề tài Giải tích số là một lĩnh vực toán học rất rộng, nó nghiên cứu lí thuyết xấp xỉ hàm, giải gần đúng một lớp các bài toán, các phương trình thường gặp … đặc biệt giải tí

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Giải tích số là một lĩnh vực toán học rất rộng, nó nghiên cứu lí thuyết xấp

xỉ hàm, giải gần đúng một lớp các bài toán, các phương trình thường gặp … đặc biệt giải tích số chuyên nghiên cứu các phương pháp số giải gần đúng các

bài toán thực tế được mô hình hóa bằng ngôn ngữ toán học

Trong nghiên cứu khoa học và trong thực tế có rất nhiều bài toán được chuyển thành bài toán giải hệ phương trình

f x x i 1, 2, ,x n , (i 1,2, , ).n (1)

Tuy nhiên, chỉ trong một số trường hợp đặc biệt ta mới có cách tìm nghiệm đúng của hệ phương trình đó, các trường hợp còn lại đều phải tìm cách giải gần đúng Nếu hệ phương trình đó xuất phát từ bài toán thực tế thì biểu thức

1, 2, , , 1,

việc giải gần đúng hệ phương trình đó chẳng những không thực hiện nổi mà nhiều khi không có ý nghĩa Đối với các bài toán đó thì việc xác định sai số là một vấn đề đáng quan tâm

Vấn đề tìm gần đúng nghiệm của hệ phương trình phi tuyến có ý nghĩa lí thuyết và ứng dụng rất lớn là cơ sở của môn giải tích số Vì vậy em đã lựa

chọn đề tài cho khóa luận tốt nghiệp này là: " Một số phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến "

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một cách có hệ thống kiến thức cơ bản của hai phương pháp

giải hệ phương trình phi tuyến là: phương pháp Homotopy và phương pháp Newton Sau đó vận dụng hai phương pháp này giải một số hệ phương trình phi tuyến 2 ẩn, 3 ẩn, …

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu việc giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Homotopy và phương pháp Newton

- Ứng dụng của Maple trong việc giải hệ phương trình phi tuyến

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản của phương pháp Homotopy và phương pháp Newton để giải hệ phương trình phi tuyến

- Ứng dụng của phần mềm toán học Maple trong việc giải hệ phương trình phi tuyến

Luận văn được chia làm 3 chương ( ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo):

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Một số phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến

Chương 3: Ứng dụng của Maple giải hệ phương trình phi tuyến

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ

1.1.1 Số gần đúng

Ta nói rằng a là số gần đúng của số a* nếu như a không sai khác a* nhiều, hiệu số *

nói chung a* không biết nên cũng không biết , tuy nhiên có thể thấy tồn tại

a 0 thỏa mãn điều kiện : a* a 0 (1.1.1)

Số a thỏa mãn điều kiện (1.1.1) được gọi là sai số tuyệt đối của a,

còn a

a là sai số tương đối của a Rõ ràng a, a càng nhỏ, càng tốt

Chú ý: Nếu xét đoạn thẳng AB có số đo a = 100m và đoạn thẳng CD có

số đo b = 10m với a= b = 0,01m Khi đó 0.01

Nếu p s 0 thì a là số nguyên, nếu p s k k 0 thì a có

phần không nguyên gồm k chữ số, nếu p s thì a là số thập phân vô hạn

Làm tròn số a là bỏ đi 1 số các chữ số bên phải của số a để được số a

sai số tuyệt đối tăng thêm Γa

1.1.3 Chữ số có nghĩa, chữ số chắc

Xét chữ số a ở dạng (1.1.2) nghĩa là được viết dưới dạng thập phân,

khi đó chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác 0 và những chữ số 0 bị kẹp giữa

hai chữ số khác 0 hoặc nó là những số 0 ở hàng được giữ lại

Xét số a ở dạng (1.1.2):

( p10p i10i p s10p s)

a

Chữ số j ở (1.1.2) của số a là chữ số chắc nếu: a 10i, là tham số cho trước

Tham số sẽ được chọn để sao cho một chữ số vốn là chắc thì sau khi làm tròn vẫn là chữ số chắc, rõ ràng a là chữ số chắc thì i a cũng là chữ số i 1

chắc

( p10p i10i p s10p s)

a

y lớn,

phép tính sẽ kém chính xác Ta khắc phục bằng cách tránh công thức đưa đến hiệu quả của hai số bằng nhau

b Sai số của phép nhân, chia

Giả sử

n i

x

Áp dụng (1.1.3) và (1.1.4) ta có:

, k

k ¥ (phép khai căn) thì độ chính xác tăng lên

1.1.5 Bài toán ngƣợc của sai số

Giả sử đại lượng y được tính theo công thức: y f x x1, 2, ,x n

Yêu cầu đặt ra là cần tính x như thế nào để i y , với là số cho trước Theo biểu thức tổng quát của sai số tính toán, ta phải có

1

Ma trận A có ma trận nghịch đảo A khi và chỉ khi det1 A 0 và khi

đó ta có thể tìm 1

đó ta có thể áp dụng công thức

11 12 1

21 22 2 1

1 2

1det

n n

0 0 1

n n

a và dùng phép biến đổi sơ

cấp đối với hàng như thế nào để cho tất cả các thành phần ở cột thứ l bằng 0

trừ a ll Cũng lưu ý rằng, mỗi lần chia cho a ll như vậy bắt buộc phải kiểm tra xem a ll( 1)l có khác 0 hay không?

Cụ thể, sau khi chia hàng thứ nhất của (1.6.1) cho a , ta có: 11

ij (1) ij 11

a a a

12 11 1 11 (1) (1)

Hai bước cơ bản cần được tiến hành đối với ma trận này là:

1 Với mỗi hàng thứ l chia tất cả , al j( 1)l cho a ll( 1)l ; i l l, 1, ,n 1

2 Với mỗi i 1, 2, , ;n i 1 thay al j( 1)l bằng:

( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

ijl ijl ljl il l / ll l ; , 1, ,

Và vấn đề tìm 1

A trở thành tìm:

( 1) ( )

( 1)

( ) ( 1) ( 1) ( )

ij ij

;1,2, , ; , 1, ,

;1,2, , 1, 1, , ; , 1, ,

l lj l

a

Thông thường i chỉ số dòng, j chỉ số cột, còn l gán cho giá trị 0 và

sau đó được thay bằng l 1, là chỉ số của các phần tử đường chéo hiện tại Nên thay a ll l 1 bằng Q, để dễ dàng với mỗi l cố định các thành phần ở hàng thứ l có thể chia cho ( 1)l

ll

a Nếu không chuyển l 1

ll

a đến chỗ Q, thì ( 1)

(1) ( x y X d x y, ) ( , ) 0, ( , ) 0d x y x y, (Tiên đề đồng nhất) (2) ( x y X d x y, ) ( , ) d y x( , ), (Tiên đề đối xứng) (3) ( x y z, , X) d x y( , ) d x z( , ) d z y( , ) (Tiên đề tam giác) Ánh xạ d gọi là metric trên X , số d x y gọi là khoảng cách giữa hai ,phần tử x và y Các phần tử của X gọi là các điểm; các tiên đề (1), (2), (3) gọi là hệ tiên đề metric

*) Định nghĩa 2: Cho hai không gian metric

1 ( , );1 2( , 2)

Ánh xạ A không gian M vào không gian 1 M gọi là ánh xạ co nếu tồn 2

tại số ,0 1 sao cho: d Ax Ax2( , ') ( , '),d x x1 x x, ' X

1.3.2 Định lí

Mọi ánh xạ co A không gian metric đủ M X d vào chính nó đều có ,

điểm bất động x duy nhất, nghĩa là x X thỏa mãn hệ thức Ax x

1.4 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÍ SỬ DỤNG TÍNH LIÊN TỤC VÀ KHẢ VI CỦA HÀM SỐ

Mặc dù có thể sử dụng những chuẩn khác nhau, tính liên tục độc lập

với mỗi sự lựa chọn

Hơn nữa, f liên tục trên tậpD nếu f liên tục tại mọi điểm thuộc D

Khái niệm này được biểu thị bằng cách viết f C D

Chúng ta có thể xác định ngay được giới hạn và tính liên tục cho các hàm số từ ¡ n vào ¡ n bằng cách xét các hàm toạ độ từ ¡ nvào ¡

Cho hàm số đi từ ¡ vào ¡ , tính liên tục có thể thường được chứng tỏ bằng cách chứng minh rằng hàm số đó khả vi Mặc dù đây là định lý tổng quát hoá của các hàm số nhiều biến số, đạo hàm (hay đạo hàm toàn phần) của một hàm số nhiều biến số là hoàn toàn được thoả mãn và sẽ không được thể hiện ở đây Chúng ta đi xét định lý dưới đây, định lý liên quan giữa tính liên tục của một hàm số n biến số tại một điểm với đạo hàm riêng của hàm số tại một điểm

*) Định lý 1.4.4

Cho hàm số f : D ¡ D ¡ và x0 D Nếu tồn tại tất cả các đạo

hàm riêng của f và hằng số 0, tồn tại K 0 sao cho khi x x0 và

Định lý dưới đây mở rộng định lý về điểm bất động tới n-chiều Định

lý này là trường hợp đặc biệt của định lý ánh xạ co

*) Định lý 1.4.6

Cho D x x1, 2, ,x n t |a i x i b i, i 1,2, ,n , cho tập hợp các hằng

số a a1, 2, ,a và n b b1, , ,2 b Giả sử rằng G là hàm số liên tục từ n D ¡ tới

n

¡ có tính chất G x( ) D khi x D Khi đó G có điểm bất động trong D

Giả sử, mở rộng ra, tất các hàm số thành phần của G có đạo hàm riêng

và tồn tại một hằng số K 1 sao cho

được xác định bởi một số tuỳ ý đã chọn 0

x D và được sinh bởi

1.5 PHƯƠNG PHÁP RUGER – KUTTA GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

Xét bài toán có giá trị ban đầu sau đây:

y dy f x y,

dx (1.5.1)

y x0 y (1.5.2) 0

Để giải bài toán (1.5.1), (1.5.2), xuất phát từ giá trị ban đầu y tìm được giá 0

trị gần đúng y tại 1 x0 h x theo công thức 1

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

2.1 KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

Hệ phương trình phi tuyến là hệ phương trình có dạng:

1 1 2

2 1 2

1 2

, , , 0, , , 0

, , , 0

n n

Hệ gồm n phương trình phi tuyến n ẩn cũng có thể được biểu diễn bằng định nghĩa 1 hàm số F ánh xạ ¡ n vào ¡ n như sau

Có thể đưa về dạng phương trình (1.9.2) bằng cách xác định 3 hàm tọa

độ f f1, 2,f từ 3 ¡ vào 3 ¡ như sau:

1 2

2 2

F(x)=0

có nghiệm x , ta xét tập hợp các bài toán với việc sử dụng tham số có giá *

trị nằm trong đoạn 0,1 Một bài toán với nghiệm x(0) tương ứng với 0,

và bài toán với ẩn nghiệm *

Chúng ta sẽ giả thiết rằng với mỗi giá trị khác nhau của , tồn tại nghiệm của phương trình

Bài toán thác triển là:

Xác định một phương pháp để xuất phát từ nghiệm đã biết x(0) của G(0, x) = 0 tới nghiệm chưa biết *

1

Trước tiên, ta giả sử rằng x là nghiệm duy nhất của phương trình

G( ,x) = 0, 0,1 (2.2.2) tập x | 0 1 có thể được xem như là một đường cong trong ¡ n nối x(0) với *

1

thực hiện qua một dãy các bước lần lượt kéo dài đường cong từ x tới i x i 1

Nếu hàm số x và G khả vi, khi đó lấy đạo hàm phương trình (2.2.2) theo ta nhận được

x J x 1F(x(0)) , với 0 1 (2.2.3) với điều kiện ban đầu x(0)

Định lý dưới đây đưa ra điều kiện để có thể thực hiện được phương pháp thác triển

10 / 3

Hệ các phương trình vi phân là

1 2 1 2

1 '

, ,, , , ,

n n

Sử dụng phương pháp Runger- Kutta ở trường hợp thứ 4 để giải hệ phương

trình, trước tiên ta chọn 1 số tự nhiên N > 0 và giả sử h 1 0 /N Phân chia

đoạn [0,1] thành N đoạn con với những điểm lưới j jh , j 1, 2, ,N

w

j

j j

0 1

Thuật toán thác triển:

Để tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình phi tuyến F(x) = 0 cho

một giá trị xấp xỉ ban đầu x:

Nhập vào: Số n của các phương trình và ẩn số; số nguyên N > 0; giá trị xấp xỉ ban đầu x ( ,x x1 2, ,x n)t

Sử dụng đồng dạng xấp xỉ trong không gian n chiều dẫn đến ma trận

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

n n

Ở đây mỗi giá trị a xij là một hàm từ ¡ n vào ¡ Điều này đòi hỏi A x

được tính sao cho

1( ) F

Khi đó ) sao cho dãy được tạo bởi x k G x k 1 hội tụ toàn

phương tới p với việc chọn 0

của hàm số từ ¡ vào n ¡ , trong đó những giá trị tính đặc trưng sẽ được lựa

chọn sau Giả sử, bên cạnh đó, A x là khả nghịch gần một nghiệm p của

F(x) = 0 và giả sử b xij kí hiệu cho giá trị ở dòng thứ i, cột thứ j của

1

ij ij

Đây được gọi là phương pháp Newton giải hệ phương trình phi tuyến, và đó là yêu cầu tổng quát đưa về sự hội tụ toàn phương, với điều kiện

là một giá trị ban đầu đủ chính xác và tồn tại ma trận nghịch đảo 1

Nhược điểm trong phương pháp Newton xuất hiện từ việc cần tính toán và

lấy nghịch đảo của ma trận J x trong mỗi bước Trong thực tế, hiểu rõ việc

giá trị cho phép TOL; số lần lặp tối đa N

Kết quả: Nghiệm xấp xỉ x ( ,x x1 2, ,x n)t hay thông tin về số lần lặp được vượt trội

Bước 1: Cho k = i

Bước 2: Khi ( k N), thực hiện các bước 3 – 7

Bước 3: Tính F(x) và J(x), ở đây J(x)i j, = ( f x i( ) / x với j) 1 i j, n

Bước 4: Giải hệ n n tuyến tính J x y F x với y

Bước 5:Đặt x x y

Bước 6 : Nếu || y || < TOL thì Kết quả( x);

Kết thúc

Bước 7: Đặt k = k + 1

Bước 8: Kết quả(„ Số lần lặp tối đa vượt trội‟);

( Chương trình chưa hoàn thành)

2( , , ) 81( 0,1) sin 1,06

( 1) 2

0.108108108 0.162162162

J

0.243243243 0.135135135 0

0.108108108 0.162162162 6(0.81081081, 0.972972973)t

+) k4 h J x( k )3 1.F x 0

Trong đó:

3( k ) 0.81081081, 0.972972973

1.621621622 0.054054054

1 0.638542665 0.017737296(1.5, 2.25)

k 1.26, 1.36

2

0.327932098 0.0868055551.26, 1.36

0.34602526 0.230735399k

2 2

1 0

0.067253287 0.007989691 0.0108218681

k 0.007406829 0.100879931 0.0029540892

0.067161326 0.007242546 0.0108520381

k 0.006880592 0.100741989 0.00303968552

( 1)

( 1) 2

8

x

(0) 1 (0) 2

y y

(1) 2

0.061735387 0.011327594 1.28

.0.046443135 0.237879474 1.3120.093883098

Vậy các kết quả của bài toán được đưa ra ở bảng sau:

0.034074173155.250.221199205

0.333518512 0.000071199 0.0021580240.002141371 0.001604679 0.0000138560.006535304 0.000029857 0.05004286

F x

2

3 0.064732859 0.0313792764.001333048 311.5046063 00.221235305 0.441199727 20

J x

1 2

0.333386175 0.000068539 0.0005230710.004282406 0.003211106 0.0000067190.003782309 0.000071595 0.049994065

Bài 3: Cho hệ phi tuyến

1 2

1 1 2 1 3

3 2

6 00

F x

0.167140195 0.268906566 0.0508831850.056660456 0.627448655 0.2853940990.053819282 0.985990743 0.019905013

F x

J x

1 1

0.077310068 0.459685117 0.1017721520.001083407 1.424453861 0.4346084470.01480729 1.223871946 0.075793302

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA MAPLE GIẢI

HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

Maple có ứng dụng rất tốt trong toán học, đặc biệt trong lĩnh vực giải

phương trình và hệ phương trình Chỉ bằng những lệnh đơn giản chúng ta sẽ giải được những phương trình và hệ phương trình mà bình thường sẽ mất rất nhiều thời gian mới giải được

Để bắt đầu giải một bài toán, trước tiên ta gõ các lệnh:

x

g

x

+) Bước 2: Dùng lệnh vẽ đồ thị

[> with (plots);

+) Bước 3: Nhập khoảng xác định của từng nghiệm, ta dùng lệnh:

[> implicitplots ({eqn1, eqn2, },x1=, x2=, ) ;

Ví dụ 2 ở trên có thể được giải bằng đồ thị như sau:

animate animate d animatecurve arrow changecoords complexplot

complexplot d conformal conformal d contourplot contourplot d

coordplot coordplot d densityplot display dualaxisplot

implicitplot d inequal interative interativeparams intersecplot

listcontplot listcontplot d listden ity listplot listplot d loglogplot

,

ot matrixplot multiple odeplot pareto plotcompare pointplot

pointplot d polygonplot polygonplot d polyhedra supported

polyhedraplot rootlocus semilogplot setcolors setoptions setoptions d

{ 1, 2}, 1 3 3, 2 3 3 ;

KẾT LUẬN

Trên đây là toàn bộ nội dung khóa luận: “Một số phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến” Khóa luận đã tình bày nội dung của hai phương pháp Homotopy và Newton giải hệ phương trình phi tuyến cùng với một số bài tập

áp dụng hai phương pháp trên và ứng dụng của phần mềm toán học Maple trong việc giải hệ phương trình phi tuyến

Mặc dù đã có nhiều cố gắng tìm tòi nghiên cứu nhưng do năng lực và thời gian có hạn nên bài khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, em mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận được hoàn chỉnh hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, Nhà xuất bản Đại học quốc gia, Hà Nội

2 Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn

Tuấn, Nguyễn Tường (2000), Giải tích số, Nhà xuất bản Giáo dục

3 Phạm Huy Điển (2002), Tính toán, lập trình và giảng dạy trên Maple, Nhà

xuất bản Khoa học và kỹ thuật

4 Richard L Burden, J Douglas Faires (2005), Numerical analysis – Youngs

Town State University, Nhà xuất bản Thomson Brook/ Cole