Một số phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến

1 2 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS.Khuất Văn Ninh. Tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc TS.Khuất Văn Ninh, người đã luôn quan tâm, động viên, tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình làm luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường, các thầ y cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân, bạn bè cùng học, đội ngũ bảo vệ an ninh khu vực đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 6 năm 2011 Lê Th ị Thu Phương 3 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan bản luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS.Khuất Văn Ninh. Hà Nội, tháng 6 năm 2011 Lê Thị Thu Phương 4 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa…………………………………………………………… 1 Lời cảm ơn ……………………………………………………………… 2 Lời cam đoan …………………………………………………………… 3 Mục lục…………………………………………………………………… 4 Bảng các kí hiệu ………………………………………………………… 5 Mở đầu…………………………………………………………………… 6 Nội dung ………………………………………………………………… 8 Chương 1: Kiến thức cơ sở …………………………………………….8 1.1 Không gian véc tơ ………………………………………………… 8 1.2 Các không gian quan trọng ……………………………………… 11 1.3 Đạo hàm Gateaux và đạo hàm Frechet ……………………………15 Chương 2: Một số phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến………………………………… 19 2.1 Phương pháp Newton và một số biến thể của nó………………… 19 2.2 Phương pháp cát tuyến…………………………………………… 27 2.3 Một số biến thể …………………………………………………….44 2.4 Phương pháp sử dụng tính liên tục của ánh xạ …………………….52 2.5 Các phương pháp đặc biệt đối với hàm một biến ………………….57 2.6 Bàn thảo về các phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến …………………………………………….62 Chương 3: Bài tập…………………………………………………… 67 Kết luận và kiến nghị…………………………………………………….71 Tài liệu tham khảo……………………………………………………….72 5 BẢNG CÁC KÝ HIỆU R Tập hợp số thực. n R Không gian véc tơ Ơclit thực n chiều. ),( # YXL Không gian các ánh xạ tuyến tính từ X vào Y . ),( YXL Không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y . ),(: ## KXLX = Không gian các phiếm hàm tuyến tính trên X . ),(: * KXLX = Không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X . ),( KnmMat × Tập các ma trận m dòng n cột. ),( KnMat Tập các ma trận vuông n dòng n cột. ),( KnGL Tập các ma trận vuông cấp n không suy biến. )(XL Không gian các toán tử tuyến tính từ X vào X . C Tập hợp số phức. K Tập hợp số thực hoặc phức. * K Tập hợp số thực hoặc phức khác không. 6 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vào những năm 70 của thế kỷ 20, một số nhà toán học đã nghiên cứu về giải các phương trình và hệ phương trình dạng: yFx = (1) trong đó F là một toán tử từ một tập X đến một tập Y , YyXx ∈ ∈ , Trường hợp đặc biệt của (1) là: 0 = Fx (2) với .1,:), ,( 1 ≥→= nRRffF nn n hay: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = 0), ,( 0), ,( 1 11 nn n xxf xxf M Với các hiểu biết ban đầu và qua tham khảo một số tài liệu liên quan, tôi thấy: Phạm vi ứng dụng của lý thuyết toán tử là rất rộng lớn. Phạm vi ứng dụng này càng rộng và càng có hiệu lực thực tiễn trước sự phát triển nhanh chóng của máy tính điện tử với sự phát triển mạnh mẽ các công trình nghiên cứu xấp xỉ. Việc giải xấp xỉ các phương trình, hệ ph ương trình dạng (2) là phù hợp với năng lực của tôi. Có nhiều phương pháp giải, song phương pháp lặp là phương pháp có thể lập trình trên máy tính điện tử. Vì vậy tôi đã chọn đề tài: “Một số phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến n ẩn số” 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu một số phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến n ẩn số, ứng dụng vào các bài tập cụ thể có sử dụng máy tính 7 điện tử để giải. Đánh giá về những nghiên cứu khoa học của mình. Nêu ra những đóng góp của đề tài. Đề xuất các kiến nghị. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu một số phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến n ẩn số. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu một số phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến n ẩn số. Nghiên cứu các ứng dụng của lý thuyết vào các bài toán cụ thể có sử dụng ngôn ngữ lập trình Maple hoặc Pascal. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết, áp dụng lý thuyết vào giải toán số. 6. Dự kiến đóng góp mới của đề tài Hệ thống hoá các phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến n ẩn số. Lập trình các bài toán trên máy tính điện tử bằng ngôn ngữ lập trình Maple hoặc Pascal. 8 NỘI DUNG CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. Không gian véc tơ. 1.1.1. Định nghĩa: Cho X là một tập hợp, K là một trường số. Một không gian véc tơ X trên trường K là một tập hợp X cùng với hai ánh xạ: (phép cộng): yxyx XXX + → × a),( (phép nhân với một vô hướng): xx XXK αα a),( → × thoả mãn các tiên đề sau: KXzyx ∈ ∀ ∈ ∀ β α ,;,, . 1. x yy x +=+ (phép cộng có tính giao hoán) 2. )()( zyxzyxzyx + + =++=++ (phép cộng có tính kết hợp) 3. xxxX = +=+∈∃ θ θ θ : ( θ gọi là phần tử không của X ) 4. θ = + − =−+∈−∃ xxxxXx )()(: ( x − gọi là phần tử đối của x ) 5. )()( xx β α β α = 6. xxx β α β α +=+ )( 7. yxyx α α α +=+ )( 8. xxx == 11 (1 là phần tử đơn vị của trường K ) Các phần tử: θ và x − là duy nhất, ngoài ra xx 1)( − = − 1.1.2. Cơ sở Hamel và số chiều của không gian véc tơ. Cho X là không gian véc tơ trên trường K . 1.1.2.1. Định nghĩa: Giả sử { } Xxx n ⊂, , 1 là một hệ véctơ tuỳ ý, {} K n ⊂ α α , , 1 là một bộ số tuỳ ý. Ta gọi ∑ = = n i ii xy 1 α là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ n xx , , 1 trong X (hay còn nói là y biểu thị tuyến tính qua các véc tơ n xx , , 1 ). 9 Hệ véc tơ {} Xxx n ⊂, , 1 được gọi là độc lập tuyến tính nếu K n ∈∀ α α , , 1 , từ đẳng thức: nix i n i ii ,1,0 1 =∀=⇒= ∑ = αθα . Hệ véc tơ {} Xxx n ⊂, , 1 được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập tuyến tính. 1.1.2.2. Định nghĩa: Tập φ ≠ ⊂ MXM , gọi là tập độc lập tuyến tính nếu mọi hệ hữu hạn {} { } KMxx nn ⊂⊂ α α , ,,, , 11 từ đẳng thức nix i n i ii ,1,0 1 =∀=⇒= ∑ = αθα . Tập X M ⊂ là tập độc lập tuyến tính tối đại của X nếu nó là tập độc lập tuyến tính và nếu có B là tập độc lập tuyến tính của X mà BM ⊆ thì B M = 1.1.2.3. Định lí và định nghĩa: Cho hệ hữu hạn vectơ {} XxxX m ⊂= , , 11 khi đó số phần tử của mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ 1 X là bằng nhau. Số đó được gọi là hạng của hệ véc tơ 1 X . 1.1.2.4. Định nghĩa: Tập X M ⊂ gọi là cơ sở Hamel của X nếu M là tập độc lập tuyến tính và mọi phần tử của X đều biểu thị tuyến tính duy nhất qua các phần tử của M (hay M là tập độc lập tuyến tính tối đại của X ). Khi đó số chiều của X , kí hiệu là Xmid , chính là số phần tử của M . 1.1.3. Không gian véc tơ con. Cho X là không gian véc tơ trên trường K . 1.1.3.1. Định nghĩa: Tập X M ⊂ gọi là không gian véc tơ con của X nếu M đóng kín đối với các phép toán của X , nghĩa là: MxKMx MyxMyx ∈∀∈∀∈ ∈ ∀ ∈ + ,; ,; αα (hay M là một không gian véc tơ với các phép toán cảm sinh từ X ). 1.1.3.2. Định nghĩa: Giả sử M là một tập con của X . Khi đó tập tất cả các tổ 10 hợp tuyến tính của các phần tử thuộc M lập thành một không gian con của X , ký hiệu là M hay Mnasp . Nhận xét: M là giao của mọi không gian véc tơ con của X chứa M , đó là không gian véc tơ con nhỏ nhất của X chứa M và gọi là không gian con sinh bởi M (hay còn gọi là bao tuyến tính của M ) 1.1.4. Ánh xạ và ma trận. Cho YX , là hai không gian véc tơ trên cùng trường K . Ánh xạ YXF →: . 1.1.4.1. Định nghĩa: F gọi là ánh xạ tuyến tính nếu và chỉ nếu: .2.,1,,;)()( 11 ≥=∈∈∀= ∑∑ == nniKXxxFxF ii n i ii n i ii ααα 1.1.4.2. Ma trận: Giả sử X và Y là các không gian hữu hạn chiều, {} n uuu , , 1 = là một cơ sở của X , { } m vvv , , 1 = là một cơ sở của Y , F là ánh xạ tuyến tính. Khi đó F hoàn toàn được xác định bởi: njvabuF m i ijijj ,1;)( 1 === ∑ = Nếu YyyyXxxxxFy mn ∈ = ∈ == ), ,(,), ,(),( 11 thì .,1; 1 mixay n j jjii == ∑ = Hay ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +++= +++= +++= nnmmmm nn nn xaxaxay xaxaxay xaxaxay 2211 22221212 12121111 [...]... quá trình lặp: x k +1 = x k − Ak−1 F x k , k = 0,1, với Ak = F ' ( x k ) được thay đổi từ bước nọ đến bước kia sao cho: l i m Ak = F ' ( x * ) k →∞ Nguyên mẫu của các phương pháp như thế gọi là phương pháp Newton Phương pháp Newton đóng vai trò trọng tâm trong tất cả các phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến n ẩn số 2.1.2 Phương pháp Newton Cho f : U ⊂ R → R là hàm số thực một. .. đồng phôi từ U vào tập con mở V = F (U ) ⊂ Y Giả sử F có đạo hàm Frechet tại điểm x 0 ∈ U và F ' ( x 0 ) : X → Y là phép đồng phôi tuyến tính Khi đó ánh xạ ngược F −1 : V → X có đạo hàm Frechet tại điểm y 0 = F x 0 ∈ V và ( F −1 ) ' ( y 0 ) = ( F −1 ) ' ( Fx 0 ) = F ' ( x 0 ) −1 19 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN 2.1 Phương pháp Newton và một số biến thể... sai số thứ k + 1 tỉ lệ thuận với bình phương của sai số thứ k , bởi vậy sự hội tụ là rất nhanh mỗi khi các sai số là rất nhỏ Đây còn được gọi là tính chất của sự hội tụ bậc hai; nói chung tính chất này không đúng với các quá trình lặp dạng (2.1.10); bất đẳng thức (2.1.11) kết hợp với (2.1.8) tạo ra phương pháp Newton - một tâm điểm trong việc nghiên cứu các phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương. .. sai số: J ( x, h ) = ( ∆ i j ( x , h ) ) (2.1.18) thì quá trình lặp: x k +1 = x k − J ( x k , h k ) −1 F x k ; k = 0,1, (2.1.19) được gọi là phương pháp Newton rời rạc với các véc tơ tham số h k ∈ R p được phép thay đổi theo chỉ số lần lặp Chọn h k đơn giản nhất là h k = h ∈ R p (các tham số khác nhau được giữ cố định cùng bằng một hằng số trong suốt quá trình lặp) Ta dễ thấy phép lặp chỉ có một tốc... phương pháp mà cần tính đạo hàm ít hơn đối với phương pháp Newton 2.2 Phương pháp cát tuyến 2.2.1 Phương pháp cát tuyến tổng quát Xét phương pháp Newton rời rạc trong không gian một chiều: 28 ⎡ f (x k + hk ) − f (x k ) ⎤ x k +1 = x k − ⎢ ⎥ hk ⎦ ⎣ −1 f (x k ); k = 0,1, (2.2.1) Ta có (2.1.19) là công thức tổng quát của phương pháp Newton rời rạc trong không gian n chiều Hai trường hợp đặc biệt và quan... Phương pháp dây cung song song Cho f : U ⊂ R → R là hàm số thực một biến có một nghiệm x * , ta thay giá trị của f tại một xấp xỉ x 0 của x * bởi một hàm tuyến tính: l ( x) = α ( x − x 0 ) + f ( x 0 ) với độ lệch α ≠ 0 thích hợp, sau đó lấy nghiệm x1 của l làm một xấp xỉ mới của x * Lặp lại cách làm này với α cố định, ta có phương pháp lặp: x k +1 = x k − α −1 f ( x k ), k = 0,1, (2.1.1) gọi là phương. .. các phương pháp còn lại thì kỳ vọng đầu tiên là bắt đầu từ một phương pháp gần giống với phương pháp Newton rời rạc trong không gian một chiều (2.2.1) 29 Hình 2.3 Trên hình 2.3 ta thấy quá trình lặp kế tiếp x k +1 của (2.2.1) chính là nghiệm của phương trình tuyến tính: ⎡ f (x k + hk ) − f (x k ) ⎤ k k l ( x) = ⎢ ⎥ x − x + f (x ) = 0 hk ⎣ ⎦ ( ) Với l được xét theo hai cách khác nhau: Cách 1: l là một. .. tụ tuyến tính, và để tiến dần đến sự hội tụ nhanh của phương pháp Newton thì cần phải có l i m h k = 0 k →∞ Muốn vậy ta có nhiều cách chọn h k ; chẳng hạn chọn h k = γ k h , với h ∈ R p cố định và dãy {γ k } ⊂ R sao cho l i m γ k = 0 k →∞ Đặc biệt là các phương pháp thú vị khác sinh ra khi lấy h k là các hàm số Thực chất mỗi phương pháp được nói tới trong chương này là một biến thể của phương pháp. .. lặp trong không gian một chiều có tốc độ hội tụ cao Chẳng hạn như phương pháp tiếp tuyến hypebol: −1 1 ⎧ ⎫ x k +1 = x k − ⎨ I − F ' ( x k ) −1 F ' ' ( x k ) F ' ( x k ) −1 F x k ⎬ F ' ( x k ) −1 F x k 2 ⎩ ⎭ (2.1.26) Phương pháp tiếp tuyến hypebol này có sự hội tụ hình khối Tuy nhiên các phương pháp lặp kiểu (2.1.26) này cần tính đến đạo hàm bậc cao và gây rườm rà trong tính toán Ta cần tìm ra các phương. .. (2.1.14) lại cho ta phương pháp Newton khi bỏ đi số hạng cuối 2.1.3 Một số biến thể của phương pháp Newton Mặc dù phương pháp Newton là lý thuyết có sức thu hút người đọc, nhưng nó rất khó khăn trong thực hành Thực tế tại mỗi bước ta cần phải có nghiệm của hệ tuyến tính (2.1.13), hiếm khi ta tính chính xác được giá trị F ' ( x k ) −1 , đặc biệt là các bài toán nảy sinh từ các phương trình đạo hàm riêng . một số phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến n ẩn số. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu một số phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương trình phi. 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN 2.1. Phương pháp Newton và một số biến thể của nó. 2.1.1. Phương pháp dây cung song song. Cho RRUf →⊂: là hàm số. Đạo hàm Gateaux và đạo hàm Frechet ……………………………15 Chương 2: Một số phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến ……………………………… 19 2.1 Phương pháp Newton và một số biến thể